22년 1회차

물체의 최대 압축 길이는 $A=\sqrt{\dfrac{2mgh}{k}}$이다.

마찰이 없으므로 물체가 잃은 중력 퍼텐셜 에너지가 최대 압축 순간(속력 0) 모두 탄성 퍼텐셜 에너지로 바뀐다.

$mgh=\dfrac{1}{2}kA^2$
$A^2=\dfrac{2mgh}{k}\;\Rightarrow\;A=\sqrt{\dfrac{2mgh}{k}}$

• $\sqrt{\dfrac{mgh}{k}}$: 탄성 에너지의 계수 1/2을 빠뜨린 값이다.
• $\dfrac{mgh}{k}$: 탄성 에너지가 압축 길이의 제곱에 비례함을 반영하지 않아 차원이 맞지 않는다.
• $\dfrac{2mgh}{k}$: 제곱근을 취하지 않은 값으로 역시 길이의 차원이 아니다.

방출 광자의 파장이 가장 긴 전이는 Ⅱ($E_4\to E_3$)이다.

광자 에너지는 $E=hf=\dfrac{hc}{\lambda}$이므로 준위 차가 작을수록 파장이 길다. 수소 원자는 높은 준위로 갈수록 간격이 좁아져 $E_4$와 $E_3$ 사이가 가장 좁다.

• Ⅰ: $E_1$에서 $E_3$로 올라가는 전이로, 광자를 흡수하므로 방출 대상이 아니다.
• Ⅲ: $E_2\to E_1$은 간격이 가장 커서 파장이 가장 짧다.
• Ⅳ: $E_4\to E_2$는 $E_4\to E_3$보다 에너지 차가 커서 파장이 더 짧다.

옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

단진동에서 복원력은 $F=-kx$로 평형 위치(B)로부터의 변위에 비례한다. 따라서 B에서 알짜힘과 가속도가 0이고, 퍼텐셜 에너지가 최소이므로 속력은 최대이다.

• ㄱ: 평형 위치 B에서 운동 에너지가 최대이므로 옳다.
• ㄴ: B에서 변위가 0이어서 가속도 크기가 0으로 가장 작으므로 옳다.
• ㄷ: 알짜힘은 양 끝 A, C에서 최대이고 B에서는 0이므로 옳지 않다.

한 번 순환하는 동안 기체에 열로 전달되는 알짜 에너지는 20 J이다.

순환과정에서는 처음 상태로 돌아오므로 내부 에너지 변화가 0이고, 열역학 제1법칙에 의해 알짜 열량은 기체가 한 알짜 일, 즉 p-V 그래프로 둘러싸인 넓이와 같다.

a(2, 20), b(6, 20), c(2, 10)인 삼각형이므로
$W=\dfrac{1}{2}\times(6-2)\,\mathrm{m^3}\times(20-10)\,\mathrm{N/m^2}=20\,\mathrm{J}$
시계 방향 순환이라 기체가 외부에 양의 일을 하므로 흡수한 알짜 열도 양수이다.

• 0 J: 순환과정에서 0이 되는 것은 내부 에너지 변화이지 알짜 열이 아니다.
• 10 J: 삼각형 넓이를 절반으로 한 번 더 줄인 값이다.
• 40 J: 직사각형 넓이(4×10)로 계산해 1/2을 빠뜨린 값이다.

각가속도는 $-\dfrac{g}{L}\sin\theta$이다.

장력은 줄 방향이라 접선 방향 성분이 없고, 중력의 접선 성분 $mg\sin\theta$만 질점을 평형 위치 쪽으로 되돌린다. 접선 가속도는 $L\dfrac{d^2\theta}{dt^2}$이다.

$mL\dfrac{d^2\theta}{dt^2}=-mg\sin\theta\;\Rightarrow\;\dfrac{d^2\theta}{dt^2}=-\dfrac{g}{L}\sin\theta$
음의 부호는 힘이 θ를 줄이는 방향(복원력)임을 뜻한다.

• $\dfrac{g}{L}\sin\theta$: 크기는 맞지만 복원력의 부호를 반대로 잡았다.
• $\dfrac{g}{L}\cos\theta$: 중력의 줄 방향(법선) 성분을 쓴 것으로, 이 성분은 장력과 함께 구심력에 관여할 뿐 각가속도를 만들지 않는다.
• $-\dfrac{g}{L}\cos\theta$: 부호만 붙였을 뿐 역시 접선 성분이 아닌 법선 성분을 썼다.

대포의 운동에너지는 포탄 운동에너지의 1.5 %이다.

빙판이 마찰 없이 수평이므로 수평 방향 운동량만 보존된다(수직 방향은 지면의 수직항력이 받쳐 준다). 포탄 속력을 $v$, 대포 속력을 $V$라 하면
$MV=mv\cos 30^{\circ}$

$\dfrac{K_{\mathrm{c}}}{K_{\mathrm{s}}}=\dfrac{MV^2}{mv^2}=\dfrac{m\cos^2 30^{\circ}}{M}=\dfrac{2\times 0.75}{100}=0.015$
따라서 1.5 %이다.

• 0.5 %: 각도 인자를 $\sin^2 30^{\circ}$로 잘못 쓴 값이다.
• 2.0 %: 포탄 속도 전체가 수평이라고 보고 각도 인자를 빠뜨린 값(질량비 $\dfrac{2}{100}$)이다.
• 1.0 %: 수평 운동량 보존 관계에서 도출되지 않는 값이다.

장력의 비는 $T_{\mathrm{A}}:T_{\mathrm{B}}:T_{\mathrm{C}}=\dfrac{1}{2}:\dfrac{\sqrt{3}}{2}:1$이다.

줄 C는 물체만 받치므로 $T_{\mathrm{C}}=mg$이다. 매듭점에서 줄 A는 천장과 30°, 줄 B는 60°를 이루므로 수평·수직 힘의 평형을 세운다.

수평: $T_{\mathrm{A}}\cos 30^{\circ}=T_{\mathrm{B}}\cos 60^{\circ}\Rightarrow T_{\mathrm{B}}=\sqrt{3}\,T_{\mathrm{A}}$
수직: $T_{\mathrm{A}}\sin 30^{\circ}+T_{\mathrm{B}}\sin 60^{\circ}=mg\Rightarrow 2T_{\mathrm{A}}=mg$
따라서 $T_{\mathrm{A}}=\dfrac{mg}{2}$, $T_{\mathrm{B}}=\dfrac{\sqrt{3}mg}{2}$로 경사가 급한 줄 B가 더 큰 장력을 받는다.

• $\dfrac{\sqrt{3}}{2}:\dfrac{1}{2}:1$: A와 B의 장력을 서로 바꾼 것이다.
• $\dfrac{1}{2}:1:\dfrac{\sqrt{3}}{2}$: B의 장력을 물체 무게와 같게 잡아 평형 조건을 만족하지 않는다.
• $1:\dfrac{\sqrt{3}}{2}:2$: A가 B보다 커지는 비로, 수평 평형 조건과 맞지 않는다.

가능한 짝은 $\lambda_{\mathrm{A}}=3\,\mathrm{cm}$, $\lambda_{\mathrm{B}}=4\,\mathrm{cm}$이다.

두 파원이 같은 위상이므로 경로차 $\Delta=30-24=6\,\mathrm{cm}$가 파장의 정수배면 보강, 반파장의 홀수배면 상쇄이다.

보강: $6=n\lambda_{\mathrm{A}}\Rightarrow\lambda_{\mathrm{A}}=6,\ 3,\ 2,\ 1.5,\ \cdots\,\mathrm{cm}$
상쇄: $6=\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\lambda_{\mathrm{B}}\Rightarrow\lambda_{\mathrm{B}}=12,\ 4,\ 2.4,\ \cdots\,\mathrm{cm}$

• 3 cm와 6 cm: 6 cm는 경로차가 한 파장이 되어 상쇄가 아닌 보강이 일어난다.
• 4 cm와 6 cm: 4 cm는 경로차가 1.5파장이라 보강이 아닌 상쇄 조건이다.
• 4 cm와 8 cm: 4 cm는 상쇄 조건이고, 8 cm는 경로차가 0.75파장이라 완전 상쇄도 아니다.

걸리는 시간은 $(2\sqrt{2}-1)T$이다.

자유낙하 거리는 시간의 제곱에 비례하므로 $\dfrac{H}{2}$를 떨어지는 데 $T$이면 $H$ 전체를 떨어지는 데는 $\sqrt{2}\,T$가 걸린다.

남은 높이 낙하: $\sqrt{2}\,T-T=(\sqrt{2}-1)T$
완전탄성충돌 후 같은 속력으로 튀어 올라 높이 $H$까지 오르는 시간은 낙하 시간과 같은 $\sqrt{2}\,T$
합: $(\sqrt{2}-1)T+\sqrt{2}\,T=(2\sqrt{2}-1)T$

• $(\sqrt{2}+1)T$: 남은 절반 높이의 낙하 시간도 $T$로 잘못 잡은 값이다.
• $3T$: 등속 운동처럼 거리에 시간을 비례시킨 값이다.
• $(2\sqrt{2}+1)T$: 처음 $\dfrac{H}{2}$를 떨어진 시간을 빼지 않고 더한 값이다.

B의 비열은 $4c$이다.

그래프에서 같은 열량 $Q$를 흡수했을 때 A는 $T\to 3T$로 $2T$, B는 $2T\to 3T$로 $T$만큼 온도가 오른다. $Q=mc\Delta T$를 각각 적용한다.

A: $Q=(2m)(c)(2T)=4mcT$
B: $Q=(m)(c_{\mathrm{B}})(T)$
두 식이 같으므로 $c_{\mathrm{B}}=4c$이며, B는 질량이 절반이고 온도 변화도 절반이라 비열이 4배가 된다.

• $0.5c$: 온도 변화와 질량 관계를 거꾸로 적용한 값이다.
• $c$: 질량 차이와 온도 변화 차이를 모두 무시한 값이다.
• $2c$: 온도 변화 차이만 반영하고 질량 차이를 빠뜨린 값이다.

등압 과정에서 온도가 올라갔으므로 이상기체의 내부에너지는 증가한다. 따라서 내부에너지가 변하지 않는다는 설명이 옳지 않다.

이상기체의 내부에너지는 절대온도에만 의존한다($\Delta U \propto \Delta T$). 절대온도는 $300\,\mathrm{K} \to 600\,\mathrm{K}$로 2배가 되었다.
압력이 일정하므로 $\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2}$에서 $V_2 = 4\,\mathrm{L} \times \dfrac{600}{300} = 8\,\mathrm{L}$이다.

• 기체가 팽창하며 피스톤을 밀어냈으므로 외부에 양(+)의 일($W = P\Delta V$)을 하였다는 설명은 옳다.
• 마찰 없는 피스톤이 멈추면 내부 압력이 외부 압력과 평형이므로 1기압이라는 설명은 옳다.
• 샤를 법칙에 따라 최종 부피가 8 L라는 설명은 옳다.

물체가 초점 안쪽에 있으므로 상은 물체와 같은 쪽 8 cm 지점의 허상(정립·확대)이다.

렌즈 공식 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{f}$에 $a = 6\,\mathrm{cm}$, $f = 24\,\mathrm{cm}$를 대입한다.
$\dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{24} - \dfrac{1}{6} = -\dfrac{3}{24}$
$b = -8\,\mathrm{cm}$

상거리가 음수이므로 상은 물체와 같은 쪽에 생기는 허상이다(배율 $\dfrac{8}{6} \approx 1.3$배).

• 물체 반대쪽 8 cm의 실상은 상거리 부호를 무시한 것으로, 실상은 물체가 초점 밖에 있을 때만 생긴다.
• 물체 반대쪽 4 cm의 실상은 거리와 상의 종류가 모두 맞지 않는다.
• 물체와 같은 쪽 4 cm의 허상은 상의 종류는 맞지만 거리 계산이 틀렸다.

a, b 양단의 저항은 $\dfrac{1}{4}R$이다.

저항은 $R=\rho\dfrac{L}{A}$로 길이에 비례하므로 반으로 자른 도체 하나의 저항은 $\dfrac{R}{2}$이다.

같은 저항 두 개를 병렬 연결하면 합성 저항은 하나의 절반이므로
$R_{\mathrm{ab}}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{R}{2}=\dfrac{R}{4}$

• $R$: 두 토막을 직렬로 다시 이은 경우의 저항이다.
• $2R$: 길이 감소를 반대로(저항 증가로) 적용한 값이다.
• $\dfrac{1}{2}R$: 길이 감소 또는 병렬 연결 효과 중 하나만 반영한 값이다.

투영된 원의 반지름은 $\dfrac{mv}{2qB}$이다.

자기력은 자기장에 수직인 속도 성분에만 작용해 원운동을 만들고, 평행 성분은 등속으로 유지되어 나선 운동이 된다.

$v_{\perp}=v\sin 30^{\circ}=\dfrac{v}{2}$
$qv_{\perp}B=\dfrac{mv_{\perp}^2}{r}\Rightarrow r=\dfrac{mv_{\perp}}{qB}=\dfrac{mv}{2qB}$

• $\dfrac{\sqrt{3}mv}{2qB}$: 자기장에 평행한 성분 $v\cos 30^{\circ}$를 잘못 쓴 값이다.
• $\dfrac{mv}{qB}$: 속도 전체가 자기장에 수직일 때의 반지름이다.
• $\dfrac{2mv}{qB}$: 수직 성분으로 곱하지 않고 나눈 값이다.

옳지 않은 것은 수직 속도 $v_y$가 곡선으로 0까지 줄었다가 다시 $v_{0y}$로 커지는 그래프이다.

수직 방향은 등가속도 운동으로 $v_y=v_{0y}-gt$이다. 따라서 $v_y$는 기울기 $-g$인 직선으로 줄어 $\dfrac{T}{2}$에서 0, $T$에서 $-v_{0y}$가 되어야 한다.

• 수평 위치 $x$가 원점에서 직선으로 증가하는 그래프: $x=v_{0x}t$이므로 옳다.
• 수직 위치 $y$가 $\dfrac{T}{2}$에서 최고점인 포물선 그래프: $y=v_{0y}t-\dfrac{1}{2}gt^2$이므로 옳다.
• 수평 속도 $v_x$가 $v_{0x}$로 일정한 그래프: 수평 방향 힘이 없으므로 옳다.

옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

유도 전류는 코일을 지나는 자기 선속이 변할 때만 흐르고, 방향은 렌츠 법칙에 따라 선속 변화를 방해하는 쪽이다. 자석이 코일보다 훨씬 짧아 완전히 들어가 있는 동안은 선속이 거의 변하지 않는다.

• ㄱ: 자석이 코일 내부에 완전히 들어가 있는 구간에서는 선속 변화가 없어 전류가 흐르지 않으므로 옳다.
• ㄴ: 들어갈 때는 선속이 증가하고 나올 때는 감소하므로 유도 전류의 방향이 반대가 되어 옳다.
• ㄷ: a를 지날 때는 다가오는 N극을 밀어내도록 코일 왼쪽 끝이 N극이 되는 전류가 유도되며, 그림의 감긴 방향을 따르면 저항에는 d → 저항 → c 방향으로 흐르므로 옳지 않다.

옳은 것은 매질2에서 P의 파장이 더 크다는 설명이다.

그림의 $\theta_1$, $\theta_2$는 법선이 아니라 경계면과 이루는 각이다. 굴절광이 경계면 쪽으로 더 눕게(법선에서 더 멀리) 꺾였으므로 $n_2\lt n_1$이고, 매질2에서 빛이 더 빠르다.

진동수는 매질이 바뀌어도 변하지 않으므로 $\lambda=\dfrac{v}{f}$에서 속력이 큰 매질2의 파장이 더 길다.

• 사인 형태의 굴절 관계식: 각을 경계면에서 쟀으므로 $n_1\cos\theta_1=n_2\cos\theta_2$가 성립하며, 사인 관계는 옳지 않다.
• 매질2에서 속력이 더 작다는 설명: 굴절률이 작은 매질2에서 속력은 더 크다.
• 매질2에서 진동수가 더 크다는 설명: 진동수는 광원이 정하므로 매질과 무관하게 같다.

옳은 그래프는 원점에서 $R$까지 직선으로 증가한 뒤 $R$ 바깥에서 $\dfrac{1}{r}$로 감소하는 것이다.

앙페르 법칙 $B\cdot 2\pi r=\mu_0 I_{\mathrm{in}}$을 쓴다. 도선 내부에서는 감싼 전류가 $I\dfrac{r^2}{R^2}$이므로 $B=\dfrac{\mu_0 I r}{2\pi R^2}$로 $r$에 비례하고, 외부에서는 $B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$로 반비례한다.

두 식은 $r=R$에서 같은 값으로 이어지며 그곳에서 최댓값을 갖는다.

• 내부에서 자기장이 0인 그래프: 속이 빈 원통 도선(표면 전류)에 해당한다.
• 내부에서 자기장이 일정한 그래프: 감싼 전류가 $r$에 따라 늘어나는 점을 반영하지 않았다.
• 내부에서 곡선으로 증가하고 외부에서 직선으로 감소하는 그래프: 내부는 선형, 외부는 $\dfrac{1}{r}$ 감소여야 한다.

이 금속의 일함수는 $\phi_2$이다.

광전 효과 식 $K_{\max}=hf-W$는 기울기 $h$, 세로축 절편 $-W$인 직선이다. 그래프의 연장선이 $f=0$에서 $-\phi_2$를 지나므로 $W=\phi_2$이다.

같은 값은 문턱 진동수 $f_1$로 $W=hf_1$처럼 나타낼 수도 있다.

• $\phi_1$: 진동수 $f_2$의 빛을 쪼였을 때 나오는 전자의 최대 운동에너지이다.
• $\phi_1+\phi_2$: 진동수 $f_2$인 광자 한 개의 에너지 $hf_2$에 해당한다.
• $\dfrac{\phi_1}{f_2-f_1}$: 직선의 기울기로, 플랑크 상수 $h$에 해당한다.

보어 모형에서 전자의 선속력은 양자수에 반비례하므로 $n=3$ 궤도의 속력은 $n=1$ 궤도의 1/3배이다.

각운동량 양자화 $mvr = n\hbar$와 궤도 반지름 $r_n = n^2 a_0$를 결합하면
$v_n = \dfrac{n\hbar}{m r_n} = \dfrac{\hbar}{m a_0 n} \propto \dfrac{1}{n}$
$\dfrac{v_3}{v_1} = \dfrac{1}{3}$

• 1/9배는 궤도 반지름의 역비($\dfrac{r_1}{r_3}$)나 에너지 크기의 비에 해당하는 값으로, 속력의 비가 아니다.
• 3배는 속력이 양자수에 비례한다고 본 오류이다.
• 9배는 궤도 반지름의 비($\dfrac{r_3}{r_1}$)에 해당한다.