23년 1회차

목판이 수평이 되려면 사람이 A점으로부터 9L 위치에 서야 한다.

균질한 목판(길이 10L)의 자중 2,100 N은 A에서 5L, 즉 힌지 C에서 A쪽으로 L 떨어진 곳에 작용한다. 사람을 C에서 B쪽으로 x만큼 떨어진 곳에 세우고 C점에 대한 모멘트 평형을 세우면
$700 \times x = 2100 \times L$
$x = 3L$

따라서 A로부터 거리는 $6L + 3L = 9L$이다.

• 8L: C에서 2L 떨어진 위치로, 사람의 모멘트가 1400L에 그쳐 자중 모멘트 2100L을 이기지 못한다.
• 8.4L: C에서 2.4L 떨어진 위치로, 모멘트 1680L이 부족하다.
• 9.2L: C에서 3.2L 떨어진 위치로, 모멘트 2240L이 자중 모멘트보다 커 B쪽으로 기운다.

옳지 않은 것은 강체에는 병진변위가 발생할 수 없다는 설명이다.

강체는 변형하지 않는 이상화된 물체일 뿐, 외력을 받으면 물체 전체가 이동(병진)하거나 회전하는 강체운동은 얼마든지 할 수 있다.

• 강체에는 변형이 발생할 수 없다 — 강체의 정의 그대로이므로 옳다.
• 강체 단순보는 힘을 받아도 처짐이 없다 — 처짐은 휨변형의 결과이므로 강체에서는 생기지 않아 옳다.
• 내부 임의의 두 점 사이 거리가 일정하다 — 변형이 없다는 정의를 수학적으로 표현한 것이므로 옳다.

완전 소성상태의 중립축은 상단에서 15 mm 아래에 있다.

소성중립축은 단면을 면적이 같은 두 부분으로 나누는 축이다.
플랜지 면적: $300 \times 20 = 6000\ \mathrm{mm^2}$
웨브 면적: $10 \times 300 = 3000\ \mathrm{mm^2}$
절반 면적: $9000 / 2 = 4500\ \mathrm{mm^2}$

절반 면적이 플랜지 면적보다 작으므로 중립축은 플랜지 안에 있다.
$300 \times d = 4500 \rightarrow d = 15\ \mathrm{mm}$

• 63 mm: 상단에서 도심까지의 거리, 즉 탄성 중립축 위치로 소성중립축과 다르다.
• 45 mm: 이 위치 위쪽 면적이 6250 mm²로 절반을 넘어 면적이 등분되지 않는다.
• 10 mm: 플랜지 두께의 절반으로 플랜지 도심 위치일 뿐이며, 위쪽 면적이 3000 mm²에 불과하다.

온도응력의 크기는 50 MPa이다.

구속이 없을 때의 자유 신장량은
$\delta_T = \alpha \Delta T L = 10 \times 10^{-6} \times 50 \times 4000 = 2\ \mathrm{mm}$

간격 1 mm까지는 자유롭게 늘어나므로 벽체에 막힌 변형은 1 mm뿐이다.
$\sigma = E \dfrac{\delta}{L} = 200000 \times \dfrac{1}{4000} = 50\ \mathrm{MPa}$

• 45 MPa: 구속 변형 0.9 mm에 해당하는 값으로 간격 조건과 맞지 않는다.
• 55 MPa: 구속 변형 1.1 mm에 해당하는 값이다.
• 60 MPa: 구속 변형 1.2 mm에 해당하는 값이다.

B지점의 휨모멘트 크기는 PL이다.

상부보 CE는 C(힌지)와 D(롤러)로 하부보 위에 얹혀 있으며 CD 간격은 2L이다. C에서 L 떨어진 곳의 P와 E단의 시계방향 모멘트 PL에 대해 C점 모멘트 평형을 세우면
$R_D \times 2L = P \times L + PL$
$R_D = P$

이 반력 P가 하부보의 내민 끝 D에 아래로 전달되고, B에서 D까지 거리는 L이므로
$M_B = P \times L = PL$

• 2PL: D로 전달되는 힘이 2P여야 하는데, 상부보 평형으로 구한 D의 반력은 P이다.
• 3PL: D에 3P가 전달되어야 하는 값으로 상부보의 전체 하중 2P보다도 커서 성립하지 않는다.
• 4PL: 상부보 하중과 모멘트를 모두 B 기준으로 단순 합산한 값으로, 힘의 전달 경로를 무시했다.

휨과 전단을 모두 만족하는 최소 높이는 200 mm이다.

지간 9 m 중 A에서 6 m 구간에 2 kN/m가 작용하므로 합력 12 kN이 A에서 3 m에 놓인다.
$R_B = \dfrac{12 \times 3}{9} = 4\ \mathrm{kN}$, $R_A = 8\ \mathrm{kN}$

전단력이 0인 위치 $x = 8/2 = 4\ \mathrm{m}$에서 최대 휨모멘트
$M_{max} = 8 \times 4 - \dfrac{2 \times 4^2}{2} = 16\ \mathrm{kN \cdot m}$

휨 조건: $\dfrac{6M}{bh^2} \le 24 \rightarrow h^2 \ge \dfrac{6 \times 16 \times 10^6}{100 \times 24} = 40000 \rightarrow h \ge 200\ \mathrm{mm}$
전단 조건: $\dfrac{1.5V}{bh} \le 5 \rightarrow h \ge \dfrac{1.5 \times 8000}{100 \times 5} = 24\ \mathrm{mm}$

• 24 mm: 전단 조건만 만족하는 높이로, 휨응력이 허용값을 크게 넘는다.
• 100 mm: 휨응력이 96 MPa가 되어 허용휨응력 24 MPa를 초과한다.
• 240 mm: 두 조건을 모두 만족하지만 최소 높이가 아니다.

DF부재의 부재력은 √10 kN(압축)이다.

대칭 하중이므로 지점 반력은 각각 4 kN이다. 절점 A에서 AD 부재(기울기 3:4:5)는 $-5\ \mathrm{kN}$(압축), 절점 B에서 BD·BE 부재는 수직 평형 $2 \times \dfrac{4}{5}F = 8$로 각각 $5\ \mathrm{kN}$(인장)이다.

절점 F와 G는 하중이 없고 좌우 대칭이어서 DF와 DG의 부재력이 같다(기울기 3:1:√10). 절점 D의 수평 평형에서 AD·BD가 주는 수평력 합은 6 kN이므로
$6 + 2 \times \dfrac{3}{\sqrt{10}} F_{DF} = 0 \rightarrow F_{DF} = -\sqrt{10}\ \mathrm{kN}$

• √10 kN(인장): 크기는 맞지만 부호가 음(-)이므로 압축이다.
• 2√10 kN(압축): DG 부재의 분담을 빼고 DF 혼자 수평력 6 kN을 받는다고 본 값이다.
• 2√10 kN(인장): 크기와 방향이 모두 맞지 않는다.

D점의 수직변위는 1.0 mm(↑)이다.

강체 CD는 지점을 중심으로 한 지렛대다. D의 1 kN에 대한 지점 모멘트 평형에서 C점에는 $1 \times 2 / 1 = 2\ \mathrm{kN}$의 힘이 작용하고, 반작용으로 AB부재는 C에서 위로 2 kN을 받는다.

AC 구간 축력은 $3 - 2 = 1\ \mathrm{kN}$(인장)이고, CB 구간 신장은 C의 변위에 영향을 주지 않는다.
$\delta_C = \dfrac{1000 \times 2000}{40000 \times 100} = 0.5\ \mathrm{mm}$(↓)

C가 0.5 mm 내려가면 지점 반대편에 2배 거리로 있는 D는 $0.5 \times 2 = 1.0\ \mathrm{mm}$ 올라간다.

• 0.8 mm(↓): 크기와 방향이 모두 틀렸다. 지렛대 반대편인 D는 C와 반대로 움직인다.
• 0.8 mm(↑): 방향은 맞지만 C의 변위에 거리비 2를 곱한 값과 맞지 않는다.
• 1.0 mm(↓): 크기는 맞지만 C가 내려가면 D는 올라간다.

B점의 수직반력은 $\dfrac{3M_0}{2L}$이다.

B 롤러를 제거하면 캔틸레버가 되므로, B점 처짐이 0이라는 적합조건을 쓴다.
모멘트 M0에 의한 처짐: $\dfrac{M_0 L^2}{2EI}$
반력 R에 의한 처짐: $\dfrac{R L^3}{3EI}$

$\dfrac{M_0 L^2}{2EI} = \dfrac{R L^3}{3EI} \rightarrow R = \dfrac{3M_0}{2L}$

• $\dfrac{M_0}{2L}$: 적합조건에서 나온 값의 1/3에 불과하다.
• $\dfrac{2M_0}{3L}$: 처짐 공식의 계수 2와 3을 뒤바꾼 값이다.
• $\dfrac{M_0}{L}$: 고정단 모멘트가 0이라고 본 값으로, 실제 고정단에는 모멘트가 생긴다.

처짐비는 $\dfrac{5}{18}$이다.

자유단 하중 P에서 고정단 A로부터 s 위치의 휨모멘트는 $P(6 - s)$이다. 모멘트면적법으로 각 점 처짐을 구한다.

B점 처짐(AB 구간, 휨강성 2EI):
$\Delta_B = \dfrac{P}{2EI}\int_0^3 (6-s)(3-s)\,ds = \dfrac{22.5P}{2EI} = \dfrac{11.25P}{EI}$

C점 처짐:
$\Delta_C = \dfrac{P}{2EI}\int_0^3 (6-s)^2 ds + \dfrac{P}{EI}\int_3^6 (6-s)^2 ds = \dfrac{31.5P}{EI} + \dfrac{9P}{EI} = \dfrac{40.5P}{EI}$
$\dfrac{\Delta_B}{\Delta_C} = \dfrac{11.25}{40.5} = \dfrac{5}{18}$

• $\dfrac{3}{20}$: 계산한 처짐비보다 작아 구간별 휨강성 차이를 반영한 결과와 맞지 않는다.
• $\dfrac{7}{15}$: 계산한 처짐비보다 크다.
• $\dfrac{3}{5}$: B점 처짐을 지나치게 크게 본 값으로, BC 구간의 강성이 작아 C점 처짐이 크게 늘어나는 점을 반영하지 못했다.

CE부재의 부재력은 100 kN(인장)이다.

A점 모멘트 평형으로 G점 반력을 구한다. 60 kN 수평하중은 높이 3 m에 작용한다.
$18 R_G = 180 \times 9 + 60 \times 3 \rightarrow R_G = 100\ \mathrm{kN}$

DE, DF, CE 세 부재를 자르는 단면으로 우측 부분을 떼어 내면, DE와 DF는 D점을 지나므로 D점 모멘트 평형에 CE만 남는다(D의 높이 9 m, G까지 수평거리 9 m).
$100 \times 9 = F_{CE} \times 9 \rightarrow F_{CE} = 100\ \mathrm{kN}$(인장)

• 100 kN(압축): 하현재는 아래로 처지려는 트러스를 붙잡는 부재로 인장을 받는다.
• 200 kN(인장): 단면법으로 구한 크기의 2배이다.
• 200 kN(압축): 크기와 방향이 모두 맞지 않는다.

옳지 않은 것은 재료의 항복강도가 커지면 임계좌굴하중도 커진다는 설명이다.

탄성좌굴이론의 오일러 하중은 $P_{cr} = \dfrac{\pi^2 EI}{(KL)^2}$로, 탄성계수·단면2차모멘트·유효길이에만 좌우되고 항복강도는 식에 들어가지 않는다.

• 임계좌굴하중이 작용하중보다 크면 안정상태 — 교란을 주어도 원위치로 돌아오므로 옳다.
• 임계좌굴하중과 작용하중이 같으면 중립평형상태 — 휜 형상 그대로 평형을 유지하는 경계 상태이므로 옳다.
• 작용하중이 임계좌굴하중보다 크면 불안정평형상태 — 작은 교란에도 처짐이 커지므로 옳다.

B점의 휨모멘트 크기는 4 kN·m이다.

AB 구간 고정단모멘트는
$M_{F} = \dfrac{PL}{8} = \dfrac{12 \times 4}{8} = 6\ \mathrm{kN \cdot m}$

B점 부재 강도는 $\dfrac{4EI}{4} : \dfrac{4EI}{2} = 1 : 2$이므로 분배율은 BA 1/3, BC 2/3이다. 불균형모멘트 6을 분배하면 BA에 -2, BC에 -4가 배분된다.
$M_{BA} = 6 - 2 = 4\ \mathrm{kN \cdot m}$

• 1 kN·m: 고정단모멘트 6에서 BA 분배모멘트 2를 뺀 값(4)과 맞지 않는다.
• 2 kN·m: BA 부재에 배분되는 모멘트 크기일 뿐 B점의 최종 모멘트가 아니다.
• 7 kN·m: 분배 전 고정단모멘트 6보다도 커서, 분배로 줄어드는 B점 모멘트로 나올 수 없다.

임계좌굴하중은 $\dfrac{5}{8}kL$이다.

B점이 미소 수직변위 δ만큼 움직이면 BC부재는 C를 중심으로 $\theta = \delta / L$ 회전하고, 강절로 붙은 CD도 같이 회전해 D는 수평으로 $\theta \times \dfrac{L}{2} = \dfrac{\delta}{2}$ 움직인다.

에너지법: 스프링 변형에너지와 하중이 하는 일을 같게 둔다.
$U = \dfrac{1}{2}k\delta^2 + \dfrac{1}{2}k\left(\dfrac{\delta}{2}\right)^2 = \dfrac{5}{8}k\delta^2$
A점 이동량(AB·BC 두 부재 기울어짐): $2 \times \dfrac{\delta^2}{2L} = \dfrac{\delta^2}{L}$
$P \dfrac{\delta^2}{L} = \dfrac{5}{8}k\delta^2 \rightarrow P = \dfrac{5}{8}kL$

• $\dfrac{1}{2}kL$: B점 스프링만 고려하고 D점 스프링 저항을 빠뜨린 값이다.
• $\dfrac{3}{8}kL$: 스프링 저항을 실제보다 작게 본 값이다.
• $\dfrac{3}{4}kL$: D점 변위를 실제(δ/2)보다 크게 본 값이다.

옳지 않은 것은 모멘트분배법이 응력법에 속한다는 설명이다.

모멘트분배법은 절점의 회전각을 미지수로 삼는 처짐각법을 반복 계산으로 푼 것이어서 변위법(강성법)에 속한다. 반면 응력법(유연도법)은 반력·단면력을 미지수로 두고 적합조건으로 푼다.

• 응력법은 지점반력이나 단면력을 미지수로 하는 방법 — 응력법의 정의이므로 옳다.
• 3연모멘트법 — 연속보의 지점 모멘트(부정정력)를 미지수로 세 지점 간 관계식을 세우므로 응력법에 속한다.
• 변위일치법 — 겹침의 원리와 적합방정식으로 부정정력을 구하는 대표적 응력법이므로 옳다.

물체가 미끄러지기 시작했다면 $\tan\theta \ge \mu_s$이므로, 최대정지마찰계수가 tanθ보다 크다는 설명이 옳지 않다.

경사면 방향 하중 $mg\sin\theta$가 최대정지마찰력 $\mu_s mg\cos\theta$에 도달할 때 미끄러짐이 시작된다. 이 조건이 $\tan\theta = \mu_s$이다.

• 전도 조건: 중력 작용선이 바닥면 끝을 벗어나지 않아야 하므로 tanθ ≤ b/h이면 전도되지 않는다는 설명은 옳다.
• 최대정지마찰력: 수직항력 $mg\cos\theta$에 최대정지마찰계수를 곱한 값이라는 설명은 옳다.
• 마찰계수 비교: 일반적으로 최대정지마찰계수가 운동마찰계수보다 크다는 설명은 옳다.

수직응력 10 MPa와 전단응력 10 MPa가 함께 작용하는 상태의 최대전단응력이 약 11.2 MPa로 가장 크다.

평면응력의 최대전단응력은 모어원의 반지름이다.
$\tau_{max} = \sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$

수직응력 10 MPa(한 방향)와 전단응력 10 MPa 조합:
$\sqrt{5^2 + 10^2} = \sqrt{125} \approx 11.2\ \mathrm{MPa}$

• 한 방향 인장 10 MPa만 작용하는 상태: $\tau_{max} = 10/2 = 5\ \mathrm{MPa}$
• 20 MPa와 10 MPa 이축 인장 상태: $\tau_{max} = (20 - 10)/2 = 5\ \mathrm{MPa}$
• 순수전단 10 MPa 상태: 모어원 반지름이 전단응력과 같아 $\tau_{max} = 10\ \mathrm{MPa}$

y방향이 구속되어 있으므로 $\sigma_y = 0$이라는 설명이 옳지 않다.

강체벽 때문에 y방향 변형이 막히므로 $\epsilon_y = 0$이다. 일반화된 훅의 법칙에서
$\epsilon_y = \dfrac{\sigma_y - \nu\sigma_x}{E} = 0 \rightarrow \sigma_y = \nu\sigma_x$

따라서 푸아송 효과로 벽면에 수직응력이 생기며 0이 아니다.

• $\epsilon_y = 0$: 강체벽 구속 조건 그대로이므로 옳다.
• $\sigma_x = -\dfrac{P}{bt}$: 단면적 bt에 압축하중 P가 작용하므로 옳다.
• $\epsilon_x = \dfrac{\sigma_x - \nu\sigma_y}{E}$: 평면응력의 훅의 법칙 그대로이므로 옳다.

탱크 중심의 수심은 14 m이다.

박벽 구형 용기의 막응력은 $\sigma = \dfrac{p\,d}{4t}$이며, 여기서 $p$는 순압력(내압 − 외부 수압)이다.

순압력: $p = \dfrac{4t\,\sigma}{d} = \dfrac{4 \times 5 \times (-200)}{100} = -40\,\mathrm{kPa}$
외부 수압: $p_w = 100 - (-40) = 140\,\mathrm{kPa}$

수심: $h = \dfrac{p_w}{\gamma_w} = \dfrac{140}{10} = 14\,\mathrm{m}$ — 외부 수압이 내압보다 40 kPa 커야 벽에 압축응력이 생긴다.

$\dfrac{a}{L}$의 값은 $\dfrac{3}{10}$이다.

B는 힌지이므로 BC 부분의 B점 모멘트 = 0이다. C점 수직반력과 인장부재 인장력 T(높이차 3L/4)만 남는다.
$R_C \times L = T \times \dfrac{3}{4}L \rightarrow R_C = \dfrac{3}{4} \times 0.6P = 0.45P$

전체 구조의 A점 모멘트 평형:
$R_C \times 2L = P \times a + 0.6P \times L$
$0.9PL = Pa + 0.6PL \rightarrow a = 0.3L$

• $\dfrac{3}{5}$: 이 위치면 C점 반력이 0.6P, 인장력이 0.8P가 되어 조건과 맞지 않는다.
• $\dfrac{1}{2}$: C점 반력이 0.55P, 인장력이 약 0.73P가 된다.
• $\dfrac{2}{5}$: C점 반력이 0.5P, 인장력이 약 0.67P가 된다.