23년 1회차

포물선 운동에서 가속도는 중력가속도로 항상 연직 아래 방향이므로, 가속도의 방향이 궤적의 접선 방향과 같다는 설명이 옳지 않다.

궤적의 접선 방향은 속도의 방향이다. 최고점에서는 속도가 수평, 가속도가 연직 아래로 서로 수직이며, 두 방향이 다르기 때문에 경로가 휘어진다.

• 물체가 받는 힘은 중력 $mg$ 하나뿐이므로 크기와 방향이 일정하다.
• 수평 방향으로는 힘이 없어 속도의 수평성분은 일정하다.
• 연직 방향으로는 $v_y=v_{0y}-gt$이므로 속도의 연직성분은 시간에 따라 변한다.

행성 A에서의 탈출속력은 지구의 2배이다.

역학적 에너지 보존에서 $\dfrac{1}{2}mv_e^2=\dfrac{GMm}{R}$이므로 $v_e=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$이다.

반지름이 같으면 $v_e\propto\sqrt{M}$이므로 질량이 4배일 때 $\sqrt{4}=2$배가 된다. 탈출속력은 질량이 아니라 질량의 제곱근에 비례한다는 점에 주의한다.

단진자의 주기는 질량과 무관하고 길이의 제곱근에 비례하므로 새 주기는 $\sqrt{2}\,T$이다.

단순조화 운동을 하는 단진자의 주기는 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$로, 질량 $m$이 식에 들어 있지 않다.

길이가 2배이면 $T'=2\pi\sqrt{\dfrac{2L}{g}}=\sqrt{2}\,T$이다. 질량을 2배로 한 것은 주기에 영향을 주지 않는다.

상태 변화 후의 분포 B는 변화 전의 A보다 높은 속력 쪽으로 이동하고 넓게 퍼졌으므로, 기체의 온도와 내부 에너지가 모두 증가한다.

이상기체 분자의 평균 운동 에너지는 $\dfrac{3}{2}kT$로 절대온도에 비례하고, 분자수가 일정하면 내부 에너지 $U=\dfrac{3}{2}NkT$도 온도에 비례한다. 분포 곡선의 정점(최빈 속력)이 커졌다는 것은 온도가 올라갔다는 뜻이다.

• 평균 운동 에너지가 감소한다는 진술은 틀리다 — 온도가 올라갔으므로 평균 운동 에너지는 증가한다.
• 온도가 증가한다는 진술은 옳다 — 분포가 고속 쪽으로 퍼진 것이 그 증거이다.
• 내부 에너지가 증가한다는 진술은 옳다 — 분자수가 일정한 이상기체의 내부 에너지는 온도만의 함수이다.

전기력이 한 일이 모두 운동 에너지로 바뀌므로 이동한 지점에서의 속력은 $4\,\mathrm{m/s}$이다.

전기력이 한 일: $W=qV=1\,\mathrm{C}\times16\,\mathrm{V}=16\,\mathrm{J}$

일-에너지 정리: $\dfrac{1}{2}mv^2=16\,\mathrm{J}$
$\dfrac{1}{2}\times2\times v^2=16$
$v^2=16,\ v=4\,\mathrm{m/s}$

선팽창 길이 변화는 $\Delta L=\alpha L_0\Delta T$이며, 125 °C에서 막대의 길이는 15 cm이다.

온도 변화: $\Delta T=125-25=100\,{}^\circ\mathrm{C}$

길이 변화: $\Delta L=(5.0\times10^{-3})\times10\times100=5\,\mathrm{cm}$
나중 길이: $L=10+5=15\,\mathrm{cm}$

처음 길이 10 cm에 늘어난 길이를 더해야 하며, 늘어난 길이만으로 답하지 않도록 주의한다.

물체의 가속도는 0.1 $m/s^{2}$이다.

힘을 성분으로 나누면 수평 성분 $F\cos45^\circ=\sqrt{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1\,\mathrm{N}$, 연직 위 성분 $F\sin45^\circ=1\,\mathrm{N}$이다.

수직항력은 $N=mg-F\sin45^\circ=10-1=9\,\mathrm{N}$이므로 운동 마찰력은 $f=\mu N=0.1\times9=0.9\,\mathrm{N}$이다.
알짜힘 $1-0.9=0.1\,\mathrm{N}$ → $a=\dfrac{0.1}{1}=0.1\,\mathrm{m/s^2}$

• 가속도 0은 힘의 수평 성분과 마찰력이 같다고 본 경우로, 연직 성분이 수직항력을 줄이는 효과를 반영하면 성립하지 않는다.
• 가속도 0.5는 마찰력을 지나치게 작게 잡은 값이다.
• 가속도 1은 마찰력을 무시하고 수평 성분 1 N만 고려한 값이다.

올라간 높이로부터 회전 운동 에너지의 몫을 구하면 회전관성은 $mr^2$(얇은 고리형)이다.

미끄러짐 없이 구르므로 $\omega=v/r$이고, 역학적 에너지 보존에서
$\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}I\dfrac{v^2}{r^2}=mgh$

$h=v^2/g$를 대입하면 우변은 $mv^2$이다.
$\dfrac{1}{2}I\dfrac{v^2}{r^2}=\dfrac{1}{2}mv^2$
$I=mr^2$

• 속이 찬 구($\tfrac{2}{5}mr^2$)라면 올라가는 높이는 $0.7\,v^2/g$에 그친다.
• 원판·원기둥($\tfrac{1}{2}mr^2$)이라면 $0.75\,v^2/g$이다.
• 얇은 구 껍질($\tfrac{2}{3}mr^2$)이라면 약 $0.83\,v^2/g$이다.

주기 4초에서 2초 뒤는 반주기 후이므로 물체는 반대쪽 끝점인 34 cm에서 속력 0이다.

시간 $t_0$에서 속력이 0이므로 42 cm는 진동의 한쪽 끝점이다. 1초($\tfrac{1}{4}$주기) 뒤의 38 cm는 평형 위치이므로 진폭은 $42-38=4\,\mathrm{cm}$이다.

반주기 뒤에는 평형 위치에서 반대쪽으로 진폭만큼 떨어진 $38-4=34\,\mathrm{cm}$에 도달하며, 끝점이므로 속력은 0이다.

• 42 cm로 되돌아오는 것은 한 주기(4초) 뒤이다.
• 최대 속력도 평형 위치에서 $v_{\max}=A\omega=0.04\times\dfrac{2\pi}{4}=0.02\pi\,\mathrm{m/s}$에 불과하므로, 속력 $2\pi\,\mathrm{m/s}$는 어느 위치에서도 불가능하다.

열효율 20 %이면 방출열이 흡수열의 80 %이므로 흡수열 6 kJ, 한 순환 시간 0.24초이다.

방출열: $Q_C=(1-e)Q=0.8\,Q=4.8\,\mathrm{kJ}$
흡수열: $Q=6\,\mathrm{kJ}$

한 순환의 일: $W=eQ=0.2\times6=1.2\,\mathrm{kJ}$
걸린 시간: $T=\dfrac{W}{P}=\dfrac{1.2\,\mathrm{kJ}}{5\,\mathrm{kW}}=0.24\,\mathrm{s}$

• 1.2 kJ는 흡수열이 아니라 한 순환 동안 한 일이다.
• 0.96초는 방출열 4.8 kJ를 일률로 나눈 값으로, 일 대신 열을 넣은 잘못된 계산이다.

점 a에서는 두 도선의 자기장이 상쇄되어 0이 되고, 점 b의 자기장은 점 c의 2배이다.

그림에서 x축 도선의 전류는 +x 방향, y축 도선의 전류는 +y 방향이며, 점은 a(p, p), b(p, −p), c(−2p, 2p)이다. 직선 전류의 자기장 크기는 $B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$이고, 방향은 오른손 법칙으로 정한다.

• 점 a: x축 도선은 지면에서 나오는 방향, y축 도선은 지면으로 들어가는 방향으로 각각 $\dfrac{\mu_0 I}{2\pi p}$이므로 합은 0이다.
• 점 b: 두 도선 모두 지면으로 들어가는 방향으로 $\dfrac{\mu_0 I}{2\pi p}$씩 더해져 $B_b=\dfrac{\mu_0 I}{\pi p}$이다.
• 점 c: 두 도선 모두 지면에서 나오는 방향으로 거리 2p에서의 값 $\dfrac{\mu_0 I}{4\pi p}$씩 더해져 $B_c=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi p}$이다.
• 따라서 $B_b=2B_c$이며, 루트 2배 관계나 a와 b가 같다는 관계는 성립하지 않는다.

옳은 것은 평형 상태에서 저항 전압이 기전력과 같다는 진술뿐이다.

전류가 평형값에 도달하면 전류 변화가 없어 코일의 유도 기전력 $L\dfrac{dI}{dt}$가 0이 된다. 따라서 기전력 전체가 저항에 걸린다.

• 반시계방향으로 흐른다는 진술은 틀리다 — 그림에서 전지의 긴 극판(+극)이 왼쪽에 있어 전류는 왼쪽 도선을 타고 올라가 저항과 코일을 지나 오른쪽으로 내려오는 시계방향으로 흐른다.
• 저항 전압이 기전력과 같다는 진술은 옳다 — 평형 상태에서 코일 양단 전압은 0이다.
• 반감 시간이 저항이 클수록 길어진다는 진술은 틀리다 — 전류 감소의 시간상수는 $\tau=\dfrac{L}{R}$이므로 저항이 클수록 짧아진다.

용액의 굴절률은 $\sqrt{5}$이다.

레이저는 높이와 지름이 같은 용기의 대각선을 따르므로 입사각은 45°이다. 용액 표면(위에서 a 아래)에서 입사점은 벽에서 수평으로 a만큼 들어간 곳이고, 바닥 중심은 벽에서 2a이므로 굴절광의 수평 이동은 a, 수직 이동은 3a이다.

$\sin r=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+(3a)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$
$n=\dfrac{\sin45^\circ}{\sin r}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\times\sqrt{10}=\sqrt{5}$

• $\sqrt{2}$: 굴절각의 사인이 1/2이어야 하므로 수평 a, 수직 3a 기하와 맞지 않는다.
• $\sqrt{3}$: 굴절각의 사인이 $1/\sqrt{6}$이어야 하므로 역시 기하와 맞지 않는다.
• 2: 굴절각의 사인이 $1/(2\sqrt{2})$이어야 하므로 바닥 중심에 도달하지 않는다.

가운데 편광판이 양쪽 편광판과 각각 $\tfrac{\pi}{4}$의 각을 이룰 때 투과 세기가 최대이다.

편광되지 않은 빛은 첫 편광판을 지나 세기가 $\tfrac{1}{2}I_0$가 되고, 이후 말뤼스 법칙을 두 번 적용한다.
$I=\dfrac{1}{2}I_0\cos^2\theta\cos^2\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\dfrac{1}{8}I_0\sin^2 2\theta$

$\sin^2 2\theta$는 $2\theta=\tfrac{\pi}{2}$, 즉 $\theta=\tfrac{\pi}{4}$에서 최대이며 이때 $I=\tfrac{1}{8}I_0$이다.

• 각이 0이면 가운데 편광판이 마지막 편광판과 수직이 되어 투과 세기는 0이다.
• 각이 $\tfrac{\pi}{2}$이면 가운데 편광판이 첫 편광판과 수직이 되어 투과 세기는 0이다.
• 각이 $\tfrac{\pi}{8}$이면 $\sin^2\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{1}{2}$로 최대값의 절반에 그친다.

운동 에너지가 2배가 되면 운동량은 $\sqrt{3}$배가 된다.

정지에너지를 $E_0=mc^2$라 하면 처음 $E=3E_0$이므로 $K=2E_0$이다. 운동 에너지가 $4E_0$가 되면 전체 에너지는 $5E_0$이다.

상대론적 에너지-운동량 관계 $(pc)^2=E^2-E_0^2$에서
처음: $pc=\sqrt{9-1}\,E_0=2\sqrt{2}\,E_0$
나중: $p'c=\sqrt{25-1}\,E_0=2\sqrt{6}\,E_0$
비: $\dfrac{p'}{p}=\dfrac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\sqrt{3}$

고전 관계 $p\propto\sqrt{K}$를 쓰면 $\sqrt{2}$배가 되지만, 이 중성자는 상대론적 속력으로 움직이므로 적용할 수 없다.

산란된 X선의 파장은 14.4 pm이다.

콤프턴 산란의 파장 변화는 $\Delta\lambda=\dfrac{h}{m_e c}(1-\cos\theta)$이다.

산란각 $\theta=90^\circ$이므로 $\Delta\lambda=2.4\times(1-0)=2.4\,\mathrm{pm}$
$\lambda'=12+2.4=14.4\,\mathrm{pm}$

• 12 pm는 파장 변화가 없다고 본 값으로, 전자에 에너지를 준 광자는 파장이 길어져야 한다.
• 9.6 pm는 파장이 오히려 2.4 pm 줄어든다고 본 값이다.
• 13.2 pm는 파장 변화량을 절반(1.2 pm)으로 잡은 값이다.

확률밀도 $|\psi|^2$를 구간에서 적분하면 발견 확률은 $1-e^{-2}$이다.

확률밀도: $|\psi(x)|^2=\dfrac{2}{a}e^{-2x/a}$

$P=\displaystyle\int_0^a\dfrac{2}{a}e^{-2x/a}\,dx=\left[-e^{-2x/a}\right]_0^a=1-e^{-2}$

• $1-e^{-1}$은 확률밀도의 지수를 제곱 전의 지수 $-x/a$로 두고 적분했을 때 나오는 값이다.
• $e-1$과 $e^2-1$은 1보다 커서 확률이 될 수 없다.

최소 압축 길이는 10 cm이다.

원형 구조물 꼭대기에서 떨어지지 않으려면 중력만으로 구심력을 공급하는 속력 이상이어야 한다: $v_{top}^2=gr=10\times0.2=2$.

역학적 에너지 보존으로 바닥 속력은 $v^2=v_{top}^2+4gr=5gr=10$이므로 운동 에너지는 $\dfrac{1}{2}\times0.2\times10=1\,\mathrm{J}$이다.
$\dfrac{1}{2}kL^2=1$ → $L^2=\dfrac{2}{200}=0.01$ → $L=0.1\,\mathrm{m}$

• 3 cm는 탄성 에너지가 0.09 J로, 꼭대기(높이 2r)까지 올라가는 데 필요한 위치 에너지 0.8 J에도 못 미친다.
• 5 cm는 탄성 에너지가 0.25 J로 역시 0.8 J에 못 미친다.
• 15 cm는 원운동이 가능하지만 최소값이 아니다.

전위차의 크기는 $\dfrac{1}{2\pi\epsilon_0}\dfrac{Q}{R}\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{1+(d/R)^2}}\right)$이다.

균일 대전 고리의 축 위 거리 x 지점 전위는 $V=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Q}{\sqrt{R^2+x^2}}$이며, 두 고리의 전위를 중첩한다.

$V_a=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{Q}{R}-\dfrac{Q}{\sqrt{R^2+d^2}}\right)$, 대칭에 의해 $V_b=-V_a$
$V_a-V_b=2V_a=\dfrac{1}{2\pi\epsilon_0}\dfrac{Q}{R}\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{1+(d/R)^2}}\right)$

• 괄호 안이 덧셈인 식은 반대 부호 고리의 기여를 더한 것으로, 부호가 반대인 전하의 전위는 빼야 한다.
• 계수가 $\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}$인 식은 한 점의 전위일 뿐, 두 점의 전위차(2배)가 아니다.

충돌 후 B의 속력은 $\sqrt{3}\,v$이다.

A의 처음 방향을 +x로 두면 처음 운동량은 $mv-2mv=-mv$(x성분)이다. 충돌 후 A는 y방향으로만 움직이므로 운동량 보존에서 B의 성분은 $(-v,\,-v_1)$이다.

탄성 충돌이므로 운동 에너지 보존: $v^2+(2v)^2=v_1^2+(v^2+v_1^2)$ → $v_1^2=2v^2$
$v_2^2=v^2+v_1^2=3v^2$ → $v_2=\sqrt{3}\,v$

• $v$는 B의 x성분만 고려한 값이다.
• $\sqrt{2}\,v$는 A의 충돌 후 속력이다.
• $2v$는 B의 속력이 변하지 않는다고 본 값으로 에너지 보존과 맞지 않는다.