25년 1회차

C 구간에서 가한 에너지는 잠열이 아니라 물의 온도를 높이는 데 쓰인 열(비열에 의한 열)이므로 이 설명이 옳지 않다.

그래프에서 온도가 일정한 수평 구간(B, D)만 상전이가 일어나며 잠열이 흡수되고, 기울어진 구간(A, C, E)은 상전이 없이 온도만 상승한다.

• A 구간: 기울어진 첫 구간으로, 얼음이 －30 °C에서 녹는점 0 °C까지 가열되므로 옳다.
• B 구간: 0 °C에서 온도가 일정하게 유지되며 융해가 진행되므로 얼음과 물이 공존한다.
• E 구간: 기화가 끝난 뒤 수증기만 가열되는 구간이라 상전이 없이 온도가 오르므로 옳다.

탄성 퍼텐셜 에너지가 모두 운동 에너지로 바뀌므로 평형 위치에서의 속력은 1.0 m/s이다.

역학적 에너지 보존: $\dfrac{1}{2}kx^2 = \dfrac{1}{2}mv^2$

$v = x\sqrt{\dfrac{k}{m}} = 0.1\sqrt{\dfrac{200}{2.0}} = 0.1 \times 10 = 1.0\,\mathrm{m/s}$

• 2.0 m/s이면 운동 에너지가 4 J로, 용수철에 저장된 1 J보다 커서 에너지 보존에 어긋난다.
• 3.0 m/s, 4.0 m/s도 같은 이유로 저장된 탄성 에너지로는 낼 수 없는 속력이다.

비저항으로 도선의 저항을 구해 옴의 법칙을 적용하면 전류는 250 A이다.

단면적 환산: $5\,\mathrm{mm^2}=5\times10^{-6}\,\mathrm{m^2}$
저항: $R=\rho\dfrac{L}{A}=\dfrac{(2\times10^{-8})(1)}{5\times10^{-6}}=4\times10^{-3}\,\Omega$

전류: $I=\dfrac{V}{R}=\dfrac{1}{4\times10^{-3}}=250\,\mathrm{A}$

• 150 A — 저항이 약 6.7 mΩ일 때의 값으로, 계산된 저항과 맞지 않는다.
• 200 A — 저항이 5 mΩ일 때의 값으로, 단면적 단위 환산을 다시 확인해야 한다.
• 300 A — 저항이 약 3.3 mΩ일 때의 값으로, 계산된 저항보다 작게 잡은 결과이다.

한 순환에서 방출한 열은 7.5 kJ, 걸리는 시간은 0.5 s이다.

한 순환의 일: $W=eQ_H=0.25\times10=2.5\,\mathrm{kJ}$
방출열: $|Q_L|=Q_H-W=10-2.5=7.5\,\mathrm{kJ}$

시간: $\Delta t=\dfrac{W}{P}=\dfrac{2500}{5000}=0.5\,\mathrm{s}$

• 8.0 kJ·0.4 s 조합 — 효율을 20 %로 본 값으로, 일 2.0 kJ에 해당해 주어진 조건과 맞지 않는다.
• 7.5 kJ·0.4 s 조합 — 방출열은 맞지만 시간은 한 순환의 일 2.5 kJ를 일률로 나눠야 하므로 0.5 s이다.
• 8.0 kJ·0.5 s 조합 — 시간은 맞지만 방출열은 흡수열에서 일을 뺀 값이므로 7.5 kJ이다.

음원이 관측자에게서 멀어지므로 진동수가 낮아져 관측자는 700 Hz를 듣는다.

음원 이동 도플러 공식: $f'=f\dfrac{v}{v+v_s}$
대입: $f'=800\times\dfrac{350}{350+50}=700\,\mathrm{Hz}$

운전자는 음원과 함께 움직이므로 상대운동이 없어 원래 진동수를 듣는다.

• 750 Hz — 진동수가 낮아지는 방향은 맞지만 공식으로 계산한 값보다 덜 낮아진 값이다.
• 800 Hz — 상대운동이 없는 운전자가 듣는 진동수로, 정지한 관측자에게는 해당하지 않는다.
• 850 Hz — 진동수가 높아지는 것은 음원이 다가올 때의 경향이다.

1시간 20분은 반감기 4회이므로 활성도는 처음의 1/16인 $2.0\times10^{13}\,\mathrm{Bq}$이다.

반감기 횟수: $n=\dfrac{80}{20}=4$
활성도: $A=A_0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}=\dfrac{3.2\times10^{14}}{16}=2.0\times10^{13}\,\mathrm{Bq}$

• $1.0\times10^{13}$ Bq — 반감기 5회(100분)가 지난 뒤의 값이다.
• $8.0\times10^{13}$ Bq — 반감기 2회(40분)가 지난 뒤의 값이다.
• $1.6\times10^{14}$ Bq — 반감기 1회(20분)가 지난 뒤의 값이다.

그래프의 파동 함수는 우물 안에 반파장이 3개 들어 있는 n = 3 상태이므로 에너지는 $\dfrac{9h^2}{8mL^2}$이다.

무한 퍼텐셜 우물의 에너지 준위는 $E_n = \dfrac{n^2h^2}{8mL^2}$이며, 양 끝을 제외한 마디가 2개이므로 n = 3이다.

$E_3 = \dfrac{3^2h^2}{8mL^2} = \dfrac{9h^2}{8mL^2}$

• $\dfrac{h^2}{8mL^2}$는 마디가 없는 바닥상태(n = 1)의 에너지이다.
• $\dfrac{h^2}{2mL^2}$는 n = 2 상태의 에너지로, 반파장 2개인 파동 함수에 해당한다.
• $\dfrac{h^2}{mL^2}$는 $8 = n^2$이 되어야 하므로 정수 n에 대응하지 않는다.

미끄러지는 물체에는 운동마찰력이 운동 반대 방향으로 작용하므로 가속도는 $g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)$이다.

경사면 방향 운동방정식: $ma=mg\sin\theta-\mu_k mg\cos\theta$
정리: $a=g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)$

• 정지마찰계수로 마찰을 더한 식 — 정지마찰은 정지 상태에만 적용되고, 마찰은 운동을 방해하므로 더할 수 없다.
• 운동마찰계수로 마찰을 더한 식 — 마찰이 미끄러지는 운동을 돕는다고 본 것으로 방향이 반대이다.
• 정지마찰계수로 마찰을 뺀 식 — 이미 미끄러지는 중이므로 운동마찰계수를 써야 한다.

그래프에서 A(2, 2), B(1, 1), C(3, 0)을 읽어 질량 가중 평균을 구하면 질량 중심은 (2.1, 1.2)이다.

$x_{\mathrm{cm}} = \dfrac{5.0 \times 2 + 2.0 \times 1 + 3.0 \times 3}{10} = \dfrac{21}{10} = 2.1$

$y_{\mathrm{cm}} = \dfrac{5.0 \times 2 + 2.0 \times 1 + 3.0 \times 0}{10} = \dfrac{12}{10} = 1.2$

• (2.0, 1.0)은 세 점의 단순 평균(기하학적 중심)으로, 질량 차이를 반영하지 않았다.
• (2.0, 1.4)는 x, y 모두 질량 가중 계산 결과와 다르다.
• (2.1, 1.4)는 x는 맞지만 y 좌표가 가중 평균 1.2와 다르다.

매질 속 빛의 속력은 굴절률에 반비례하므로, 굴절률이 2배가 되면 걸리는 시간도 2배가 된다.

빛의 속력: $v=\dfrac{c}{n}$
이동 시간: $t=\dfrac{L}{v}=\dfrac{nL}{c}$이므로 $t\propto n$

• $\dfrac{t}{2}$ — 굴절률이 커지면 빛이 빨라진다고 본 것으로, 실제로는 속력이 감소한다.
• $\dfrac{t}{\sqrt{2}}$ — 시간은 굴절률에 정비례하며 줄어들지 않는다.
• $\sqrt{2}\,t$ — 증가 방향은 맞지만 시간은 굴절률의 제곱근이 아니라 굴절률에 정비례한다.

정지에서 출발한 등각가속도 회전의 회전각은 평균 각속도와 시간의 곱이므로 15 rad이다.

각가속도: $\alpha=\dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}=\dfrac{30}{1}=30\,\mathrm{rad/s^2}$
회전각: $\theta=\dfrac{1}{2}\alpha t^2=\dfrac{1}{2}\times30\times1^2=15\,\mathrm{rad}$

• 20 rad — 처음 각속도가 10 rad/s였을 때의 값으로, 정지에서 출발한 조건과 맞지 않는다.
• 25 rad — 처음 각속도가 20 rad/s였을 때의 값으로, 역시 조건과 맞지 않는다.
• 30 rad — 처음부터 30 rad/s로 돌았다고 본 값으로, 평균 각속도는 15 rad/s이다.

외부 토크가 없으므로 각운동량은 일정하고, 관성모멘트가 절반이 되면 회전운동에너지는 2배가 된다.

각운동량 보존: $I\omega=\dfrac{1}{2}I\omega'$에서 $\omega'=2\omega$
에너지: $K=\dfrac{L^2}{2I}$이고 $L$이 일정하므로 $K'=\dfrac{L^2}{2(I/2)}=2K$

• 각운동량이 증가한다는 진술 — 외부 토크가 없으면 각운동량은 보존되므로 옳지 않다.
• 회전운동에너지가 4배가 된다는 진술 — 각속도는 2배지만 관성모멘트가 절반이므로 $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{I}{2}(2\omega)^2=2\cdot\dfrac{1}{2}I\omega^2$, 즉 2배이다.

경사면 위 용수철 진동의 주기는 경사각·중력과 무관하게 질량과 용수철 상수만으로 정해지는 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$이다.

평형점에서 $kx_0=mg\sin\theta$로 중력 성분이 상쇄된다.
평형점에서 $x$만큼 벗어나면 알짜힘은 $F=-k(x_0+x)+mg\sin\theta=-kx$

따라서 $\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$이고 $T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$이다.

• $2\pi\sqrt{l/g}$ — 실에 매단 단진자의 주기로, 용수철 진동에는 해당하지 않는다.
• $2\pi\sqrt{m\sin\theta/k}$ — 경사각은 평형 위치만 바꿀 뿐 복원력의 비례상수는 그대로 $k$이다.
• $2\pi\sqrt{l\sin\theta/g}$ — 용수철의 길이와 중력으로 주기를 정한 식으로, 용수철 상수가 결정하는 진동과 무관하다.

정삼각형의 한 면에 수직 입사한 빛은 다른 면에 입사각 60°로 도달하므로, 임계각이 60°가 되는 굴절률 $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$이다.

첫 면에서는 수직 입사라 꺾이지 않고 직진하며, 두 면이 이루는 각이 60°이므로 둘째 면에서의 입사각도 60°이다.

임계각 조건: $\sin\theta_c=\dfrac{1}{n}$
대입: $n=\dfrac{1}{\sin60^\circ}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$

• $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ — 역수를 취하지 않은 값으로, 1보다 작아 전반사가 일어날 수 없다.
• $\dfrac{1}{2}$ — 1보다 작은 굴절률이므로 공기 쪽으로의 전반사가 불가능하다.
• 굴절률 2 — 임계각 30°에 해당하는 값으로, 입사각 60°와 맞지 않는다.

상대론적 운동에너지 $K=(\gamma-1)mc^2$에서 A는 $\gamma=2$, B는 $\gamma=3$이므로 비는 1/2이다.

A: $\gamma_{\mathrm{A}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-3/4}}=2$, $K_{\mathrm{A}}=mc^2$
B: $\gamma_{\mathrm{B}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-8/9}}=3$, $K_{\mathrm{B}}=2mc^2$

따라서 $\dfrac{K_{\mathrm{A}}}{K_{\mathrm{B}}}=\dfrac{1}{2}$이며, 운동에너지는 전체에너지에서 정지에너지를 뺀 값임에 유의한다.

• $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ — 운동에너지 비는 정수 1과 2의 비이므로 무리수가 나올 수 없다.
• $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ — 마찬가지로 $(\gamma-1)$의 비에서 얻어지지 않는 값이다.
• $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ — A의 속력을 빛의 속력으로 나눈 값일 뿐 에너지 비가 아니다.

도체 바깥 표면 S에는 공동 속 전하의 합과 같은 －q가 대전된다.

도체 내부 전기장이 0이므로 각 공동의 내벽에는 넣은 전하와 크기가 같고 부호가 반대인 전하(A 내벽 －2q, B 내벽 +3q)가 유도된다. 도체 전체가 전기적으로 중성이므로 바깥면에는 $0 - (-2q + 3q) = -q$가 남는다.

• +2q는 A 공동의 전하만 고려하고 B 공동의 전하를 빠뜨린 값이다.
• +q는 내벽 유도 전하의 합으로, 바깥면 전하와 부호가 반대이다.
• 0은 내부 전하의 합이 0이 아니므로 성립하지 않는다.

운동량 보존으로 구한 비행사의 속력은 2 m/s이므로, 1분 동안 이동한 거리 $L=120\,\mathrm{m}$이다.

던진 뒤 비행사는 80 kg, 산소통은 20 kg이고 처음에 정지해 있었으므로 $80v_1=20v_2$, 즉 $v_2=4v_1$
상대속도 조건: $v_1+v_2=10$에서 $5v_1=10$, $v_1=2\,\mathrm{m/s}$

거리: $L=v_1t=2\times60=120\,\mathrm{m}$

• 60 m — 비행사 속력을 1 m/s로 본 값으로, 운동량 보존 결과와 맞지 않는다.
• 80 m — 속력 약 1.3 m/s에 해당하는 값으로, 계산된 속력과 맞지 않는다.
• 100 m — 비행사 질량을 던지기 전 값으로 잡는 등 질량을 잘못 적용한 결과로, 던진 뒤 비행사 질량은 80 kg이다.

단열 용기에서 일도 열도 주고받지 않으므로 내부 에너지가 보존되고, 평형 온도는 3T이다.

단원자 이상기체의 내부 에너지는 $U = \dfrac{3}{2}nRT = \dfrac{3}{2}PV$이다. A에서 $P_AV = RT$이므로 $PV$ 합은 $1 \times V + 4 \times 2V = 9V = 9RT$이다.

섞인 뒤 $\dfrac{3}{2}(3\,\mathrm{mol})RT_f = \dfrac{3}{2}(9RT)$ 이므로 $T_f = 3T$이다.

• T는 A 기체의 처음 온도로, B 기체의 온도가 4T로 더 높다는 점을 무시한 값이다.
• 2T는 내부 에너지 보존으로 구한 평형 온도보다 낮아, 에너지가 보존되지 않는 결과가 된다.
• 4T는 B 기체의 처음 온도로, 온도가 낮은 A 기체와 섞여 내려간다는 점을 반영하지 않았다.

유전체에 접한 면 b의 전하 밀도가 진공에 접한 면 a보다 더 높다는 설명이 옳다.

유전체가 판 면적의 절반을 채우므로 A와 B는 같은 전위차 V, 같은 간격 d를 갖는 병렬 연결이다. 따라서 두 영역의 전기장은 $E = \dfrac{V}{d}$로 같고, 면전하 밀도는 $\sigma = \epsilon E$이므로 유전율이 큰 b 쪽이 더 크다.

• A와 B의 전기장은 모두 $\dfrac{V}{d}$로 같으므로 A가 더 작다는 설명은 틀리다.
• 유전체를 제거하면 B 영역의 용량이 진공 값으로 줄어 전체 용량은 감소한다.
• 저장 에너지 $U = \dfrac{1}{2}CV^2$는 전위차의 제곱에 비례하므로 전위차를 2배로 하면 4배가 된다.

진동수가 커지면 용량 리액턴스가 작아지므로 축전기 전압의 진폭은 감소한다는 설명이 옳다.

전원 진폭을 $V_0$라 하면 $V_C = \dfrac{V_0 X_C}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$, $X_C = \dfrac{1}{\omega C}$이다. 진동수가 증가하면 $X_C$가 줄어 $V_C$는 감소하고, 전류 진폭이 커져 $V_R$은 증가한다.

• 저항 전압은 $V_R = \dfrac{V_0 R}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$로 진동수에 따라 변하므로 항상 일정하지 않다.
• 두 전압은 $X_C = R$인 특정 진동수에서만 같아지고, 진동수와 무관하게 같지 않다.
• 축전기 전압(전하)은 전류보다 위상이 90° 늦으므로 전류가 최대인 순간 축전기의 전하량은 0이다.