21년 1회차

출력전압은 $V_o=-14\,\mathrm{V}$이다.

비반전 단자는 $V_b$를 5 Ω과 1 Ω으로 분압한 값이다.
$V_+=6\times\dfrac{1}{5+1}=1\,\mathrm{V}$

가상단락으로 $V_-=1\,\mathrm{V}$이고, 반전 단자에서 KCL을 세운다.
$\dfrac{2-1}{4}+\dfrac{6-1}{2}+\dfrac{0-1}{4}+\dfrac{V_o-1}{6}=0$
$\dfrac{V_o-1}{6}=-2.5\;\Rightarrow\;V_o=-14\,\mathrm{V}$

• +14 V: 부호가 반대다. 입력 쪽에서 반전 단자로 순유입 전류가 있으므로 출력은 음이어야 한다.
• −5 V: 반전 단자 KCL을 만족하지 않는다.
• +5 V: 부호와 크기 모두 KCL 결과와 다르다.

입력과 전달함수를 라플라스 영역에서 곱해 부분분수로 풀면 출력은 $(e^{-3t}-e^{-4t})u(t)$이다.

전달함수 $H(s)=\dfrac{1}{s+4}$, 입력 $V_i(s)=\dfrac{1}{s+3}$
$V_o(s)=\dfrac{1}{(s+3)(s+4)}=\dfrac{1}{s+3}-\dfrac{1}{s+4}$

역변환하면 $v_o(t)=(e^{-3t}-e^{-4t})u(t)$이며, $t=0$에서 0으로 시작하는 안정한 응답이다.

• $(e^{3t}+e^{4t})u(t)$는 지수가 양수인 발산 응답이라 안정한 입력·전달함수에서 나올 수 없다.
• $(e^{3t}-e^{4t})u(t)$도 극점을 우반면으로 잘못 잡은 발산 응답이다.
• $(e^{-3t}+e^{-4t})u(t)$는 부분분수의 부호를 잘못 둔 것이다.

최대전력 전달 조건은 $R_L=R_{Th}=120\,\Omega$이다.

전압원은 단락, 전류원은 개방하고 부하 단자에서 본 테브난 등가저항을 구한다.
$100\parallel400=80\,\Omega$
$R_{Th}=(80+120+40)\parallel240=240\parallel240=120\,\Omega$

• 100 Ω: 등가저항 120 Ω보다 작아 정합되지 않는다.
• 150 Ω: 등가저항 120 Ω보다 커서 정합되지 않는다.
• 180 Ω: 등가저항 120 Ω보다 커서 정합되지 않는다.

복소전력의 절댓값은 피상전력과 같지 않다는 설명이 옳지 않다.

복소전력 $S=P+jQ=V_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}^{*}$이고, 그 크기 $|S|=V_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}$가 바로 피상전력이다.

• 평균전력은 1주기 동안 순시전력을 평균한 값으로 정의된다.
• 저항의 순시전력은 항상 0 이상이고, L·C는 에너지를 저장했다가 되돌려주므로 평균전력이 0이다.
• 전압·전류 위상차가 역률각이며, 역률은 그 코사인값이다.

극점은 $p=-2$(중근)이다.

RL 직렬가지와 커패시터가 전류원에 병렬이므로 전류분배를 쓴다.
$Z_{RL}=s+4,\quad Z_C=\dfrac{1}{0.25s}=\dfrac{4}{s}$

$H(s)=\dfrac{Z_{RL}}{Z_{RL}+Z_C}=\dfrac{s(s+4)}{s^2+4s+4}=\dfrac{s(s+4)}{(s+2)^2}$

• −4: 분자 $s+4$가 0이 되는 영점이지 극점이 아니다.
• +1: 분모 $(s+2)^2$의 근이 아니다.
• +2: 부호가 반대다. 수동 RLC 회로의 극점은 좌반면에 있다.

부하 인덕턴스는 $L=\dfrac{9}{5}\,\mathrm{H}$이다.

전원을 제거하면 전원측 임피던스는 30 Ω과 커패시터의 병렬이다($\omega=5$).
$Z_C=\dfrac{1}{j5\times0.02}=-j10\,\Omega$
$Z_{Th}=\dfrac{30(-j10)}{30-j10}=3-j9\,\Omega$

최대 평균전력은 공액정합 $Z_L=Z_{Th}^*=3+j9$일 때이므로
$\omega L=9\;\Rightarrow\;L=\dfrac{9}{5}\,\mathrm{H}$

• 9 H: 리액턴스 9 Ω을 $\omega$로 나누지 않은 값이다.
• −9/5 H: 전원측 용량성 리액턴스 부호를 그대로 옮긴 값으로, 인덕턴스는 음수가 될 수 없다.
• −9 H: 부호와 $\omega$ 나눗셈을 모두 빠뜨린 값이다.

전달함수는 $H(s)=\dfrac{1}{2s^3+4s^2+4s+2}$이다.

출력 쪽부터 거꾸로 전류·전압을 쌓아 간다(사다리 회로 역산).
$I_L=V_o(s+1)$
$V_1=V_o+2s\,I_L=V_o(2s^2+2s+1)$

$I_s=I_L+sV_1=V_o(2s^3+2s^2+2s+1)$
$V_s=I_s+V_1=V_o(2s^3+4s^2+4s+2)$

• 상수항 1인 식: 상수항은 $1+1=2$가 되어야 한다.
• $s^2$항이 빠진 식: $2s^2+2s^2=4s^2$항이 존재한다.
• $s^3$ 계수 4인 식: 최고차항은 $s\cdot2s^2=2s^3$뿐이다.

전류는 $I_1=5\,\mathrm{A},\;I_2=1\,\mathrm{A}$이다.

$I_2$가 포트 2에서 나가는 방향이므로 z 파라미터 식은
$V_1=6I_1-4I_2,\quad V_2=4I_1-6I_2$

두 노드에서 KCL을 세운다.
$\dfrac{48-V_1}{2}=I_1+\dfrac{V_1-V_2}{2},\quad I_2+\dfrac{V_1-V_2}{2}=\dfrac{V_2}{2}$
연립하면 $I_1=5,\;I_2=1$이며 이때 $V_1=26\,\mathrm{V},\;V_2=14\,\mathrm{V}$로 두 식이 성립한다.

• 6 A, 3 A: $V_1=24,\;V_2=6$이 되어 첫 노드 KCL(12 ≠ 15)을 만족하지 않는다.
• 4 A, 2 A: $V_1=16,\;V_2=4$가 되어 첫 노드 KCL(16 ≠ 10)을 만족하지 않는다.
• 3 A, 5 A: $V_1=-2$가 되어 노드 방정식과 맞지 않는다.

전류는 $I=4\,\mathrm{mA}$이다.

오른쪽 노드 전압을 $V_2$라 하면 $V_2=1000I_x$, 왼쪽 노드는 종속전압원으로 $V_1=2000I_x=2V_2$이다.

오른쪽 노드 KCL: $I+4\,\mathrm{mA}=I_x$
$\dfrac{V_2}{2000}+0.004=\dfrac{V_2}{1000}\;\Rightarrow\;V_2=8\,\mathrm{V}$
$I=\dfrac{2V_2-V_2}{2000}=4\,\mathrm{mA}$

• 8 mA: $I_x$의 값으로, 구하는 전류가 아니다.
• 5 mA: KCL $I+4=I_x$를 만족하지 않는다.
• 3 mA: KCL $I+4=I_x$를 만족하지 않는다.

1차 전류는 $i_1(t)=8\sin3t\,\mathrm{A}$이다.

2차측 부하는 $5+(12\parallel6)=5+4=9\,\Omega$이고, 이상변압기 1:3으로 1차측에 권수비의 제곱으로 나누어 반사된다.
$Z_{ref}=\dfrac{9}{3^2}=1\,\Omega$

$i_1=\dfrac{24}{2+1}\sin3t=8\sin3t$ (점 극성은 크기에 영향이 없다)

• 4.8 sin3t: 권수비를 제곱하지 않고 $9/3=3\,\Omega$으로 반사해 $24/5$를 얻은 값이다.
• 4 sin3t: 1차측 합성 임피던스가 6 Ω일 때의 값으로, 실제 합성값 3 Ω과 다르다.
• sin3t: 1차측 합성 임피던스가 24 Ω일 때의 값으로, 실제 합성값 3 Ω과 다르다.

테브난 임피던스는 $Z_{TH}=1\,\Omega$이다.

독립 전압원 두 개를 단락하면 출력 단자에서 두 가지가 병렬로 보인다.
$Z_{TH}=(1+j)\parallel(1-j)=\dfrac{(1+j)(1-j)}{2}=\dfrac{2}{2}=1$

• $1+j$: 왼쪽 직렬가지 하나만 본 값이다.
• $1-j$: 오른쪽 가지 하나만 본 값이다.
• $j$: 병렬 합성 결과는 순수 실수이다.

분모를 인수분해해 부분분수로 전개하면 $v(t)=5e^{-4t}+2e^{-7t}$이다.

$s^2+11s+28=(s+4)(s+7)$
$V(s)=\dfrac{A}{s+4}+\dfrac{B}{s+7}$

$A=\left.\dfrac{7s+43}{s+7}\right|_{s=-4}=\dfrac{15}{3}=5$
$B=\left.\dfrac{7s+43}{s+4}\right|_{s=-7}=\dfrac{-6}{-3}=2$

• $7e^{-3t}+3e^{-8t}$는 극점을 $-3,\ -8$로 잘못 잡았다.
• $5e^{-3t}+2e^{-8t}$도 극점이 $-4,\ -7$과 맞지 않는다.
• $7e^{-4t}+3e^{-7t}$는 극점은 맞지만 계수가 유수 계산 결과와 다르다.

전체 유효전력이 $320\sqrt{3}\,\mathrm{W}$라는 설명이 옳지 않다(실제 960 W).

Δ결선은 상전압 = 선간전압 = 200 V, $|Z|=\sqrt{80^2+60^2}=100\,\Omega$
상전류 $I_p=\dfrac{200}{100}=2\,\mathrm{A}$

$P=3I_p^2R=3\times4\times80=960\,\mathrm{W}$
$Q=3I_p^2X=3\times4\times60=720\,\mathrm{VAR}$

• 부하 상전류는 2 A로 맞다.
• 역률 $\cos\theta=\dfrac{80}{100}=0.8$로 맞다.
• 전체 무효전력 720 VAR도 3상 합으로 맞다.

소모 전력은 $p(t)=0.1e^{-2\times10^6t}\,\mathrm{W}$이다.

$t<0$ 정상상태에서 인덕터는 단락이므로 10 mA가 모두 인덕터로 흐른다: $i_L(0)=10\,\mathrm{mA}$

스위치가 B로 가면 인덕터와 1 kΩ만의 RL 회로가 된다.
$\tau=\dfrac{L}{R}=\dfrac{10^{-3}}{10^3}=10^{-6}\,\mathrm{s},\quad i(t)=0.01e^{-10^6t}$
$p=i^2R=10^{-4}\times10^3e^{-2\times10^6t}=0.1e^{-2\times10^6t}$

• $0.1e^{-10^6t}$: 전류를 제곱하면 지수도 두 배가 되어야 한다.
• $10e^{-10^6t}$: 저항 전압 $v(t)=Ri(t)$이며 전력이 아니다.
• $10e^{-2\times10^6t}$: 계수가 전압 초깃값 크기로, 전력 계수 0.1과 다르다.

소자값은 $C_2=4\,\mu\mathrm{F},\;R_1=500\,\Omega$이다.

반전 증폭기이므로 $H(s)=-\dfrac{Z_2}{Z_1}$이고 $Z_k=\dfrac{R_k}{1+sR_kC_k}$를 대입하면
$H(s)=-\dfrac{C_1}{C_2}\cdot\dfrac{s+1/(R_1C_1)}{s+1/(R_2C_2)}$

계수 비교: $\dfrac{C_1}{C_2}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow C_2=4\,\mu\mathrm{F}$
$\dfrac{1}{R_1C_1}=1000\Rightarrow R_1=\dfrac{1}{1000\times2\times10^{-6}}=500\,\Omega$

• 2 μF, 600 Ω: $C_1/C_2=1$이 되어 계수 1/2과 맞지 않는다.
• 1 μF, 200 Ω: $C_1/C_2=2$이 되어 계수 1/2과 맞지 않는다.
• 2 μF, 500 Ω: 영점은 맞지만 $C_1/C_2=1$이라 계수가 맞지 않는다.

5 Ω 양단 전압은 $v=10\,\mathrm{V}$이다.

2 Ω 전류는 $i_x=\dfrac{v-11}{2}$이고, 종속전압원 오른쪽 노드는 $v+10i_x=6v-55$이다.

두 노드를 묶은 슈퍼노드 KCL:
$\dfrac{v-11}{2}+\dfrac{v}{5}+\dfrac{6v-55}{10}=2$
$13v=130\;\Rightarrow\;v=10\,\mathrm{V}$

• 7 V: 슈퍼노드 KCL을 만족하지 않는다.
• 8 V: 슈퍼노드 KCL을 만족하지 않는다.
• 9 V: 슈퍼노드 KCL을 만족하지 않는다.

전류는 $I=\dfrac{5}{2}-j\dfrac{3}{2}\,\mathrm{A}$이다.

전압원 양쪽 노드를 $V_A$, $V_B$라 하면 $V_B=V_A+6$이다. 둘을 슈퍼노드로 묶는다.
$2=\dfrac{V_B-6}{1+j}+\dfrac{V_B}{1}+\dfrac{V_B}{1-j}$

$\dfrac{1}{1+j}=\dfrac{1-j}{2},\;\dfrac{1}{1-j}=\dfrac{1+j}{2}$이므로
$2V_B-3(1-j)=2\;\Rightarrow\;V_B=\dfrac{5-j3}{2}$
$I=\dfrac{V_B}{1}=\dfrac{5}{2}-j\dfrac{3}{2}$

• $-\dfrac{5}{2}+j\dfrac{3}{2}$: 전류 방향(부호)이 반대다.
• $-\dfrac{3}{2}+j\dfrac{5}{2}$: 실수부·허수부가 계산 결과와 다르다.
• $\dfrac{3}{2}-j\dfrac{5}{2}$: 실수부와 허수부 크기가 뒤바뀌었다.

전압이득은 $\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{5}{4}$이다.

브리지 왼쪽 꼭짓점이 접지이고 오른쪽 꼭짓점은 $V_1$이다. 아래 꼭짓점은 10 kΩ 두 개의 분압으로 $V_+=\dfrac{V_1}{2}$, 가상단락으로 $V_-=\dfrac{V_1}{2}$이다.

위 꼭짓점 KCL:
$\dfrac{0-V_1/2}{1}+\dfrac{V_1-V_1/2}{4}+\dfrac{V_2-V_1/2}{2}=0$
$2V_2=2.5V_1\;\Rightarrow\;\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{5}{4}$

• 2/4: KCL 결과보다 작다.
• 3/4: KCL 결과보다 작다.
• 4/4: KCL 결과보다 작다.

출력은 $V_o(s)=\dfrac{20}{s}-\dfrac{40}{2s+5}$이다.

윗노드 전압 $V_A=(2s+2)I_x$, 종속원 가지 전류는 $\dfrac{V_A-2I_x}{5}=\dfrac{2s}{5}I_x$이다.
KCL: $\dfrac{10}{s}=I_x\left(1+\dfrac{2s}{5}\right)\Rightarrow I_x=\dfrac{50}{s(2s+5)}$

$V_o=2I_x=\dfrac{100}{s(2s+5)}$를 부분분수로 나누면
$\dfrac{100}{s(2s+5)}=\dfrac{20}{s}-\dfrac{40}{2s+5}$

• $\dfrac{25}{s}+\dfrac{25}{s+4}$: 최종값이 25 V로, DC 정상상태 $v_o=2\times10=20\,\mathrm{V}$와 다르다.
• $\dfrac{25}{s}+\dfrac{25}{s-4}$: 최종값도 다르고 우반면 극점은 발산한다.
• $\dfrac{20}{s}-\dfrac{40}{2s-5}$: 극점이 $s=+2.5$로 부호가 반대다.

상호 인덕턴스는 $M=2\,\mathrm{H}$이다.

$I_1$은 점 단자로, $I_2$는 점이 없는 단자로 들어가므로 상호 항의 부호가 음이다. T 등가회로의 공통가지 임피던스는 $-j\omega M$이 된다.

공통가지는 0.5 F 커패시터: $\dfrac{1}{j\times1\times0.5}=-j2$
$-j\omega M=-j2\;\Rightarrow\;M=2\,\mathrm{H}$ (이때 $L_a=3+2=5$, $L_b=6+2=8$)

• −2 H: 점 극성 부호를 M 자체에 넣은 값으로, 상호 인덕턴스 크기는 양수다.
• 0.5 H: 커패시턴스 값을 그대로 옮긴 값이다.
• 3 H: 1차 자기 인덕턴스 값이다.

저항은 $R_3=4\,\Omega$이다.

π형 회로의 ABCD 파라미터:
$B=R_2,\quad D=1+\dfrac{R_2}{R_1},\quad C=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_3}+\dfrac{R_2}{R_1R_3}$

$B=10\Rightarrow R_2=10$, $D=6\Rightarrow R_1=2$
$C=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{R_3}+\dfrac{5}{R_3}=2\Rightarrow R_3=4\,\Omega$

• 2 Ω: $R_1$의 값이다.
• 6 Ω: D 파라미터 값으로, 대입하면 $C=1.5\,\mathrm{S}$가 된다.
• 3 Ω: 대입하면 $C=2.5\,\mathrm{S}$가 된다.

출력전압은 $v_o=6v_1+2v_2$이다.

첫 단은 반전 증폭기: $v_{o1}=-\dfrac{30}{10}v_1=-3v_1$

둘째 단의 비반전 입력은 분압값 $v_+=\dfrac{2}{1+2}v_2=\dfrac{2}{3}v_2$이다. 중첩을 쓰면
$v_o=\left(1+\dfrac{20}{10}\right)\dfrac{2}{3}v_2-\dfrac{20}{10}(-3v_1)=2v_2+6v_1$

• $2v_1+4v_2$: 두 입력의 계수가 모두 다르다.
• $2v_1+6v_2$: 두 입력의 계수가 뒤바뀌었다.
• $4v_1+2v_2$: 첫 단 이득 −3에 둘째 단 이득 −2를 곱한 6이 되어야 한다.

전달컨덕턴스는 $g=\dfrac{1}{50}\,\mathrm{S}$이다.

입력측은 1 kΩ 두 개의 분압: $v_1=\dfrac{v_i}{2}$

종속전류원이 $gv_1$을 위 노드에서 끌어내므로 $v_o=-gR_Lv_1$
$\dfrac{v_o}{v_i}=-\dfrac{g\times5000}{2}=-50\;\Rightarrow\;g=\dfrac{1}{50}$

• $\dfrac{1}{100}$: 분압을 무시하고 $v_1=v_i$로 둔 값이다.
• $\dfrac{1}{25}$: 이득이 −100이 되어 조건과 다르다.
• $\dfrac{1}{75}$: 이득이 약 −33이 되어 조건과 다르다.

임펄스응답은 $H(s)=\dfrac{Y(s)}{X(s)}$를 역변환해 $10\delta(t)-40e^{-t}\sin4t\,u(t)$이다.

$X(s)=\dfrac{1}{s+1}$, $Y(s)=\dfrac{10(s+1)}{(s+1)^2+16}$
$H(s)=\dfrac{10(s+1)^2}{(s+1)^2+16}=10-\dfrac{160}{(s+1)^2+16}$

$\dfrac{160}{(s+1)^2+16}=40\cdot\dfrac{4}{(s+1)^2+4^2}$이므로 역변환은 $40e^{-t}\sin4t$이고, 상수항 10은 임펄스 $10\delta(t)$가 된다.

• $10\delta(t)-4e^{-2t}\cos4t\,u(t)$는 감쇠 지수가 $-1$이 아니고 사인항도 아니다.
• $\delta(t)-10e^{-2t}\cos4t\,u(t)$도 감쇠 지수와 임펄스 계수가 맞지 않는다.
• $\delta(t)-10e^{-t}\sin4t\,u(t)$는 상수항과 사인항 계수가 모두 작게 잡혔다.

전압은 $v(t)=18e^{-t}-2e^{-9t}\,\mathrm{V}$이다.

$t<0$ 정상상태: 인덕터 단락·커패시터 개방이므로 $i(0)=0$, $v(0)=24\times\dfrac{24}{12+24}=16\,\mathrm{V}$

$t>0$: 24 Ω·6 Ω·3 H·1/27 F의 직렬 RLC 무전원 회로.
$s^2+\dfrac{30}{3}s+\dfrac{1}{3\times\frac{1}{27}}=s^2+10s+9=0\Rightarrow s=-1,-9$

초기조건 $A+B=16$, $\dfrac{dv}{dt}(0)=\dfrac{i(0)}{C}=0\Rightarrow -A-9B=0$
$A=18,\;B=-2$

• $2e^{-t}-18e^{-9t}$: $v(0)=-16$이 되어 초깃값과 맞지 않는다.
• $-2e^{-t}+18e^{-9t}$: $v(0)=16$이지만 초기 기울기가 0이 아니다.
• $-18e^{-t}+2e^{-9t}$: $v(0)=-16$이 되어 초깃값과 맞지 않는다.