21년 1회차

서울의 25개 구를 모두 나누어 각 구 안에서 일정 수의 가구를 임의로 뽑았으므로 층화추출법이다.

각 구가 하나의 층(stratum) 역할을 하고, 모든 층에서 빠짐없이 표본을 뽑는다는 점이 핵심이다.

• 단순임의추출법: 구 구분 없이 서울 전체 가구 목록에서 한꺼번에 뽑는 방식이라 해당하지 않는다.
• 계통추출법: 목록에서 일정 간격마다 뽑는 방식이라 해당하지 않는다.
• 집락(군집)추출법: 일부 구(집락)만 뽑아 그 안을 조사하는 방식인데, 여기서는 모든 구에서 일부 가구를 뽑았다.

82.5는 제1 사분위수가 아니라 제3 사분위수에 해당하므로 옳지 않다.

정렬한 자료는 52, 63, 64, 67, 67, 68, 72, 73, 74, 76, 76, 76, 76, 78, 82, 83, 84, 84, 86, 90 이다.
하위 10개의 중앙(67과 68)으로 제1 사분위수는 67.5 부근이고, 상위 10개의 중앙(82와 83)이 82.5이다.

• 범위: 최댓값 90 − 최솟값 52 = 38 로 옳다.
• 중앙값: 20개 중 가운데 두 값이 모두 76 이므로 76 으로 옳다.
• 최빈값: 76 이 네 차례로 가장 많이 나타나 옳다.

주어진 식의 값은 90이다.

분자를 정리하면 $10\sum x_i^2-\left(\sum x_i\right)^2=10\left(\sum x_i^2-10\overline{x}^2\right)=10\sum(x_i-\overline{x})^2$

편차제곱합은 $\sum(x_i-\overline{x})^2=9s^2$ 이므로 분자는 $90s^2$, 따라서 비는 $90$이다.

• 9: 편차제곱합과 표본분산의 비(n − 1)만 남긴 값으로, 앞의 계수 10을 빠뜨렸다.
• 10: 계수 10만 반영하고 편차제곱합을 표본분산으로 바꾸는 단계를 빠뜨렸다.
• 100: 표본분산의 분모를 n − 1 이 아닌 n 으로 본 값이다.

자유도 5인 카이제곱분포는 오른쪽 꼬리가 긴 분포이므로 기댓값이 중앙값보다 크다.

자유도 $k$인 카이제곱분포는 평균 $k$, 분산 $2k$, 왜도 $\sqrt{8/k}\gt 0$인 양의 비대칭 분포이다.

• 왜도가 음수라는 설명: 왜도는 $\sqrt{8/5}$로 양수이다.
• 기댓값이 4라는 설명: 기댓값은 자유도와 같은 5이다.
• 분산이 5라는 설명: 분산은 자유도의 2배인 10이다.

지수분포의 무기억성에 의해 구하는 확률은 $e^{-1}$이다.

$P(X\gt 200\mid X\gt 100)=\dfrac{P(X\gt 200)}{P(X\gt 100)}=\dfrac{e^{-2}}{e^{-1}}=e^{-1}$

즉 이미 사용한 기간과 무관하게 새것이 100일 넘게 버틸 확률 $P(X\gt 100)=e^{-100/100}$과 같다.

• $e^{-1/2}$: 50일을 더 버틸 확률에 해당한다.
• $e^{-2}$: 조건을 무시하고 처음부터 200일을 버틸 확률을 구한 값이다.
• $e^{-3}$: 300일을 버틸 확률로, 조건과 맞지 않는다.

볼트가 들어가지 않을 확률은 $\Phi(-2)$이다.

볼트 지름 $X$, 너트 지름 $Y$라 하면 $D=X-Y\sim N(14-15,\ 0.3^2+0.4^2)=N(-1,\ 0.5^2)$

들어가지 않는 경우는 볼트 지름이 너트보다 큰 경우이므로
$P(D\gt 0)=P\left(Z\gt \dfrac{0-(-1)}{0.5}\right)=P(Z\gt 2)=1-\Phi(2)=\Phi(-2)$

• $\Phi(2)$: 볼트가 너트에 들어갈 확률(여사건)이다.
• $\Phi(-1)$: 표준편차 0.5로 나누지 않고 평균 차이만 쓴 값이다.
• $\Phi(1)$: 표준편차로 나누지 않은 채 들어갈 쪽 확률을 구한 값이다.

p－값은 $2P\left(T\ge \frac{8}{3}\right)$이다.

모분산을 모르는 정규모집단이므로 자유도 $16-1=15$인 $t$－검정을 쓴다.

$t=\dfrac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\dfrac{13-15}{3/4}=-\dfrac{8}{3}$, 양측검정이므로 $2P\left(T\ge \frac{8}{3}\right)$이다.

• 표준정규분포 $Z$를 쓴 두 표현: 모분산이 알려지지 않아 $t$－분포를 써야 한다.
• $2P\left(T\ge \frac{2\sqrt{15}}{3}\right)$: 표준오차 분모에 $\sqrt{16}$ 대신 $\sqrt{15}$를 쓴 값이다.

옳은 설명은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이며, 그림은 대립가설이 큰 쪽에 있는 우측 단측검정을 나타낸다.

그림에서 $f_1$이 $f_0$의 오른쪽에 있고 음영은 $c$ 오른쪽의 $f_0$ 꼬리이므로, 기각역은 $T \ge c$이고 음영 넓이는 $P(T \ge c \mid H_0) = \alpha$이다.

• 대립가설을 $H_1 : \mu \lt \mu_0$로 본 설명은 틀렸다. 대립가설 분포가 오른쪽에 있고 기각역도 오른쪽 꼬리이므로 $H_1 : \mu \gt \mu_0$이다.
• 음영 넓이가 $\alpha$라는 설명은 옳다. 귀무가설 분포에서 임곗값 오른쪽 넓이가 곧 제1종 오류 확률이다.
• $f_1$이 우측으로 이동하면 검정력이 커진다는 설명은 옳다. 검정력 $P(T \ge c \mid H_1)$는 $f_1$의 $c$ 오른쪽 넓이이므로 분포가 오른쪽으로 갈수록 커진다.
• 관측 통계량이 $c$일 때 음영 넓이가 p-값이라는 설명은 옳다. p-값은 $P(T \ge t_{obs} \mid H_0)$이고 $t_{obs} = c$이면 음영 넓이와 같다.

$t$－분포의 제95 백분위수는 표준정규분포의 것보다 크다. 따라서 작다는 설명이 옳지 않다.

$t$－분포는 표준정규분포보다 꼬리가 두꺼워 같은 상위 확률을 갖는 점이 더 바깥쪽에 있다.

• 두 분포 모두 평균 0을 중심으로 대칭이라는 설명은 옳다.
• $t$－분포의 분산 $\dfrac{r}{r-2}$는 $r\gt 2$에서 1보다 크므로 옳다.
• 자유도가 커지면 $t$－분포가 표준정규분포로 수렴한다는 설명은 옳다.

$\mu=4$에서의 검정력은 양쪽 기각역 확률의 합 $1-\Phi(\sqrt{10}+z_{\alpha/2})+\Phi(\sqrt{10}-z_{\alpha/2})$이다.

검정통계량 $Z_0=\sqrt{10}(\overline{X}-5)$, 기각역은 $|Z_0|\ge z_{\alpha/2}$이다.
$\mu=4$이면 $Z_0=Z-\sqrt{10}$ ($Z\sim N(0,1)$)이다.

오른쪽: $P(Z\ge \sqrt{10}+z_{\alpha/2})=1-\Phi(\sqrt{10}+z_{\alpha/2})$
왼쪽: $P(Z\le \sqrt{10}-z_{\alpha/2})=\Phi(\sqrt{10}-z_{\alpha/2})$
두 확률을 더한 것이 검정력이다.

• $\Phi(\sqrt{10}-z_{\alpha/2})$만 쓴 표현: 왼쪽 기각역만 반영해 양측검정의 오른쪽 기각역을 빠뜨렸다.
• $1-\Phi(\sqrt{10}-z_{\alpha/2})$: 왼쪽 기각역의 여사건으로, 검정력이 아니다.
• $\Phi(\sqrt{10}+z_{\alpha/2})+\Phi(\sqrt{10}-z_{\alpha/2})$: 오른쪽 기각역 확률을 $1-\Phi$가 아닌 $\Phi$로 잘못 썼다.

아메리카노가 한 개 이하일 확률은 $\frac{5}{7}$이다.

전체 경우의 수: $\binom{7}{2}=21$
아메리카노 0개: $\binom{3}{2}=3$, 1개: $\binom{4}{1}\binom{3}{1}=12$

따라서 $\dfrac{3+12}{21}=\dfrac{15}{21}=\dfrac{5}{7}$이다. 여사건(아메리카노 2개) $\frac{6}{21}$을 1에서 빼도 같다.

• $\frac{6}{7}$: 아메리카노가 한 개 이상일 확률 $\frac{18}{21}$로, 조건을 반대로 본 값이다.
• $\frac{5}{8}$: 분모 21로 나올 수 없는 값이다.
• $\frac{3}{4}$: 분모 21로 나올 수 없는 값이다.

구하는 조건부 확률은 $\frac{3}{8}$이다.

고지혈증 유 확률: $0.10+0.10+0.02+0.10=0.32$
고혈압 무이면서 고지혈증 유: $0.02+0.10=0.12$

$\dfrac{0.12}{0.32}=\dfrac{3}{8}$

• $\frac{5}{16}$: 고혈압 유·당뇨병 유 한 칸(0.10)만 분자로 쓴 값이다.
• $\frac{7}{16}$: 분자 0.12, 분모 0.32의 비와 맞지 않는다.
• $\frac{11}{16}$: 분자 0.12, 분모 0.32의 비와 맞지 않는다.

독립이면 두 지역의 찬성 대 반대 비가 같아야 하므로 (가)는 21이다.

독립이면 각 지역의 찬성 비율이 같으므로 $\dfrac{25}{15}=\dfrac{35}{x}$

$x=\dfrac{35\times 15}{25}=21$

• 10: 지역 B의 찬성 비율이 35/45 가 되어 지역 A(25/40)와 달라 독립이 아니다.
• 25: 지역 B의 찬성 비율이 35/60 이 되어 지역 A와 달라 독립이 아니다.
• 30: 지역 B의 찬성 비율이 35/65 가 되어 지역 A와 달라 독립이 아니다.

두 모비율의 단측검정이므로 $Z$ 검정을 쓰고 임곗값은 $z_\alpha$이다.

대립가설이 "남자 > 여자"로 방향이 있으므로 두 비율 차이의 $Z$ 통계량을 오른쪽 꼬리 $z_\alpha$와 비교한다.

• $Z$ 검정과 $z_{\alpha/2}$: 양측검정의 임곗값이다.
• $\chi^2$ 검정과 $\chi^2_{\alpha/2}(1)$: 카이제곱 검정은 제곱 통계량이라 방향을 구분하지 못하고, $\alpha/2$를 쓸 근거도 없다.
• $\chi^2$ 검정과 $\chi^2_\alpha(2)$: 2×2 분할표의 자유도는 $(2-1)(2-1)=1$이며 방향성 가설에도 맞지 않는다.

유의수준 10%에서는 귀무가설이 기각되므로 직물에 따라 인화 시간에 차이가 있다. 차이가 없다는 설명이 옳지 않다.

평균제곱: 직물 $72/2=36$, 오차 $315/35=9$
$F=36/9=4$

$F=4\gt F_{0.1}(2,35)=2.46$이므로 10%에서 기각한다.

• 직물 종류: 처리 자유도가 2이므로 3종류로 옳다.
• $F$－값: 36 ÷ 9 = 4 로 옳다.
• p－값 범위: $3.27\lt 4\lt 5.27$이므로 0.01과 0.05 사이로 옳다.

복용 후 혈당량을 두 그룹 간에 비교하는 것은 서로 다른 환자 집단의 비교이므로 독립 $t$－검정이어야 한다. 대응 $t$－검정이라는 설명이 옳지 않다.

대응 $t$－검정은 같은 대상을 두 차례 측정한 짝지은 자료에 쓰며, A와 B 그룹은 서로 다른 환자로 짝이 없다.

• 복용 전 평균 혈당량의 그룹 간 비교: 서로 다른 집단이므로 독립 $t$－검정으로 옳다.
• A 그룹 내 복용 전후 비교: 같은 환자의 전후 측정이므로 대응 $t$－검정으로 옳다.
• 전후 차이의 그룹 간 비교: 차이값을 두 독립 집단에서 비교하므로 독립 $t$－검정으로 옳다.

옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

최소제곱 정규방정식에서 $\sum e_i=0$, $\sum x_ie_i=0$이 성립하고, $\hat{\beta}_1=r\dfrac{s_y}{s_x}$이므로 기울기와 상관계수의 부호가 같다.

• ㄱ: 정규방정식에 의해 $\sum x_ie_i=0$이므로 옳다.
• ㄴ: 표준편차가 양수이므로 기울기 추정량과 표본상관계수의 부호가 같아 옳다.
• ㄷ: 결정계수는 $0\le R^2\le 1$로 항상 음이 아니므로 기울기가 음수일 때 부호가 다르다.
• ㄹ: 결정계수는 상관계수의 제곱이라 음이 아니므로 상관계수가 음수일 때 부호가 다르다.

세 모형 모두 선형회귀를 적용할 수 있으므로 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

선형회귀의 "선형"은 모수에 대한 선형을 뜻하므로, 변수 변환 후 모수에 선형이면 적용할 수 있다.

• ㄱ: 그대로 단순선형회귀모형이다.
• ㄴ: 양변에 로그를 취하면 $\ln Y_i=\beta_0+\beta_1\ln x_i+\epsilon_i$로 모수에 선형이다.
• ㄷ: $x_i^2$를 새 설명변수로 보면 모수에 선형이다.

동일한 설명변수에서 수정결정계수는 결정계수보다 작거나 같다.

$R_a^2=1-(1-R^2)\dfrac{n-1}{n-k-1}$에서 $\dfrac{n-1}{n-k-1}\ge 1$이므로 $R_a^2\le R^2$이다.

• 결정계수가 작아진다는 설명: 설명변수를 추가하면 결정계수는 줄지 않는다(같거나 커진다).
• 수정결정계수가 커진다는 설명: 기여가 작은 변수를 추가하면 자유도 벌점 때문에 오히려 줄 수 있다.
• 다중공선성의 판단기준이라는 설명: 다중공선성은 분산팽창인자(VIF) 등으로 판단한다.

옳은 것은 ㄱ뿐이다.

결정계수는 $\dfrac{SSR}{SST}=\dfrac{20}{35}$이고, 분산분석표의 $F=10/0.625=16$은 모형 전체의 유의성($\beta_1=\beta_2=0$)에 대한 검정이다.

• ㄱ: 회귀제곱합 ÷ 총제곱합 = 20/35 로 옳다.
• ㄴ: $F=16\gt 5.61$은 두 계수가 동시에 0인지에 대한 결론이며, $\beta_1$ 하나에 대한 검정은 개별 $t$－검정이 필요해 이 표만으로 판단할 수 없다.
• ㄷ: 귀무가설 모형은 절편을 포함한 $Y_i=\beta_0+\epsilon_i$이다.

중심화된 모형에서 $\hat{\beta}_0=\overline{Y}$이므로 분산은 $\sigma^2/n$이다. 따라서 제시된 절편 분산식이 옳지 않다.

제시된 식 $\sigma^2\left(\frac{1}{n}+\frac{\overline{x}^2}{\sum(x_i-\overline{x})^2}\right)$은 중심화하지 않은 모형 $Y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\epsilon_i$의 절편 분산이다.

• 절편 추정량의 불편성: $E(\overline{Y})=\beta_0$이므로 옳다.
• 기울기 추정량의 불편성: 최소제곱 기울기는 불편추정량이므로 옳다.
• 기울기 분산 $\sigma^2/\sum(x_i-\overline{x})^2$: 중심화 여부와 관계없이 같아 옳다.

공정에 대한 평균제곱은 20이 아니라 30이므로 옳지 않다.

처리제곱합: $4(117-120)^2+5(120-120)^2+6(122-120)^2=36+0+24=60$
평균제곱: $60/(3-1)=30$

오차제곱합은 $60+80+100=240$이고, 총제곱합 $300=60+240$으로 맞는다.

• 총제곱합의 자유도: 표본 15개이므로 $15-1=14$로 옳다.
• 오차제곱합: 공정별 편차제곱합의 합 240 으로 옳다.
• 검정통계량의 분포: 처리 자유도 2, 오차 자유도 $15-3=12$이므로 $F(2,12)$로 옳다.

온도에 대한 $F$－값이 7이고 자유도가 $(2,6)$이므로 p－값은 $P(F\gt 7)$이다.

반복 없는 이원배치: 온도 자유도 $3-1=2$, 습도 $4-1=3$, 오차 $2\times 3=6$

평균제곱: 온도 $42/2=21$, 습도 $18/3=6$, 오차 $18/6=3$
$F$－값: 온도 $21/3=7$, 습도 $6/3=2$

• 오차항의 자유도: 8이 아니라 6이다.
• 습도의 $F$－값: 4가 아니라 2이다.
• 온도 효과: p－값 0.027 < 0.05 이므로 귀무가설을 기각해 온도 수준에 따라 효율이 다르다고 본다.

가능도가 가장 큰 모숫값이 2이므로 최대가능도추정치는 $\theta=2$이다.

가능도 $L(\theta)=f(1;\theta)\,f(3;\theta)$를 각 모숫값에서 계산한다.

• $\theta=0$: $\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$로 $\frac{1}{4}$보다 작다.
• $\theta=2$: $\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$로 가장 크다.
• $\theta=4$: $0\times\frac{3}{4}=0$이다.
• $\theta=6$: $\frac{1}{5}\times\frac{2}{5}=\frac{2}{25}$로 $\frac{1}{4}$보다 작다.

$P(X+Y\le 1)$은 $\frac{1}{4}$이다.

결합밀도가 상수 $\frac{1}{2}$인 균등분포이므로 확률 = 밀도 × 영역 넓이이다.
영역 $x+y\le 1$ ($0\le x\le 1,\ y\ge 0$)은 밑변·높이 1인 삼각형으로 넓이 $\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

• $\frac{1}{2}$: 영역 넓이만 구하고 밀도 $\frac{1}{2}$을 곱하지 않은 값이다.
• $\frac{1}{3}$: 삼각형 넓이 계산과 맞지 않는 값이다.
• $\frac{1}{6}$: 삼각형 넓이 계산과 맞지 않는 값이다.