21년 1회차

점 P의 전하가 받는 합력은 0이 아니며, 대각선 맞은편 꼭짓점(2Q 쪽, 왼쪽 위) 방향을 향한다.

P의 전하 Q는 위쪽과 왼쪽에 있는 −Q에 각각 $\dfrac{kQ^2}{a^2}$의 인력을 받아 합이 왼쪽 위 대각선으로 $\dfrac{\sqrt{2}\,kQ^2}{a^2}$이다.
대각선 거리 $\sqrt{2}a$의 2Q로부터는 오른쪽 아래로 $\dfrac{k(2Q)Q}{2a^2}=\dfrac{kQ^2}{a^2}$의 척력을 받는다.

따라서 합력은 $(\sqrt{2}-1)\dfrac{kQ^2}{a^2}$으로 인력 쪽, 곧 왼쪽 위 대각선 방향이다.

• 오른쪽 아래 대각선 방향: 2Q의 척력보다 두 −Q의 인력 합이 더 크므로 틀리다.
• 합력이 0: 두 힘의 크기가 $\sqrt{2}$배 차이 나므로 상쇄되지 않는다.
• 오른쪽 위 대각선 방향: 같은 대각선 위의 힘만 남으므로 이 방향 성분은 생기지 않는다.

두 평판 사이의 전계는 +z 방향 250 V/m, 즉 $250\overrightarrow{a_z}$이다.

평행평판 사이 전계는 균일하므로 $\overrightarrow{E}=-\dfrac{dV}{dz}\overrightarrow{a_z}$이다.
$\dfrac{dV}{dz}=\dfrac{-5-5}{0.04}=-250\ \mathrm{V/m}$
$\overrightarrow{E}=250\overrightarrow{a_z}\ \mathrm{V/m}$

전계는 전위가 높은 쪽에서 낮은 쪽(아래 평판에서 위 평판)으로 향하며, 전위차가 주어졌으므로 비유전율은 전계 크기에 영향을 주지 않는다.

• $125\overrightarrow{a_z}$는 비유전율 2로 한 번 더 나눈 값이다.
• $-125\overrightarrow{a_z}$는 비유전율로 나누고 부호까지 뒤집은 값이다.
• $-250\overrightarrow{a_z}$는 전계가 전위 증가 방향을 향한다고 부호를 거꾸로 잡은 경우이다.

옳지 않은 것은 도체 표면 접선방향 전계의 선적분이 0이 아니라는 설명이다.

정전계에서 도체 표면은 등전위면이므로 표면의 접선방향 전계 성분이 0이고, 정전계는 보존장이므로 $\oint\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}=0$이 항상 성립한다.

• 도체 내부 전계가 0이라는 설명은 옳다 — 자유전자가 이동해 내부 전계를 상쇄한다.
• 표면 전계의 법선성분이 표면전하밀도에 비례한다는 설명은 옳다 — $E_n=\dfrac{\rho_s}{\varepsilon}$이다.
• 도체 표면이 등전위면이라는 설명은 옳다 — 도체 전체가 같은 전위를 가진다.

선형 등방성 자성체의 자기에너지밀도는 $w_m=\dfrac{BH}{2}$이다.

$B=\mu H$이므로 $w_m=\dfrac{1}{2}\mu H^2=\dfrac{B^2}{2\mu}=\dfrac{BH}{2}\ \mathrm{J/m^3}$로 세 형태가 모두 같다.

• $BH$는 계수 1/2이 빠진 식이다.
• $\dfrac{H^2}{2}$는 투자율 $\mu$가 빠져 단위가 맞지 않는다.
• $\dfrac{B^2}{2}$는 투자율로 나누는 항이 빠져 단위가 맞지 않는다.

외부 자계를 강하게 증폭하고 제거 후에도 자화가 남는 물질은 강자성체이다.

강자성체는 자구(자기모멘트)가 외부 자계 방향으로 정렬해 비투자율이 매우 크고, 히스테리시스 때문에 자계를 없애도 잔류자기가 남는다.

• 반자성체는 외부 자계와 반대 방향으로 약하게 자화되어 내부 자속밀도가 오히려 작아진다.
• 상자성체는 외부 자계 방향으로 약하게 자화되지만 자계를 제거하면 자화가 사라진다.
• 반강자성체는 이웃 자기모멘트가 반평행으로 정렬해 알짜 자화가 거의 없다.

지정된 구면 영역을 통과하는 전속은 1/2 C이다.

점전하의 전속밀도는 $D_r=\dfrac{Q}{4\pi r^2}$이므로 전속은 반지름과 무관하게 입체각 비율로 정해진다.
$\Psi=\dfrac{Q}{4\pi}\int_0^{2\pi}\int_{\pi/3}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta\,d\phi$
$=\dfrac{2}{4\pi}\cdot2\pi\cdot\left(\cos\dfrac{\pi}{3}-\cos\dfrac{\pi}{2}\right)=1\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\ \mathrm{C}$

• 1 C은 반구 전체($0\le\theta\le\pi/2$)를 통과하는 전속이다.
• $\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$는 경계각의 코사인 값을 잘못 대입한 값이다.
• $\dfrac{1}{4}$는 방위각 적분을 절반만 취한 값이다.

분극벡터의 크기는 $\dfrac{\rho_l}{2\pi\rho}\left(1-\dfrac{\varepsilon_0}{\varepsilon}\right)$이다.

가우스 법칙에서 전속밀도는 유전체와 무관하게 $D=\dfrac{\rho_l}{2\pi\rho}$이고, 전계는 $E=\dfrac{D}{\varepsilon}=\dfrac{\rho_l}{2\pi\varepsilon\rho}$이다.

분극 관계식 $P=D-\varepsilon_0E$에 대입하면 $P=\dfrac{\rho_l}{2\pi\rho}\left(1-\dfrac{\varepsilon_0}{\varepsilon}\right)$가 된다.

• $\dfrac{\rho_l}{2\pi\rho}$: 분극이 아니라 전속밀도의 크기이다.
• $\dfrac{\rho_l}{2\pi\varepsilon\rho}$: 유전체 내부 전계의 크기이다.
• $\dfrac{\rho_l}{2\pi\varepsilon_0\rho}$: 유전체가 없을 때의 진공 중 전계로, 분극과 단위부터 다르다.

정전용량은 $\dfrac{90\pi\varepsilon_0}{\ln(2)}$이다.

유전체가 반지름 방향 경계로 4등분되어 있으므로 네 부분은 같은 전위차를 받는 병렬 연결이다. 중심각 $\dfrac{\pi}{2}$인 한 부분의 용량은 $C_i=\dfrac{(\pi/2)\varepsilon_0\varepsilon_{ri}L}{\ln(b/a)}$이다.

$C=\dfrac{(\pi/2)\varepsilon_0(2+4+8+16)\times 6}{\ln 2}=\dfrac{90\pi\varepsilon_0}{\ln(2)}$

• $90\pi\varepsilon_0$: 동축 원통 용량의 분모 $\ln(b/a)$를 빠뜨린 값이다.
• $\dfrac{16\pi\varepsilon_0}{5}$, $\dfrac{16\pi\varepsilon_0}{5\ln(2)}$: 경계면이 전계와 나란하여 네 부분이 병렬이므로 비유전율의 합 30이 계수에 그대로 들어가야 하는데, 이 값들은 그렇게 되지 않는다.

전극판에 작용하는 힘은 $\dfrac{1}{2}\varepsilon S\left(\dfrac{V}{d}\right)^2$이다.

전극 표면에 작용하는 단위 면적당 힘은 전계 에너지밀도와 같다.
$f=\dfrac{1}{2}\varepsilon E^2,\quad E=\dfrac{V}{d}$
$F=fS=\dfrac{1}{2}\varepsilon S\left(\dfrac{V}{d}\right)^2\ \mathrm{N}$

같은 결과를 가상변위법 $F=-\dfrac{\partial W}{\partial d}$(전하 일정)으로도 얻는다.

• 계수 1/4은 에너지밀도의 1/2을 한 번 더 곱한 값이다.
• 계수 1은 에너지밀도의 1/2을 빠뜨린 값이다.
• 계수 2는 근거가 없는 과대값이다.

회로 중심의 자계는 $\dfrac{I}{\pi a}\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}\right)$이다.

유한 직선전류의 자계는 $H=\dfrac{I}{4\pi d}(\sin\alpha_1+\sin\alpha_2)$이고, 중심에서 꼭짓점까지 거리는 $\sqrt{(a/2)^2+(\sqrt{3}a/2)^2}=a$이다.

길이 $a$인 변(거리 $\sqrt{3}a/2$, $\sin\alpha=1/2$) 두 개: $2\cdot\dfrac{I}{4\pi(\sqrt{3}a/2)}\cdot1=\dfrac{I}{\sqrt{3}\pi a}$
길이 $\sqrt{3}a$인 변(거리 $a/2$, $\sin\alpha=\sqrt{3}/2$) 두 개: $2\cdot\dfrac{I}{4\pi(a/2)}\cdot\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}I}{\pi a}$
네 변의 자계는 같은 방향이므로 더하면 $\dfrac{I}{\pi a}\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}\right)$

• $\dfrac{2I}{\pi a}\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}\right)$는 각 변의 기여를 두 배로 센 값이다.
• $\dfrac{2I}{\pi a}$와 $\dfrac{I}{\pi a}$는 변 길이에 따른 사인값 차이를 반영하지 않은 값이다.

인덕턴스는 형상과 재질로 정해지는 값이므로 인가 전류를 늘리는 것은 인덕턴스를 증가시키는 방법이 아니다.

솔레노이드의 인덕턴스는 $L=\dfrac{\mu_0\mu_rN^2\pi R^2}{l}$로, 전류 $I$가 식에 들어 있지 않다. 전류를 키우면 자속은 늘지만 자속을 전류로 나눈 비는 그대로이다.

• 감은 수 증가: $L\propto N^2$이므로 인덕턴스가 증가한다.
• 자성체 반지름 증가: 단면적 $\pi R^2$에 비례하므로 증가한다.
• 비투자율 증가: $L\propto\mu_r$이므로 증가한다.

단락 종단 무손실 선로의 입력 임피던스는 $jZ_0\tan(k\ell)$이다.

무손실 선로의 입력 임피던스는 $Z_{in}=Z_0\dfrac{Z_L+jZ_0\tan(k\ell)}{Z_0+jZ_L\tan(k\ell)}$이다.
$Z_L=0$을 대입하면 $Z_{in}=jZ_0\tan(k\ell)$

• $-jZ_0\cot(k\ell)$는 개방 종단($Z_L=\infty$)일 때의 입력 임피던스이다.
• $-jZ_0\tan(k\ell)$는 단락 종단 결과의 부호를 뒤집은 식이다.
• $jZ_0\cot(k\ell)$는 개방 종단 결과의 부호를 뒤집은 식이다.

미소 자기력은 중심에서 바깥을 향하는 벡터 $\overrightarrow{OP}$ 방향이다.

전류 요소가 받는 힘은 $d\overrightarrow{F}=I\,d\overrightarrow{l}\times\overrightarrow{B}$이다. 반시계 방향 전류의 $d\overrightarrow{l}$은 원주 방향 $\hat{\phi}$, 자속밀도는 지면을 뚫고 나오는 $\hat{z}$이므로 $\hat{\phi}\times\hat{z}=\hat{\rho}$, 즉 반지름 바깥 방향이다.

• $\overrightarrow{PO}$ 방향: 전류가 시계 방향이거나 자계가 지면으로 들어갈 때의 방향이다.
• 자속밀도 방향: 외적의 결과는 $\overrightarrow{B}$에 수직이므로 불가능하다.
• 접선 방향: 외적의 결과는 $d\overrightarrow{l}$에도 수직이므로 불가능하다.

동축 케이블 내부(절연체 부분)의 단위 길이당 인덕턴스는 $\dfrac{\mu_0}{2\pi}\ln\dfrac{b}{a}$이다.

앙페르 법칙으로 $a\le\rho\le b$에서 $B=\dfrac{\mu_0I}{2\pi\rho}$이다.
단위 길이당 쇄교자속 $\Phi=\int_a^b\dfrac{\mu_0I}{2\pi\rho}d\rho=\dfrac{\mu_0I}{2\pi}\ln\dfrac{b}{a}$
$L=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0}{2\pi}\ln\dfrac{b}{a}\ \mathrm{H/m}$

• $\ln(a/b)$가 들어간 식은 $b>a$이므로 음수가 되어 인덕턴스가 될 수 없다.
• $\dfrac{2\mu_0}{\pi}\ln\dfrac{b}{a}$는 계수가 4배 커 앙페르 법칙의 $2\pi\rho$를 잘못 적용한 값이다.

옳은 것은 와이파이 전자기파가 가시광선보다 파장이 길다는 설명이다.

와이파이는 GHz 대역 마이크로파로 파장이 센티미터 수준이고, 가시광선은 수백 나노미터 수준이므로 와이파이 쪽 파장이 훨씬 길다.

• 초음파는 매질의 진동으로 전달되는 음파(기계파)이지 전자기파가 아니다.
• 전자기파 속도는 $v=\dfrac{c}{\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}}$이므로 유전율이 큰 물속에서 공기 중보다 느리다.
• 손실 매질에서도 균일 평면파의 전계·자계·진행방향은 서로 수직이며, 달라지는 것은 두 장의 위상차와 감쇠이다.

선전류는 크기 $16\pi$ A, 방향 $+\overrightarrow{a_x}$이다.

면전류에 의한 자계는 $\overrightarrow{H}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{J_s}\times\overrightarrow{a_n}$이고, 점 (0, 0, 2)는 평면 위쪽이므로 $\overrightarrow{a_n}=\overrightarrow{a_z}$이다.
$\overrightarrow{H_s}=4\overrightarrow{a_x}\times\overrightarrow{a_z}=-4\overrightarrow{a_y}\ \mathrm{A/m}$

합성 자계가 0이려면 선전류가 $+4\overrightarrow{a_y}$를 만들어야 한다. 측정점은 선전류에서 거리 2 m, 선에서 점을 향하는 방향은 $-\overrightarrow{a_z}$이다.
$\dfrac{I}{2\pi\cdot2}=4\ \Rightarrow\ I=16\pi\ \mathrm{A}$
전류가 $+\overrightarrow{a_x}$이면 $\overrightarrow{a_x}\times(-\overrightarrow{a_z})=+\overrightarrow{a_y}$로 조건을 만족한다.

• 크기 $8\pi$는 측정점에 $2\ \mathrm{A/m}$만 만들어 면전류 자계 $4\ \mathrm{A/m}$를 절반만 상쇄한다.
• 방향 $-\overrightarrow{a_x}$는 선전류 자계가 $-\overrightarrow{a_y}$가 되어 면전류 자계와 더해지므로 상쇄되지 않는다.

전자가 힘을 받지 않으려면 $\overrightarrow{E}=-\vec{v}\times\overrightarrow{B}$이어야 하며, 결과는 $12\overrightarrow{a_x}+10\overrightarrow{a_y}-6\overrightarrow{a_z}$ kV/m이다.

로렌츠 힘 $\overrightarrow{F}=q(\overrightarrow{E}+\vec{v}\times\overrightarrow{B})=0$은 전하의 부호와 무관하게 위 조건을 준다.
$\vec{v}\times\overrightarrow{B}=10^5\cdot10^{-3}\left[(-6)(20)\overrightarrow{a_x}+(0-5\cdot20)\overrightarrow{a_y}+(0-(-6)(10))\overrightarrow{a_z}\right]$
$=-12000\overrightarrow{a_x}-10000\overrightarrow{a_y}+6000\overrightarrow{a_z}\ \mathrm{V/m}$
$\overrightarrow{E}=12\overrightarrow{a_x}+10\overrightarrow{a_y}-6\overrightarrow{a_z}\ \mathrm{kV/m}$

• $-12\overrightarrow{a_x}-10\overrightarrow{a_y}+6\overrightarrow{a_z}$는 $\vec{v}\times\overrightarrow{B}$ 자체로 음의 부호를 빠뜨린 값이다.
• $12\overrightarrow{a_x}-10\overrightarrow{a_y}-6\overrightarrow{a_z}$는 y성분 부호를 틀린 값이다.
• $-12\overrightarrow{a_x}+10\overrightarrow{a_y}+6\overrightarrow{a_z}$는 x·z성분 부호를 틀린 값이다.

상호 인덕턴스는 배치와 형상으로만 정해지므로 전류를 키워도 상호 인덕턴스는 변하지 않는다.

도선에서 거리 $d$~$d+a$ 구간의 루프(높이 $b$)를 지나는 자속으로부터 $M=\dfrac{\mu_0b}{2\pi}\ln\dfrac{d+a}{d}$를 얻는다. 이 식에 전류가 없다.

• $d$만 줄임: $\dfrac{d+a}{d}$가 커져 상호 인덕턴스가 증가하므로 옳다.
• $a$만 줄임: 로그 안의 값이 작아져 감소하므로 옳다.
• $b$만 줄임: $M\propto b$이므로 감소하여 옳다.

매질 II의 자속밀도는 $3.5\overrightarrow{a_x}+7\overrightarrow{a_y}+4\overrightarrow{a_z}$ $mWb/m^{2}$이다.

법선성분은 연속이다: $B_{2z}=B_{1z}=4$

접선성분은 $\overrightarrow{a_z}\times(\overrightarrow{H_1}-\overrightarrow{H_2})=\overrightarrow{J_s}$(법선은 II에서 I로)를 따른다.
$\overrightarrow{H_1}=\dfrac{\overrightarrow{B_1}}{\mu_1}=0.5\overrightarrow{a_x}-\overrightarrow{a_y}+\overrightarrow{a_z}\ \mathrm{kA/m}$
$\overrightarrow{a_z}\times(\Delta H_x\overrightarrow{a_x}+\Delta H_y\overrightarrow{a_y})=-\Delta H_y\overrightarrow{a_x}+\Delta H_x\overrightarrow{a_y}=2\overrightarrow{a_x}$
$\Delta H_x=0,\ \Delta H_y=-2\ \Rightarrow\ H_{2x}=0.5,\ H_{2y}=1\ \mathrm{kA/m}$
$B_{2x}=7\times0.5=3.5,\ B_{2y}=7\times1=7\ \mathrm{mWb/m^2}$

• $2\overrightarrow{a_x}-4\overrightarrow{a_y}+7\overrightarrow{a_z}$는 접선 $B$를 그대로 두고 법선 $B$를 바꾼 것으로 경계조건을 거꾸로 적용했다.
• $0.5\overrightarrow{a_x}+2\overrightarrow{a_y}+7\overrightarrow{a_z}$는 법선성분이 불연속이라 성립하지 않는다.
• $2\overrightarrow{a_x}-5\overrightarrow{a_y}+4\overrightarrow{a_z}$는 투자율 비와 면전류에 의한 접선 $H$의 변화를 반영하지 않았다.

부하로 전달되는 시간 평균 전력은 25 W이다.

부하 전압 페이저의 진폭이 50 V이고 부하는 순저항이므로, 선로의 특성 임피던스와 무관하게 부하 단자 조건만으로 전력이 정해진다.
$P_{av}=\dfrac{|V_L|^2}{2R_L}$
$=\dfrac{50^2}{2\times50}=25\ \mathrm{W}$

• 12.5 W는 진폭을 두 번 나누는 등 1/2 계수를 중복 적용한 값이다.
• 50 W는 50 V를 실횻값으로 보고 $V^2/R$로 계산한 값이다.
• 1250 W는 저항으로 나누지 않고 $V^2/2$만 계산한 값이다.

자계는 $\cos(2\times10^7t-0.4z)\overrightarrow{a_y}$ A/m이다.

위상 상수: $k=\dfrac{\omega\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}}{c}=\dfrac{2\times10^7\times\sqrt{36}}{3\times10^8}=0.4\ \mathrm{rad/m}$

고유 임피던스: $\eta=120\pi\sqrt{\dfrac{\mu_r}{\varepsilon_r}}=120\pi\times\dfrac{1}{3}=40\pi\ \Omega$
자계 진폭: $H_0=\dfrac{40\pi}{40\pi}=1\ \mathrm{A/m}$
진행방향이 $+\overrightarrow{a_z}$, 전계가 $\overrightarrow{a_x}$이므로 $\overrightarrow{a_x}\times\overrightarrow{a_y}=\overrightarrow{a_z}$에서 자계는 $+\overrightarrow{a_y}$이다.

• 위상 상수 4는 $\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}$ 계산이나 자릿수를 틀린 값이다.
• 진폭 2는 고유 임피던스를 $20\pi$로 잘못 구한 값이다.
• 음의 $\overrightarrow{a_y}$ 방향 자계는 $+z$ 진행파에서 전계·자계·진행방향의 오른손 관계를 만족하지 않는다.

바닷물에서 $v_p=3\times10^7$ m/s, $\lambda=3$ m, $k=\dfrac{2\pi}{3}$ rad/m이다.

비자성 무손실 매질이므로 $v_p=\dfrac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}=\dfrac{3\times10^8}{10}=3\times10^7\ \mathrm{m/s}$
$\lambda=\dfrac{v_p}{f}=\dfrac{3\times10^7}{10^7}=3\ \mathrm{m}$
$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{3}\ \mathrm{rad/m}$

• 속도 $3\times10^8$·파장 30 m는 자유공간 값으로 매질 효과를 반영하지 않았다.
• 속도 $3\times10^7$·파장 0.3 m는 파장을 10배 작게 계산해 $k=2\pi/\lambda$와도 맞지 않는다.
• 속도 $3\times10^6$은 $\sqrt{\varepsilon_r}$ 대신 $\varepsilon_r$로 나눈 값이다.

단위 길이당 커패시턴스는 $\dfrac{1}{10\pi}$ nF/m이다.

무손실 선로에서 $\beta=\omega\sqrt{LC}$, $Z_0=\sqrt{L/C}$이므로 둘을 나누면 $C=\dfrac{\beta}{\omega Z_0}$이다.
$C=\dfrac{10}{2\pi\times10^9\times50}=\dfrac{1}{\pi\times10^{10}}\ \mathrm{F/m}$
$=\dfrac{1}{10\pi}\ \mathrm{nF/m}$

• $\dfrac{1}{5\pi}$는 $\omega$ 대신 $\pi f$를 쓰는 등 계수 2를 틀린 값이다.
• $\dfrac{1}{2\pi}$와 $\dfrac{1}{\pi}$는 단위 환산(F에서 nF)이나 대입 자릿수를 틀린 값이다.

$x+y=1$ 평면을 통과하는 시간 평균 전력 밀도는 $\dfrac{5\sqrt{2}}{\pi^2}$ $W/m^{2}$이다.

매질 상수: $\sqrt{\varepsilon_r}=\dfrac{\beta c}{\omega}=\dfrac{4\times3\times10^8}{2\pi\times10^8}=\dfrac{6}{\pi}$
$\eta=\dfrac{120\pi}{\sqrt{\varepsilon_r}}=20\pi^2\ \Omega$

+x 방향 전력 밀도: $P_{av}=\dfrac{E_0^2}{2\eta}=\dfrac{400}{40\pi^2}=\dfrac{10}{\pi^2}$
평면의 단위 법선 $\dfrac{\overrightarrow{a_x}+\overrightarrow{a_y}}{\sqrt{2}}$ 성분: $\dfrac{10}{\pi^2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{\pi^2}$

• $\dfrac{10}{\pi^2}$는 평면에 수직인 성분으로 투영하지 않은 값이다.
• $\dfrac{5}{\pi^2}$는 투영 계수를 $1/2$로 잘못 쓴 값이다.
• 0은 평면이 진행방향과 평행할 때만 성립하는데, 이 평면은 진행방향과 45°를 이룬다.

옳지 않은 것은 가장 큰 원이 $x=0$일 때 얻어진다는 설명이다.

저항원의 반지름은 $\dfrac{1}{1+r}$이므로 $r=0$일 때 반지름 1인 가장 큰 원(단위원)이 된다. $x=0$이면 리액턴스원의 반지름 $1/x$가 무한대가 되어 원이 아닌 실수축 직선이 된다.

• $r=\infty$이면 중심 $\dfrac{r}{1+r}\to1$, 반지름 $\to0$이므로 점 (1, 0)으로 수렴한다는 설명은 옳다.
• 두 방정식이 각각 $r$값·$x$값에 따른 원의 방정식이라는 설명은 옳다.
• 모든 원이 점 (1, 0)을 지난다는 설명은 옳다 — $\varGamma_r=1,\ \varGamma_i=0$을 대입하면 두 식이 항상 성립한다.