21년 1회차

0초부터 6초까지의 이동거리는 8 m이다.

이동거리는 속도－시간 그래프와 시간축 사이 넓이의 절댓값 합이다. 0~4초는 속도가 양(+)인 사다리꼴, 4~6초는 속도가 음(−)인 삼각형이다.

양의 구간: $\dfrac{1}{2}(4+2)\times 2=6\,\mathrm{m}$
음의 구간: $\dfrac{1}{2}\times 2\times 2=2\,\mathrm{m}$
합: $6+2=8\,\mathrm{m}$

• 4 m는 넓이를 부호대로 더한 변위로, 이동거리가 아니다.
• 6 m는 앞으로 간 구간만 센 값으로, 되돌아온 2 m가 빠졌다.
• 10 m는 그래프 넓이를 과대 계산한 값이다.

등속 원운동에서는 속도의 방향이 계속 바뀌고, 가속도는 원의 중심을 향한다.

구심가속도의 크기는 $a=\dfrac{v^2}{r}$이므로 $v^2$에 비례한다.

• 속도의 방향이 계속 변한다: 속력은 일정해도 접선 방향이 매 순간 바뀌므로 옳다.
• 가속도의 크기가 $v^2$에 반비례한다: $v^2$에 비례하므로 틀리다.
• 가속도의 방향이 원의 중심을 향한다: 구심가속도이므로 옳다.

볼츠만 상수의 단위는 에너지/온도, 즉 $\mathrm{J/K}=\mathrm{kg\cdot m^{2}\cdot s^{-2}\cdot K^{-1}}$이다.

평균 운동에너지 $\dfrac{3}{2}kT$가 에너지이므로 $k$는 에너지를 온도로 나눈 차원을 가진다.

$\mathrm{J}=\mathrm{kg\cdot m^{2}\cdot s^{-2}}$이므로 시간 지수는 -2, 온도 지수는 -1이어야 한다.

• 시간 지수가 -1인 단위: 각운동량·플랑크 상수 계열의 차원으로, 에너지가 아니다.
• 시간 지수가 -3인 단위: 일률(W)을 온도로 나눈 차원이다.
• 온도 지수가 -2인 단위: 온도로 한 번만 나누어야 하므로 틀리다.

변하는 힘이 한 일은 힘을 위치로 적분한 값이므로 $\dfrac{1}{2}aL^2+\dfrac{1}{3}bL^3$이다.

$W=\displaystyle\int_0^L (ax+bx^2)\,dx$

$=\left[\dfrac{1}{2}ax^2+\dfrac{1}{3}bx^3\right]_0^L=\dfrac{1}{2}aL^2+\dfrac{1}{3}bL^3$

• $a+2bL$: 힘을 미분한 꼴로 일의 차원이 아니다.
• $aL+bL^2$: 위치 $L$에서의 힘에 해당하는 꼴이다.
• $aL^2+bL^3$: 적분 계수 1/2, 1/3이 빠졌다.

임계각이 45°이므로 굴절률은 $\sqrt{2}$이다.

전반사 임계각 조건: $n\sin\theta_c=1$

$n=\dfrac{1}{\sin 45^\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}$

• $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$: $\sin 45^\circ$ 값 자체로, 1보다 작아 전반사가 일어날 수 없다.
• $\sqrt{3}$, 2: 임계각이 각각 약 35°, 30°로 45°보다 작아진다.

음원(소방차)은 관측자에게서 멀어지고 관측자(자동차)는 음원 쪽으로 다가가므로 들리는 진동수는 740 Hz이다.

도플러 공식: $f'=f\dfrac{v+v_o}{v+v_s}$ (관측자 접근 +, 음원 후퇴 +)

$f'=760\times\dfrac{340+30}{340+40}=760\times\dfrac{370}{380}=740\,\mathrm{Hz}$

• 620 Hz: 관측자가 음원에서 멀어지는 것으로 부호를 뒤집은 값이다($760\times\dfrac{310}{380}$).
• 660 Hz: 관측자의 접근 효과를 충분히 반영하지 않은 값이다.
• 700 Hz: 음원이 멀어지는 효과를 과대하게 잡은 값으로, 계산 결과와 맞지 않는다.

같은 거리를 두 속력으로 나누어 갔으므로 평균 속력은 조화평균인 40 km/h이다.

전체 거리를 $2s$라 하면 걸린 시간은 $t=\dfrac{s}{100}+\dfrac{s}{25}=\dfrac{5s}{100}=\dfrac{s}{20}$

$\bar{v}=\dfrac{2s}{s/20}=40\,\mathrm{km/h}$

• 50 km/h: 느린 구간에 더 오래 머문 시간을 덜 반영한 값이다.
• 60 km/h: 산술평균(62.5 km/h)에 가까운 값으로 시간 가중이 빠졌다.
• 70 km/h: 빠른 구간 쪽으로 치우친 값으로, 평균 속력은 총거리/총시간이라 느린 속력 쪽으로 치우쳐야 한다.

옳은 것은 ㄴ과 ㄷ이다.

공명 상태에서는 유도 리액턴스와 용량 리액턴스가 같아($X_L=X_C$) 상쇄되므로 임피던스는 $Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}=R$이다. 유도기 전압은 전류보다 90° 앞서고 축전기 전압은 90° 뒤지므로 둘의 위상차는 180°이다.

• ㄱ: 공명 각진동수가 $\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$이므로 공명 진동수는 $f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$이다. 제시된 식은 각진동수와 혼동한 것이라 틀리다.
• ㄴ: 리액턴스가 상쇄되어 임피던스는 저항값만 남으므로 옳다.
• ㄷ: 두 전압이 전류를 기준으로 반대 방향으로 90°씩 어긋나 있으므로 옳다.

맥놀이 진동수가 될 수 없는 값은 320 Hz이다.

중간이 막혀 있으므로 관은 한쪽이 막힌 길이 17 cm, 25 cm의 두 폐관으로 나뉜다. 폐관에서는 홀수 배 진동만 생기므로 $f=\dfrac{(2n-1)v}{4L}$이다.

17 cm 관: $\dfrac{340}{4\times 0.17}=500\,\mathrm{Hz}$, 1500 Hz, 2500 Hz
25 cm 관: $\dfrac{340}{4\times 0.25}=340\,\mathrm{Hz}$, 1020 Hz, 1700 Hz

• 160 Hz는 500 Hz와 340 Hz의 차로 나온다.
• 520 Hz는 1020 Hz와 500 Hz의 차로 나온다.
• 1,160 Hz는 1500 Hz와 340 Hz의 차로 나온다.

반면 여섯 진동수 중 어떤 두 값의 차로도 320 Hz는 나오지 않는다.

최종 상의 크기는 6 mm이다.

렌즈 A: $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{b_1}=\dfrac{1}{2}$에서 $b_1=6\,\mathrm{cm}$, 배율 $m_1=\dfrac{6}{3}=2$

렌즈 B: A의 상이 B 앞 $10-6=4\,\mathrm{cm}$에 있으므로 $\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{b_2}=\dfrac{1}{3}$에서 $b_2=12\,\mathrm{cm}$, 배율 $m_2=\dfrac{12}{4}=3$

전체 배율은 두 배율의 곱인 $2\times 3=6$이므로 1 mm 물체의 상은 6 mm이다.

• 3 mm는 B의 배율만 적용한 값이다.
• 12 mm는 B의 상거리 12 cm를 크기로 혼동한 값이다.
• 16 mm는 두 렌즈 공식 어느 단계에서도 나오지 않는 값이다.

단열팽창에서는 압력과 내부 에너지가 모두 감소하고, 기체는 외부에 일을 한다.

단열이므로 $Q=0$, 열역학 제1법칙 $\Delta U=Q-W=-W$에서 팽창 일 $W\gt 0$만큼 내부 에너지가 줄어든다.

• 압력이 감소하였다: $PV^\gamma=$ 일정에서 부피가 커지면 압력이 줄므로 옳다.
• 내부 에너지가 감소하였다: 한 일만큼 내부 에너지가 줄어 온도가 내려가므로 옳다.
• 기체가 일을 하지 않았다: 부피가 늘었으므로 양의 일을 하였다. 틀리다.

등전위면은 전기력선과 수직이므로, 평행하다는 설명이 옳지 않다.

등전위면을 따라 전하를 옮길 때 일이 0이 되려면 전기력이 이동 방향과 수직이어야 하므로 전기력선은 등전위면에 수직으로 지난다.

• 전기력선의 수가 전하의 크기에 비례한다: 가우스 법칙에 따른 약속으로 옳다.
• 양전하에서 나온 전기력선이 음전하로 들어간다: 전기력선의 방향 규칙으로 옳다.
• 한 등전위면 위 두 지점의 전위차는 0이다: 정의상 전위가 같으므로 옳다.

단진동의 역학에너지는 $E=\dfrac{1}{2}kA^2$로 질량과 무관하므로, 진폭이 $2A$인 경우가 가장 크다.

각 경우를 $\dfrac{1}{2}kA^2$의 배수로 비교하면 다음과 같다.

• $m,\,k,\,2A$: $\dfrac{1}{2}k(2A)^2=4\times\dfrac{1}{2}kA^2$로 가장 크다.
• $m,\,2k,\,A$: $2\times\dfrac{1}{2}kA^2$이다.
• $2m,\,k,\,A$: 질량은 에너지에 영향이 없어 $1\times\dfrac{1}{2}kA^2$이다.
• $2m,\,k,\,\dfrac{A}{2}$: $\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{2}kA^2$이다.

대전된 도체구는 내부 전기장이 0이고, 표면 전기장은 표면에 수직이다.

표면 전기장의 크기는 $E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0R^2}$로 $R^2$에 반비례한다.

• 내부 전기장이 0이다: 정전 평형의 도체 내부에서는 전하가 움직이지 않으므로 옳다.
• 표면 전기장의 크기가 $R$에 비례한다: $R^2$에 반비례하므로 틀리다.
• 표면 전기장의 방향이 표면과 수직이다: 도체 표면은 등전위면이므로 옳다.

옳은 설명은 우물 폭 $L$이 커질수록 에너지 준위가 낮아진다는 것이다.

무한 퍼텐셜 우물의 에너지 준위는 $E_n=\dfrac{n^2h^2}{8mL^2}$이므로 $L^2$에 반비례한다.

• 에너지 준위는 $n$이 아니라 $n^2$에 비례한다.
• 무한 우물에서는 벽에서 파동함수가 0이 되어 우물 밖에서 입자를 발견할 확률이 0이다.
• 높은 준위에서 낮은 준위로 전이하면 에너지 차만큼을 방출한다.

옳은 것은 ㄱ뿐이다.

빈의 변위 법칙 $\lambda_{\max}T=b$(일정)에 따라 최대 세기 파장이 짧을수록 온도가 높다. 그래프에서 A의 최대 파장이 더 짧다.

• ㄱ: $\lambda_{\mathrm{A}}\lt\lambda_{\mathrm{B}}$이므로 $T_{\mathrm{A}}\gt T_{\mathrm{B}}$로 옳다.
• ㄴ: 빈의 법칙에 따라 $\lambda T$는 두 흑체가 같다. 틀리다.
• ㄷ: 슈테판－볼츠만 법칙 $P=\sigma AT^4$에 따라 표면적이 같으면 온도가 높은 A가 더 많이 방출한다(그래프 아래 넓이도 A가 크다). 틀리다.

B의 크기는 $\left|\dfrac{E}{v}\right|$, 방향은 지면으로 들어가는 방향이다.

등속 직선 운동하려면 전기력과 자기력이 평형이어야 하므로 $qE=qvB$에서 $B=\dfrac{E}{v}$이다.

입자가 음(−)전하이므로 아래 방향 전기장에서 전기력은 위쪽이다. 자기력은 아래쪽이어야 하고, 오른쪽으로 운동하는 음전하에 아래쪽 힘이 작용하려면 자기장은 지면으로 들어가야 한다.

• 지면에서 나오는 방향이면 자기력도 위쪽이 되어 전기력과 더해지므로 직진할 수 없다.
• $|vE|$는 힘의 평형식 $E=vB$를 잘못 정리한 값이다.

평행판 축전기는 $C=\dfrac{\varepsilon S}{d}$이므로 B의 간격은 $\dfrac{1}{2}d$이다.

A: $C=\dfrac{\varepsilon S}{d}$

B: $4C=\dfrac{2\varepsilon S}{d_B}$ → $d_B=\dfrac{2\varepsilon S}{4C}=\dfrac{2\varepsilon S}{4}\cdot\dfrac{d}{\varepsilon S}=\dfrac{1}{2}d$

• $\dfrac{1}{4}d$: 유전율이 2배인 효과를 빠뜨린 값이다.
• $2d$: 전기용량이 간격에 반비례한다는 관계를 뒤집은 값이다.
• $4d$: 반비례 관계를 뒤집고 유전율 효과까지 빠뜨린 값이다.

등각가속도 회전이므로 4초 뒤 각속도는 23 rad/s이다.

공식: $\omega=\omega_0+\alpha t$

대입: $\omega=3+5\times4=23\,\mathrm{rad/s}$

• 20 rad/s: 처음 각속도 3 rad/s를 더하지 않은 값이다.
• 12 rad/s: 처음 각속도에 시간을 곱한 값($3\times4$)으로 공식과 맞지 않는다.
• 15 rad/s: 각가속도에 처음 각속도를 곱한 값($5\times3$)으로 공식과 맞지 않는다.

보어의 양자 조건으로 속력을 구하면 운동에너지는 $\dfrac{h^2}{2\pi^2mr^2}$이다.

양자 조건: $mvr=\dfrac{nh}{2\pi}$, $n=2$이므로 $v=\dfrac{h}{\pi mr}$

운동에너지: $K=\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{1}{2}m\cdot\dfrac{h^2}{\pi^2m^2r^2}=\dfrac{h^2}{2\pi^2mr^2}$

• $\dfrac{h^2}{8\pi^2mr^2}$: $n=1$로 계산한 값이다.
• $\dfrac{h^2}{4\pi^2mr^2}$: $n^2$ 배율 대신 $n$배만 적용한 값이다.
• $\dfrac{h^2}{\pi^2mr^2}$: 운동에너지의 1/2 계수를 빠뜨린 값이다.

기체가 흡수한 열량은 $\dfrac{5}{2}PV$이다.

A→B는 압력 $P$로 일정하고 부피가 $V$에서 $2V$로 늘어나는 등압 팽창이다.

한 일: $W=P(2V-V)=PV$
내부에너지 변화: $\Delta U=\dfrac{3}{2}nR\Delta T=\dfrac{3}{2}P\Delta V=\dfrac{3}{2}PV$
흡수 열량: $Q=\Delta U+W=\dfrac{5}{2}PV$

• $PV$는 기체가 한 일만 센 값이다.
• $\dfrac{3}{2}PV$는 내부에너지 증가만 센 값이다.
• $2PV$는 열역학 제1법칙의 합과 맞지 않는다.

옳은 것은 ㄱ과 ㄴ이다.

카르노 기관의 효율은 $e=1-\dfrac{T_L}{T_H}=1-\dfrac{300}{1000}=0.7$이다. 그래프에서 1→2는 1,000 K 등온선을 따른 등온 팽창, 2→3은 단열 팽창이다.

• ㄱ: 효율이 0.7이므로 옳다.
• ㄴ: 등온 팽창은 내부에너지 변화가 0이고 기체가 외부에 일을 하므로 그만큼 열을 흡수한다. 옳다.
• ㄷ: 가역 단열 과정은 열 출입이 없어 엔트로피가 일정하다. 틀리다.

밝은 무늬 간격은 $\Delta y=\dfrac{L\lambda}{d}$이므로 파장이 길수록, 스크린 거리가 멀수록 무늬가 넓어진다.

여기서 $L$은 슬릿–스크린 거리, $d$는 슬릿 간격이다.

• 슬릿 간격을 증가시킨다: 간격 $d$에 반비례하므로 무늬가 좁아진다. 틀리다.
• 더 긴 파장을 사용한다: $\lambda$에 비례하므로 넓어진다. 옳다.
• 슬릿과 스크린 사이 거리를 늘린다: $L$에 비례하므로 넓어진다. 옳다.

자기장의 합이 0인 위치는 $y=\dfrac{12}{5}d$이다.

그림에서 A는 $y=0$, B는 $y=3d$, P는 $y=4d$에 있다. 두 전류가 같은 방향이고 P는 두 도선 위쪽에 있으므로 P에서 두 자기장의 방향이 같다. 크기가 같으려면 $\dfrac{I_A}{4d}=\dfrac{I_B}{d}$, 즉 $I_A=4I_B$이다.

A와 B 사이에서는 두 자기장이 반대 방향이므로 $\dfrac{I_A}{y}=\dfrac{I_B}{3d-y}$
$4(3d-y)=y$에서 $y=\dfrac{12}{5}d$

• $\dfrac{3}{5}d$는 전류 비를 거꾸로($I_B=4I_A$) 잡은 값이다.
• $\dfrac{6}{5}d$에서는 A에 의한 자기장이 B에 의한 것의 6배라 상쇄되지 않는다.
• $\dfrac{9}{5}d$에서도 A에 의한 자기장이 더 커서 합이 0이 되지 않는다.

줄의 장력은 $T=\dfrac{(1+\mu)m_1m_3}{m_1+m_2+m_3}g$이다.

전체 계의 가속도: $a=\dfrac{m_3g-\mu(m_1+m_2)g}{m_1+m_2+m_3}$

$m_1$만 보면 $T-\mu m_1g=m_1a$이므로
$T=m_1(a+\mu g)=\dfrac{m_1g\left[m_3-\mu(m_1+m_2)+\mu(m_1+m_2+m_3)\right]}{m_1+m_2+m_3}=\dfrac{(1+\mu)m_1m_3}{m_1+m_2+m_3}g$

• 분자에 $m_1m_2$가 든 식은 틀리다. 계를 끄는 힘은 $m_3$의 무게에서 오므로 분자에 $m_3$가 곱해져야 한다.
• $\dfrac{\mu m_1m_3}{m_1+m_2+m_3}g$는 마찰 몫만 남기고 가속에 필요한 힘을 빠뜨린 값이다.
• $\dfrac{\mu m_1m_2}{m_1+m_2+m_3}g$는 구동력과 질량 조합이 모두 맞지 않는다.