22년 1회차

이 회로는 두 입력을 하나의 반전 입력단에 모은 반전 가산증폭기다.

반전 입력단이 가상접지(0 V)이므로 두 입력 전류가 합쳐져 귀환저항으로 흐른다. 따라서 $v_o=-R_f\left(\dfrac{v_1}{R_1}+\dfrac{v_2}{R_2}\right)$로 두 입력의 가중합이 출력된다.

• 미분기: 입력 쪽에 커패시터가 있어야 하는데 이 회로에는 커패시터가 없다.
• 적분기: 귀환 경로에 커패시터가 있어야 하는데 귀환 소자가 저항이다.
• 차동증폭기: 두 입력을 반전·비반전 단자에 나누어 넣어 차를 증폭하는데, 여기서는 두 입력이 모두 반전 단자로 들어가고 비반전 단자는 접지다.

귀환 경로가 $R_2$와 $C$의 병렬인 반전증폭기로, 저주파통과필터다.

전달함수는 $H(s)=-\dfrac{R_2/R_1}{1+sR_2C}$이다. 저주파에서는 커패시터가 개방되어 이득이 $-R_2/R_1$로 유지되고, 고주파에서는 커패시터가 귀환 경로를 단락해 이득이 0으로 감소한다.

• 고주파통과필터: 입력 쪽에 직렬 커패시터가 있어야 저주파가 차단되는데, 이 회로는 저주파 이득이 그대로 남는다.
• 대역통과필터: 저주파와 고주파를 모두 차단해야 하나, 이 회로는 저주파를 통과시킨다.
• 대역제거필터: 특정 대역만 차단하는 2차 이상의 구조가 필요하며, 이 회로는 1차 저역 특성이다.

초깃값 정리와 최종값 정리를 쓰면 초깃값은 2, 최종값은 0이다.

초깃값: $f(0^+)=\lim_{s\to\infty}sF(s)=\lim_{s\to\infty}\dfrac{2s(s^2+2s+6)}{(s+1)(s+2)(s+3)}$
분자·분모 최고차항이 모두 $s^3$이므로 계수비 $\dfrac{2}{1}=2$

최종값: 극점 $-1,\,-2,\,-3$이 모두 좌반평면이므로 최종값 정리가 성립한다.
$f(\infty)=\lim_{s\to 0}sF(s)=0\times\dfrac{2\times 6}{1\times 2\times 3}=0$

• 초깃값을 0으로 본 조합: $s\to\infty$에서 $sF(s)$를 취해야 하는데 $F(s)$만 보고 0으로 둔 오류이다.
• 최종값을 1로 본 조합: $s\to 0$에서 곱해지는 $s$ 때문에 최종값은 0이 되며, 1이 나올 근거가 없다.

2 Ω 저항에는 1.5 A가 흐르므로 소비전력은 4.5 W다.

윗단 마디 전압을 $V$라 하면 오른쪽 가지에서 $i_x=\dfrac{V-3i_x}{2}$ → $i_x=\dfrac{V}{5}$이다.
마디 KCL: $\dfrac{10-V}{5}+1=\dfrac{V}{5}$ → $V=7.5\,\mathrm{V}$, $i_x=1.5\,\mathrm{A}$

$P=i_x^2R=1.5^2\times2=4.5\,\mathrm{W}$

• 1.5: 전력이 아니라 전류 $i_x$[A]의 값이다.
• 3: 전력이 아니라 2 Ω 양단 전압 $2i_x$[V]의 값이다.

전류는 $i(t)=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\cos(400t-45^\circ)$로, 전원 전압 $12\cos400t$보다 45° 뒤진다.

$\omega=400$에서 25 mH는 $j10$, 1.25 mF는 $-j2$, 5 mH는 $j2$다. 왼쪽 가지는 $j10-j2=j8$, 오른쪽 가지는 $2+j2$이다.

윗마디 전압: $\dfrac{V-12}{8}+\dfrac{V}{j8}+\dfrac{V}{2+j2}=0$ → $V(0.375-j0.375)=1.5$ → $V=2\sqrt{2}\angle45^\circ$
$I=\dfrac{V}{j8}=\dfrac{2\sqrt{2}\angle45^\circ}{8\angle90^\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\angle-45^\circ$

• $\dfrac{\sqrt{2}}{8}\cos(400t+45^\circ)$: 진폭이 절반이고 위상 부호도 반대다.
• $\dfrac{\sqrt{2}}{8}\cos(400t-45^\circ)$: 위상은 맞지만 진폭이 절반이다.
• $\dfrac{\sqrt{2}}{4}\cos(400t+45^\circ)$: 유도성 가지의 전류를 앞선 위상으로 본 것이다.

$v(t)=-30+50e^{-80t}$로, 초깃값 20 V에서 최종값 −30 V로 변한다.

$t<0$(A 연결): 40 V가 20 kΩ·20 kΩ으로 분압되어 $v(0)=40\times\dfrac{20}{40}=20\,\mathrm{V}$

$t>0$(B 연결): 60 V 전원은 위쪽이 −이므로 오른쪽 마디의 테브난 전압은 $-60\times\dfrac{40}{80}=-30\,\mathrm{V}$, 저항은 $40\parallel40=20\,\mathrm{k\Omega}$이다. 5 kΩ을 더한 $R=25\,\mathrm{k\Omega}$로 $\tau=25\times10^{3}\times0.5\times10^{-6}=12.5\,\mathrm{ms}$, $1/\tau=80$ → $v(t)=-30+(20+30)e^{-80t}$

• $-30+50e^{-8t}$: 초깃값·최종값은 맞지만 지수가 $1/\tau=80$과 다르다.
• $50-30e^{-80t}$: 최종값을 +50 V로 본 것으로, 60 V 전원의 극성을 무시했다.
• $50-30e^{-8t}$: 극성과 시정수를 모두 잘못 본 식이다.

$i(3)=\dfrac{1}{10}e^{-10}(e^{-10}-1)$로, 펄스가 끝난 뒤 커패시터가 방전하므로 전류는 음수다.

시정수 $\tau=RC=10\times0.01=0.1\,\mathrm{s}$.
1~2 s(입력 1 V) 충전: $v_C(t)=1-e^{-10(t-1)}$ → $v_C(2)=1-e^{-10}$

2 s 이후(입력 0 V) 방전: $i(t)=-\dfrac{v_C(2)}{R}e^{-10(t-2)}$ → $i(3)=-\dfrac{1-e^{-10}}{10}e^{-10}=\dfrac{1}{10}e^{-10}(e^{-10}-1)$

• $\dfrac{1}{10}e^{-10}(1-e^{-10})$: 크기는 같지만 방전 전류의 방향을 반대로 본 것이다.
• $\dfrac{1}{10}(e^{-10}-1)$: 2 s 직후의 전류로, 이후 1 s 동안의 감쇠 $e^{-10}$이 빠졌다.
• $\dfrac{1}{10}(1-e^{-10})$: 감쇠와 부호를 모두 빠뜨린 값이다.

A·B 단자에서 본 등가 인덕턴스는 7.5 H다.

2차측은 20 H와 10 H가 닫힌 루프를 이루어 루프 인덕턴스가 30 H이다. 1차측에서 본 반사분은 점 극성과 무관하게 $-\dfrac{M^2}{L_{22}}$이다.
$L_{in}=10-\dfrac{15^2}{30}=10-7.5=2.5\,\mathrm{H}$

직렬 5 H를 더하면 $L_{eq}=5+2.5=7.5\,\mathrm{H}$

• 15: 결합을 무시하고 5 H와 10 H만 직렬로 더한 값이다.
• 12.5: 반사분 7.5 H를 빼지 않고 5 H에 더한 값이다.

최대전력을 전달하려면 $R_L$을 단자에서 본 테브난 등가저항과 같게 해야 하며, 그 값은 7.5 Ω이다.

200 V를 단락하고 단자에 시험전압 $V$를 건다. 왼쪽 마디: $\dfrac{V_m}{25}+\dfrac{V_m}{100}+\dfrac{V_m-V}{10}=0$ → $V_m=\dfrac{2}{3}V$, $i=\dfrac{V_m-V}{10}=-\dfrac{V}{30}$

시험전류 $I=-i+\dfrac{V-30i}{20}=\dfrac{V}{30}+\dfrac{V}{10}=\dfrac{2V}{15}$ → $R_{th}=\dfrac{V}{I}=7.5\,\mathrm{\Omega}$

• 2.5: 테브난 저항보다 작아 정합 조건을 만족하지 못한다.
• 5: 테브난 저항보다 작아 정합 조건을 만족하지 못한다.
• 10: 의존전원 $30i$가 만드는 추가 전류를 반영하면 등가저항은 이보다 작은 7.5 Ω이 된다.

임피던스는 j20 Ω이다.

25 V 전원과 25 Ω을 노턴 등가로 바꾸면 1 A 전류원과 25 Ω이고, 100 Ω과 병렬해 $25\parallel100=20\,\mathrm{\Omega}$가 된다. 전류 분배로 $I_o=1\times\dfrac{20}{20+Z}$

$\dfrac{20}{20+Z}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\angle-45^\circ=\dfrac{20}{20+j20}$ → $Z=j20\,\mathrm{\Omega}$

• $j25$: 100 Ω 가지를 무시하고 25 Ω만으로 분배한 값이다.
• $j50$: 대입하면 $I_o=\dfrac{20}{20+j50}$로 위상이 −45°가 되지 않는다.
• $j100$: 대입하면 $I_o=\dfrac{20}{20+j100}$로 크기와 위상이 모두 맞지 않는다.

병렬 RLC의 대역폭은 $B=\dfrac{1}{RC}$로 C에 반비례하므로, C에 비례한다는 설명이 옳지 않다.

어드미턴스는 $Y=\dfrac{1}{R}+j\left(\omega C-\dfrac{1}{\omega L}\right)$, 양호도는 $Q=\omega_0RC=R\sqrt{\dfrac{C}{L}}$이다.

• 어드미턴스 크기: 공진 시 허수부가 0이 되어 $|Y|=1/R$로 최소다.
• 양호도: $Q=R\sqrt{C/L}$이므로 R에 비례한다.
• 양호도와 대역폭의 곱: $QB=\omega_0RC\cdot\dfrac{1}{RC}=\omega_0$로 공진 각주파수와 같아 일정하다.

비정현파의 평균전력은 각 고조파 실효값 제곱의 합에 저항을 곱해 구하며, 결과는 645 W이다.

공식: $P=R\left(\dfrac{I_{m1}^2}{2}+\dfrac{I_{m3}^2}{2}+\dfrac{I_{m5}^2}{2}\right)$

대입: $P=10\times\dfrac{10^2+5^2+2^2}{2}=10\times\dfrac{129}{2}$
결과: $P=645\,\mathrm{W}$

• 170 W: 진폭을 단순 합산한 값에 저항을 곱한 것으로, 전력이 전류의 제곱에 비례함을 무시했다.
• 1290 W: 최댓값 제곱을 그대로 써서 실효값 환산(÷2)을 빠뜨린 값이다.
• 2580 W: 실효값 환산을 거꾸로(×2) 적용한 값이다.

20 Ω에 전류가 흐르지 않으려면 브리지 평형이어야 하며, 이때 Z의 리액턴스는 0.8 Ω이다.

평형 조건(마주 보는 변의 곱이 같음): $(2+j3)(4-j2)=10Z$
$(2+j3)(4-j2)=8-j4+j12+6=14+j8$ → $Z=1.4+j0.8\,\mathrm{\Omega}$

• −0.8: 허수부 부호를 반대로 본 값이다. 평형 Z는 유도성이다.
• 1: 평형식의 허수부는 $8/10=0.8$로 1이 아니다.
• −1: 크기와 부호가 모두 평형식과 맞지 않는다.

$v(0^+)=6\,\mathrm{V}$, $v(\infty)=18\,\mathrm{V}$이므로 합은 24 V다.

$t<0$ 정상상태: 인덕터 단락, 커패시터 개방. 전류 $\dfrac{18}{6+3}=2\,\mathrm{mA}$이고 커패시터는 3 kΩ과 병렬이므로 $v(0^-)=6\,\mathrm{V}$, 커패시터 전압 연속으로 $v(0^+)=6\,\mathrm{V}$

$t>0$: 3 kΩ 가지가 끊겨 직렬 RLC가 되고, 직류 정상상태에서 전류가 0이므로 저항·인덕터 전압이 0 → $v(\infty)=18\,\mathrm{V}$

• 12: 최종값도 6 V로 유지된다고 본 값이다.
• 18: 초깃값을 0으로 본 값이다.

$\dfrac{I_2}{I_1}=\dfrac{1}{3-j5}$이며, 두 메시 전류가 점 단자를 반대 방향으로 지나 상호유도 항의 부호가 바뀐다.

$\omega=2$: $j\omega L_1=j4$, $j\omega L_2=j6$, $j\omega M=j2$. 시계 방향 기준으로 $i_1$은 1차 점으로 들어가고 $i_2$는 2차 점에서 나온다.

2차 메시: $(10+j6)I_2-j2I_1=0$ → $\dfrac{I_2}{I_1}=\dfrac{j2}{10+j6}=\dfrac{1}{3-j5}$

• $3-j5$: 역수인 $I_1/I_2$를 구한 것이다.
• $\dfrac{2}{3}$: 인덕턴스 비만 본 값으로 10 Ω 부하와 상호 리액턴스가 반영되지 않았다.
• $\dfrac{3}{2}$: 인덕턴스 비를 뒤집은 값으로 역시 부하가 반영되지 않았다.

최대전력 전달 부하는 출력 단자에서 본 테브난 임피던스와 같은 20 Ω이다(순저항이므로 공액도 같다).

입력 측 전원 저항 5 Ω을 포함하면 $Z_{th}=z_{22}-\dfrac{z_{12}z_{21}}{z_{11}+Z_s}$

$Z_{th}=100-\dfrac{50\times40}{20+5}=100-80=20\,\mathrm{\Omega}$

• 10: 테브난 임피던스 20 Ω보다 작아 정합 조건을 만족하지 못한다.
• 30: 테브난 임피던스보다 커서 정합 조건을 만족하지 못한다.
• 40: 테브난 임피던스보다 커서 정합 조건을 만족하지 못한다.

선전류의 크기는 4√3 A다.

Δ→Y 변환: 한 상 $18+j12$를 3으로 나누어 $6+j4$, 선로 $2+j2$를 더하면 한 상 $8+j6$, 크기 $10\,\mathrm{\Omega}$이다.

상전압 $\dfrac{120}{\sqrt{3}}=40\sqrt{3}\,\mathrm{V}$ → $I_L=\dfrac{40\sqrt{3}}{10}=4\sqrt{3}\,\mathrm{A}$

• 12: 선간전압 120 V를 Y 한 상 10 Ω에 그대로 나눈 값이다.
• 4: 선전류를 √3으로 한 번 더 나눈 값으로, Δ 부하의 상전류에 해당한다.

$i(t)=4-2e^{-2500t}$로, 초깃값 2 A에서 최종값 4 A로 증가한다.

$t<0$: 50 V로 정상상태 → $i(0)=\dfrac{50}{25}=2\,\mathrm{A}$. $t>0$: 100 V → $i(\infty)=\dfrac{100}{25}=4\,\mathrm{A}$

$\tau=\dfrac{L}{R}=\dfrac{0.01}{25}=0.4\,\mathrm{ms}$ → $1/\tau=2500$, $i(t)=4+(2-4)e^{-2500t}$

• $4-2e^{-5000t}$: 시정수를 절반으로 잡은 것이다.
• $4+2e^{-2500t}$: 초깃값이 6 A가 되어 인덕터 전류의 연속(2 A)에 어긋난다.
• $4+2e^{-5000t}$: 초깃값과 시정수가 모두 틀렸다.

커패시터에서 본 등가저항이 50 Ω이므로 $\omega_c=\dfrac{1}{50C}=10$에서 커패시턴스는 2 mF다.

가운데 마디 전압은 의존전압원 $5i_a$로 정해진다. 독립전원을 끄면 $i_a=\dfrac{0-5i_a}{10}$에서 $i_a=0$이므로 마디 전압이 0, 즉 오른쪽에서 보면 단락과 같다. 입력이 있으면 $i_a=\dfrac{v_s}{15}$, 마디 전압 $\dfrac{v_s}{3}$이다.

$H(\omega)=\dfrac{1/3}{1+j\omega\cdot50C}$ → $C=\dfrac{1}{50\times10}=2\times10^{-3}\,\mathrm{F}$

• 1 mF: $\omega_c=\dfrac{1}{50\times10^{-3}}=20$으로 조건과 다르다.
• 3 mF: $\omega_c\approx6.7$로 조건과 다르다.
• 4 mF: $\omega_c=5$로 조건과 다르다.

단위이득 Sallen-Key 저역통과 회로로, $H(s)=\dfrac{1}{s^2+\sqrt{2}\,s+1}$이다.

전압폴로어이므로 1 F 마디 전압이 $V_2$다. $R=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, 두 저항 사이 마디를 $V_a$라 하면
1 F 마디: $\dfrac{V_a-V_2}{R}=sV_2$ → $V_a=V_2(1+sR)$
$V_a$ 마디: $V_1-V_a=(V_a-V_2)(1+2sR)$

정리하면 $V_1=V_2(2R^2s^2+2Rs+1)$, $2R^2=1$, $2R=\sqrt{2}$ → $H(s)=\dfrac{1}{s^2+\sqrt{2}\,s+1}$

• $\dfrac{1}{2s^2+2\sqrt{2}\,s+1}$: 2차 계수와 1차 계수가 $2R^2=1$, $2R=\sqrt{2}$와 맞지 않는다.
• $\dfrac{1}{2s^2+\frac{\sqrt{2}}{2}s+1}$: 계수가 소자값과 맞지 않는다.
• $\dfrac{1}{s^2+\sqrt{2}\,s+2}$: 직류이득이 1/2이 되어 전압폴로어의 직류이득 1과 어긋난다.

두 코일 모두 전류가 점 쪽으로 들어가는 가동 결합이므로 $L=4+4+2M$이고, 상호 인덕턴스는 1 mH다.

$f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ → $L=\dfrac{1}{4\pi^2f_0^2C}=\dfrac{1}{4\pi^2\times10^{6}\times\dfrac{10^{-3}}{40\pi^2}}=10\times10^{-3}\,\mathrm{H}$, 즉 합성 인덕턴스 10 mH다.

$8+2M=10$ → $M=1\,\mathrm{mH}$

• 2: 상호 인덕턴스를 한 번만 더한 $8+M=10$으로 푼 값이다.
• 10: 합성 인덕턴스 10 mH를 그대로 M으로 본 값이다.

출력 전압은 −12 V다.

둘째 연산증폭기는 비반전 증폭기로 $v_o=\left(1+\dfrac{6}{3}\right)v_y=3v_y$이다($v_y$: 첫째 증폭기 출력).

첫째 증폭기의 반전 입력은 가상접지이므로 KCL: $\dfrac{5}{1}+\dfrac{v_y}{2}+\dfrac{v_o}{4}=0$ → $5+\dfrac{v_y}{2}+\dfrac{3v_y}{4}=0$ → $v_y=-4\,\mathrm{V}$, $v_o=-12\,\mathrm{V}$

• 12: 반전 구조에 따른 부호를 놓친 값이다.
• −6: 대입하면 $v_y=-2$로 $5-1-1.5\neq0$이 되어 KCL을 만족하지 않는다.

입력 단자를 단락했을 때 $y_{22}=\dfrac{I_2}{V_2}=\dfrac{1}{25}\,\mathrm{S}$이며, 의존전류원 때문에 단순 직렬 저항값과 달라진다.

$V_1=0$이면 가운데 마디(전압 $V_M$)에서 접지로 10 Ω 두 개가 병렬(5 Ω)이고 $I_1=-\dfrac{V_M}{10}$이다.

오른쪽 마디: $I_2=2I_1+\dfrac{V_2-V_M}{10}$, 이 전류가 가운데 마디를 거쳐 접지로 흐르므로 $I_2=\dfrac{V_M}{5}$
$-\dfrac{V_M}{5}+\dfrac{V_2-V_M}{10}=\dfrac{V_M}{5}$ → $V_M=\dfrac{V_2}{5}$, $I_2=\dfrac{V_2}{25}$

• $\dfrac{1}{15}$: 의존전류원을 무시하고 10 Ω과 5 Ω의 직렬로 본 값이다.
• 15: 그 직렬 저항값 자체로, 단위도 어드미턴스가 아니다.
• 25: 어드미턴스의 역수(Ω)이다.

부하(5 H와 25 Ω 병렬)에 전달되는 복소전력은 $\dfrac{25}{\sqrt{2}}\angle45^\circ$이며, 유도성이라 위상각이 +45°다.

$\omega=5$: $j\omega L=j25$. 병렬 임피던스 $Z=\dfrac{25\times j25}{25+j25}=12.5+j12.5=\dfrac{25}{\sqrt{2}}\angle45^\circ$

전류 실효값 페이저 $I=1\angle-10^\circ$이므로 $S=|I|^2Z=\dfrac{25}{\sqrt{2}}\angle45^\circ$

• $\dfrac{25}{\sqrt{2}}\angle-45^\circ$: 유도성 부하의 무효전력 부호를 반대로 본 것이다.
• $25\sqrt{2}\angle45^\circ$: 최댓값 $\sqrt{2}$를 실효값처럼 써서 2배가 된 값이다.
• $25\sqrt{2}\angle-45^\circ$: 최댓값 사용과 부호 오류가 겹친 값이다.

위상 선도에서 극점 꺾임이 ω=1, 영점 꺾임이 ω=10이므로 a=1, b=0.1이다.

적분 항 $1/j\omega$는 −90°로 일정하다. 극점 $1+ja\omega$는 $0.1/a$~$10/a$ 구간에서 −45°/decade로, 영점 $1+jb\omega$는 $0.1/b$~$10/b$ 구간에서 +45°/decade로 위상을 바꾼다.

그래프는 0.1에서 하강을 시작해 극점 구간이 0.1~10 → $1/a=1$. 1부터 평탄(기울기 상쇄)하다가 100에서 −90°로 복귀하므로 영점 구간이 1~100 → $1/b=10$

• a=0.1, b=1: 영점(ω=1)이 극점(ω=10)보다 먼저 작용해 위상이 −90° 위로 올라가야 한다.
• a=1, b=10: 영점이 ω=0.1에서 꺾여 위상이 −90° 위로 먼저 올라가야 한다.
• a=10, b=1: 극점이 ω=0.1에서 꺾여 하강이 0.01부터 시작해야 한다.