22년 1회차

터보코드는 수신 측에서 오류를 직접 고치는 FEC(전진 오류 정정) 방식이므로, 재전송을 요구하는 ARQ 방식의 일종이라는 설명이 옳지 않다.

터보코드는 두 개의 재귀적 콘볼루션 부호화기를 인터리버로 병렬 연결하고 반복 복호를 써서 샤논 한계에 근접하는 성능을 낸다.

• 선형블록코드에 속한다: 구성 부호화기가 선형이고 프레임 단위로 종결해 부호화하므로 선형 블록 부호로 볼 수 있다.
• 인터리버로 두 콘볼루션 부호화기를 결합한다: 터보코드의 기본 구조인 병렬 연접이다.
• 인터리버가 오류 집중을 막는다: 입력 순서를 섞어 연집 오류를 분산시키는 역할도 한다.

실수이면서 우함수인 신호의 푸리에 변환은 실수이고 우함수이다.

실수 신호는 $X(-f)=X^*(f)$를 만족하고, 우함수이면 사인 성분이 상쇄되어 $X(f)=2\int_0^\infty x(t)\cos(2\pi ft)\,dt$가 실수·우함수가 된다.

• 연속 신호이면 스펙트럼이 주기적: 스펙트럼이 주기적이 되는 것은 시간 영역이 이산(샘플링)일 때이다.
• 비주기 신호이면 스펙트럼이 이산: 이산 스펙트럼은 주기 신호에서 나타나며, 비주기 신호는 연속 스펙트럼을 갖는다.
• 실수·기함수이면 허수·우함수: 실수 기함수의 변환은 허수이고 기함수이다.

카슨 대역폭은 120 Hz이다.

위상 항 $5\sin(20\pi t)$에서 변조지수 $\beta=5$, 변조 주파수 $f_m=\dfrac{20\pi}{2\pi}=10\,\mathrm{Hz}$이다.

공식: $B=2(\beta+1)f_m$
대입: $B=2(5+1)\times10=120\,\mathrm{Hz}$

반송파 주파수는 대역폭과 무관하며, 최대 주파수 편이 $\Delta f=\beta f_m=50\,\mathrm{Hz}$와 $f_m$의 합의 2배로 보아도 같다.

에일리어싱은 신호 최고 주파수의 2배인 나이퀴스트 주파수보다 낮게 샘플링할 때 발생한다.

샘플링 주파수가 부족하면 주기적으로 반복되는 스펙트럼 사본이 서로 겹쳐, 고주파 성분이 저주파로 접혀 들어간다.

• 나이퀴스트 주파수보다 2배 높게 샘플링: 오버샘플링이므로 스펙트럼 사본 사이 간격이 넓어 겹침이 없다.
• 나이퀴스트 주기보다 짧게 샘플링: 샘플 간격이 짧다는 것은 샘플링 주파수가 높다는 뜻이므로 겹침이 생기지 않는다.
• 나이퀴스트 주파수로 샘플링: 사본이 맞닿을 뿐 겹치지 않아 이론상 이상적 필터로 복원 가능한 경계 조건이다.

DSB-SC는 반송파를 억압하므로 변조 신호 스펙트럼의 반송파 주파수 위치에 임펄스가 나타나지 않는다.

$m(t)\cos(2\pi f_ct)$의 스펙트럼은 $\dfrac{1}{2}\left[M(f-f_c)+M(f+f_c)\right]$로 반송파 성분이 따로 없으며, 임펄스는 반송파를 포함하는 일반 AM에서 나타난다.

• 정보 스펙트럼을 반송파 주파수만큼 이동: 위 식처럼 $\pm f_c$로 천이된다.
• 주파수·위상은 고정하고 진폭만 변화: 진폭 변조의 한 형태이다.
• 반송파를 중심으로 상·하측파대: $M(f)$의 양·음 주파수 성분이 각각 상측파대와 하측파대가 된다.

특성함수를 기댓값 정의로 적분하면 $\Phi_X(w)=\dfrac{1}{j2w}\left(e^{j2w}-1\right)$이다.

정의: $\Phi_X(w)=E\left[e^{jwX}\right]=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)e^{jwx}\,dx$
대입: $\Phi_X(w)=\int_0^2\dfrac{1}{2}e^{jwx}\,dx=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{e^{j2w}-1}{jw}$
결과: $\Phi_X(w)=\dfrac{1}{j2w}\left(e^{j2w}-1\right)$

적분 상한이 2이므로 지수는 $e^{j2w}$이고, 밀도 $\dfrac{1}{2}$ 때문에 분모에 2가 붙는다는 점으로 나머지 형태를 걸러낸다.

(7, 4) 해밍 코드는 1비트 오류까지 정정하므로, 7비트 중 오류가 2개 이상일 때만 부호어 오류가 된다.

오류 0개: $(1-p)^7$
오류 1개: $\binom{7}{1}p(1-p)^6=7p(1-p)^6$
부호어 오류확률: $P_e=1-(1-p)^7-7p(1-p)^6$

• $1-(1-p)^7$: 정정 능력을 무시하고 한 비트라도 틀리면 오류로 본 식이다.
• $1-(1-p)^4$: 부호어 길이 7 대신 정보 비트 수 4를 쓴 함정이며 정정 능력도 반영하지 않았다.
• $1-(1-p)^4-4p(1-p)^3$: 정정 능력은 반영했지만 부호어 길이를 정보 비트 수로 잘못 잡았다.

$y(t)$는 폭 4·높이 1 구형파와 폭 1·높이 1 구형파의 합이므로 $Y(f)=\mathrm{sinc}(f)+4\,\mathrm{sinc}(4f)$이다.

폭 $T$, 높이 1인 원점 중심 구형파의 푸리에 변환은 $T\,\mathrm{sinc}(fT)$이다(주어진 $x(t)$는 폭 2라서 $2\,\mathrm{sinc}(2f)$).

그래프는 구간 $-2\le t\le 2$에서 높이 1, 구간 $-\tfrac{1}{2}\le t\le \tfrac{1}{2}$에서 1이 더해져 높이 2이다.
폭 4 성분: $4\,\mathrm{sinc}(4f)$
폭 1 성분: $\mathrm{sinc}(f)$

• $2\,\mathrm{sinc}(f)+\mathrm{sinc}(4f)$는 두 구형파의 폭과 계수(면적)를 뒤바꾼 식이다.
• 주파수 이동 항 $\mathrm{sinc}(2f\pm 1)$, $\mathrm{sinc}(2f\pm 2)$은 변조(코사인 곱)에서 생기며, 단순 구형파 합에는 나타나지 않는다.

여사건으로 구하면 불량품이 적어도 하나 포함될 확률은 $\dfrac{9}{10}$이다.

불량품이 하나도 없으려면 정상품 3개를 모두 골라야 한다.

전체 경우: $\binom{5}{3}=10$
불량품 0개: $\binom{3}{3}=1$
결과: $1-\dfrac{1}{10}=\dfrac{9}{10}$

FM과 PM은 모두 비선형 변조여서 중첩의 원리가 적용되지 않으므로, FM에만 중첩의 원리가 적용된다는 설명이 옳지 않다.

각변조 신호 $\cos\left(2\pi f_ct+\phi(t)\right)$는 메시지가 위상 안에 들어가므로 두 메시지의 합에 대한 출력이 각 출력의 합이 되지 않는다.

• FM 파형의 무한 측파대: 베셀 함수 전개에 따라 이론상 $f_c\pm nf_m$의 측파대가 무한히 존재한다.
• PM·FM은 진폭에 변화를 주지 않음: 정보는 위상·주파수에만 실리고 진폭은 일정하다.
• 광대역 PM·FM은 AM보다 잡음에 강함: 넓은 대역폭을 대가로 출력 SNR을 높인다.

변조지수는 0.75이다.

정현파 AM의 최대 크기: $A_{\max}=A_c(1+m)$
대입: $2.8=1.6(1+m)$
결과: $m=\dfrac{2.8}{1.6}-1=0.75$

최대 크기를 반송파 진폭으로 바로 나눈 값과 혼동하지 않도록 포락선 최댓값 관계식을 쓴다.

8-PSK는 심볼당 3비트를 전송하므로 심볼 지속시간은 0.3 ms이다.

비트 지속시간: $T_b=\dfrac{1}{10\times10^3}=0.1\,\mathrm{ms}$
심볼 지속시간: $T_s=T_b\log_2 8=3\times0.1=0.3\,\mathrm{ms}$

비트 지속시간을 그대로 심볼 지속시간으로 답하는 것이 흔한 함정이다.

정해진 패턴에 따라 반송파 주파수가 불연속적으로 천이하는 것은 주파수 도약(FHSS)의 특징이므로 DSSS 설명으로 옳지 않다.

DSSS는 데이터에 고속 PN 부호를 직접 곱해 대역을 넓히며, 반송파 주파수는 고정된다.

• 간섭 신호 확산·감소: 수신 시 역확산하면 원하는 신호는 모이고 간섭은 넓게 퍼져 처리 이득만큼 억압된다.
• DS-CDMA의 원근 문제: 가까운 사용자의 강한 신호가 먼 사용자 신호를 가리므로 전력 제어가 필요하다.
• 직교성 있는 확산 부호·PN 부호 사용: 사용자 구분과 역확산에 상관 특성이 좋은 부호를 쓴다.

구간이 양수 영역이므로 절댓값을 풀어 적분하면 확률은 $\dfrac{1}{2}\left(e^{-\beta}-e^{-3\beta}\right)$이다.

적분: $P(1\le X\le3)=\int_1^3\dfrac{\beta}{2}e^{-\beta x}\,dx$
계산: $=\dfrac{1}{2}\left[-e^{-\beta x}\right]_1^3=\dfrac{1}{2}\left(e^{-\beta}-e^{-3\beta}\right)$

확률은 0과 1 사이의 양수여야 하므로, $\beta\gt0$에서 지수가 양인 식(1을 넘음)이나 순서가 뒤바뀐 식(음수)은 성립하지 않는다.

독립이면 $P(A|B)=P(A)$이므로 $\dfrac{P(A)P(A|B)}{P(B)}=\dfrac{P(A)^2}{P(B)}$는 $P(A)\neq P(B)$ 조건에서 조건부 확률과 다르다.

나머지는 정의·독립성·베이즈 정리로 모두 $P(A|B)$와 같다.

• $P(A)$: 독립 사건의 조건부 확률은 무조건부 확률과 같다.
• $\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$: 조건부 확률의 정의 그 자체이다.
• 분모에 전확률을 둔 식: $P(A)P(B|A)+P(A^c)P(B|A^c)=P(B)$이므로 베이즈 정리에 의해 $P(A|B)$가 된다.

WSS 과정의 평균 전력은 자기상관 함수의 원점값이므로 10이다.

관계식: $P=E\left[X^2(t)\right]=R(0)$
대입: $R(0)=10e^{0}=10$

PSD를 전 주파수에서 적분해도 같은 값이 나오며, 지수 감쇠 계수는 전력이 아니라 상관 시간(대역폭)만 결정한다.

필터가 2.5 Hz 이하만 통과시키므로 직류와 2 Hz 성분만 남아 출력 평균 전력은 $\dfrac{33}{8}$이다.

통과 대역: $|f|\le2.5\,\mathrm{Hz}$
성분 주파수: $\cos(4\pi t)\rightarrow2\,\mathrm{Hz}$(통과), $\sin(8\pi t)\rightarrow4\,\mathrm{Hz}$(차단)

직류 전력: $2^2=4$
정현파 전력: $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{8}$
합계: $4+\dfrac{1}{8}=\dfrac{33}{8}$

정현파 전력은 진폭 제곱의 절반임에 유의한다.

순환 전치(CP)는 열잡음을 줄이는 것이 아니라 다중경로 지연에 의한 심볼 간 간섭(ISI)과 부반송파 간 간섭을 막기 위해 쓰므로 옳지 않다.

CP 길이를 최대 지연 확산보다 길게 두면 선형 컨볼루션이 순환 컨볼루션이 되어 부반송파 직교성이 유지된다.

• 주파수 편차·위상 잡음에 취약: 부반송파 간격이 좁아 주파수 오프셋이 생기면 직교성이 깨져 ICI가 발생한다.
• 직교 부반송파로 스펙트럼 효율 향상: 부반송파 스펙트럼이 겹쳐도 직교하므로 보호 대역 없이 촘촘히 배치한다.
• 주파수 선택적 페이딩에서 간단한 등화기: 각 부반송파가 평탄 페이딩을 겪으므로 부반송파마다 1탭 등화로 충분하다.

평균 비트에너지가 같을 때 동기 BFSK는 직교 신호여서 대척 신호보다 신호 간 거리가 짧아 비트오류확률이 가장 높다.

동기 BFSK: $P_b=Q\left(\sqrt{\dfrac{E_b}{N_0}}\right)$
동기 BPSK: $P_b=Q\left(\sqrt{\dfrac{2E_b}{N_0}}\right)$

• 동기 BPSK: 대척 신호로 이진 변조 중 가장 낮은 수준의 오류확률을 갖는다.
• 동기 QPSK: 직교 두 축에 BPSK를 하나씩 실은 것과 같아 비트오류확률이 BPSK와 같다.
• 동기 MSK: 최적 수신 시 OQPSK와 등가여서 BPSK와 같은 비트오류확률을 갖는다.

최소 전송 대역폭은 21 kHz이다.

이진 전송이므로 심볼률은 비트율과 같다: $R_s=28\times10^3\,\mathrm{symbol/s}$

공식: $B=\dfrac{R_s}{2}(1+\alpha)$
대입: $B=\dfrac{28}{2}(1+0.5)=21\,\mathrm{kHz}$

롤오프가 0일 때의 나이퀴스트 최소 대역폭이나 비트율 값 자체를 대역폭으로 쓰는 Hz/bps 혼동에 주의한다.

두 성상도는 최소 신호점 간 거리가 2로 같아 비트오류확률은 같고, 평균 전송 에너지는 (가)가 더 크다.

(가): 점 $(\pm1,\pm1)$ 4개의 에너지 2, 점 $(\pm1,\pm3)$ 4개의 에너지 10
$E_{avg}=\dfrac{4\times 2+4\times 10}{8}=6$

(나): 바깥 점 $(\pm(1+\sqrt{3}),0)$, $(0,\pm(1+\sqrt{3}))$의 에너지 $(1+\sqrt{3})^2=4+2\sqrt{3}\approx 7.46$
$E_{avg}=\dfrac{4\times 2+4\times 7.46}{8}\approx 4.73$
최소 거리: $(1,1)$과 $(1+\sqrt{3},0)$ 사이 $\sqrt{3+1}=2$로 (가)와 같다.

• (나)의 평균 에너지가 더 크다는 진술은 계산 결과(약 4.73 < 6)와 반대이다.
• (가)의 에너지가 커서 오류확률이 더 낮다는 진술은 최소 거리가 같아 오류확률에 차이가 없다는 점과 맞지 않는다.
• (나)의 에너지가 커서 오류확률이 더 낮다는 진술은 에너지 대소와 오류확률 비교가 모두 틀렸다.

$X$와 $Y$는 분포가 같아 엔트로피가 같고, 계산하면 $\dfrac{31}{16}$ bits/symbol이다.

공식: $H(X)=-\sum p_k\log_2 p_k=\sum_{k=1}^{5}k\,2^{-k}+5\cdot2^{-5}$
대입: $\dfrac{16+16+12+8+5}{32}+\dfrac{5}{32}=\dfrac{62}{32}=\dfrac{31}{16}$

• 엔트로피 최대: 6개 값에서 엔트로피가 최대인 것은 균등분포($\log_2 6$)일 때이다.
• $H(X,Y)\gt H(X)+H(Y)$: 결합 엔트로피는 항상 합 이하이며 독립이면 등호가 성립한다.
• $H(X|Y)\lt H(X)$: 독립이면 $Y$가 $X$에 대한 정보를 주지 않아 $H(X|Y)=H(X)$이다.

네 코드는 서로 직교하는 왈시 코드이므로 네 송신기가 동시에 전송할 수 있어, 동시 전송이 불가능하다는 설명이 옳지 않다.

예컨대 둘째·셋째 코드의 내적은 $(+1)(+1)+(-1)(+1)+(+1)(-1)+(-1)(-1)=0$이며, 서로 다른 모든 쌍이 이와 같이 0이다.

• 송신 코드로 복호: 수신 측이 같은 코드와 상관해야 해당 사용자의 데이터만 역확산된다.
• 다른 코드 내적 0·같은 코드 내적 4: 성분이 ±1인 길이 4 코드의 자기 내적은 4이다.
• 주파수·시간 공유: 사용자를 코드로 구분하므로 같은 대역과 같은 시간을 공유한다.

동기 BFSK에서 두 반송파가 직교하는 최소 주파수 간격은 $\dfrac{1}{2T}$이다.

직교 조건: $\int_0^T\cos(2\pi f_1t)\cos(2\pi f_2t)\,dt\approx\dfrac{\sin(2\pi\Delta fT)}{4\pi\Delta f}=0$
최소 해: $2\pi\Delta fT=\pi\Rightarrow\Delta f=\dfrac{1}{2T}$

• $\dfrac{1}{T}$: 위상 정보를 쓰지 않는 비동기 FSK의 최소 간격이다.
• $\dfrac{\pi}{T}$: 최소 간격을 각주파수(rad/s)로 나타낸 값이어서, Hz 단위로 묻는 간격과 단위가 맞지 않는다.
• $\dfrac{\pi}{2T}$: rad/s 단위로 보면 $\dfrac{1}{4T}$ Hz여서 직교 조건을 만족하지 않는다.

허프만 부호의 평균 길이는 1.5 bit이다.

확률: $D=0.6,\ B=0.3,\ A=0.08,\ C=0.02$
병합: 가장 작은 C와 A를 묶어 0.1, 이를 B와 묶어 0.4, 마지막으로 D와 묶는다.

부호 길이: $D=1,\ B=2,\ A=3,\ C=3$
평균: $0.6(1)+0.3(2)+0.08(3)+0.02(3)=1.5$

확률이 클수록 짧은 부호가 배정되는 구조를 확인하면 된다.