22년 1회차

40명의 평균은 70.5점, 중앙값은 76점이다.

평균: 기존 총점 $35\times70=2450$, 추가 5명 합 $370$
$\dfrac{2450+370}{40}=\dfrac{2820}{40}=70.5$

중앙값: 기존 35명은 76점 아래 17명, 76점 1명, 위 17명이다. 추가값 중 61·75는 아래, 77·81은 위, 76은 같은 값이므로 40명은 아래 19명, 76점 2명, 위 19명이 된다. 스무 번째와 스물한 번째 값이 모두 76이라 중앙값은 76이다.

• 평균 71.0은 총점을 잘못 합산한 값이다.
• 중앙값 75는 추가된 76점을 아래쪽으로 잘못 센 결과이다.

검정통계량은 $\frac{20}{3}$이고 임계값 6.25보다 커서 귀무가설을 기각한다.

기대도수(80을 3:4:2:1로 배분): 24, 32, 16, 8

$\chi^2=\dfrac{2^2}{24}+\dfrac{8^2}{32}+\dfrac{8^2}{16}+\dfrac{2^2}{8}=\dfrac{1}{6}+2+4+\dfrac{1}{2}=\dfrac{20}{3}\approx6.67$
범주 4개이므로 자유도 3, $\chi^2_{0.1}(3)=6.25$와 비교한다.

• 기각하지 못한다는 결론은 6.67 > 6.25 이므로 틀리다.
• $\frac{43}{6}$은 기대도수 계산을 잘못한 값이다.
• 자유도를 4로 보아 7.78과 비교하면 안 된다(범주 수 − 1 = 3).

최소제곱 회귀식은 $\hat{Y}=40+2x$이다.

최소제곱 추정: $S_{xx}=1200-\dfrac{100^2}{20}=700$, $S_{xy}=6400-\dfrac{100\times1000}{20}=1400$

기울기 $b=\dfrac{1400}{700}=2$
절편 $a=\bar{y}-b\bar{x}=50-2\times5=40$

• $\hat{Y}=20+2x$는 $(\bar{x},\bar{y})=(5,50)$에서 30이 되어 평균점을 지나지 않는다.
• $\hat{Y}=40+x$는 기울기가 $S_{xy}/S_{xx}=2$와 다르다.
• $\hat{Y}=20+x$는 기울기와 절편이 모두 맞지 않는다.

세 표본의 상관계수는 A(완전 선형, 1) > B(강한 양의 상관) > C(상관 없음, 0) 순서다.

A는 (1, 1.5), (2, 2), (3, 2.5), (4, 3)으로 모든 점이 기울기 0.5인 한 직선 위에 있어 상관계수가 1이다.

B는 (1, 1), (2, 2.5), (3, 3), (4, 5)로 증가 추세지만 직선에서 약간 벗어난다.
$S_{xy}=6.25,\ S_{xx}=5,\ S_{yy}=8.1875$
$r=\dfrac{6.25}{\sqrt{5\times 8.1875}}\approx 0.977$

C는 (1, 4), (2, 3.5), (3, 3.5), (4, 4)로 U자 모양이라 $S_{xy}=0$, 즉 선형 상관계수가 0이다(비선형 관계는 피어슨 상관계수로 잡히지 않는다).

• A, C, B 순서: C의 상관계수(0)가 B(약 0.977)보다 작으므로 틀리다.
• B, A, C 순서: 모든 점이 직선 위에 있는 A가 1로 최대이므로 B가 A보다 클 수 없다.
• C, B, A 순서: 크기 순서를 정반대로 나열한 것이다.

우측검정의 기각역은 $F_0\gt F_\alpha(n_1-1,\ n_2-1)$이며, 이는 $F_0\gt \dfrac{1}{F_{1-\alpha}(n_2-1,\ n_1-1)}$과 같다.

귀무가설하에서 $F_0\sim F(n_1-1,\ n_2-1)$이고, F분포의 역수 성질 $F_{1-\alpha}(k_2,k_1)=\dfrac{1}{F_\alpha(k_1,k_2)}$을 쓰면 위 형태가 된다.

• $F_{1-\alpha}(n_1-1,\ n_2-1)$은 하위 꼬리 분위수라 기각역이 지나치게 넓어진다.
• $F_\alpha(n_2-1,\ n_1-1)$은 분자·분모 자유도가 뒤바뀌었다.
• $\dfrac{1}{F_\alpha(n_1-1,\ n_2-1)}$은 하위 꼬리 분위수로, 좌측검정에 쓰는 값이다.

제2종 오류 확률의 최댓값은 $\frac{5}{6}$이다.

제2종 오류는 대립가설이 참인데 기각하지 못하는 것, 즉 흰 공이 6개 이상인데 세 개가 모두 흰색이 아닐 확률이다. 흰 공이 적을수록 이 확률이 커지므로 흰 공 6개일 때 최대다.

$1-\dfrac{\binom{6}{3}}{\binom{10}{3}}=1-\dfrac{20}{120}=\dfrac{5}{6}$

• $\frac{1}{6}$은 흰 공 6개일 때 기각할 확률(검정력)이다.
• $\frac{1}{12}$은 흰 공 5개일 때 기각할 확률로, 제1종 오류 확률의 최댓값이다.
• $\frac{11}{12}$은 흰 공 5개일 때 기각하지 않을 확률로, 대립가설 하의 값이 아니다.

편의는 $\frac{2-3p}{n+3}$이다.

$E(Y)=np$이므로 $E(\hat{p})=\dfrac{np+2}{n+3}$

$E(\hat{p})-p=\dfrac{np+2-(n+3)p}{n+3}=\dfrac{2-3p}{n+3}$
즉 이 추정량은 편의추정량이다.

• 편의가 0이라는 것은 분자의 상수 2와 분모의 3 때문에 성립하지 않는다.
• $\frac{-3p}{n+3}$은 분자의 상수 2를 빠뜨린 값이다.
• $\frac{1-2p}{n+3}$은 계산 오류로 나온 값이다.

옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

$X\sim U(2,4)$: 평균 3, 분산 $\dfrac{(4-2)^2}{12}=\dfrac{1}{3}$

• ㄱ(옳음): $E(X_1^2)=\dfrac{1}{3}+3^2=\dfrac{28}{3}$
• ㄴ(옳음): $X_{10}$은 열 번째 표본 하나이므로 $P(X_{10}\gt x)=\dfrac{4-x}{2}=2-\dfrac{x}{2}$
• ㄷ(틀림): 최대 순서통계량의 기대값은 $2+2\times\dfrac{10}{11}=\dfrac{42}{11}$로 $\dfrac{19}{5}$가 아니다.

유의확률은 $\Phi(-4)$이다.

합동비율 $\hat{p}=\dfrac{80+120}{400}=0.5$
표준오차 $\sqrt{0.5\times0.5\left(\dfrac{1}{200}+\dfrac{1}{200}\right)}=0.05$

$Z=\dfrac{0.4-0.6}{0.05}=-4$, 좌측검정이므로 $p=P(Z\le-4)=\Phi(-4)$

• $\Phi(-1)$은 표준오차를 0.2로 잡아야 나오는 값이다.
• $\Phi(-2)$는 표준오차를 0.1로 잡아야 나오는 값이다.
• $\Phi(-3)$도 합동비율 표준오차 0.05와 맞지 않는다.

두 번 모두 양성일 때 감염 확률은 $\frac{36}{47}$이다.

베이즈 정리: 감염자 두 번 양성 $0.9^2=0.81$, 비감염자 $0.05^2=0.0025$

$\dfrac{0.01\times0.81}{0.01\times0.81+0.99\times0.0025}=\dfrac{0.0081}{0.010575}=\dfrac{36}{47}$

• $\frac{2}{13}$은 검사를 한 번만 했을 때의 사후확률이다.
• $\frac{9}{20}$은 두 번 양성일 때의 사후확률 식과 맞지 않는다.
• $\frac{361}{757}$도 위 베이즈 식의 결과와 다르다.

차이의 제곱이 가장 큰 메뉴는 김치찌개이다.

귀무가설하 기대도수는 각 $\dfrac{40}{4}=10$이다.

• 김치찌개: $(18-10)^2=64$로 가장 크다.
• 돈가스: $(10-10)^2=0$
• 햄버거: $(7-10)^2=9$
• 자장면: $(5-10)^2=25$

옳지 않은 것은 B와 C의 변동계수가 같다는 설명이다.

A의 표준편차를 $s$라 하면 B는 A에 5를 더한 자료라 $s$, C는 A의 2배라 $2s$, D는 C에서 5를 뺀 자료라 $2s$이다. 평균은 A 30, B 35, C 60, D 55이다.

변동계수 = 표준편차/평균: B는 $\dfrac{s}{35}$, C는 $\dfrac{2s}{60}=\dfrac{s}{30}$로 다르다.

• A와 B 표준편차가 같다: 상수를 더해도 산포는 불변이므로 옳다.
• A와 C 변동계수가 같다: 둘 다 $\dfrac{s}{30}$로 옳다.
• C와 D 표준편차가 같다: 둘 다 $2s$로 옳다.

옳지 않은 것은 추정 회귀식에서 $x_3$ 항을 뺀 설명이다.

$x_3$의 계수가 유의하지 않더라도 적합된 모형의 추정식에는 그대로 포함되므로 $\hat{Y}=77.89-19.33x_1+0.48x_2-0.11x_3$이다.

• 결정계수 $R^2=\dfrac{SSR}{SST}=\dfrac{4540.6}{6802.6}$이므로 옳다.
• F검정 p값 0.000 < 0.01이므로 1 %에서 모형이 유의하다.
• $\beta_3$의 p값 0.514 > 0.05이므로 귀무가설을 기각하지 못한다.

F값 7.5가 $F_{0.01}(2,12)=6.93$보다 커서 유의수준 1 %에서 차이가 있다.

자유도: 처리 2, 오차 12, 전체 14
처리제곱합 $150\times2=300$, 오차제곱합 $540-300=240$

$MSE=\dfrac{240}{12}=20$, $F=\dfrac{150}{20}=7.5$

• 10 %에서 차이가 없다는 해석은 7.5 > 2.81이므로 틀리다.
• 5 %에서 차이가 없다는 해석은 7.5 > 3.89이므로 틀리다.
• 1 %에서 차이가 없다는 해석은 7.5 > 6.93이므로 틀리다.

유의한 요인은 인자 A와 교호작용 A × B이다.

자유도: A 2, B 3, A×B 6, 오차 $36-1-11=24$, $MSE=\dfrac{24.0}{24}=1$

• 인자 A: $F=\dfrac{8.0}{2}=4.0\gt 3.40$로 유의하다.
• 인자 B: $F=\dfrac{8.7}{3}=2.9\lt 3.01$로 유의하지 않다.
• A × B: $F=\dfrac{15.6}{6}=2.6\gt 2.51$로 유의하다.

연평균 증가율은 $100(\sqrt{3}-1)$ %이다.

증가율의 평균은 기하평균으로 구한다. 2년간 배율 $\dfrac{30000}{10000}=3$

연평균 배율 $\sqrt{3}$, 증가율 $\sqrt{3}-1$

• $100\sqrt{3}$ %는 배율에서 1을 빼지 않은 값이다.
• 75 %는 연간 증가율 50 %와 100 %를 산술평균한 값이다.
• 175 %는 배율 1.5와 2의 산술평균 1.75를 증가율로 잘못 읽은 값이다.

옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

A 기대도수 27.5: $\chi_A^2=\dfrac{2.5^2+12.5^2+2.5^2+12.5^2}{27.5}=\dfrac{325}{27.5}\approx11.8$
B 기대도수 275: $\chi_B^2=\dfrac{25^2+125^2+75^2+75^2}{275}=100$

• ㄱ(틀림): 각 지역에서 단일 분포가 균등한지를 보는 적합도검정이며, 두 지역 분포를 비교하는 동질성검정이 아니다.
• ㄴ(옳음): $\dfrac{100}{11.8}\approx8.5\lt 10$
• ㄷ(옳음): 자유도가 3으로 같고 $\chi_B^2$가 더 크므로 $p_B\lt p_A$

F 검정통계량은 $\frac{25}{6}$이다.

자유도: 처리 4, 오차 $30-5=25$
처리제곱합 $250\times4=1000$, 오차제곱합 $1.5\times1000=1500$

$MSE=\dfrac{1500}{25}=60$, $F=\dfrac{250}{60}=\dfrac{25}{6}$

• $\frac{23}{6}$, $\frac{23}{5}$, $\frac{26}{5}$는 오차 자유도나 제곱합을 잘못 잡은 값이다.

ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

표준화변수는 평균 0, 분산 1이므로 공분산이 곧 원변수의 상관계수가 된다.

• ㄱ(옳음): $Cov(Z,W)=\dfrac{Cov(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}=Corr(X,Y)$
• ㄴ(옳음): $Corr(W,Z)=\dfrac{Cov(W,Z)}{1\times1}=Cov(W,Z)$
• ㄷ(옳음): $Var(W+Z)=1+1+2(-1)=0$이고 $E(W+Z)=0$이므로 확률 1로 0이다.

$E(X)=\frac{17}{9}$이므로 $E(9X)$는 17이다.

검은 공을 꺼내면 흰 공으로 바뀌므로 시행마다 흰 공 확률이 커진다(첫 회 $\frac{1}{3}$, 두 번째 $\frac{2}{3}$, 세 번째 1).

$P(X=1)=\dfrac{1}{3}$, $P(X=2)=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}$, $P(X=3)=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{3}\times1=\dfrac{2}{9}$
$E(X)=\dfrac{3+8+6}{9}=\dfrac{17}{9}$

옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

원자료 총제곱합 10, 결정계수 0.5. $y^*=5+10y$이면 모든 제곱합이 100배가 되고, $x$의 선형변환은 제곱합에 영향을 주지 않는다.

• ㄱ(틀림): 변환 후 총제곱합은 $100\times10=1000$이다.
• ㄴ(옳음): 결정계수는 선형변환에 불변이라 $\dfrac{5}{10}=0.5$이다.
• ㄷ(옳음): $t^2=F=\dfrac{5/1}{5/5}=5$, $|t|=\sqrt{5}\approx2.24\lt 2.57$이므로 기각하지 못한다.

옳은 것은 ㄷ뿐이다.

$x=0$에서 좌우 극한이 모두 0이라 연속이고, $x=\frac{1}{2}$에서 $\frac{1}{4}$에서 1로 점프한다.

• ㄱ(틀림): $x=0$에서는 연속이다.
• ㄴ(틀림): $P(X=\frac{1}{2})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$이다.
• ㄷ(옳음): $f(x)=\dfrac{d}{dx}x^2=2x$

상수 $c$는 $\frac{1}{2}t_{0.1}(14)$이다.

$\bar{X}-\bar{Y}\sim N\!\left(1,\ \sigma^2\left(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}\right)\right)=N\!\left(1,\ \dfrac{\sigma^2}{4}\right)$

합동분산 t통계량 $T=\dfrac{\bar{X}-\bar{Y}-1}{S_p/2}\sim t(14)$
$P(T\ge2c)=0.1$에서 $2c=t_{0.1}(14)$

• $\frac{1}{4}t_{0.1}(14)$는 표준오차를 분산 계수 그대로 쓴 값이다.
• $\frac{1}{3}t_{0.1}(14)$는 표본크기와 맞지 않는다.
• $t_{0.1}(14)$는 $\sqrt{1/8+1/8}$을 빠뜨린 값이다.

같은 피실험자를 두 번 측정했으므로 대응비교를 하며, 유의수준 5 %에서 차이가 없다.

대응비교 자유도 $10-1=9$, 대립가설이 양측이므로 임계값 $t_{0.025}(9)=2.26$을 쓴다. $|-1.9|\lt 2.26$이라 기각하지 못한다.

• 대응비교로 차이가 있다는 결론은 단측 임계값 1.83과 비교한 오류다.
• 독립 두 표본 비교는 동일 대상 반복측정이라 부적절하다(자유도 18 사용 불가).
• 독립 표본으로 차이가 있다는 설명도 같은 이유로 틀리다.

구하는 값은 $\frac{2}{3}$이다.

$P(C)=p$라 하면 독립이므로 $2p\times2p\times p=4p^3=\dfrac{4}{27}$, $p=\dfrac{1}{3}$, $P(A)=P(B)=\dfrac{2}{3}$

$P(A\cup B)=\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{9}=\dfrac{8}{9}$, $P(B\cap C)=\dfrac{2}{9}$
$\dfrac{8}{9}-\dfrac{2}{9}=\dfrac{2}{3}$

• $\frac{2}{9}$는 $P(B\cap C)$ 자체의 값이다.
• $\frac{7}{9}$는 $\frac{8}{9}-\frac{2}{9}$의 결과와 다르다.
• $\frac{5}{6}$도 독립 조건으로 구한 값과 맞지 않는다.