22년 1회차

철심을 넣은 솔레노이드 내부 자속밀도는 $6.4\pi\ \mathrm{Wb/m^2}$이다.

매우 긴 솔레노이드 내부 자계는 $H=\dfrac{NI}{l}$이고, 자속밀도는 $B=\mu_0\mu_r H$이다.
$H=\dfrac{400\times10}{0.5}=8000\ \mathrm{A/m}$
$B=4\pi\times10^{-7}\times2000\times8000=6.4\pi\ \mathrm{Wb/m^2}$

• $3.2\pi$: 계산값의 절반으로, 길이를 두 배(1 m)로 잡은 경우의 값이다.
• $4.8\pi$: 계산값보다 작아 맞지 않는다.
• $5.6\pi$: 계산값보다 작아 맞지 않는다.

점 (0, 3, 4)의 전계는 $-54\pi\,\mathrm{a}_x\ \mathrm{V/m}$이다.

무한 면전하의 전계는 거리와 무관하게 $E=\dfrac{\rho_s}{2\varepsilon_0}$이며, 양전하면은 밖으로, 음전하면은 안으로 향한다.

x=8 면(+3): 점이 왼쪽이므로 $-\mathrm{a}_x$ 방향, 크기 비례값 3
x=4 면(−4): 면 쪽으로 끌리므로 $+\mathrm{a}_x$ 방향, 비례값 4
x=−1 면(−4): 점이 오른쪽이므로 $-\mathrm{a}_x$ 방향, 비례값 4
$\mathrm{E}=\dfrac{(-3+4-4)\times10^{-9}}{2\varepsilon_0}\mathrm{a}_x=-\dfrac{3\times10^{-9}\times36\pi\times10^{9}}{2}\mathrm{a}_x=-54\pi\,\mathrm{a}_x$

• $\mathrm{a}_x 54\pi$: 크기는 같지만 방향(부호)이 반대이다.
• $-\mathrm{a}_x 108\pi$: 면전하 전계의 분모 2를 빠뜨린 값이다.
• $\mathrm{a}_x 108\pi$: 분모 2를 빠뜨리고 방향까지 반대로 잡은 값이다.

원점의 자계 크기는 $\dfrac{1}{4}\,\mathrm{A/m}$이다.

원형 전류 중심의 자계는 $H=\dfrac{I}{2a}$이고, 반원은 그 절반이므로 $H=\dfrac{I}{4a}$이다.
$H=\dfrac{0.01}{4\times0.01}=\dfrac{1}{4}\,\mathrm{A/m}$

• $\dfrac{1}{2}$는 반원을 원 전체로 보고 $I/2a$를 그대로 쓴 값이다.
• $\dfrac{1}{4\pi}$는 비오-사바르 법칙의 $4\pi$를 적분 후에도 분모에 남긴 오류다.
• $\dfrac{1}{8\pi}$는 원 전체 공식에 같은 $\pi$ 오류가 겹친 값이다.

시변자계는 $-\mathrm{a}_x\dfrac{10^3}{120\pi}\sin(\omega t-\beta z)$이다.

평면파에서 $\mathrm{H}$는 $\mathrm{E}$와 같은 위상이고 크기는 $\dfrac{E}{\eta_0}$이며, 방향은 $\mathrm{a}_k\times\mathrm{a}_E$로 정한다.
$\mathrm{a}_z\times\mathrm{a}_y=-\mathrm{a}_x$

• $\mathrm{a}_y$ 방향 자계: 자계는 전계와 수직이어야 하므로 전계와 같은 방향일 수 없다.
• $-\mathrm{a}_y$ 방향 코사인 자계: 전계와 같은 축(y축) 방향이어서 수직 조건을 어기고, 위상도 90° 어긋나 있다.
• $+\mathrm{a}_x$ 방향 코사인 자계: 방향이 반대이고 무손실 매질에서는 전계와 위상이 같아야 하므로 코사인이 될 수 없다.

주어진 면을 통과하는 자속은 1 Wb이다.

면이 $x=3$ 평면이므로 법선은 $\mathrm{a}_x$이고, $B_x=y^2$ 성분만 자속에 기여한다.
$\Phi=\int_{1}^{4}\int_{0}^{1}y^2\,dy\,dz$
$=\dfrac{1}{3}\times3=1\ \mathrm{Wb}$

• 2: 적분값의 두 배로, 계산 결과와 맞지 않는다.
• 3: $y^2$의 적분 $\tfrac{1}{3}$을 빠뜨리고 z 구간 길이만 곱한 값이다.
• 4: z 구간을 0~4로 잘못 잡고 $y^2$ 적분을 빠뜨린 값이다.

옳지 않은 것은 입사각이 임계각보다 작을 때 투과 전력이 없다는 설명이다. 투과 전력이 0이 되는 전반사는 입사각이 임계각보다 클 때 일어난다.

밀한 매질($\varepsilon_1\gt\varepsilon_2$)에서 소한 매질로 갈 때 $\sqrt{\varepsilon_1}\sin\theta_i=\sqrt{\varepsilon_2}\sin\theta_t$이므로, 입사각이 임계각보다 작으면 굴절파가 존재해 전력이 투과한다.

• Snell의 법칙 비율: $\dfrac{\sin\theta_t}{\sin\theta_i}=\sqrt{\dfrac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}}$로 옳다.
• 각도 측정 기준: 입사각·굴절각은 경계면의 법선을 기준으로 재므로 옳다.
• 편파와의 관계: Snell의 법칙은 위상 정합 조건에서 나오므로 편파와 무관하다(반사계수는 편파에 따라 다르다).

입력 임피던스는 50 Ω이다.

길이가 $\lambda_g/2$인 무손실 선로는 부하 임피던스를 입력단에 그대로 재현하므로 선로 입력단에서 본 임피던스는 100 Ω이다.

여기에 100 Ω이 병렬로 붙으므로 $Z_{\mathrm{in}}=\dfrac{100\times100}{100+100}=50\,\Omega$이다.

• 25 Ω은 선로를 1/4파장 변환기로 보고 $Z_0^2/Z_L$만 계산한 값이다.
• 100 Ω은 입력단의 병렬 저항을 빠뜨리고 선로 쪽 임피던스만 본 값이다.
• 75 Ω은 50 Ω과 100 Ω의 산술평균일 뿐 어떤 회로 합성 결과도 아니다.

도선 2가 받는 힘은 도선 1 쪽(−x 방향)으로 $10^{-4}\,\mathrm{N/m}$이다.

평행 도선 사이 단위 길이당 힘은 $f=\dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}$이다.
$f=\dfrac{4\pi\times10^{-7}\times10\times10}{2\pi\times0.2}=10^{-4}\,\mathrm{N/m}$

전류가 같은 방향이면 흡인력이므로, +x 쪽에 놓인 도선 2는 −x 쪽의 도선 1을 향해 끌린다.

• 크기가 $10^{-5}$인 값은 공식 대입 결과보다 한 자릿수 작다.
• −z 방향 힘은 두 도선을 잇는 x축에 수직이어서 평행 도선 간 힘의 방향이 될 수 없다.

반사파 전계는 $E_0(-\mathrm{a}_x+j\,\mathrm{a}_y)e^{j\beta z}$이다.

완전 도체면에서는 접선 전계가 0이어야 하므로 반사계수가 $\Gamma=-1$이고, 반사파는 $-z$ 방향으로 진행해 $e^{j\beta z}$가 된다.
$\mathrm{E}_r=-E_0(\mathrm{a}_x-j\,\mathrm{a}_y)e^{j\beta z}$

• $E_0(\mathrm{a}_x+j\,\mathrm{a}_y)e^{j\beta z}$: y 성분만 부호가 바뀌어 z=0에서 x 성분 전계가 남는다.
• $E_0(-\mathrm{a}_x-j\,\mathrm{a}_y)e^{j\beta z}$: x 성분만 부호가 바뀌어 z=0에서 y 성분 전계가 남는다.
• $E_0(\mathrm{a}_x-j\,\mathrm{a}_y)e^{j\beta z}$: 반사계수를 +1로 본 것으로, 도체면 경계조건을 만족하지 못한다.

전하계의 정전에너지는 $9\sqrt{3}\ \mathrm{nJ}$이다.

세 점은 단위원 위 120° 간격이므로 정삼각형을 이루고, 한 변은 $r=\sqrt{3}\ \mathrm{m}$이다.

$W=\sum\dfrac{Q_iQ_j}{4\pi\varepsilon_0 r_{ij}}$ (세 쌍)
$W=3\times\dfrac{9\times10^9\times(10^{-9})^2}{\sqrt{3}}=\dfrac{27}{\sqrt{3}}\times10^{-9}=9\sqrt{3}\ \mathrm{nJ}$

• $18\sqrt{3}$: 쌍마다 한 번씩 세지 않고 두 번 센 값이다.
• $12\sqrt{3}$: 계산 결과보다 커 맞지 않는다.
• $6\sqrt{3}$: 계산 결과보다 작아 맞지 않는다.

손실 탄젠트는 1.2이다.

손실 탄젠트는 전도전류와 변위전류의 비 $\tan\delta=\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}$이다.
$\omega\varepsilon=2\pi\times15\times10^6\times2\times\dfrac{10^{-9}}{36\pi}=\dfrac{5}{3}\times10^{-3}$
$\tan\delta=\dfrac{2\times10^{-3}}{\tfrac{5}{3}\times10^{-3}}=1.2$

• 3.6: 계산값의 세 배로 맞지 않는다.
• 1.8: 계산값보다 커 맞지 않는다.
• 0.6: 비유전율 2를 한 번 더 곱한 값이다.

도선이 받는 힘은 0.8 N이다.

자계 속 전류 도선의 힘은 $F=BIl\sin\theta$이다.
$F=0.8\times10\times0.2\times\sin30^\circ$
$=1.6\times0.5=0.8\ \mathrm{N}$

• 0.6: 계산값보다 작아 맞지 않는다.
• 0.4: $\sin30^\circ$를 한 번 더 곱한 값으로 맞지 않는다.
• 0.2: 계산값의 4분의 1로 맞지 않는다.

위상상수는 $\beta=10\ \mathrm{rad/m}$이다.

무손실 매질에서 $\beta=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}=\dfrac{\omega\sqrt{\varepsilon_r}}{c}$이다.
$\beta=\dfrac{10^9\times\sqrt{9}}{3\times10^8}=10\ \mathrm{rad/m}$

• 1: 계산값의 10분의 1로 맞지 않는다.
• 5: 계산값의 절반으로 맞지 않는다.
• 20: 계산값의 두 배로 맞지 않는다.

유전체 영역의 전계는 $\mathrm{a}_x 3-\mathrm{a}_y 4+\mathrm{a}_z 5$이다.

경계면이 $z=0$이므로 x·y 성분이 접선, z 성분이 법선이다. 접선 전계는 연속, 자유전하가 없으면 법선 전속밀도가 연속이다.

$E_{1x}=3,\ E_{1y}=-4$
$4\varepsilon_0E_{1z}=\varepsilon_0\times20\ \Rightarrow\ E_{1z}=5$

• $\mathrm{a}_x+\mathrm{a}_y 4+\mathrm{a}_z 5$: 접선 성분이 바뀌어 접선 전계 연속 조건을 어긴다.
• $\mathrm{a}_x 3-\mathrm{a}_y+\mathrm{a}_z 5$: y 성분이 달라져 접선 연속 조건을 어긴다.
• $\mathrm{a}_x 3+\mathrm{a}_y 4-\mathrm{a}_z 5$: y·z 성분 부호가 뒤집혀 경계조건을 만족하지 못한다.

옳지 않은 것은 퀴리 온도보다 낮을 때 상자성체가 된다는 설명이다. 강자성이 사라지고 상자성체가 되는 것은 퀴리 온도보다 높을 때이다.

퀴리 온도 아래에서는 자구가 정렬된 강자성을 유지하고, 그 이상에서 열교란으로 정렬이 무너진다.

• 자기 포화: 자구 정렬이 끝나면 H를 늘려도 B가 거의 늘지 않으므로 옳다.
• 투자율 크기: 강자성체의 비투자율은 상자성·반자성체(약 1)보다 매우 크므로 옳다.
• 이력곡선 면적: 한 주기당 단위 체적의 히스테리시스 손실에 해당하므로 옳다.

유도기전력의 최댓값은 $\dfrac{2B_0 a\omega}{\beta}\sin\left(\dfrac{\beta b}{2}\right)$이다.

루프(x 폭 a, y 구간 $-b/2$에서 $b/2$)를 지나는 자속을 적분한다.
$\Phi=\int_{-b/2}^{b/2}aB_0\cos(\omega t-\beta y)\,dy=\dfrac{2aB_0}{\beta}\sin\left(\dfrac{\beta b}{2}\right)\cos\omega t$

패러데이 법칙으로 $e=-\dfrac{d\Phi}{dt}=\dfrac{2aB_0\omega}{\beta}\sin\left(\dfrac{\beta b}{2}\right)\sin\omega t$이고, $\sin\omega t=1$일 때 최대이다.

• $\cos\left(\frac{\beta b}{2}\right)$를 포함한 형태는 y 적분 결과를 사인 대신 코사인으로 잘못 적은 것이다.
• $B_0\omega$만 남은 형태는 루프 폭 a와 적분에서 생기는 $2/\beta$를 빠뜨려 차원도 맞지 않는다.

정재파비는 $\dfrac{7}{3}$이다.

스미스 차트 중심에서의 거리는 반사계수 크기 $|\Gamma|$에 비례하고, 최외각 원이 $|\Gamma|=1$이다.
$|\Gamma|=\dfrac{0.6}{1.5}=0.4$

$S=\dfrac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}=\dfrac{1.4}{0.6}=\dfrac{7}{3}$

• $\dfrac{5}{3}$은 분자 $1+|\Gamma|$를 1로 둔 $1/(1-|\Gamma|)$ 값이다.
• $\dfrac{7}{2}$는 $|\Gamma|=5/9$일 때의 값으로 차트 비율과 맞지 않는다.
• $\dfrac{5}{2}$는 $|\Gamma|=3/7$일 때의 값으로 차트 비율과 맞지 않는다.

관계식은 $4d=6d_1+3d_2$이다.

왼쪽은 면적 $S/2$인 두 커패시터의 병렬이다.
$C_A=\dfrac{\varepsilon_1 S}{2d}+\dfrac{2\varepsilon_1 S}{2d}=\dfrac{3\varepsilon_1 S}{2d}$

오른쪽은 두께 $d_1,\ d_2$ 층의 직렬이다.
$C_B=\dfrac{S}{d_1/\varepsilon_1+d_2/(2\varepsilon_1)}=\dfrac{2\varepsilon_1 S}{2d_1+d_2}$
$C_A=C_B$에서 $3(2d_1+d_2)=4d$, 즉 $4d=6d_1+3d_2$이다.

• $2d=6d_1+3d_2$는 병렬 쪽 면적을 $S/2$로 나누지 않아 $C_A$를 두 배로 잡은 결과다.
• $2d=2d_1+d_2$는 왼쪽을 유전율 $\varepsilon_1$ 하나로 채운 것처럼 계산한 결과다.
• $4d=2d_1+d_2$는 왼쪽에서 $\varepsilon_1$ 부분의 용량만 반영한 결과다.

옳지 않은 설명은 $V_{ab}$의 부호가 음수라는 것이다.

도선 주위 자속밀도는 원주 방향으로 $B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$이고, 금속봉 속 양전하는 $\mathrm{u}\times\mathrm{B}=-\mathrm{a}_r u_z B$ 방향, 즉 도선 쪽(a 지점)으로 힘을 받는다.

$V_{ab}=\int_b^a(\mathrm{u}\times\mathrm{B})\cdot d\mathrm{l}=\dfrac{\mu_0 I u_z}{2\pi}\ln\dfrac{b}{a}>0$이므로 a 지점의 전위가 높고 부호는 양수이다.

• $|V_{ab}|$는 식에 I가 1차로 들어 있어 전류에 비례한다는 설명은 옳다.
• $\ln(b/a)$는 증가함수이므로 b/a가 커지면 $|V_{ab}|$도 커진다는 설명은 옳다.
• 무한 직선 전류의 자속밀도가 거리 r에 반비례한다는 설명은 옳다.

두 점 사이 전위차는 $\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left[\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}-\dfrac{1}{a}\right]$이다.

도체 껍질 내부(a에서 b)는 전계가 0이어서 전위가 일정하므로, 전위차는 전계가 있는 구간만 적분한다.

껍질 바깥(b에서 c): $\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)$
안쪽 공동(d에서 a): $\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{d}-\dfrac{1}{a}\right)$
두 값을 더한 것이 D와 C 사이 전위차이다.

• $\frac{1}{d}-\frac{1}{c}$만 남긴 식은 전계가 0인 도체 껍질 구간까지 점전하 전계로 적분한 값이다.
• $\frac{1}{b}-\frac{1}{c}$만 남긴 식은 공동 내부 구간의 전위차를 빠뜨렸다.
• $\frac{1}{c}-\frac{1}{a}+\frac{1}{d}-\frac{1}{b}$ 식은 적분 구간 경계를 잘못 짝지어 바깥 구간의 부호가 뒤집혔다.

옳지 않은 것은 공극 기자력이 100 A·t라는 설명이며, 실제로는 200 A·t이다.

공극 $R_g=\dfrac{d}{\mu_0 S}=\dfrac{2\times10^{-4}}{4\pi\times10^{-7}\times10^{-4}}=\dfrac{1}{2\pi}\times10^7$
철심 $R_c=\dfrac{l}{\mu S}=\dfrac{0.2}{2000\times4\pi\times10^{-7}\times10^{-4}}=\dfrac{1}{4\pi}\times10^7$
전체 $R=R_g+R_c=\dfrac{3}{4\pi}\times10^7\,\mathrm{A\cdot t/Wb}$

자속 $\Phi=\dfrac{NI}{R}=\dfrac{300}{\frac{3}{4\pi}\times10^7}=4\pi\times10^{-5}\,\mathrm{Wb}$
공극 기자력 $\Phi R_g=4\pi\times10^{-5}\times\dfrac{10^7}{2\pi}=200\,\mathrm{A\cdot t}$

• 공극 자기저항 $\frac{1}{2\pi}\times10^7$은 계산과 같아 옳다.
• 공극 자속밀도 $B=\Phi/S=0.4\pi\,\mathrm{Wb/m^2}$로 옳다.
• 전체 자기저항 $\frac{3}{4\pi}\times10^7$은 계산과 같아 옳다.

루프가 받는 자기력은 $-\mathrm{a}_z 36\,\mathrm{N}$이다.

루프는 x가 1에서 3, y가 2에서 5인 사각형이고 z=0에서 $\mathrm{B}=-\mathrm{a}_x 3x+\mathrm{a}_y 5y$이다. 각 변에 $\mathrm{F}=I\int d\mathrm{l}\times\mathrm{B}$를 적용한다.

y=2 변(+x 방향): $\mathrm{a}_z 20$, x=3 변(+y 방향): $\mathrm{a}_z 27$
y=5 변(−x 방향): $-\mathrm{a}_z 50$, x=1 변(−y 방향): $-\mathrm{a}_z 9$
합 $-\mathrm{a}_z 12$에 $I=3$을 곱하면 $-\mathrm{a}_z 36$이다.

• 힘이 0이라는 것은 균일 자계일 때만 성립하며, 여기서는 B가 위치에 따라 변해 알짜 힘이 남는다.
• $\mathrm{a}_z 36$은 전류 방향을 시계 방향으로 잡아 부호가 뒤집힌 값이다.
• $\mathrm{a}_z 24$는 변별 적분 합과 크기·부호가 모두 맞지 않는다.

경계면 반사계수는 $-\dfrac{3}{5}$이다.

두께 $\lambda/4$ 슬랩은 1/4파장 임피던스 변환기로 작동해, 매질 1에서 본 입력 임피던스가 $\eta_{\mathrm{in}}=\dfrac{\eta_2^2}{\eta_3}$가 된다.

$\eta_2=\dfrac{\eta_0}{\sqrt{4}}=\dfrac{\eta_0}{2}$, $\eta_3=\eta_0$이므로 $\eta_{\mathrm{in}}=\dfrac{\eta_0}{4}$
$\Gamma=\dfrac{\eta_0/4-\eta_0}{\eta_0/4+\eta_0}=-\dfrac{3}{5}$

• $-\dfrac{1}{3}$은 슬랩 뒤쪽 경계를 무시하고 두 매질만의 반사계수 $\dfrac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1}$를 쓴 값이다.
• $\dfrac{1}{3}$은 두 매질만 고려한 데다 부호까지 뒤집은 값이다.
• $\dfrac{3}{5}$는 입력 임피던스가 자유공간보다 작아지는데도 부호를 양으로 잡은 값이다.

$q=-\dfrac{4}{9}Q$, $x=\dfrac{2}{3}d$이다.

q가 평형이려면 Q와 4Q가 q에 주는 힘의 크기가 같아야 한다.
$\dfrac{Q}{(d-x)^2}=\dfrac{4Q}{x^2}$에서 $x=2(d-x)$, $x=\dfrac{2}{3}d$

Q도 평형이려면 4Q의 척력을 q의 인력이 상쇄해야 하므로 q는 음전하이다.
$\dfrac{|q|}{(d/3)^2}=\dfrac{4Q}{d^2}$에서 $|q|=\dfrac{4}{9}Q$

• 양전하 $\frac{4}{9}Q$와 $\frac{1}{3}d$ 조합은 부호도 위치도 틀렸다.
• 음전하 $-\frac{4}{9}Q$와 $\frac{1}{3}d$ 조합은 q를 큰 전하 4Q 쪽에 가깝게 놓아, 작은 전하 Q 쪽에 가까워야 한다는 조건과 반대다.
• 양전하 $\frac{4}{9}Q$와 $\frac{2}{3}d$ 조합은 Q와 4Q가 모두 바깥으로 밀려 평형이 될 수 없다.

정전에너지는 $C_3,\ C_2,\ C_1$ 순으로 크다.

병렬 합성 $C_1+C_2=4\,\mu\mathrm{F}$가 $C_3=2\,\mu\mathrm{F}$와 직렬이므로 전압은 용량에 반비례해 나뉜다.
$V_{12}=\dfrac{2}{4+2}V=\dfrac{V}{3}$, $V_3=\dfrac{2V}{3}$

$W=\dfrac{1}{2}CV^2$로 $W_1=\dfrac{V^2}{18}$, $W_2=\dfrac{V^2}{6}$, $W_3=\dfrac{4V^2}{9}$이다(공통 계수 $10^{-6}$ 생략). 직렬로 홀로 놓인 $C_3$에 가장 큰 전압이 걸린다.

• $C_1,\ C_2,\ C_3$ 순서는 에너지가 가장 작은 $C_1$을 가장 크다고 본 것이다.
• $C_2,\ C_1,\ C_3$ 순서는 전압이 가장 큰 $C_3$를 가장 작다고 본 것이다.
• $C_1,\ C_3,\ C_2$ 순서는 같은 전압에서 용량이 큰 $C_2$가 $C_1$보다 에너지가 크다는 점을 거꾸로 본 것이다.