22년 1회차

직경 감소로 횡변형률을 구하고 푸아송비로 축변형률을 얻은 뒤, 탄성계수를 곱하면 축응력은 208 MPa이다.

탄성계수: $E=2G(1+\nu)=2(80)(1.3)=208\,\mathrm{GPa}$

횡변형률: $\varepsilon_{lat}=\dfrac{0.003}{10}=3\times10^{-4}$
축변형률: $\varepsilon=\dfrac{\varepsilon_{lat}}{\nu}=\dfrac{3\times10^{-4}}{0.3}=1\times10^{-3}$

축응력: $\sigma=E\varepsilon=208\times10^{3}\times10^{-3}=208\,\mathrm{MPa}$
봉의 길이 500 cm는 응력 계산에 쓰이지 않으며, E와 G의 관계식을 빠뜨리면 G를 그대로 곱하는 함정에 빠진다.

힌지 C에 대한 모멘트 평형에서 케이블 AB의 인장력은 $\dfrac{7P}{8}$이다.

A는 하중점 D 바로 위에 있으므로 케이블은 수평 3 m, 연직 4 m(빗변 5 m)로 기울어 있고, 장력의 연직성분은 $\dfrac{4}{5}T$이다. 수평성분은 C를 지나는 보 축선 위에 있어 C점 모멘트에 기여하지 않는다.

$\sum M_C=0:\ \dfrac{4}{5}T\times 10=P\times 7$
$T=\dfrac{7P}{8}$

• $\dfrac{3P}{8}$: 하중의 팔 길이를 B 쪽 거리 3 m로 잘못 잡은 값이다.
• $\dfrac{P}{8}$: 모멘트 평형식을 만족하지 않는 값이다.
• $\dfrac{5P}{8}$: 연직성분 비율과 팔 길이를 바르게 쓰면 나오지 않는 값이다.

양단 고정 조건은 두 축 방향이 같으므로 좌굴하중비는 단면2차모멘트의 비와 같고, 그 값은 4이다.

오일러 좌굴하중: $P_{cr}=\dfrac{\pi^2EI}{(KL)^2}$에서 E, K, L이 같으므로 $P_{cr}\propto I$이다.

강축: $I_{max}=\dfrac{b(2b)^3}{12}=\dfrac{8b^4}{12}$
약축: $I_{min}=\dfrac{(2b)b^3}{12}=\dfrac{2b^4}{12}$

비: $\dfrac{P_{cr\,max}}{P_{cr\,min}}=\dfrac{8}{2}=4$
직사각형 단면의 두 축 I의 비는 변 길이 비의 제곱이므로 $\left(\dfrac{2b}{b}\right)^2=4$로도 바로 확인된다.

θ = 30°일 때 경사단면의 전단응력은 축하중응력의 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$배이므로, 3/4배라는 설명이 옳지 않다.

단면 법선이 축과 θ를 이룰 때 수직응력 $\sigma_\theta=\sigma\cos^2\theta$, 전단응력 $\tau_\theta=\sigma\sin\theta\cos\theta=\dfrac{\sigma}{2}\sin 2\theta$이다.
$\theta=30^\circ:\ \tau=\sigma\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\sigma$

• θ = 45°의 수직응력: $\cos^2 45^\circ=\dfrac{1}{2}$이므로 축하중응력의 1/2배로 옳다.
• 최대 수직응력: $\cos^2\theta$는 θ = 0°에서 최대이므로 옳다.
• 최대 전단응력: θ = 45°에서 $\dfrac{\sigma}{2}$로, 최대 수직응력 σ의 1/2배이므로 옳다.

블록이 버틸 수 있는 최대 힘은 상·하면 마찰력의 합인 36 kN이다.

보를 A점 모멘트로 풀면 블록이 받는 연직력 R은 $R\times 5=20\times 15$에서 $R=60\ \mathrm{kN}$이다. 블록 자중은 무시하므로 바닥면 수직력도 60 kN이다.

보는 A 힌지로 수평 구속되어 있어 블록 윗면에서도 마찰이 저항한다.
$F_1=\mu_1R=0.2\times 60=12\ \mathrm{kN}$
$F_2=\mu_2R=0.4\times 60=24\ \mathrm{kN}$
$P_{max}=12+24=36\ \mathrm{kN}$

• 12 kN: 윗면 마찰만 고려한 값이다.
• 24 kN: 바닥면 마찰만 고려한 값이다.
• 6 kN: 수직력 60 kN과 마찰계수로 만들 수 있는 합계가 아니다.

양단 고정보는 A, B, C 세 곳에 소성힌지가 생길 때 붕괴하며, 극한하중은 $P_u=\dfrac{9M_p}{L}$이다.

C점 처짐을 δ라 하면 가상일법으로 회전각은
$\theta_A=\dfrac{\delta}{L/3}=\dfrac{3\delta}{L},\ \theta_B=\dfrac{\delta}{2L/3}=\dfrac{3\delta}{2L},\ \theta_C=\theta_A+\theta_B=\dfrac{9\delta}{2L}$

외부일 = 내부일:
$P_u\delta=M_p\left(\dfrac{3\delta}{L}+\dfrac{3\delta}{2L}+\dfrac{9\delta}{2L}\right)=\dfrac{9M_p\delta}{L}$

• $\dfrac{6M_p}{L}$: 고정단 힌지의 내부일을 일부 빠뜨린 값이다.
• $\dfrac{11M_p}{L}$: 세 힌지 회전각의 합과 맞지 않는다.
• $\dfrac{15M_p}{L}$: 세 힌지 회전각의 합보다 큰 값이다.

B′점의 회전각은 $9\times10^{-3}\ \mathrm{rad}$이다.

B는 힌지라 단부모멘트가 0이므로 처짐각식 $M_{BA}=\dfrac{2EI}{L}(2\theta_B+\theta_A-3R)=0$을 쓴다(시계방향 양). 부재각은 침하로 $R=\dfrac{0.02}{3}$이다.

$2\theta_B+0.002-3\times\dfrac{0.02}{3}=0$
$\theta_B=\dfrac{0.02-0.002}{2}=0.009\ \mathrm{rad}$

• 8: 처짐각식을 만족하지 않는 값이다.
• 10: A점 회전 0.002 rad를 반영하지 않으면 $\dfrac{0.02}{2}=0.010$이 된다.
• 11: A점 회전을 반대 부호로 더한 값이다.

케이블의 최소 장력은 최저점의 수평장력과 같으며 100 kN이다.

등분포하중을 받는 케이블은 포물선이고, 장력의 수평성분 H는 어디서나 일정하므로 연직성분이 0인 최저점에서 장력이 최소가 된다.

$H=\dfrac{wL^2}{8f}=\dfrac{16\times 10^2}{8\times 2}=100\ \mathrm{kN}$

• 80 kN: 지점 연직반력 $\dfrac{16\times10}{2}=80$을 장력으로 착각한 값이다.
• 120 kN: 수평장력 공식과 맞지 않는 값이다.
• 160 kN: 전체 하중 160 kN을 그대로 쓴 값이다.

A점 수직응력은 온도에 의한 압축 10 MPa와 휨에 의한 인장 4 MPa가 합쳐진 압축 6 MPa이다.

양단이 고정되어 늘어날 수 없으므로 온도응력은
$\sigma_T=E\alpha\Delta T=100\times10^3\times5\times10^{-6}\times20=10\ \mathrm{MPa}$ (압축)

양단 고정보 중앙 휨모멘트와 하단 응력은
$M=\dfrac{wL^2}{24}=\dfrac{8\times4^2}{24}=5.33\ \mathrm{kN\cdot m}$
$Z=\dfrac{0.2^3}{6}=1.333\times10^{-3}\ \mathrm{m^3},\ \sigma_b=\dfrac{M}{Z}=4\ \mathrm{MPa}$ (하단 인장)

• 2 MPa: 단순보 중앙 모멘트 $\dfrac{wL^2}{8}=16\ \mathrm{kN\cdot m}$의 휨응력 12 MPa를 온도응력과 합친 값이다.
• 4 MPa: 휨응력만 구하고 온도응력을 빠뜨린 값이다.
• 8 MPa: 고정단 모멘트 $\dfrac{wL^2}{12}$에 의한 휨응력으로, 지간 중앙 값이 아니다.

스프링에 걸리는 힘은 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}P$이다.

B는 롤러이므로 수평력은 스프링만 받는다. 대칭이므로 C절점에서 두 부재 축력 F는
$2F\sin30^\circ=P\ \Rightarrow\ F=P$ (압축)

B절점 수평 평형: 부재 BC 축력의 수평성분이 스프링력과 같다.
$F_s=P\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}P$
정정 구조라 EA, k 값은 힘의 크기에 영향을 주지 않는다.

• $\dfrac{\sqrt{3}}{4}P$: 부재력을 P/2로 잘못 잡은 값이다.
• $\sqrt{3}P$: 두 부재 수평성분을 합한 값이다.
• $2\sqrt{3}P$: 평형식과 맞지 않는 값이다.

삼각형의 x축에 대한 단면 2차모멘트는 54 cm^4이다.

밑변 OA(b = 3 cm)가 x축 위에 있고 꼭짓점 B까지 높이가 h = 6 cm이므로 밑변축에 대한 공식을 쓴다.

$I_x=\dfrac{bh^3}{12}=\dfrac{3\times6^3}{12}=54\ \mathrm{cm^4}$

• 12: 밑변축 공식 계산 결과보다 작아 맞지 않는다.
• 18: 도심축 공식 $\dfrac{bh^3}{36}$를 쓴 값이다.
• 36: 밑변축·도심축 어느 공식과도 맞지 않는다.

축하중만 받는 봉에서 최대 수직응력은 축방향에 생기고, 최대 전단응력은 45° 경사면에서 그 절반 크기로 생긴다는 설명이 옳다.

경사면 응력 $\tau_\theta=\dfrac{\sigma_x}{2}\sin2\theta$는 $\theta=45^\circ$에서 최대 $\sigma_x/2$가 된다.

• E와 G가 서로 독립이라는 설명: 등방성 재료는 $E=2G(1+\nu)$로 연결되므로 독립이 아니다.
• 낮은 변형률에서 작은 신장만으로 파손되는 재료를 연성재료로 본다는 설명: 이는 취성재료의 특징이다.
• 신장량이 축강성 EA에 비례한다는 설명: $\delta=\dfrac{PL}{EA}$이므로 EA에 반비례한다.

BC 부재력은 $\dfrac{3}{4}\dfrac{PL}{H}$이므로 a = 3/4이다.

대칭이므로 지점반력은 $R_A=R_D=\dfrac{P}{2}$이다. BC, CE, ED를 끊어 오른쪽(C·D 부분)을 떼어 내고, CE·ED가 만나는 E점에 대한 모멘트를 취한다.

BC 축력의 팔 길이는 H, D 반력의 팔 길이는 $L+\dfrac{L}{2}=1.5L$이다.
$F_{BC}\times H=\dfrac{P}{2}\times1.5L\ \Rightarrow\ F_{BC}=\dfrac{3PL}{4H}$

• 5/4: 반력의 팔 길이를 잘못 잡은 값이다.
• 7/4: 절단면 모멘트 중심과 맞지 않는 값이다.
• 7/2: 반력을 P로 놓는 등 하중을 과대하게 잡은 값이다.

B점(내부힌지) 전단력의 영향선을 BC 구간 직사각형으로 그린 것이 옳지 않다. 실제로는 B에서 1, C에서 0인 삼각형이다.

BC는 힌지 B와 롤러 C로 지지된 단순보처럼 거동한다. 하중이 AB에 있으면 BC로 힘이 전달되지 않아 0이고, BC 위에 있으면 힌지가 받는 힘이 C 쪽으로 갈수록 선형으로 감소한다.

• A점 수직반력: AB 위에서는 하중 전부를 고정단이 받아 1, BC 위에서는 C까지 선형으로 0이 되는 그림이 옳다.
• A점 모멘트 반력: A에서 0, 힌지 B에서 최대, C에서 0인 삼각형 그림이 옳다.
• C점 수직반력: AB 위에서는 0, B에서 C로 0→1 선형 증가하는 그림이 옳다.

곡률은 휨모멘트에 비례하므로 M = 0인 위치를 찾으면 되고, A에서 7 m이다.

B점 모멘트로 A반력을 구한다.
$R_A\times10=10\times10\times5-75\times2\ \Rightarrow\ R_A=35\ \mathrm{kN}$

집중하중 앞 구간(0 ≤ x ≤ 8)의 휨모멘트:
$M(x)=35x-5x^2=5x(7-x)=0\ \Rightarrow\ x=7\ \mathrm{m}$

• 5 m: 이 위치 모멘트는 $35\times5-5\times25=50\ \mathrm{kN\cdot m}$로 0이 아니다.
• 6 m: M = 0 조건을 만족하지 않는다.
• 8 m: 집중하중 위치로, 이곳 모멘트는 $35\times8-5\times64=-40\ \mathrm{kN\cdot m}$로 0이 아니다.

하중은 보와 스프링이 강성 비로 나눠 받으며 $\dfrac{P}{F_s}=$7이다.

지간 2L 단순보의 중앙 휨강성은
$k_b=\dfrac{48EI}{(2L)^3}=\dfrac{6EI}{L^3}$

중앙 처짐이 같으므로 병렬 스프링처럼 분담한다.
$F_s=P\times\dfrac{k}{k_b+k}=P\times\dfrac{1}{6+1}=\dfrac{P}{7}$

• 1: 스프링이 하중 전부를 받는다고 본 값이다.
• 3: 보 강성을 $\dfrac{2EI}{L^3}$로 잘못 잡은 값이다.
• 5: 보 강성을 $\dfrac{4EI}{L^3}$로 잘못 잡은 값이다.

기둥 BE는 주케이블과 뒷케이블의 연직성분을 합한 120 kN의 압축을 받는다.

주케이블 BC의 수평장력과 B점 연직성분:
$H=\dfrac{wL^2}{8f}=\dfrac{4\times20^2}{8\times5}=40\ \mathrm{kN},\ V=\dfrac{4\times20}{2}=40\ \mathrm{kN}$

뒷케이블 AB(수평 10 m, 연직 20 m)가 H를 받으므로 연직성분은
$V_{AB}=40\times\dfrac{20}{10}=80\ \mathrm{kN}$
$N_{BE}=40+80=120\ \mathrm{kN}$

• 60 kN: 연직성분 합과 맞지 않는 값이다.
• 80 kN: 뒷케이블 연직성분만 넣은 값이다.
• 100 kN: 두 연직성분 합과 맞지 않는 값이다.

C점 수직변위는 $\dfrac{mgh}{2EA\sin^3\theta}$이다.

C절점 평형에서 두 부재 인장력 $F=\dfrac{mg}{2\sin\theta}$, 부재 길이 $L=\dfrac{h}{\sin\theta}$이다.
$\delta=\dfrac{FL}{EA}=\dfrac{mgh}{2EA\sin^2\theta}$

대칭이라 C는 연직으로만 움직이고, 부재 신장량은 연직변위의 축방향 성분이다.
$\Delta_v=\dfrac{\delta}{\sin\theta}=\dfrac{mgh}{2EA\sin^3\theta}$

• $\dfrac{mgh}{4EA\sin^2\theta}$: 연직변위 환산(÷sinθ)을 빠뜨리고 축력도 작게 잡은 값이다.
• $\dfrac{mgh}{6EA\sin^2\theta}$: 부재 신장량 식과 맞지 않는다.
• $\dfrac{mgh}{EA\sin^3\theta}$: 하중을 두 부재가 나눠 받는 것을 빠뜨린 값이다.

AB 구간의 압축응력은 100 MPa이다.

구속이 없을 때 전체 자유신장량은
$\delta_T=\alpha\Delta T\,L=10^{-5}\times20\times500=0.1\ \mathrm{mm}$

양단 반력 F가 이를 되돌린다(적합조건).
$\dfrac{F}{E}\left(\dfrac{100}{100}+\dfrac{400}{400}\right)=0.1\ \Rightarrow\ F=0.05\times200000=10000\ \mathrm{N}$
$\sigma_{AB}=\dfrac{10000}{100}=100\ \mathrm{MPa}$

• 50 MPa: 다른 구간 응력 계산과 섞인 값이다.
• 200 MPa: 단면이 같은 봉의 온도응력 $E\alpha\Delta T=40$과도 맞지 않는 값이다.
• 400 MPa: 축력을 작은 단면에 과대하게 적용한 값이다.

두 캔틸레버의 최대 처짐각(자유단) 비는 $\dfrac{2}{7}$이다.

(a)는 고정단 쪽 L/2에만 2w가 실려, 하중 끝의 처짐각이 자유단까지 그대로 유지된다.
$\theta_{(a)}=\dfrac{2w(L/2)^3}{6EI}=\dfrac{wL^3}{24EI}$

(b)는 자유단 쪽 L/2에 w가 실린 경우로, 전체 하중에서 앞쪽 하중분을 빼서 구한다.
$\theta_{(b)}=\dfrac{w}{6EI}\left(L^3-\dfrac{L^3}{8}\right)=\dfrac{7wL^3}{48EI}$
$\dfrac{\theta_{(a)}}{\theta_{(b)}}=\dfrac{1/24}{7/48}=\dfrac{2}{7}$

• $\dfrac{4}{7}$: (a)의 하중 2w를 두 번 반영한 값이다.
• $\dfrac{7}{2}$: 비를 거꾸로 쓴 값이다.
• $\dfrac{7}{4}$: 비를 거꾸로 쓰고 하중 크기도 잘못 반영한 값이다.

최대전단력은 6 kN, 최대모멘트는 고정단 A의 12 kN·m이다.

BC를 먼저 푼다. 돌출부 하중 $2\times2=4\ \mathrm{kN}$(C에서 1 m)을 C점 모멘트로 보면 힌지 B는 BC를 아래로 2 kN 잡아당기고, $R_C=4+2=6\ \mathrm{kN}$이다.

AB에는 B점에 8 kN(하향)과 힌지력 2 kN(상향)이 작용해 순하중 6 kN이다.
$V_{AB}=6\ \mathrm{kN},\ M_A=6\times2=12\ \mathrm{kN\cdot m}$
C점 모멘트는 $4\times1=4\ \mathrm{kN\cdot m}$로 더 작다.

• 최대전단력 4 kN·최대모멘트 6 kN·m 조합: 두 값 모두 과소하다.
• 최대전단력 4 kN·최대모멘트 12 kN·m 조합: C점 우측 전단력 4 kN을 최대로 본 것이다.
• 최대전단력 6 kN·최대모멘트 24 kN·m 조합: 힌지력을 무시하고 하중을 A에 모두 몰아 과대 계산한 값이다.

세 계수의 합은 $\dfrac{15}{25}+0+\dfrac{144}{25}=$$\dfrac{159}{25}$이다.

경사하중의 성분은 연직 $\dfrac{4P}{5}$, 수평 $\dfrac{3P}{5}$이다. 힌지 A가 수평력을 받으므로 AC 구간 축력은 $\dfrac{3P}{5}$(압축), $C_1=\dfrac{3}{5}$이다.

C점은 단면 상단이라 전단응력이 0이므로 $C_2=0$이다. 휨은
$R_A=\dfrac{4P}{5}\times\dfrac{6}{10}=\dfrac{12P}{25},\ M_C=\dfrac{12P}{25}\times2=\dfrac{24P}{25}$
$\sigma_b=\dfrac{6M_C}{bh^2}=\dfrac{144}{25}\dfrac{P}{bh^2}\ \Rightarrow\ C_3=\dfrac{144}{25}$

• $\dfrac{68}{25}$: 휨응력 계수를 과소하게 잡은 값이다.
• $\dfrac{104}{25}$: 세 계수 합과 맞지 않는 값이다.
• $\dfrac{219}{25}$: 상단 전단응력이 0임을 반영하면 나올 수 없는 큰 값이다.

구형 용기 내면의 최대 전단응력은 막응력과 내면의 반경방향 응력($-p$)의 차의 절반이므로 55 MPa이다.

막응력(모든 접선 방향 동일): $\sigma=\dfrac{pr}{2t}=\dfrac{10\times200}{2\times10}=100\,\mathrm{MPa}$

면내 두 주응력이 같아 면내 전단응력은 0이고, 내면에서 세 번째 주응력은 $\sigma_r=-p=-10\,\mathrm{MPa}$이다.

절대 최대 전단응력: $\tau_{max}=\dfrac{100-(-10)}{2}=55\,\mathrm{MPa}$
반경방향 응력을 0으로 두는 외면 기준이면 50 MPa이 되므로, 내면이라는 조건이 핵심이다.

곡률반경은 휨모멘트에 반비례하므로 $\dfrac{R_B}{R_C}=\dfrac{M_C}{M_B}=$2이다.

하중이 A에서 1 m, 2 m 위치에 있고 지간 3 m이므로
$R_A\times3=10\times2+10\times1\ \Rightarrow\ R_A=10\ \mathrm{kN}$

$M_B=10\times0.5=5\ \mathrm{kN\cdot m}$
$M_C=10\times1.5-10\times0.5=10\ \mathrm{kN\cdot m}$
$R=\dfrac{EI}{M}$에서 E, I는 공통이라 소거된다.

• 4: 모멘트 비를 제곱한 값이다.
• 6: 모멘트 비와 맞지 않는 값이다.
• 8: 모멘트 비를 세제곱한 값이다.

C점(중립축에서 60 mm)의 휨응력은 1.8 MPa이다.

단면 2차모멘트와 처짐식에서 하중을 구한다.
$I=\dfrac{100\times200^3}{12}=6.667\times10^7\ \mathrm{mm^4}$
$P=\dfrac{48EI\delta}{L^3}=\dfrac{48\times10^4\times6.667\times10^7\times4}{4000^3}=2000\ \mathrm{N}$

$M=\dfrac{PL}{4}=\dfrac{2000\times4000}{4}=2\times10^6\ \mathrm{N\cdot mm}$
C점은 하단에서 40 mm이므로 중립축 거리 y = 100 − 40 = 60 mm.
$\sigma=\dfrac{My}{I}=\dfrac{2\times10^6\times60}{6.667\times10^7}=1.8\ \mathrm{MPa}$

• 1.0 MPa: 중립축 거리 60 mm로 계산한 값보다 작다.
• 1.4 MPa: $\dfrac{My}{I}$ 계산 결과와 맞지 않는다.
• 2.2 MPa: 연단 응력(y = 100 mm)인 3.0 MPa과도 다른 값이다.