23년 1회차

출력은 지연된 두 지수함수의 차인 $e^{-(t-2)}u(t-2)-e^{-6(t-2)}u(t-2)$이다.

입력의 라플라스 변환은 $V_i(s)=\dfrac{5e^{-2s}}{s}$이고, 분모는 $s^2+7s+6=(s+1)(s+6)$로 인수분해된다.

$V_o(s)=\dfrac{s}{(s+1)(s+6)}\cdot\dfrac{5e^{-2s}}{s}=e^{-2s}\left(\dfrac{1}{s+1}-\dfrac{1}{s+6}\right)$

시간추이 정리($e^{-2s}$는 2초 지연)를 적용하면 $v_o(t)=\left[e^{-(t-2)}-e^{-6(t-2)}\right]u(t-2)$가 된다.

• $e^{-(t-2)}-e^{-2(t-2)}$ 꼴의 식: 극점은 $s=-1,\,-6$이므로 감쇠 지수 2인 항은 나올 수 없다.
• 지연이 1초·2초로 나뉜 식: 입력이 2초 지연된 계단이므로 출력 전체가 $u(t-2)$로 같은 지연을 가져야 하고, 감쇠 지수 2도 극점과 맞지 않는다.
• 지연이 1초·6초로 나뉜 식: 극점 값 1·6을 지연시간으로 착각한 형태로, 지연은 입력의 2초 하나뿐이다.

정상상태에서 커패시터는 개방, 인덕터는 단락으로 보면 두 소자에 저장된 총 에너지는 27 J이다.

2Ω·커패시터 가지에는 전류가 없으므로 전류는 3Ω→1Ω→인덕터 경로로만 흐른다.
$I=\dfrac{12}{3+1}=3\,\mathrm{A}$
커패시터 전압은 중간 마디 전압과 같다: $V_C=12-3\times 3=3\,\mathrm{V}$

$W_L=\dfrac{1}{2}\times 4\times 3^2=18\,\mathrm{J}$, $W_C=\dfrac{1}{2}\times 2\times 3^2=9\,\mathrm{J}$
$W=18+9=27\,\mathrm{J}$

• 9 J은 커패시터 에너지만 계산한 값이다.
• 18 J은 인덕터 에너지만 계산한 값이다.

루프에 KVL을 세우면 R = 4 Ω일 때 $i=-14\,\mathrm{A}$가 된다.

시계방향 전류 i는 R을 오른쪽에서 왼쪽으로 흐르는데 $v_R$은 왼쪽이 +이므로 $v_R=-iR$이다.
KVL: $24-6i-3v_R+4-iR=0$
대입: $28-6i+2iR=0\;\Rightarrow\;i=\dfrac{-28}{2R-6}$

$i=-14$이면 $2R-6=2$, 따라서 $R=4\,\Omega$이다.

• 6 Ω이면 $i=-\dfrac{28}{6}\approx -4.7\,\mathrm{A}$이다.
• 8 Ω이면 $i=-2.8\,\mathrm{A}$이다.
• 12 Ω이면 $i\approx -1.6\,\mathrm{A}$이다.

순수 저항 회로의 피상전력은 VI이므로 피상전력이 2VI라는 설명이 옳지 않다.

저항만 있으면 전압과 전류가 동상(역률 1)이어서 피상전력과 평균 유효전력이 모두 $VI$로 같다.

순시전력 $p(t)=2VI\sin^2\omega t=VI(1-\cos 2\omega t)$로, 최댓값이 2VI일 뿐 피상전력은 아니다.

• 평균 유효전력이 VI라는 설명은 옳다.
• 전압과 전류의 위상이 같다는 설명은 옳다.
• 순시전력에 $\cos 2\omega t$ 성분이 있으므로 그 주파수가 전압 주파수의 2배라는 설명은 옳다.

전류가 두 코일 모두 점 단자로 들어가는 가동 결합 직렬이므로 $L_{eq}=8.2\,\mathrm{H}$이다.

$M=k\sqrt{L_1L_2}=0.8\sqrt{1\times 4}=1.6\,\mathrm{H}$
$L_{eq}=L_1+L_2+2M=1+4+3.2=8.2\,\mathrm{H}$

상호 인덕턴스는 두 코일에 한 번씩 작용하므로 2M을 더한다.

• 1.8 H는 차동 결합 $L_1+L_2-2M$으로 계산한 값이다.
• 3.4 H는 M을 한 번만 뺀 값이다.
• 6.6 H는 M을 한 번만 더한 값이다.

테브난 전압은 5 V, 테브난 저항은 12.5 Ω이다.

단자 개방 시 5Ω에는 전류가 없다. 시계방향 루프 전류 I는 아래 도선에서 왼쪽으로 흐르므로 $i_a=-I$이다.
KVL: $10-10I-15I-5i_a=0\Rightarrow 10-20I=0$, $I=0.5\,\mathrm{A}$
$V_{th}=10-10\times 0.5=5\,\mathrm{V}$

10V 전원을 단락하고 중간 마디 전압을 $V_x$라 하면 $i_a=\dfrac{V_x}{10}$, 15Ω 가지 전류는 $\dfrac{V_x-5i_a}{15}=\dfrac{V_x}{30}$이다.
마디 등가저항 $\dfrac{V_x}{V_x/10+V_x/30}=7.5\,\Omega$, $R_{th}=7.5+5=12.5\,\Omega$

• 5 V와 25.0 Ω 조합은 테브난 저항이 계산값의 2배다.
• 10 V와 12.5 Ω 조합은 10Ω 전압강하를 빠뜨린 테브난 전압이다.
• 10 V와 25.0 Ω 조합은 두 값이 모두 맞지 않는다.

비반전 단자 전압을 구해 반전 단자에 KCL을 적용하면 $v_o=-5\,\mathrm{V}$이다.

4mA 전원 마디를 $v_A$, 비반전 단자를 $v_B$라 하면(단위 kΩ·mA·V)
$v_A-v_B=\dfrac{v_B}{10}\Rightarrow v_A=1.1v_B$
$4=v_A+(v_A-v_B)=1.2v_B\Rightarrow v_B=\dfrac{10}{3}\,\mathrm{V}$

가상 단락으로 반전 단자도 $\dfrac{10}{3}\,\mathrm{V}$이다.
$\dfrac{5-10/3}{4}=\dfrac{10/3-v_o}{20}\Rightarrow v_o=\dfrac{10}{3}-\dfrac{25}{3}=-5\,\mathrm{V}$

• 5 V는 크기는 같지만 부호가 반대다. 4kΩ에서 반전 단자로 전류가 들어오므로 출력은 반전 단자보다 낮아야 한다.
• −4 V이면 20kΩ 전류가 $\dfrac{10/3+4}{20}\approx 0.37\,\mathrm{mA}$로 4kΩ 전류 $\dfrac{5-10/3}{4}\approx 0.42\,\mathrm{mA}$와 같지 않다.
• 4 V이면 20kΩ 전류의 방향부터 반대가 되어 KCL을 만족하지 않는다.

스위치가 닫힌 뒤 $i(t)=\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{6}e^{-0.9t}$이므로 자연응답은 $\dfrac{1}{6}e^{-0.9t}$이다.

초기값: 닫히기 전 $i(0)=\dfrac{5}{2+3}=1\,\mathrm{A}$
최종값: $R=2+(6\parallel 3)=4\,\Omega$, 전체 전류 1.25A 중 3Ω 가지 $1.25\times\dfrac{6}{9}=\dfrac{5}{6}\,\mathrm{A}$

인덕터에서 본 저항 $3+(2\parallel 6)=4.5\,\Omega$, $\tau=\dfrac{5}{4.5}$이므로 지수 $-0.9t$이고, 계수는 $1-\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{6}$이다.

• $\frac{5}{6}e^{-1.2t}$는 계수와 지수가 모두 틀렸다.
• $\frac{5}{6}e^{-0.9t}$의 계수 5/6은 강제응답(최종값)이다.
• $\frac{1}{6}e^{-1.2t}$는 지수가 등가저항 4.5Ω과 맞지 않는다.

병렬 RLC의 특성근이 $-1,\,-2$이고 초기조건을 맞추면 $v_C(t)=(-5e^{-t}+10e^{-2t})u(t)$이다.

$\alpha=\dfrac{1}{2RC}=\dfrac{1}{2\times\frac{10}{3}\times 0.1}=1.5$, $\omega_0^2=\dfrac{1}{LC}=2$
$s^2+3s+2=0\Rightarrow s=-1,\,-2$이며, 정상상태에서 인덕터가 단락이므로 $v_C(\infty)=0$이다.

초기조건: $v_C(0)=5$, $i_C(0)=\dfrac{10-5}{10/3}-3=-1.5\,\mathrm{A}$이므로 $\dfrac{dv_C}{dt}(0)=\dfrac{-1.5}{0.1}=-15$
$A+B=5,\;-A-2B=-15\Rightarrow A=-5,\;B=10$

• $10e^{-t}-5e^{-2t}$는 $v_C(0)=5$는 맞지만 초기 기울기가 0이 되어 맞지 않는다.
• $-10e^{-t}+5e^{-2t}$는 $v_C(0)=-5$가 된다.
• $5e^{-t}-10e^{-2t}$는 $v_C(0)=-5$가 된다.

상 어드미턴스로 계산하면 P = 6,300 W, 역률은 $\frac{2}{13}\sqrt{13}$이다.

$\omega L=400\times 0.07=28\,\Omega$, $\omega C=400\times\dfrac{5}{8}\times 10^{-3}=0.25\,\mathrm{S}$
$Y_p=\dfrac{1}{7}+j\left(0.25-\dfrac{1}{28}\right)=\dfrac{2}{14}+j\dfrac{3}{14}$

상전압 $V_p=\dfrac{210}{\sqrt{3}}$이므로 $P=3V_p^2G=210^2\times\dfrac{1}{7}=6300\,\mathrm{W}$
$pf=\dfrac{G}{|Y_p|}=\dfrac{2}{\sqrt{2^2+3^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{13}}=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$

• 6,300 W와 $\frac{3}{13}\sqrt{13}$ 조합의 역률값은 서셉턴스 비율(무효율)이다.
• 9,450 W와 $\frac{2}{13}\sqrt{13}$ 조합의 전력은 1.5배 과대 계산이다.
• 9,450 W와 $\frac{3}{13}\sqrt{13}$ 조합은 전력과 역률이 모두 틀렸다.

인덕터 전압 $v=L\dfrac{di}{dt}$로 구간별 기울기에 2를 곱하면 0~1초 4 V, 1~2초 0 V, 2~4초 −2 V인 파형이다.

0~1초: 기울기 $2\,\mathrm{A/s}$ → $v=2\times 2=4\,\mathrm{V}$
1~2초: 전류 일정 → $v=0$
2~4초: 기울기 $-1\,\mathrm{A/s}$ → $v=2\times(-1)=-2\,\mathrm{V}$

전류가 감소하는 구간에서는 전압이 음(−)이 된다.

• 2~4초 구간이 +4 V인 파형은 부호와 크기가 모두 틀렸다.
• 2~4초 구간이 +2 V인 파형은 부호가 틀렸다.
• 2~4초 구간이 −4 V인 파형은 크기가 2배다.

최대 전력 전달은 1차 측에서 본 부하가 전원 저항과 같을 때이므로 권수비는 3이다.

이상 변압기에서 1차로 환산한 부하 $R_L\left(\dfrac{N_1}{N_2}\right)^2$을 $R_s$와 같게 둔다(임피던스 정합).
$9\left(\dfrac{N_1}{N_2}\right)^2=81\Rightarrow\dfrac{N_1}{N_2}=3$

• 권수비 1이면 환산 부하가 9Ω으로 정합되지 않는다.
• 권수비 2이면 환산 부하가 36Ω이다.
• 권수비 4이면 환산 부하가 144Ω이다.

직렬 RC 회로의 KVL에는 저항 전압이 빠질 수 없으므로 $\frac{1}{C}\int i\,dt=V_s$라는 설명이 옳지 않다.

올바른 회로방정식은 $Ri(t)+\dfrac{1}{C}\int i(t)dt=V_s$이다.

이를 풀면 $i(t)=\dfrac{V_s}{R}e^{-t/RC}$, $v_C(t)=V_s(1-e^{-t/RC})$이고 시정수는 $RC$이다.

• 시정수가 RC라는 설명은 옳다.
• 전류가 $\frac{V_s}{R}e^{-t/RC}$로 감소한다는 설명은 옳다.
• 커패시터 전압이 $V_s(1-e^{-t/RC})$로 충전된다는 설명은 옳다.

극점이 $-1\pm j3$로 좌반평면에 있으므로 극점이 우측 반평면에 있다는 설명이 옳지 않다.

LC 병렬 임피던스 $Z=\dfrac{sL}{1+s^2LC}$, $H(s)=\dfrac{Z}{R+Z}=\dfrac{sL}{RLCs^2+Ls+R}$
값 대입: $H(s)=\dfrac{0.1s}{0.05s^2+0.1s+0.5}=\dfrac{2s}{s^2+2s+10}$

저주파에서는 L이, 고주파에서는 C가 출력을 단락하므로 대역통과 특성이다.

• s=0에 영점이 있다는 설명은 옳다.
• 분모가 2차이므로 극점이 2개라는 설명은 옳다.
• 대역통과필터 특성이라는 설명은 옳다.

점 표시가 1차는 위, 2차는 아래에 있어 극성이 반전되므로 $v_2(t)=\sqrt{2}\omega MI\sin\omega t$이다.

전류가 $L_1$의 점 단자로 들어가면 $L_2$의 점 단자(아래)가 +가 되므로, 위를 +로 잡은 $v_2$는 $v_2=-M\dfrac{di_1}{dt}$이다.

$\dfrac{di_1}{dt}=\sqrt{2}I\omega\cos(\omega t+90^{\circ})=-\sqrt{2}\omega I\sin\omega t$
$v_2=\sqrt{2}\omega MI\sin\omega t$ (개방이므로 2차 전류에 의한 항은 없다)

• $\omega ML_1\sin\omega t$는 전류 대신 인덕턴스가 곱해져 차원이 맞지 않는다.
• $\omega ML_1\cos(\omega t+90^{\circ})$도 같은 이유로 맞지 않는다.
• $\sqrt{2}\omega MI\cos(\omega t+90^{\circ})$는 점 극성을 무시해 부호가 반대다.

Sallen-Key 저역통과 구조로 이득 4, $\omega_0^2=10^6$이므로 $H(s)=\dfrac{4\times 10^6}{s^2+2500s+10^6}$이다.

출력의 1kΩ·3kΩ 분압과 가상 단락으로 2μF 마디 전압 $V_B=\dfrac{V_o}{4}$이다.
B 마디: $V_A=V_B(1+sRC_2)=V_B(1+0.002s)$
A 마디(×R): $V_i-2V_A+V_B+sRC_1(V_o-V_A)=0$, $RC_1=0.0005$

정리: $V_i=V_B(10^{-6}s^2+0.0025s+1)$
$H=\dfrac{4}{10^{-6}s^2+0.0025s+1}=\dfrac{4\times 10^6}{s^2+2500s+10^6}$

• 분모가 $s^2-250s+10^5$인 것은 계수 크기와 부호가 모두 틀렸다.
• 분모가 $s^2+250s+10^5$인 것은 $\omega_0^2=\frac{1}{R^2C_1C_2}=10^6$과 맞지 않는다.
• 분모가 $s^2-2500s+10^6$인 것은 감쇠항 부호가 반대다.

정상상태 전류는 페이저 해석으로 구한 $10\cos(4t+36.9^{\circ})$이다.

방정식에서 $R=3\,\Omega$, $L=1.5\,\mathrm{H}$, $\dfrac{1}{C}=8$이고 $\omega=4\,\mathrm{rad/s}$이다.

$Z=R+j\omega L+\dfrac{1}{j\omega C}=3+j6-j2=3+j4=5\angle 53.1^{\circ}\,\Omega$

$I=\dfrac{50\angle 90^{\circ}}{5\angle 53.1^{\circ}}=10\angle 36.9^{\circ}\,\mathrm{A}$ — 유도성 회로이므로 전류가 전압보다 53.1° 뒤진다.

• 위상이 $-36.9^{\circ}$인 식: $53.1^{\circ}-90^{\circ}$로 뺄셈 순서를 뒤집은 값이다.
• 위상이 $+53.1^{\circ}$인 식: 임피던스각을 전류 위상으로 그대로 옮긴 오류다.
• 위상이 $-53.1^{\circ}$인 식: 전압의 초기위상 $90^{\circ}$를 무시한 결과다.

순저항 부하의 최대 전력 조건 $R_L=|Z_{th}|=5\,\Omega$를 쓰면 $P=\dfrac{1}{8}\,\mathrm{W}$이다.

$\omega=1$에서 $2\parallel j2=\dfrac{j4}{2+j2}=1+j$
$Z_{th}=1+j+2-j5=3-j4$, $|Z_{th}|=5\,\Omega$

$|I|=\dfrac{2}{|8-j4|}=\dfrac{2}{\sqrt{80}}$
$P=\dfrac{1}{2}|I|^2R_L=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{80}\times 5=\dfrac{1}{8}\,\mathrm{W}$ (전원값이 최댓값이므로 1/2을 곱한다)

• 1/2 W는 공액정합 상한(1/6 W)보다도 커서 불가능하다.
• 1/4 W도 공액정합 상한보다 커서 불가능하다.
• 1/6 W는 리액턴스까지 상쇄하는 공액정합 값으로, 순저항 부하로는 얻을 수 없다.

옳지 않은 설명은 3상 전력식의 θ를 선전압과 선전류의 위상차라고 한 것이다.

$P=\sqrt{3}V_LI_L\cos\theta$, $Q=\sqrt{3}V_LI_L\sin\theta$에서 θ는 상전압과 상전류의 위상차(부하 임피던스각)이다. Y 결선에서는 선전압이 상전압보다 30° 앞서므로 선전압과 선전류의 위상차는 θ와 다르다.

• 전원 결선별 전압: △ 결선은 선전압 = 상전압, Y 결선은 선전압이 상전압의 $\sqrt{3}$배로 옳다.
• 부하 결선별 관계: △ 결선은 선전류가 상전류의 $\sqrt{3}$배, Y 결선은 선전압이 상전압의 $\sqrt{3}$배로 옳다.
• △→Y 전원 등가변환: 평형이 유지되고, 내부임피던스는 $\dfrac{1}{3}$, 전압 크기는 $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$배가 되어 옳다.

직렬 RLC의 임계제동 조건 $R=2\sqrt{L/C}$에서 R = 2 kΩ이다.

특성방정식 $s^2+\dfrac{R}{L}s+\dfrac{1}{LC}=0$의 판별식이 0이 되는 임계제동 조건은 $\left(\dfrac{R}{2L}\right)^2=\dfrac{1}{LC}$이다.

$R=2\sqrt{\dfrac{1}{1\times 10^{-6}}}=2000\,\Omega=2\,\mathrm{k\Omega}$

• 1 kΩ은 부족제동(진동)이다.
• 3 kΩ은 과제동이다.
• 4 kΩ은 과제동이다.

병렬 공진에서 $Q=\omega_rRC$, $\omega_r=1/\sqrt{LC}$이므로 R = 4 kΩ, L = 2.5 mH이다.

양호도로 저항: $R=\dfrac{Q}{\omega_rC}=\dfrac{40}{40000\times 250\times 10^{-9}}=4000\,\Omega$

$L=\dfrac{1}{\omega_r^2C}=\dfrac{1}{(4\times 10^4)^2\times 2.5\times 10^{-7}}=2.5\times 10^{-3}\,\mathrm{H}$

• 4 kΩ과 0.25 mH 조합은 공진 각주파수가 약 $1.26\times 10^5$가 된다.
• 40 kΩ과 0.25 mH 조합은 Q와 공진 주파수가 모두 맞지 않는다.
• 40 kΩ과 2.5 mH 조합은 Q가 400이 된다.

종속 연결은 전송행렬의 곱이므로 $\begin{bmatrix}16&90\\5.5&31\end{bmatrix}$이 된다.

T형 회로(직렬 $Z_1$, 병렬 $Z_3$, 직렬 $Z_2$): $A=1+\dfrac{Z_1}{Z_3},\;B=Z_1+Z_2+\dfrac{Z_1Z_2}{Z_3},\;C=\dfrac{1}{Z_3},\;D=1+\dfrac{Z_2}{Z_3}$
앞단(2,1,4): $\begin{bmatrix}3&14\\1&5\end{bmatrix}$, 뒷단(4,2,4): $\begin{bmatrix}3&16\\0.5&3\end{bmatrix}$

앞단×뒷단 순서로 곱한다.
$\begin{bmatrix}3&14\\1&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&16\\0.5&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}9+7&48+42\\3+2.5&16+15\end{bmatrix}$

• $\begin{bmatrix}3&14\\1&5\end{bmatrix}$은 앞단 회로망만의 행렬이다.
• $\begin{bmatrix}3&16\\0.5&3\end{bmatrix}$은 뒷단 회로망만의 행렬이다.
• $\begin{bmatrix}25&122\\4.5&22\end{bmatrix}$은 곱하는 순서를 뒤바꾼 결과다.

출력은 부분분수 전개로 구한 $\left[-6e^{-2t}(1-t)+6e^{-3t}\right]u(t)$이다.

컨볼루션은 라플라스 영역에서 곱이 된다: $X(s)=\dfrac{2}{(s+2)^2}$, $H(s)=\dfrac{3}{s+3}$.

$Y(s)=\dfrac{6}{(s+2)^2(s+3)}=\dfrac{-6}{s+2}+\dfrac{6}{(s+2)^2}+\dfrac{6}{s+3}$

역변환하면 $y(t)=\left[-6e^{-2t}+6te^{-2t}+6e^{-3t}\right]u(t)$이며, 검산으로 $y(0)=0$을 만족한다.

• $\left[-6te^{-2t}-6e^{-3t}\right]u(t)$: $y(0)=-6$으로 컨볼루션 출력의 초기값 0과 맞지 않는다.
• $\left[-6e^{-2t}(1-t)-6e^{-3t}\right]u(t)$: $y(0)=-12$로 초기값 0과 맞지 않는다.
• $\left[-6te^{-2t}+6e^{-3t}\right]u(t)$: $y(0)=6$이고, $e^{-2t}$ 단독 항이 빠졌다.

RL 고역통과 회로의 차단주파수는 $\dfrac{R}{L}$이므로 $\frac{L}{R}$라는 설명이 옳지 않다.

전압분배로 $H(s)=\dfrac{sL}{R+sL}$이고, $|H(j\omega)|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$이 되는 점은 $\omega L=R$, 즉 $\omega_c=\dfrac{R}{L}$이다(L/R은 시정수).

$\angle H(j\omega)=90^{\circ}-\tan^{-1}\dfrac{\omega L}{R}$이므로 고주파에서 0°로 간다.

• $H(s)=\frac{sL}{R+sL}$라는 설명은 옳다.
• ω가 무한대로 가면 크기가 1에 수렴한다는 설명은 옳다.
• ω가 무한대로 가면 위상이 0°에 수렴한다는 설명은 옳다.

z 파라미터식에 부하 조건 $V_2=-10I_2$를 넣으면 $I_1=2\angle 0^{\circ}$, $I_2=1\angle -90^{\circ}$이다.

$V_1=35I_1+j30I_2$, $V_2=j30I_1+50I_2$
출력측: $-10I_2=j30I_1+50I_2\Rightarrow I_2=-j0.5I_1$

입력측: $100=35I_1+j30(-j0.5I_1)=50I_1\Rightarrow I_1=2\,\mathrm{A}$
$I_2=-j1=1\angle -90^{\circ}\,\mathrm{A}$ (부하 전압 부호 주의)

• $2\angle 180^{\circ}$와 $1\angle 90^{\circ}$ 조합은 두 전류 부호가 모두 반대다.
• $2\angle 180^{\circ}$와 $1\angle -90^{\circ}$ 조합은 $I_1$의 부호가 반대다.
• $2\angle 0^{\circ}$와 $1\angle 90^{\circ}$ 조합은 $I_2$의 위상이 반대다.