23년 1회차

여학생 점수는 남학생 점수에 모두 3점을 더한 것과 같으므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

남학생을 크기순으로 쓰면 51, 52, 63, 64, 65, 71, 72, 73, 74, 78, 81, 82, 93, 94, 95이고, 각각에 3을 더하면 여학생 자료 54, 55, 66, …, 98이 그대로 나온다. 평행이동은 위치 척도만 바꾸고 퍼짐 척도는 바꾸지 않는다.

• ㄱ(옳음): 15개 중 여덟째 값이 중앙값이므로 남학생 73, 여학생 76으로 3점 작다.
• ㄴ(옳음): 넷째·열두째 값으로 사분위수를 잡으면 남학생 64·82, 여학생 67·85로 사분위수범위가 둘 다 18이다.
• ㄷ(틀림): 모든 값이 3씩 이동했을 뿐이므로 표준편차는 같다.

독립이므로 $Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)$이고, 그 값은 5이다.

$X$는 2, 4가 각각 확률 1/2이므로 평균 3, $Var(X)=\dfrac{(2-3)^2+(4-3)^2}{2}=1$이다.

$Y$는 1, 5가 각각 확률 1/2이므로 평균 3, $Var(Y)=\dfrac{(1-3)^2+(5-3)^2}{2}=4$이다.
$Var(X+Y)=1+4=5$

각 확률을 표준화해 비교하면 작은 순서는 ㄴ, ㄱ, ㄷ이다.

표준화 $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$를 적용하면 세 확률은 표준정규분포의 누적확률로 바뀐다.

• ㄴ: $P(Y\le -2)=P\left(Z\le -\dfrac{2}{3}\right)$로 0.5보다 작아 가장 작다.
• ㄱ: $P(X\ge 1)=P(Z\ge -0.5)=P(Z\le 0.5)$로 0.5보다 크다.
• ㄷ: $P(W\le 12)=P(Z\le 1)$로 ㄱ보다 상한이 커서 가장 크다.

여사건을 이용하면 $P(A\cup B\cup C)=1-P(A^c)P(B^c)P(C^c)=\dfrac{62}{125}$이다.

세 사건이 독립이면 여사건끼리도 독립이므로 "하나도 일어나지 않을 확률"을 곱으로 구할 수 있다.

$P(A^c)P(B^c)P(C^c)=0.9\times 0.8\times 0.7=0.504$
$1-0.504=0.496=\dfrac{62}{125}$

따라서 합사건 확률은 0.496이다.

평균제곱과 $F$값에서 자유도를 거꾸로 구하면 $a=6,\ b=11$이다.

인자 $A$: 자유도 $=\dfrac{20}{4}=5=a-1$이므로 $a=6$이다.
오차 평균제곱 $=\dfrac{4}{2}=2$, 인자 $B$ 평균제곱 $=3\times 2=6$이다.

반복 없는 이원배치에서 오차 자유도는 $(a-1)(b-1)$이므로 $SS_B+SS_E=6(b-1)+2\cdot 5(b-1)=16(b-1)$이다.
$16(b-1)=180-20=160$에서 $b=11$이다.

제곱 편차합을 최소로 하는 값은 평균, 절대 편차합을 최소로 하는 값은 중앙값이므로 $a=50,\ b=60$이다.

평균: $\dfrac{10+20+30+40+60+70+70+70+80}{9}=\dfrac{450}{9}=50$

중앙값: 9개 자료를 크기순으로 놓은 다섯째 값이 60이다.

• 최빈값 70은 어느 기준도 최소화하지 않으므로 $b$를 70으로 잡은 조합은 틀리다.
• $a$를 60으로 잡은 조합은 평균이 아닌 중앙값을 넣은 것이므로 틀리다.

최소제곱 추정값은 $a=-\dfrac{1}{10},\ b=\dfrac{17}{10}$이다.

$\bar{x}=3,\ \bar{y}=5$
$S_{xx}=4+1+0+1+4=10$
$S_{xy}=(-2)(-3)+(-1)(-2)+0+(1)(1)+(2)(4)=17$

기울기 $b=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}=\dfrac{17}{10}$
절편 $a=\bar{y}-b\bar{x}=5-5.1=-\dfrac{1}{10}$

회귀직선은 반드시 점 $(\bar{x},\bar{y})$을 지나므로 기울기를 구하면 절편이 이 관계로 정해진다.

두 게임에서 갑이 이길 확률이 모두 $\dfrac{4}{7}$로 같아서 차는 0이다.

게임 $A$(복원): 매번 흰 공 확률 $\dfrac{1}{4}$이고, 갑은 1·3·5·…번째에 꺼낸다.
$P_A=\dfrac{1/4}{1-(3/4)^2}=\dfrac{1/4}{7/16}=\dfrac{4}{7}$

게임 $B$(비복원): 흰 공 2개의 자리를 8자리 중 고르는 $\binom{8}{2}=28$가지가 동등하다. 첫 흰 공이 $k$번째일 경우의 수는 $8-k$이다.
갑은 홀수 번째: $P_B=\dfrac{7+5+3+1}{28}=\dfrac{16}{28}=\dfrac{4}{7}$

$P_A-P_B=0$

비율을 $F(2,4)$ 통계량으로 바꾸면 $c=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{F_{0.05}(4,2)}$이다.

$U=Z_1^2+Z_2^2\sim\chi^2(2)$, $V=Z_3^2+\cdots+Z_6^2\sim\chi^2(4)$이고 독립이므로 $F=\dfrac{U/2}{V/4}=\dfrac{2U}{V}\sim F(2,4)$이다. 따라서 $\dfrac{U}{V}=\dfrac{F}{2}$이다.

$P(F\lt 2c)=0.05$이므로 $2c$는 $F(2,4)$의 하위 5% 점이다. 역수 관계 $F_{0.95}(2,4)=\dfrac{1}{F_{0.05}(4,2)}$를 쓰면 $c=\dfrac{1}{2F_{0.05}(4,2)}$이다.

• $F_{0.05}(2,4)$를 쓰는 조합은 상위 5% 점이라 확률이 0.95가 되므로 틀리다.
• 계수 2를 곱하는 조합은 $U/V$와 $F$의 관계를 거꾸로 잡은 것이다.

결합밀도가 곱으로 분해되어 $X$와 $Y$가 독립이므로 조건부확률은 $P\left(Y\lt \dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}$이다.

$12xy(1-x)=6x(1-x)\cdot 2y$로, $f_X(x)=6x(1-x)$, $f_Y(y)=2y$의 곱이고 지지집합도 직사각형이다.

따라서 $X$에 대한 조건은 무관하다.
$P\left(Y\lt \dfrac{1}{2}\right)=\int_0^{1/2}2y\,dy=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}$

독립성을 먼저 확인하면 조건부 계산을 생략할 수 있다.

기대도수는 (행 합계 × 열 합계) ÷ 총합이므로 32이다.

혈압약 $A$ 행 합계는 50, "효과 있음" 열 합계는 $37+27=64$, 총합은 100이다.

$E=\dfrac{50\times 64}{100}=32$

"차이 없음" 가정 아래 두 약의 효과 비율은 전체 비율 0.64로 같아야 한다는 뜻이다.

대수의 법칙에 의해 표본평균이 3으로 수렴하므로 $\hat{\theta}_n=\dfrac{1}{\bar{X}}$은 $\dfrac{1}{3}$로 수렴한다.

$\hat{\theta}_n=\dfrac{n}{\sum X_i}=\dfrac{1}{\bar{X}}$이고, 균일분포 $(2,4)$의 평균은 $\dfrac{2+4}{2}=3$이다.

$g(t)=\dfrac{1}{t}$는 $t=3$에서 연속이므로 연속사상정리에 의해 $\dfrac{1}{\bar{X}}\to\dfrac{1}{3}$이다.

옳은 것은 ㄴ뿐이다 — 나무부피만 유의한 양의 효과를 보인다.

관측 30개, 설명변수 2개이므로 잔차 자유도는 $30-2-1=27$이다.

• ㄱ(틀림): 나무높이의 $p$값 0.103이 0.05보다 커서 유의하지 않다.
• ㄴ(옳음): 나무부피 계수 0.20578은 양수이고 $p$값이 매우 작아 유의하다.
• ㄷ(틀림): 잔차제곱합의 자유도는 29가 아니라 27이다.

옳지 않은 것은 "(나)가 커지면 (다)도 커진다"는 설명이다 — $F$값이 커지면 $p$값은 작아진다.

처리 3개, 총 21회이므로 처리 자유도 2, 오차 자유도 18이다. 처리 제곱합 $40-36=4$이다.

$F=\dfrac{4/2}{36/18}=\dfrac{2}{2}=1$

• 처리 자유도 (가)가 $3-1=2$라는 설명은 옳다.
• $F$값 (나)가 1이라는 설명은 옳다.
• 오차 자유도 (라)가 $21-3=18$이라는 설명은 옳다.
• $p$값은 $F$값보다 클 확률이므로 반대 방향으로 움직인다.

옳지 않은 것은 $p$값을 제2종 오류 확률로 본 설명이다 — $p$값은 귀무가설이 참일 때 관측값만큼 극단적인 결과가 나올 확률이다.

제2종 오류 확률은 대립가설이 참일 때 귀무가설을 채택할 확률로, 특정 대립값을 정해야 계산되는 별개의 개념이다.

• 유의수준 $\alpha$ 검정은 제1종 오류 확률을 $\alpha$ 이하로 묶은 검정이므로 옳다.
• $p$값이 유의수준보다 작으면 기각하는 것은 옳은 판정 규칙이다.
• 같은 $p$값이라도 비교하는 유의수준이 달라지면 기각 여부가 바뀔 수 있으므로 옳다.

ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

단순회귀에서 $\hat{\beta}_1=r\dfrac{s_y}{s_x}$이고 $s_x=s_y=1$이므로 $r=0.5$이다.

• ㄱ: $\hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}=4-0.5\times 3=2.5$이다.
• ㄴ: 잔차 자유도는 $n-2=6-2=4$이다.
• ㄷ: 단순회귀의 결정계수는 $R^2=r^2=0.25$이다.

카이제곱 통계량은 12.5이고, 이는 $\chi^2_{0.05}(2)=5.99$보다 커서 독립이 아니다.

행 합계 50, 50, 100, 열 합계 120, 80, 총합 200이므로 기대도수는 $A$: 30, 20 / $B$: 30, 20 / $C$: 60, 40이다.

$\chi^2=0+0+\dfrac{10^2}{30}+\dfrac{10^2}{20}+\dfrac{10^2}{60}+\dfrac{10^2}{40}$
$=3.33+5+1.67+2.5=12.5$

자유도는 $(3-1)(2-1)=2$이다.

• 16.5로 잡은 조합은 통계량 계산이 틀렸다.
• 12.5와 "독립이다"를 짝지은 조합은 기각역 판정이 틀렸다.

$E[X(X-1)]$을 계산하면 분산의 2배가 되므로 $\dfrac{X(X-1)}{2}$이 불편추정량이다.

$E(X^2)=Var(X)+[E(X)]^2=\dfrac{1-p}{p^2}+\dfrac{1}{p^2}=\dfrac{2-p}{p^2}$

$E[X(X-1)]=\dfrac{2-p}{p^2}-\dfrac{1}{p}=\dfrac{2-2p}{p^2}=2\cdot\dfrac{1-p}{p^2}$

• $\dfrac{X^2-1}{2}$의 기댓값은 $\dfrac{2-p-p^2}{2p^2}$으로 분산과 다르다.
• $\dfrac{X^2}{2}$는 $E(X^2)/2$로 평균 제곱항이 남아 편향이 있다.
• $\dfrac{X}{2}$의 기댓값은 $\dfrac{1}{2p}$로 분산과 다르다.

제2종 오류 확률은 $P(Z\lt z_{0.05}-6)$이다.

표준오차 $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{12}{8}=1.5$이므로 기각역은 $\bar{X}\gt 30+1.5z_{0.05}$이다.

$\mu=39$일 때 채택할 확률:
$P(\bar{X}\le 30+1.5z_{0.05})=P\left(Z\le\dfrac{30+1.5z_{0.05}-39}{1.5}\right)=P(Z\le z_{0.05}-6)$

• 4를 쓴 식은 차이 9를 표준오차 1.5로 나눈 값 6과 맞지 않아 틀리다.
• $Z\gt$ 꼴은 기각 쪽 확률(검정력 방향)이라 제2종 오류가 아니다.

$\gamma_1$의 추정값은 -0.1, 변환 자료의 상관계수는 -0.8이다.

기울기는 $y$ 배율 ÷ $x$ 배율만큼 바뀐다.
$\hat{\gamma}_1=3\times\dfrac{-1/10}{3}=-0.1$

원자료 $R^2=\dfrac{640}{640+360}=0.64$, 기울기가 양수이므로 $r=0.8$이다. 상관계수는 선형변환에서 크기는 유지되고, 두 배율의 부호가 반대이면 부호가 바뀌므로 $-0.8$이다.

• -0.3은 $x$의 배율 3으로 나누지 않은 값이다.
• 상관계수를 양수 0.8로 둔 조합은 $y$ 쪽 음의 배율을 놓쳤다.

옳은 것은 ㄱ뿐이다 — 모분산이 알려진 평균 구간만 길이가 표본값과 무관하다.

구간 길이에 표본으로 계산하는 $S$나 $S^2$이 들어가면 자료마다 길이가 달라진다.

• ㄱ(옳음): 길이 $2z_{0.025}\dfrac{\sigma}{\sqrt{10}}$로 상수만으로 정해진다.
• ㄴ(틀림): 길이 $2t_{0.025}(9)\dfrac{S}{\sqrt{10}}$에 표본표준편차가 들어간다.
• ㄷ(틀림): 구간 $\left(\dfrac{9S^2}{\chi^2_{0.025}(9)},\dfrac{9S^2}{\chi^2_{0.975}(9)}\right)$의 길이가 $S^2$에 비례한다.

합동분산 $t$검정통계량 $\dfrac{\sqrt{6}(\bar{x}-\bar{y})}{s_P}$가 $t_\alpha(23)$보다 크면 기각한다.

$t=\dfrac{\bar{x}-\bar{y}}{s_P\sqrt{\frac{1}{15}+\frac{1}{10}}}$이고 $\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{6}$이므로 $t=\dfrac{\sqrt{6}(\bar{x}-\bar{y})}{s_P}$, 자유도 $15+10-2=23$이다.

• 분모에 $s_P^2$을 쓴 통계량은 표준편차 대신 분산으로 나눠 틀리다.
• 대립가설이 $\mu_A\gt \mu_B$인 우측검정이므로 $-t_\alpha(23)$보다 작을 때 기각하는 규칙은 틀리다.

절편 없는 회귀에서 $Var(\hat{\beta})=\dfrac{\sigma^2}{\sum x_i^2}$이므로 값은 $\dfrac{1}{77}$이다.

$\hat{\beta}=\dfrac{\sum x_iY_i}{\sum x_i^2}$이고 $\sigma^2=1$이다.

표본분산 3은 $n-1=19$로 나눈 값이므로 $\sum(x_i-\bar{x})^2=57$이다.
$\sum x_i^2=\sum(x_i-\bar{x})^2+n\bar{x}^2=57+20=77$

• $\dfrac{1}{57}$은 절편 있는 모형처럼 편차제곱합만 쓴 값이다.
• $\dfrac{1}{80}$은 표본분산을 $n$으로 나눈 것으로 잘못 본 값이다.
• $\dfrac{1}{60}$은 표본분산을 $n$으로 나눈 것으로 보고 $n\bar{x}^2$ 항까지 빠뜨린 값이다.

세 표본 중 2개 이상이 $\dfrac{1}{2}$보다 작으면 중앙값이 $\dfrac{1}{2}$보다 작으므로 확률은 $\dfrac{27}{32}$이다.

누적분포 $F(x)=1-(1-x)^2$에서 $p=F\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{4}$이다.

$P\left(M\lt \dfrac{1}{2}\right)=3p^2(1-p)+p^3$
$=3\cdot\dfrac{9}{16}\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{27}{64}=\dfrac{54}{64}=\dfrac{27}{32}$

중앙값 사건을 이항분포로 바꾸는 것이 핵심이다.

분산분석 결과에 부합하는 그림은 두 선이 평행하지 않고 A2에서 평균이 전반적으로 낮아지지만, B1과 B2의 전체 평균 수준은 비슷한 그림이다.

p-값을 유의수준 0.05와 비교하면 인자 A(0.0003)와 교호작용(0.0033)은 유의하고, 인자 B(0.4792)는 유의하지 않다. 따라서 그림은 A 주효과 있음·B 주효과 없음·교호작용 있음을 동시에 보여야 한다.

교호작용이 있으면 두 선의 기울기가 달라 평행하지 않고, A 주효과가 있으면 A1과 A2의 평균(두 점의 가운데)이 달라야 하며, B 주효과가 없으면 B1 선과 B2 선의 평균 높이가 비슷해야 한다.

• 두 수평선이 위아래로 떨어진 그림: 평행하여 교호작용이 없고, A 효과도 없으며 B 효과만 크므로 부합하지 않는다.
• 두 선이 평행하게 함께 올라가는 그림: 교호작용이 없고 B 효과가 크게 나타나므로 부합하지 않는다.
• 두 선이 대칭으로 X자 교차하는 그림: 교호작용만 있고 A1·A2의 평균과 B1·B2의 평균이 모두 같아 A 주효과가 없으므로 부합하지 않는다.