23년 1회차

현장 건조단위중량이 17 $kN/m^{3}$이므로 다짐도는 85 %이다.

건조단위중량: $\gamma_d=\dfrac{W_s}{V}=\dfrac{17\ \mathrm{N}}{1000\ \mathrm{cm^3}}=\dfrac{17\times10^{-3}\ \mathrm{kN}}{10^{-3}\ \mathrm{m^3}}=17\ \mathrm{kN/m^3}$

다짐도: $R=\dfrac{\gamma_d}{\gamma_{d,\max}}\times100=\dfrac{17}{20}\times100=85\ \%$

원호활동면의 안전율은 1.2이다.

$\phi=0$ 해석에서 안전율은 저항모멘트를 활동모멘트로 나눈 값이다. 그림에서 원호 반지름 R은 10 m, 중심 O에서 W 작용선까지 거리는 5 m이다.

$F_s=\dfrac{c_u L R}{W x}$
$=\dfrac{60\times 11\times 10}{1100\times 5}=\dfrac{6600}{5500}$
$=1.2$

• 1.0은 저항모멘트와 활동모멘트가 같은 한계상태 값으로, 계산 결과와 다르다.
• 1.4와 1.6은 계산값보다 커서, 반지름 10 m·W의 팔 길이 5 m를 그대로 대입하면 나오지 않는다.

정수위 투수시험식으로 구한 투수계수는 0.1 cm/sec이다.

공식: $k=\dfrac{QL}{Aht}$ (1분 = 60 s로 환산)

대입: $k=\dfrac{600\times20}{20\times100\times60}=\dfrac{12000}{120000}=0.1\ \mathrm{cm/s}$

2:1 분포법으로 구한 연직응력 증가량은 100 kPa이다.

공식: 깊이 $z$에서 하중이 $(B+z)\times(L+z)$ 면적에 퍼진다고 본다.
$\Delta\sigma_z=\dfrac{qBL}{(B+z)(L+z)}$

대입: $\Delta\sigma_z=\dfrac{400\times2\times2}{(2+2)(2+2)}=\dfrac{1600}{16}=100\ \mathrm{kPa}$

히빙이 생기지 않는 최대 굴착 깊이는 5 m이다.

점토층 바닥(모래층 상단)에서 피압수의 수압이 위로 작용하고, 굴착 후 남은 점토의 무게가 이를 누른다. 스탠드파이프 수위가 점토층 바닥에서 4 m 위이므로 상향 수압은 다음과 같다.

$u=\gamma_w h=10\times 4=40\ \mathrm{kPa}$

남은 점토 무게와 수압이 같아지는 깊이를 구한다.
$(7-H)\times 20=40$
$7-H=2,\ H=5\ \mathrm{m}$

• 3 m는 남은 점토가 4 m로 여유가 남는 깊이일 뿐 최대값이 아니다.
• 7 m는 점토층을 모두 파낸 경우로, 덮개가 없어 곧바로 융기한다.
• 9 m는 점토층 두께보다 깊어 문제 조건에 맞지 않는다.

밸브를 열기 전 A점의 유효응력은 40 kPa, 연 뒤 B점의 유효응력은 10 kPa이다.

밸브를 닫은 정수압 상태에서는 수중단위중량만으로 유효응력이 정해진다. A점은 흙 4 m 아래이다.

$\sigma'_A=\gamma' z=(20-10)\times 4=40\ \mathrm{kPa}$

밸브를 열면 상향침투가 생기고, B점에 연결된 관의 수위가 수조 수면보다 1 m 높으므로 B점의 압력수두는 2+2+1=5 m이다.
$\sigma_B=10\times 2+20\times 2=60\ \mathrm{kPa}$
$u_B=10\times 5=50\ \mathrm{kPa}$
$\sigma'_B=60-50=10\ \mathrm{kPa}$

• A점을 20 kPa로 본 조합은 흙 2 m 깊이만 반영한 값이다.
• B점을 20 kPa로 본 조합은 상향침투에 따른 과잉수압 1 m를 빠뜨린 정수압 값이다.

흙 입자 높이를 구해 최종 높이와 비교하면 압밀 후 간극비는 0.6이다.

입자 체적: $V_s=\dfrac{W_s}{G_s\gamma_w}=\dfrac{0.75\ \mathrm{N}}{2.5\times10^{4}\ \mathrm{N/m^3}}=3\times10^{-5}\ \mathrm{m^3}=30\ \mathrm{cm^3}$
입자 환산 높이: $H_s=\dfrac{30}{30}=1\ \mathrm{cm}$

최종 높이: $H=2-0.4=1.6\ \mathrm{cm}$
간극비: $e=\dfrac{H-H_s}{H_s}=\dfrac{1.6-1}{1}=0.6$

참고로 초기 간극비는 $(2-1)/1=1.0$이며, 입자 높이는 압밀 중에도 변하지 않는다는 점을 이용한다.

모래가 주성분이고 입도가 양호하므로 SW로 분류한다.

No.200 체 통과율 3 %로 세립분이 5 % 미만인 조립토이며, 조립분(97 %) 중 No.4 체 통과분(75 − 3 = 72 %)이 절반을 넘으므로 모래(S)이다.

균등계수: $C_u=\dfrac{D_{60}}{D_{10}}=\dfrac{2.5}{0.2}=12.5\ \geq 6$
곡률계수: $C_c=\dfrac{D_{30}^2}{D_{10}D_{60}}=\dfrac{1^2}{0.2\times2.5}=2\ (1\sim3)$
두 조건을 모두 만족하므로 입도 양호(W)이다.

• 자갈(G) 계열 분류: No.4 체 통과분이 조립분의 절반을 넘으므로 자갈이 아니다.
• 입도 불량 모래(SP): 균등계수·곡률계수 조건을 모두 만족하므로 해당하지 않는다.

파괴 시 간극수압은 250 kPa, 유효내부마찰각은 30°이다.

파괴점은 유효응력경로가 Kf선과 만나는 점으로, 그림에서 p'=300 kPa, q=150 kPa이다. 같은 q에서 전응력경로는 p=400+150=550 kPa이다(기울기 1).

$u_f=p-p'=550-300=250\ \mathrm{kPa}$

Kf선의 기울기를 $\tan\alpha$라 하면 $\sin\phi'=\tan\alpha$이다.
$\tan\alpha=\dfrac{150}{300}=0.5$
$\phi'=\sin^{-1}0.5=30^{\circ}$

• 간극수압 300 kPa는 파괴점의 p'를 간극수압으로 착각한 값이다.
• 유효내부마찰각 45°는 Kf선 기울기가 약 0.71이어야 나오는 값으로, 그림의 기울기 0.5와 맞지 않는다.

포화 시 물 무게에서 현재 물 무게를 빼면 필요한 물은 37 kN이다.

흙 입자 무게: $W_s=G_s\gamma_w(1-n)V=2.6\times10\times0.5\times10=130\ \mathrm{kN}$
현재 물 무게: $W_w=wW_s=0.1\times130=13\ \mathrm{kN}$

포화 시 물 무게(간극 전체): $W_{w,sat}=n V\gamma_w=0.5\times10\times10=50\ \mathrm{kN}$
추가할 물: $50-13=37\ \mathrm{kN}$

필요한 물은 포화 물 무게 전체가 아니라 현재 물과의 차이임에 주의한다.

소산된 과잉간극수압은 30 kPa, 압밀도는 60 %이다.

지하수위를 지표면으로 보면, 피에조미터 수위가 지표면 위로 솟은 수두 2 m가 남은 과잉간극수압이다.
$u_e=h\gamma_w=2\times10=20\ \mathrm{kPa}$

초기 과잉간극수압은 상재하중과 같다($u_0=50\ \mathrm{kPa}$).
소산량: $50-20=30\ \mathrm{kPa}$
압밀도: $U=\dfrac{u_0-u_e}{u_0}\times100=\dfrac{30}{50}\times100=60\ \%$

남은 과잉간극수압 20 kPa을 소산량으로 혼동하면 40 %라는 오답이 나온다.

단위 폭당 침투유량은 9.0 × 10^−6 m^3/sec/m이다.

유선망에서 유선은 널말뚝·호 3개·불투수층 경계 5개이므로 유로 수 $N_f=4$, 등수두선은 상·하류 지표면을 포함해 9개이므로 등수두면 수 $N_d=8$이다.

$q=kH\dfrac{N_f}{N_d}$
$=6\times 10^{-6}\times 3\times\dfrac{4}{8}$
$=9.0\times 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s/m}$

• 1.8 × 10^−6은 유로 수/등수두면 수의 비를 0.1로 잡아야 나오는 값으로, 유로·등수두면 수를 잘못 센 결과이다.
• 1.8 × 10^−5은 유로 수와 등수두면 수의 비를 1로 본 값이다.
• 9.0 × 10^−5은 계산값보다 한 자릿수 크게 잡은 값이다.

모래의 전단강도는 구속응력이 클수록 커진다. 구속응력과 무관하게 일정하다는 설명이 옳지 않다.

모래는 점착력이 거의 없어 $\tau_f=\sigma'\tan\phi'$로 표현되므로, 유효구속응력이 증가하면 전단강도가 비례하여 증가한다.

• 억물림 효과: 입자가 맞물려 있으면 전단 시 다일러턴시가 생겨 전단저항이 증가하므로 옳다.
• 모난 입자와 둥근 입자 비교: 모난 입자가 맞물림이 커서 내부마찰각이 크므로 옳다.
• 표면 거칠기: 거칠수록 입자 간 마찰이 커져 전단강도가 크므로 옳다.

Rankine 이론은 벽면 마찰이 없다고 가정하므로, 벽 마찰이 있을 때 Coulomb 토압계수와 같다는 설명이 옳지 않다.

연직 벽·수평 배면에서 두 이론의 토압계수가 일치하는 것은 벽면마찰각이 0일 때뿐이며, 벽 마찰이 있으면 Coulomb 주동토압계수는 Rankine 값보다 작아진다.

• 수동토압계수와 주동토압계수의 역수 관계: 수평 배면에서 $k_a=\tan^2(45^\circ-\phi/2)$, $k_p=\tan^2(45^\circ+\phi/2)$이므로 서로 역수이다.
• 내부마찰각에 따른 수동토압계수: $\tan^2(45^\circ+\phi/2)$이므로 내부마찰각이 커질수록 증가한다.
• 인장균열 깊이: 주동토압이 0이 되는 깊이에서 $z_o=\dfrac{2c}{\gamma\sqrt{k_a}}$가 얻어진다.

지하수위가 내려가면 유효연직응력은 증가한다. 유효응력 감소가 부주면마찰력을 일으킨다는 설명이 옳지 않다.

지하수위 강하로 유효응력이 커지면 연약 점토가 압밀침하하고, 흙이 말뚝보다 더 내려가면서 아래 방향의 부주면마찰력이 생긴다.

• 극한지지력 산정: 정역학적 공식 외에 표준관입시험 결과를 쓰는 경험식과 말뚝재하시험으로 산정할 수 있다.
• $\beta$방법: 주면마찰력을 $f_s=\beta\sigma_v'$로 구하는 유효응력 해석법이다.
• 사질토의 한계깊이: 일정 깊이 이후 단위 주면마찰력이 더 커지지 않는다고 보아 한계깊이를 검토한다.

수위 상승으로 인한 1차 압밀 침하량은 0 cm이다.

지표면 위로 물이 차오르면 전응력과 간극수압이 모두 $\gamma_w\times 2=20\ \mathrm{kPa}$씩 똑같이 늘어난다.

$\Delta\sigma'=\Delta\sigma-\Delta u=20-20=0$

압밀은 유효응력 증가로만 일어나므로 정규압밀 점토라도 침하가 생기지 않는다.

• 2 cm는 수위 상승분을 유효응력 증가로 잘못 보고 압축지수 공식에 대입해야 나오는 값이다.
• 4 cm도 같은 잘못된 가정에서 나오는 값으로, 유효응력이 변하지 않으므로 성립하지 않는다.
• 6 cm 역시 유효응력 증가가 없다는 점을 놓친 값이다.

옹벽의 폭은 $\sqrt{\frac{8}{3}}$ m이다.

벽마찰을 무시하므로 랭킨 주동토압을 쓴다.
$K_a=\dfrac{1-\sin 30^{\circ}}{1+\sin 30^{\circ}}=\dfrac{1}{3}$
$P_a=\dfrac{1}{2}\times 18\times 4^2\times\dfrac{1}{3}=48\ \mathrm{kN/m}$

전도모멘트는 높이 1/3 지점 작용, 저항모멘트는 옹벽 자중이 폭 중앙에 작용한다.
$M_o=48\times\dfrac{4}{3}=64$
$M_r=(24\times 4\times B)\times\dfrac{B}{2}=48B^2$
$\dfrac{48B^2}{64}=2,\ B^2=\dfrac{8}{3}$

• $\sqrt{\frac{4}{3}}$는 안전율 1에 해당하는 폭이다.
• $\sqrt{\frac{5}{3}}$와 $\sqrt{\frac{10}{3}}$는 토압 작용점이나 주동토압계수를 잘못 잡아야 나오는 값이다.

전체 주면마찰력은 440 kN이다.

$\alpha$법에서 단위 주면마찰력은 $\alpha c_u$이고, 정사각형 말뚝 둘레는 $4\times 0.5=2\ \mathrm{m}$이다.

$Q_s=p\sum\alpha c_u H$
$=2\times(0.9\times 20\times 2.5+0.7\times 50\times 5)$
$=2\times(45+175)=440\ \mathrm{kN}$

• 240 kN은 계산값보다 작아 층별 마찰력 일부를 빠뜨린 값이다.
• 340 kN은 둘레 길이나 층 두께를 잘못 대입한 값이다.
• 540 kN은 계산값보다 커서 층별 마찰력을 과대하게 합산한 값이다.

사면의 안전율은 1.1이다.

지하수위가 지표와 일치하고 사면에 평행하게 침투하는 무한사면의 안전율은 다음과 같다.

$F_s=\dfrac{c'}{\gamma_{sat}H\cos^2\beta\tan\beta}+\dfrac{\gamma'}{\gamma_{sat}}\dfrac{\tan\phi'}{\tan\beta}$

$\gamma_{sat}H\cos^2\beta\tan\beta=20\times 4\times 0.75\times 0.6=36$
$F_s=\dfrac{20}{36}+\dfrac{10}{20}\times 1=0.56+0.5\approx 1.1$

• 1.6은 마찰 항에 수중단위중량 비를 곱하지 않은 값(0.56+1.0)이다.
• 2.1과 2.6은 계산값보다 훨씬 커서, 점착력 항(0.56)과 마찰 항(0.5)을 바르게 더하면 나오지 않는 값이다.

동수경사는 $i_1=0.1,\ i_3=0.2$이다.

직렬 시료에서는 단면적이 같으므로 각 시료의 유량, 즉 $ki$가 같다. 이를 v라 두면 $i_1=v/4$, $i_2=v$, $i_3=v/2$이다.

각 시료의 수두손실 합이 전체 수두차 16 cm이다.
$10\times\dfrac{v}{4}+30v+15\times\dfrac{v}{2}=40v=16$
$v=0.4$
$i_1=0.1,\ i_3=0.2$

• $i_3=0.4$로 본 조합은 시료 3의 동수경사를 시료 2의 값과 혼동한 것이다.
• $i_1=0.2$로 본 조합은 시료 1의 투수계수가 시료 3의 2배라 동수경사가 절반이라는 관계를 반영하지 않은 값이다.

Terzaghi 정사각형 기초 공식으로 구한 극한지지력은 525.6 kPa이다.

공식(정사각형): $q_u=1.3cN_c+qN_q+0.4\gamma BN_\gamma$

점착력 항: $c=0$이므로 0
근입 항: $q=\gamma D_f=18\times2=36\ \mathrm{kPa}$, $36\times13=468\ \mathrm{kPa}$
자중 항: $0.4\times18\times1\times8=57.6\ \mathrm{kPa}$

합계: $q_u=0+468+57.6=525.6\ \mathrm{kPa}$ — 형상계수 0.4를 연속기초의 0.5로 쓰면 값이 틀어진다.

Culmann 방법은 절편법이 아니다.

Culmann 방법은 활동면을 평면으로 가정하고 활동 쐐기 전체의 힘 평형으로 해석하는 방법으로, 토체를 여러 절편으로 나누지 않는다.

• Spencer 방법: 절편 간 힘의 경사가 일정하다고 보고 힘·모멘트 평형을 함께 만족시키는 절편법이다.
• Bishop 방법: 원호 활동면을 절편으로 나누고 절편 측면의 수평력을 고려하는 절편법이다.
• Janbu 방법: 비원호 활동면에도 적용하는 힘 평형 기반의 절편법이다.

Skempton 식에 대입하면 간극수압계수 A는 0.7이다.

공식: $\Delta u=B\left[\Delta\sigma_3+A(\Delta\sigma_1-\Delta\sigma_3)\right]$

압밀 후 비배수 전단 단계에서는 구속응력 변화가 없으므로 $\Delta\sigma_3=0$, $\Delta\sigma_1-\Delta\sigma_3=200\ \mathrm{kPa}$이다.
$140=1\times[0+A\times200]$
$A=\dfrac{140}{200}=0.7$

압밀 단계의 구속응력 300 kPa은 이미 배수되어 간극수압 계산에 들어가지 않는다.

유효직경비는 1.08이다.

영향원의 면적은 배수재 하나가 담당하는 면적과 같다. 정사각형 배치는 $S^2$, 정삼각형 배치는 정육각형 면적 $\frac{\sqrt{3}}{2}S^2$이다.

$\dfrac{\pi d_A^2}{4}=S^2,\ \dfrac{\pi d_B^2}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}S^2$
$\dfrac{d_A}{d_B}=\sqrt{\dfrac{2}{\sqrt{3}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}}=\dfrac{1.4}{1.3}=1.0769$
셋째 자리에서 올림하면 1.08

• 0.93은 비를 거꾸로 잡은 $d_B/d_A$에 해당한다.
• 1.05는 정삼각형 배치의 유효직경 계수(약 1.05S)이다.
• 1.13은 정사각형 배치의 유효직경 계수(약 1.13S)이다.

측면 AB에 작용하는 전체 수평토압은 225 kN/m이다.

정지토압은 $\sigma_h=K_0\gamma_t z$로 깊이에 따라 선형 증가하므로 A·B점 토압의 사다리꼴 면적을 구한다.

$\sigma_{hA}=0.5\times 18\times 2.5=22.5\ \mathrm{kPa}$
$\sigma_{hB}=0.5\times 18\times 7.5=67.5\ \mathrm{kPa}$
$P=\dfrac{22.5+67.5}{2}\times 5=225\ \mathrm{kN/m}$

• 55 kN/m는 계산값의 4분의 1에도 못 미쳐 깊이에 따른 토압 증가를 대부분 빠뜨린 값이다.
• 125 kN/m와 150 kN/m는 상부 흙 2.5 m의 상재 영향이나 깊이별 토압 분포를 일부 누락해야 나오는 작은 값이다.