23년 1회차

출구에서의 Reynolds 수는 4,000이다.

비압축성 정상 흐름이므로 부피 유량이 보존된다.
$v_2=v_1\left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^2=1\times\left(\dfrac{10}{5}\right)^2=4\,\mathrm{cm\,s^{-1}}$

출구 지름은 10 cm이므로
$\mathrm{Re}=\dfrac{v_2D_2}{\nu}=\dfrac{4\times10}{0.01}=4000$

• 2,000은 입구 유속과 입구 지름(20 cm)으로 계산한 값으로, 단면 축소에 따른 유속 증가를 반영하지 않았다.
• 1,000은 입구 유속에 출구 지름을 곱한 값으로, 연속 방정식을 빠뜨린 결과이다.
• 6,000은 유량 보존과 지름 기준 Re 정의 어느 쪽으로도 나오지 않는다.

자연 대류에서는 속도분포와 온도분포가 서로 결합되어 있으므로, 둘이 서로 영향을 주지 않는다는 설명이 옳지 않다.

온도 또는 농도 차가 밀도 차를 만들고, 그 밀도 차에 의한 부력이 흐름을 일으킨다. 흐름은 다시 열을 운반해 온도분포를 바꾸므로 운동량식과 에너지식을 함께 풀어야 한다.

• 농도 불균형도 밀도 차를 만들므로 자연 대류를 일으킬 수 있다.
• 온도 구배는 밀도 차를 통해 자연 대류를 일으키는 대표적 원인이다.
• 자연 대류는 부력에 의해 외부 동력 없이 일어나는 순환이다.

유체의 점도는 1 Pa·s, 즉 10 P이다.

뉴턴 점성 법칙 $\tau=\mu\dfrac{V}{h}$를 적용한다.
$\tau=\dfrac{F}{A}=\dfrac{100}{0.01}=1\times10^{4}\,\mathrm{Pa}$
$\dfrac{V}{h}=\dfrac{10}{0.001}=1\times10^{4}\,\mathrm{s^{-1}}$
$\mu=\dfrac{10^4}{10^4}=1\,\mathrm{Pa\cdot s}$

단위 환산은 1 Pa·s = 10 P = 1000 cP이다.

• $10\,\mathrm{kg\,m^{-1}\,s^{-1}}$은 10 Pa·s와 같은 값으로 계산값의 10배이다.
• 10 Pa·s는 계산값의 10배이다.
• 10 cP는 0.01 Pa·s로 계산값의 1/100이다.

오른쪽 물기둥 높이 h는 30 cm이다.

두 관의 윗면이 모두 대기압이므로 U자관 바닥에서 양쪽 정수압이 같다. 기름 기둥을 물기둥 높이로 환산하면 비중을 곱하면 된다.

$\rho_w g h=0.8\rho_w g(25)+\rho_w g(10)$
$h=20+10=30\,\mathrm{cm}$

• 25는 기름 기둥 높이만 옮긴 값으로, 비중 환산과 아래쪽 물 10 cm를 빠뜨려 오른쪽 압력이 부족하다.
• 35는 기름 25 cm와 물 10 cm를 비중 보정 없이 단순 합산한 값이다.
• 40은 왼쪽 바닥 압력(물기둥 30 cm 상당)보다 커서 평형이 성립하지 않는다.

기체 A의 막 선택도는 0.2이다.

용해-확산 모델에서 투과도는 용해도계수와 확산계수의 곱 $Q=SD$이다.
$\dfrac{Q_{\mathrm{A}}}{Q_{\mathrm{B}}}=\dfrac{S_{\mathrm{A}}}{S_{\mathrm{B}}}\times\dfrac{D_{\mathrm{A}}}{D_{\mathrm{B}}}=2\times0.1=0.2$

• 20은 용해도계수 비를 확산계수 비로 나눈 값으로, 곱 대신 나눗셈을 적용한 오류이다.
• 2는 용해도계수 비만 고려하고 확산의 기여를 빠뜨린 값이다.
• 0.02는 두 비의 곱보다 10배 작아 용해-확산 모델로 나오지 않는다.

A의 방사율은 0.4이다.

무한히 넓은 평행 회색체 평판 사이의 복사 플럭스는 다음과 같다.
$q=\dfrac{\sigma(T_{\mathrm{A}}^4-T_{\mathrm{B}}^4)}{\dfrac{1}{e_{\mathrm{A}}}+\dfrac{1}{e_{\mathrm{B}}}-1}$

값을 대입하면
$1.0=\dfrac{6.5}{\dfrac{1}{e_{\mathrm{A}}}+5-1}$
$\dfrac{1}{e_{\mathrm{A}}}=6.5-4=2.5$
$e_{\mathrm{A}}=0.4$

• 0.8이면 분모가 5.25가 되어 플럭스가 약 $1.24\,\mathrm{kW\,m^{-2}}$로 주어진 값보다 크다.
• 0.2이면 분모가 9가 되어 플럭스가 약 $0.72\,\mathrm{kW\,m^{-2}}$로 작다.
• 0.1이면 분모가 14가 되어 플럭스가 약 $0.46\,\mathrm{kW\,m^{-2}}$로 더 작다.

A의 직경은 28 nm이다.

Stokes-Einstein 식 $D=\dfrac{kT}{3\pi\mu d}$를 직경에 대해 정리하면 $d=\dfrac{kT}{3\pi\mu D}$이다.

SI 단위로 바꾸면 $\mu=1.0\times10^{-3}\,\mathrm{Pa\cdot s}$, $D=2.0\times10^{-11}\,\mathrm{m^2\,s^{-1}}$이다.
$d=\dfrac{1.4\times10^{-23}\times360}{3\times3\times10^{-3}\times2.0\times10^{-11}}=\dfrac{5.04\times10^{-21}}{1.8\times10^{-13}}=2.8\times10^{-8}\,\mathrm{m}$

• 14 nm는 $6\pi\mu R$ 형태로 구한 반지름을 직경으로 착각한 값이다.
• 56 nm는 직경을 반지름으로 보고 다시 두 배 한 값이다.
• 7 nm는 반지름을 한 번 더 절반으로 나눈 값이다.

지점 X에서 A의 부분압은 25 kPa이다.

등온·등압 정상상태의 등몰상호확산에서는 플럭스가 일정하고 벌크 흐름 항이 상쇄되므로 부분압이 거리에 대해 직선으로 변한다.

$p_X=p_1-(p_1-p_2)\dfrac{2}{3}=45-30\times\dfrac{2}{3}=25\,\mathrm{kPa}$

• 20은 X까지 강하폭을 실제보다 크게 잡은 값으로 직선 분포와 맞지 않는다.
• 30은 두 지점의 산술 중앙값으로, X가 지점 1에서 2 cm(전체 3 cm 중) 떨어져 있다는 거리 비를 무시했다.
• 35는 지점 1로부터 1 cm 지점의 값에 해당해 거리를 거꾸로 적용한 결과다.

대류열전달계수가 지름과 무관해지는 지수는 $n=\dfrac{1}{3}$이다.

Stokes 영역의 종단 속도는 $v_t=\dfrac{(\rho_s-\rho)gD^2}{18\mu}$이므로 종단 속도가 지름의 제곱에 비례한다.
$\mathrm{Pe}=\dfrac{v_tD}{\alpha}\propto D^3$

$\mathrm{Nu}=\dfrac{hD}{k}\propto D^{3n}$에서 $h\propto D^{3n-1}$이다.
$3n-1=0\Rightarrow n=\dfrac{1}{3}$

• 지수가 $\dfrac{1}{2}$이면 $h\propto D^{1/2}$로 지름이 클수록 커진다.
• 지수가 1이면 종단 속도의 지름 의존성을 무시한 경우로, 실제로는 $h\propto D^{2}$가 된다.
• 지수가 2이면 $h\propto D^{5}$로 지름 의존성이 더 커진다.

열전도도에 선형으로 비례하는 것은 밀도와 평균 분자속도이다.

단원자 기체의 단순 운동론 식은 $k=\dfrac{1}{2}\tilde{n}\kappa\bar{u}\lambda$로, 수밀도(밀도)와 평균 분자속도가 각각 1차 곱의 형태로 들어간다.

반면 평균 분자속도는 $\bar{u}=\sqrt{\dfrac{8\kappa T}{\pi m}}$이므로 절대온도와 분자질량은 제곱근 형태로만 관여한다.

• 분자질량은 $m^{-1/2}$로 들어가 클수록 오히려 열전도도가 작아지므로 선형비례가 아니다.
• 절대온도는 $T^{1/2}$로 들어가므로 선형비례가 아니다.

도선의 표면온도는 80 °C이다.

단위 길이당 열생성속도는
$q=I^2R=1000^2\times9\times10^{-5}=90\,\mathrm{W\,m^{-1}}$

생성열 = 표면 대류 방열이므로
$q=h(\pi D)(T_s-T_\infty)$
$90=50\times3\times0.01\times(T_s-20)=1.5(T_s-20)$
$T_s-20=60\Rightarrow T_s=80\,^{\circ}\mathrm{C}$

• 60 °C는 표면과 공기의 온도차를 표면온도로 착각한 값이다.
• 70 °C이면 방열량이 $1.5\times50=75\,\mathrm{W\,m^{-1}}$로 생성열보다 작다.
• 90 °C이면 방열량이 $1.5\times70=105\,\mathrm{W\,m^{-1}}$로 생성열보다 크다.

확산계수는 혼합물을 이루는 성분 쌍에 따라 달라지므로, 구성성분에 독립적이라는 설명이 옳지 않다.

2성분계 확산계수 $D_{\mathrm{AB}}$는 두 분자의 크기·질량·상호작용에 의존한다(Chapman-Enskog 식). 같은 A라도 상대 기체가 바뀌면 값이 달라진다.

• 분자 확산은 농도 구배 외에 압력 구배(압력 확산)나 온도 구배로도 일어날 수 있다.
• 2성분계에서는 적절한 기준 속도로 정의한 Fick의 제1법칙이 농도가 높아도 성립한다.
• 등온·등압 2성분계에서는 $D_{\mathrm{AB}}=D_{\mathrm{BA}}$이므로 하나의 확산계수로 기술된다.

열 전도의 원리가 아닌 것은 열확산이다.

열확산(Soret 효과)은 온도 구배에 의해 물질이 이동하는 현상으로, 열을 전달하는 전도 메커니즘이 아니다. 열 전도는 물질의 거시적 이동 없이 미시적 운동으로 에너지가 전달되는 현상이다.

• 격자 진동(포논)은 고체, 특히 비금속에서 열 전도의 주된 경로이다.
• 자유 전자의 이동은 금속에서 열 전도의 주된 경로이다.
• 분자의 불규칙 운동과 충돌은 기체·액체에서 열 전도를 일으킨다.

빙햄 유체는 항복응력을 넘어야 비로소 흐르므로, 항복응력 미만에서 흐른다는 설명이 옳지 않다.

빙햄 유체는 $\tau\lt \tau_0$에서는 강체처럼 변형하지 않고, $\tau\gt \tau_0$에서 $\tau=\tau_0+\mu_0\dot{\gamma}$로 흐른다.

• 딜러턴트 유체는 전단 농화 유체로, 전단률이 커지면 겉보기 점도가 증가한다.
• 유사소성 유체는 전단 담화 유체로, 전단률이 커지면 겉보기 점도가 감소한다.
• 레오펙틱 유체는 일정한 전단 하에서 시간이 지날수록 겉보기 점도가 증가한다(틱소트로픽과 반대).

$T_{\mathrm{a}}-T_0$는 $\ln(r_0/r_{\mathrm{a}})$에 비례한다.

원통 벽 정상상태 전도에서는 전열량 $Q=-k(2\pi rL)\dfrac{dT}{dr}$가 반지름에 무관하게 일정하므로, 적분하면 온도가 로그 분포를 따른다.

$T_{\mathrm{a}}-T_0=\dfrac{Q}{2\pi kL}\ln\dfrac{r_0}{r_{\mathrm{a}}}$

• 반지름 차에 단순 비례하는 형태는 평판(직교좌표) 전도의 선형 분포로, 전열 면적이 반지름에 따라 커지는 원통에는 맞지 않는다.
• 반지름 차의 역수 형태는 거리가 멀어질수록 온도차가 줄어드는 꼴이라 물리적으로 반대다.
• 반지름 차에 로그를 취한 형태는 적분 결과를 잘못 정리한 것으로, 차원도 성립하지 않는다.

평판 표면에서 A의 농도는 $0.62\,\mathrm{mg\,cm^{-3}}$이다.

정상상태에서 표면으로의 물질전달 속도 = 표면 분해속도이다: $N=k_c(c_b-c_s)$

벌크농도는 $1.0\,\mathrm{g\,L^{-1}}=1.0\,\mathrm{mg\,cm^{-3}}$이다.
$0.076=0.20(1.0-c_s)$
$1.0-c_s=0.38\Rightarrow c_s=0.62$

• 0.38은 농도차 $c_b-c_s$를 표면농도로 착각한 값이다.
• 0.24이면 전달속도가 $0.20\times0.76=0.152$로 분해속도의 두 배가 된다.
• 0.19이면 전달속도가 $0.20\times0.81=0.162$로 분해속도와 맞지 않는다.

단열재의 열전도도는 0.10 W/(m·K)이다.

정상상태 1차원 열전달이므로 외부 대류·콘크리트·단열재·마감재·내부 대류의 직렬 열저항 합이 전체 온도차를 열유속으로 나눈 값과 같다(단위 면적 기준).

$\dfrac{26}{100}=\dfrac{1}{100}+\dfrac{0.020}{1.0}+\dfrac{0.018}{k}+\dfrac{0.020}{0.5}+\dfrac{1}{100}$
$0.26=0.08+\dfrac{0.018}{k}\;\Rightarrow\;k=\dfrac{0.018}{0.18}=0.10$

• 0.08을 넣으면 총저항이 약 0.305가 되어 열유속이 약 85 $W/m^{2}$로 주어진 값보다 작다.
• 0.09를 넣으면 총저항이 약 0.28이 되어 열유속이 약 93 $W/m^{2}$에 그친다.
• 0.11을 넣으면 총저항이 약 0.244가 되어 열유속이 약 107 $W/m^{2}$로 주어진 값보다 크다.

Fanning 마찰계수는 0.016, 압력강하는 32 Pa이다.

$\mathrm{Re}=\dfrac{\rho vD}{\mu}=\dfrac{1000\times0.1\times0.01}{0.001}=1000$으로 층류이다.
$f=\dfrac{16}{\mathrm{Re}}=0.016$

$|\Delta P|=4f\dfrac{L}{D}\dfrac{\rho v^2}{2}=4\times0.016\times\dfrac{1}{0.01}\times\dfrac{1000\times0.1^2}{2}=32\,\mathrm{Pa}$
Hagen-Poiseuille 식 $|\Delta P|=\dfrac{32\mu Lv}{D^2}$로도 같은 값이 나온다.

• 마찰계수 0.016과 압력강하 3,200 Pa의 조합은 압력강하가 계산값의 100배이다.
• 마찰계수 0.0016과 압력강하 3,200 Pa의 조합은 마찰계수가 층류 관계식의 1/10이고 압력강하도 100배이다.
• 마찰계수 0.0016과 압력강하 32 Pa의 조합은 압력강하는 맞지만 마찰계수가 층류 관계식의 1/10이다.

독립적인 무차원 군은 2개이다.

Buckingham π 정리에 따라 무차원 군의 수는 변수 수에서 기본 차원 수를 뺀 값이다. 변수는 밀도 $[\mathrm{ML^{-3}}]$, 압력 $[\mathrm{ML^{-1}T^{-2}}]$, 부피 유량 $[\mathrm{L^3T^{-1}}]$, 지름 $[\mathrm{L}]$, 길이 $[\mathrm{L}]$의 5개, 기본 차원은 M, L, T의 3개이다.

$5-3=2$이며, 예로 $\dfrac{L}{D}$와 $\dfrac{PD^4}{\rho Q^2}$를 들 수 있다.

• 1개는 기하학적 비 $L/D$만 남기고 압력이 포함된 군을 빠뜨린 경우이다.
• 3개는 기본 차원을 2개로 잘못 센 경우이다.
• 4개는 기본 차원을 1개로 본 것으로 차원 해석과 맞지 않는다.

지름비는 1 : 2이다.

층류 완전발달 원관 흐름은 하겐–푸아죄유 식을 따르며, 압력강하와 길이가 같으면 유량은 지름의 네제곱에 비례한다.

$Q=\dfrac{\pi\Delta P d^4}{128\mu L}\;\Rightarrow\;\left(\dfrac{d_{\mathrm{A}}}{d_{\mathrm{B}}}\right)^4=\dfrac{1}{16}\;\Rightarrow\;\dfrac{d_{\mathrm{A}}}{d_{\mathrm{B}}}=\dfrac{1}{2}$

• 1 : 4는 유량이 지름 제곱(단면적)에 비례한다고 본 오류다.
• 1 : 8이면 유량비가 1 : 4096이 되어 지나치게 벌어진다.
• 1 : 16은 유량이 지름에 정비례한다고 본 경우다.

경막 두께는 $\delta=\left(\dfrac{2\mu v_{\max}}{\rho g\cos\theta}\right)^{1/2}$이다.

평판이 수직면과 θ를 이루므로 흐름 방향 중력 성분은 $\rho g\cos\theta$이다. 셸 수지에서 자유표면 전단응력 0을 쓰면 속도는 포물선 분포이고 자유표면에서 최대가 된다.

$v_z=\dfrac{\rho g\delta^2\cos\theta}{2\mu}\left[1-\left(\dfrac{x}{\delta}\right)^2\right],\quad v_{\max}=\dfrac{\rho g\delta^2\cos\theta}{2\mu}$

• 밀도와 점도의 위치가 뒤바뀐 식은 차원이 길이가 되지 않는다.
• 세제곱근 형태는 괄호 안이 길이의 제곱 차원이므로 결과가 길이가 되지 않는다.
• 밀도를 제곱한 식은 동점도 꼴로 잘못 바꾼 것으로 차원이 맞지 않는다.

유체 절반을 배출하는 데 90 s가 걸린다.

피스톤 압력 $\Delta P=F/A$가 남은 유체 기둥 길이 x에 걸리므로 Poiseuille 식에서 평균속도는 다음과 같다.

$\dfrac{Q}{A}=\dfrac{R^2\Delta P}{8\mu x}=\dfrac{F}{8\pi\mu x}=\dfrac{1}{8\times3\times10\,x}=\dfrac{1}{240x}$

변수분리 후 x를 1.0 m에서 0.5 m까지 적분한다.
$-x\,dx=\dfrac{dt}{240}\;\Rightarrow\;\dfrac{1.0^2-0.5^2}{2}=\dfrac{t}{240}\;\Rightarrow\;t=0.375\times240=90\,\mathrm{s}$

• 120은 적분 대신 초기 속도로 일정하게 흐른다고 보고 0.5 m를 나눈 값이다.
• 180은 적분에서 1/2 계수를 빠뜨려 0.75×240으로 계산한 값이다.
• 270은 변수분리 적분 결과와 맞지 않는 과대값이다.

교점에서 액체 벤젠의 몰분율은 $\dfrac{1}{3}$이다.

원료가 포화증기이므로 $q=0$이고, 원료 공급선은 수평선 $y=z_F=0.45$이다.

정류부 조작선은
$y=\dfrac{R}{R+1}x+\dfrac{x_D}{R+1}=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{0.8}{4}=0.75x+0.2$
교점: $0.45=0.75x+0.2\Rightarrow x=\dfrac{0.25}{0.75}=\dfrac{1}{3}$

• $\dfrac{9}{20}$는 원료 조성 그대로로, 포화액체 원료(수직 q선)일 때의 교점 위치이다.
• $\dfrac{1}{4}$는 0.45에서 절편 0.2를 뺀 값으로, 기울기 0.75로 나누는 단계를 빠뜨렸다.
• $\dfrac{1}{5}$는 조작선의 절편 $\dfrac{x_D}{R+1}$ 값으로 교점과 무관하다.

α=3, β=2, γ=$3D_{\mathrm{A}}c_{\mathrm{A0}}$이다.

A와 B는 반응면 $x_{\mathrm{R}}$에서 모두 소진되고, 직선 분포이므로 각 확산 플럭스는 다음과 같다. 반응 2A + 3B → C에서 B 플럭스는 A 플럭스의 3/2배여야 한다.

$N_{\mathrm{A}}=\dfrac{D_{\mathrm{A}}c_{\mathrm{A0}}}{x_{\mathrm{R}}},\quad N_{\mathrm{B}}=\dfrac{D_{\mathrm{B}}c_{\mathrm{B0}}}{H-x_{\mathrm{R}}},\quad 2N_{\mathrm{B}}=3N_{\mathrm{A}}$
$\dfrac{x_{\mathrm{R}}}{H}=\dfrac{3D_{\mathrm{A}}c_{\mathrm{A0}}}{3D_{\mathrm{A}}c_{\mathrm{A0}}+2D_{\mathrm{B}}c_{\mathrm{B0}}}$

• α=2, β=3, γ가 A 항인 조합은 양론 관계를 $2N_{\mathrm{A}}=3N_{\mathrm{B}}$로 거꾸로 세운 결과다.
• α=3, β=2, γ가 B 항인 조합은 $x_{\mathrm{R}}/H$가 아니라 $(H-x_{\mathrm{R}})/H$에 해당한다.
• α=2, β=3, γ가 B 항인 조합은 양론 관계와 구간을 모두 뒤집은 것이다.

주어진 식은 대류항·생성항·점성소산항이 없는 비정상 전도 방정식이므로, 열은 분자간 상호작용(전도)으로만 전달된다.

에너지식의 일반형은 $\rho c_p\left(\dfrac{\partial T}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\nabla T\right)=k\nabla^2T+\mu\Phi_v+\dot{q}$이다. 주어진 식은 $\dfrac{1}{\alpha}\dfrac{\partial T}{\partial t}=\nabla^2T$ 꼴로 Fourier 전도만 남아 있다.

• 점성소산이 일어나면 $\mu\Phi_v$ 항이 있어야 하지만 식에 없다.
• 발열반응이 있으면 열생성 항이 있어야 하지만 식에 없다.
• 대류 열전달이 있으면 $\mathbf{v}\cdot\nabla T$ 항이 있어야 하지만 식에 없다.