23년 1회차

완전 도체 표면에서는 전계의 접선 성분이 영이라는 설명이 옳다.

도체 내부 전계가 영이고 접선 전계는 경계에서 연속이므로 도체 바로 바깥의 접선 성분도 영이 되며, 전계는 도체 표면에 수직으로만 존재한다.

• 두 유전체 경계면에서 연속인 것은 전계의 접선 성분과 (표면전하가 없을 때) 전속밀도의 법선 성분이다. 전계의 법선 성분은 유전율 비만큼 불연속이다.
• 전속밀도의 접선 성분은 유전율 비만큼 달라지므로 연속이 아니다.
• 도체 표면에서 표면전하밀도와 같은 것은 전속밀도의 법선 성분이다. 전계의 법선 성분은 $\dfrac{\rho_s}{\varepsilon_0}$이다.

정사각형 루프는 직선 도선에서 멀어지는 방향(C)으로 알짜 자기력을 받는다.

루프 전류는 시계 방향이라 도선에 가까운 왼쪽 변은 위로, 먼 오른쪽 변은 아래로 흐른다. 아래로 흐르는 직선 도선과 반평행인 왼쪽 변은 척력, 평행인 오른쪽 변은 인력을 받는다.

힘은 거리에 반비례하므로 가까운 왼쪽 변의 척력이 더 크고, 위·아래 변의 힘은 서로 상쇄된다. 따라서 합력은 도선 반대쪽을 향한다.

• A(도선 쪽): 오른쪽 변의 인력보다 왼쪽 변의 척력이 커서 틀리다.
• B(위쪽): 위·아래 변이 받는 힘은 크기가 같고 방향이 반대라 상쇄된다.
• D(아래쪽): 같은 이유로 세로 방향 성분은 남지 않는다.

무손실 선로의 위상 상수 $\beta=\omega\sqrt{LC}=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$이므로 절연체의 유전율·투자율과 주파수로 결정된다는 설명이 옳다.

무손실 조건($R=G=0$)에서 전파 상수는 순허수가 되어 감쇄 상수가 영이고, 특성 임피던스는 실수 $\sqrt{L/C}$가 된다.

• 특성 임피던스 $Z_0=\sqrt{L/C}$에는 주파수가 들어 있지 않으므로 주파수에 따라 변하지 않는다.
• 감쇄 상수는 영이지만 특성 임피던스는 영이 아닌 실수값이다.
• 위상 속도 $v_p=\dfrac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}$는 절연체의 유전율과 투자율에 따라 달라진다.

알짜 자기력이 가장 큰 도선은 가운데 도선 B이다.

단위 길이당 힘은 $f=\dfrac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}$이고, 같은 방향 전류는 인력, 반대 방향은 척력이다. 그림에서 A(2 A, 위)와 B(3 A, 위) 간격은 2 m, B와 C(3 A, 아래) 간격은 1 m, A와 C 간격은 3 m이다.

$k=\dfrac{\mu_0}{2\pi}$로 두면 B는 A 쪽으로 인력 $3k$, C로부터 같은 쪽(왼쪽)으로 척력 $9k$를 받아 $12k$이다.

• A: B 쪽 인력 $3k$와 C의 척력 $2k$가 반대 방향이라 $k$에 그친다.
• C: B·A의 척력 $9k+2k=11k$로 B보다 작다.
• 모두 동일: 도선마다 거리·전류 조합이 달라 크기가 서로 다르다.

유도 전류가 양(+)인 구간은 자속이 증가하는 D와 A 구간이다.

그림의 $i$ 기준 방향은 위에서 볼 때 시계 방향이라, 양의 전류는 아래로 향하는 자속을 만든다. 렌츠 법칙에 따라 위로 향하는 자속 $\Phi$가 늘어날 때 이를 막는 전류가 양 방향으로 흐른다.

정현파에서 $\dfrac{d\Phi}{dt}>0$인 곳은 0에서 최댓값으로 오르는 A와 최솟값에서 0으로 오르는 D이다.

• A와 B: B 구간은 최댓값에서 감소하므로 전류가 음이다.
• B와 C: 두 구간 모두 자속이 감소해 전류가 음이다.
• C와 D: C 구간은 자속이 계속 감소하므로 음이다.

옳지 않은 것은 1/4 파장 지점의 입력 임피던스에 대한 설명이다. 올바른 식은 $Z_{\mathrm{in}}=\dfrac{Z_0^2}{Z_L}$이다.

입력 임피던스 일반식은 $Z_{\mathrm{in}}=Z_0\dfrac{Z_L+jZ_0\tan\beta\ell}{Z_0+jZ_L\tan\beta\ell}$이며, $\ell=\lambda/4$이면 $\beta\ell=\pi/2$로 $\tan\beta\ell\to\infty$가 되어 1/4 파장 변환기 관계가 나온다.

• 단락 부하($Z_L=0$)를 대입하면 $Z_{\mathrm{in}}=jZ_0\tan\beta\ell$로 옳다.
• 개방 부하($Z_L\to\infty$)이면 $Z_{\mathrm{in}}=\dfrac{Z_0}{j\tan\beta\ell}=-jZ_0\cot\beta\ell$로 옳다.
• 정합 부하($Z_L=Z_0$)이면 분자·분모가 같아져 위치와 관계없이 $Z_{\mathrm{in}}=Z_0$로 옳다.

자화체적전류밀도는 $\mathrm{J_b}=\nabla\times\mathrm{M}=\mathbf{a}_z\dfrac{8}{\mu_0}$이다.

자계: $\mathrm{H}=\dfrac{\mathrm{B}}{\mu_0\mu_r}=\mathbf{a}_y\dfrac{2x}{\mu_0}$
자화: $\mathrm{M}=(\mu_r-1)\mathrm{H}=\mathbf{a}_y\dfrac{8x}{\mu_0}$

회전: $\nabla\times\mathrm{M}=\mathbf{a}_z\left(\dfrac{\partial M_y}{\partial x}-\dfrac{\partial M_x}{\partial y}\right)=\mathbf{a}_z\dfrac{8}{\mu_0}$

• $\mathbf{a}_x$ 방향 값은 회전 연산의 성분 방향을 잘못 잡은 경우로, $y$ 성분만 있고 $x$만의 함수인 벡터의 회전은 $z$ 성분만 남는다.
• $-\mathbf{a}_z$ 방향은 $\partial M_y/\partial x$의 부호를 반대로 둔 경우이다.

$z$축 방향 위상 상수는 $k_z=3\ \mathrm{rad/m}$이다.

매질의 전체 파수: $k=\dfrac{\omega\sqrt{\varepsilon_r}}{c}=\dfrac{5\times10^8\times3}{3\times10^8}=5\ \mathrm{rad/m}$

파수 벡터의 성분 관계: $k^2=k_y^2+k_z^2$에서 $k_y=4$이므로 $k_z=\sqrt{25-16}=3$

• 4는 $y$ 방향 성분을 그대로 답한 값이다.
• 5는 전체 파수로, 성분으로 분해하지 않은 값이다.

원점의 전계는 $-\mathbf{a}_x\dfrac{3\times10^{-9}}{2\varepsilon_0}\left(1-\dfrac{1}{\pi}\right)$이다.

면전하($x=4$): 원점은 면의 $-x$ 쪽이므로 $\mathrm{E}_s=-\mathbf{a}_x\dfrac{\rho_s}{2\varepsilon_0}=-\mathbf{a}_x\dfrac{3\times10^{-9}}{2\varepsilon_0}$

선전하($x=-2,\ z=0$, $y$축과 평행): 원점까지 거리 2 m, 방향 $+\mathbf{a}_x$이므로 $\mathrm{E}_l=\mathbf{a}_x\dfrac{6\times10^{-9}}{2\pi\varepsilon_0\times2}=\mathbf{a}_x\dfrac{3\times10^{-9}}{2\pi\varepsilon_0}$

합성: 두 전계는 방향이 반대이므로 크기는 면전하 쪽에서 선전하 쪽을 빼며, 면전하 전계가 더 커서 $-\mathbf{a}_x$ 방향이 된다.

토크의 크기는 $\dfrac{\pi a^2IB}{2}$이다.

전류 루프의 토크는 $T=IAB\sin\theta$이며, $\theta$는 루프면의 법선과 자속밀도 사이의 각이다. 그림에서 30°는 루프의 법선(점선)과 B가 이루는 각이다.

$T=I(\pi a^2)B\sin30^\circ=\dfrac{\pi a^2IB}{2}$

• $\dfrac{\sqrt{3}\,\pi a^2IB}{2}$: 30°를 루프면과 B 사이 각으로 잘못 보고 코사인을 쓴 값이다.
• $\dfrac{\pi a^2IB}{\sqrt{2}}$: 45°일 때의 값이다.
• $\sqrt{2}\,\pi a^2IB$: 최대 토크 $\pi a^2IB$보다도 커서 성립할 수 없다.

점 (1, 1, 1)에서 체적전하밀도는 $\rho_v=2\ \mathrm{C/m^3}$이다.

가우스 법칙의 미분형 $\rho_v=\nabla\cdot\mathrm{D}$를 쓴다.

$\nabla\cdot\mathrm{D}=\dfrac{\partial(2xz)}{\partial x}+\dfrac{\partial(-z^2)}{\partial y}+\dfrac{\partial(-xy)}{\partial z}=2z+0+0$
$z=1$을 대입하면 $\rho_v=2$

옳지 않은 것은 전계와 자계가 수직을 이루지 않는다는 설명이다. 균일 평면파에서 전계·자계·진행 방향은 손실 매질에서도 항상 서로 수직이다.

고유 임피던스 $\eta=1+j=\sqrt{2}\angle45^\circ$처럼 복소수이면 매질에 손실(전도 전류)이 있다는 뜻이다.

• 전계와 자계의 비가 $\eta$이므로 두 장의 위상차는 $\eta$의 편각 45°로 옳다.
• 무손실 매질의 고유 임피던스는 실수이므로, 허수부가 있다는 것은 전기 전도도가 0보다 크다는 뜻으로 옳다.
• 손실 매질에서는 감쇄 상수가 0보다 커 전계 크기가 $e^{-\alpha z}$로 지수함수적으로 감소하므로 옳다.

점 P의 자속밀도는 $\mathbf{a}_\phi\mu_0$이다.

원통 표면의 총전류는 $I=K\cdot2\pi a=5\times2\pi\times1=10\pi\ \mathrm{A}$이다. 원통 바깥에서는 앙페르 법칙으로 축 위 직선 전류와 같게 본다.

$B=\dfrac{\mu_0I}{2\pi r}=\dfrac{\mu_0\times10\pi}{2\pi\times5}=\mu_0$이고, $z$ 방향 전류가 만드는 자계는 원주($\mathbf{a}_\phi$) 방향이다.

• $\mathbf{a}_\phi\dfrac{5\mu_0}{2\pi}$: 원통 둘레를 곱하지 않고 면전류 밀도 5를 그대로 전류로 쓴 값이다.
• $\mathbf{a}_z\dfrac{5\mu_0}{2\pi}$: 크기와 방향이 모두 틀리며, 축 방향 전류는 축 방향 자계를 만들지 않는다.
• $\mathbf{a}_z\mu_0$: 크기는 맞지만 방향이 축 방향이라 틀리다.

전자기파의 진행 방향은 $-x$축이다.

평면파는 포인팅 벡터 $\mathbf{E}\times\mathbf{H}$ 방향으로 진행한다. 그림의 원점에서 E는 $+y$ 방향, H는 $z$축 반대인 $-z$ 방향을 향한다.

$\mathbf{a}_y\times(-\mathbf{a}_z)=-\mathbf{a}_x$이므로 진행 방향은 $-x$이다.

• $+x$축: H를 $+z$로 잘못 읽으면 나오는 방향이다.
• $+y$축: 전계가 놓인 방향이며, 평면파는 전계 방향으로 진행하지 않는다.
• $-y$축: 전계 축이라 횡파의 진행 방향이 될 수 없다.

오른쪽 도선 전류는 8 A, $+y$축 방향이다.

점 P는 두 도선 사이에 있다. 두 도선 사이에서 자계가 상쇄되려면 두 전류가 같은 방향이어야 한다.

크기 조건: $\dfrac{2}{2\pi\times1}=\dfrac{I}{2\pi\times4}$에서 $I=8\ \mathrm{A}$이다.

• 4 A, $+y$: 거리 비 4를 반영하지 않아 P의 자계가 남는다.
• 4 A, $-y$: 반대 방향 전류는 두 도선 사이에서 자계가 더해진다.
• 8 A, $-y$: 크기는 맞지만 방향이 반대라 상쇄되지 않는다.

특성 임피던스는 200 Ω, 위상 상수는 $0.2\pi\ \mathrm{rad/m}$이다.

주어진 값은 길이 2 m 전체의 값이므로 단위 길이당 값으로 바꾼다: $L=2\ \mathrm{\mu H/m}$, $C=50\ \mathrm{pF/m}$

특성 임피던스: $Z_0=\sqrt{\dfrac{L}{C}}=\sqrt{\dfrac{2\times10^{-6}}{50\times10^{-12}}}=200\ \Omega$
위상 상수: $\beta=\omega\sqrt{LC}=2\pi\times10^7\times\sqrt{10^{-16}}=0.2\pi\ \mathrm{rad/m}$

• 특성 임피던스는 전체 값의 비로 구해도 같지만, 위상 상수를 전체 값으로 계산하면 $0.4\pi$가 되어 틀린다.
• 100 Ω은 제곱근 계산을 잘못한 값이다.

시간평균 전력밀도의 크기는 $\dfrac{1}{10\pi}\ \mathrm{W/m^2}$이다.

비유전율: $\beta=\dfrac{\omega\sqrt{\varepsilon_r}}{c}$에서 $\sqrt{\varepsilon_r}=\dfrac{0.5\times3\times10^8}{10^8}=1.5$
고유 임피던스: $\eta=\dfrac{120\pi}{1.5}=80\pi\ \Omega$

전력밀도: $P_{\mathrm{av}}=\dfrac{E_0^2}{2\eta}$$=\dfrac{16}{160\pi}=\dfrac{1}{10\pi}$

• $\dfrac{1}{5\pi}$는 시간평균의 1/2 계수를 빠뜨린 값이다.
• $\dfrac{1}{15\pi}$는 $\eta$를 $120\pi$로 그대로 둔 값으로 매질 영향을 반영하지 않았다.

필요한 일은 54 J이다.

$\mathrm{E}=\mathbf{a}_xy+\mathbf{a}_yx=\nabla(xy)$이므로 보존장이고 전위는 $V=-xy$로 놓을 수 있다. 따라서 일은 경로 $y=2x^2$와 무관하게 두 점의 전위차로 정해진다.

$V_A=-(-1)(2)=2\ \mathrm{V}$, $V_B=-(2)(8)=-16\ \mathrm{V}$
$W=Q(V_B-V_A)=(-3)(-16-2)=54\ \mathrm{J}$

• 18은 전하량을 곱하지 않은 전위차 크기이다.

정전용량은 $\dfrac{\varepsilon_0S}{d\ln3}$이다.

유전율이 $z$에 따라 변하면 얇은 층의 직렬 연결로 보아 $\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{\varepsilon_0S}\displaystyle\int_{-d}^{d}\dfrac{dz}{\varepsilon_r}$이다.

$\displaystyle\int_{-d}^{d}\dfrac{dz}{2+z/d}=d\ln\dfrac{3}{1}=d\ln3$이므로 $C=\dfrac{\varepsilon_0S}{d\ln3}$이다.

• $\dfrac{\varepsilon_0S}{2d\ln3}$: 적분 결과에 2를 한 번 더 곱해 용량을 절반으로 줄인 값이다.
• $\dfrac{\varepsilon_0S}{d\ln2}$: 양 끝 비유전율 1과 3의 비를 로그 인자로 쓰지 않아 $\ln3$가 $\ln2$로 바뀐 값이다.
• $\dfrac{\varepsilon_0S}{2d\ln2}$: 로그 인자와 계수 2를 모두 잘못 반영한 값이다.

상호 인덕턴스는 $\dfrac{50\mu_0}{\pi}\ln3$이다.

그림에서 코일은 도선에서 1 m~3 m 구간에 걸쳐 있고 높이는 1 m이다. 직선 전류의 자계 $B=\dfrac{\mu_0I_1}{2\pi r}$를 코일 면적에 대해 적분하면 $\Phi=\dfrac{\mu_0I_1\times1}{2\pi}\ln\dfrac{3}{1}$이다.

$M=\dfrac{N\Phi}{I_1}$ $=\dfrac{100\mu_0}{2\pi}\ln3=\dfrac{50\mu_0}{\pi}\ln3$

• $\dfrac{100\mu_0}{\pi}\ln3$: 분모의 $2\pi$에서 2를 빠뜨린 값이다.
• $\dfrac{50\mu_0}{\pi}\ln2$: 코일 바깥쪽 변까지의 거리를 2 m로 잘못 잡은 경우이다.
• $\dfrac{100\mu_0}{\pi}\ln2$: 거리와 계수를 모두 잘못 반영한 값이다.

누설 전류는 5 A이다.

같은 전극 구조에서 저항과 정전용량은 $RC=\rho\varepsilon$ 관계를 갖는다.

$R=\dfrac{\rho\varepsilon}{C}=\dfrac{10^{11}\times20\times10^{-12}}{20\times10^{-6}}=10^5\ \Omega$
$I=\dfrac{V}{R}=\dfrac{5\times10^5}{10^5}=5\ \mathrm{A}$

유도 기전력은 $400\pi\times10^{-7}\sin(10t)$ V이다.

그림의 루프는 $xz$평면에 놓인 한 변 1 m 정사각형이라 $y$ 방향 자계가 수직으로 지난다. 쇄교 자속은 $\Phi=\mu_0HS=4\pi\times10^{-7}\times10\cos(10t)\times1=40\pi\times10^{-7}\cos(10t)$이다.

패러데이 법칙 $e=-\dfrac{d\Phi}{dt}=40\pi\times10^{-7}\times10\sin(10t)=400\pi\times10^{-7}\sin(10t)$

• $100\pi\times10^{-7}\sin(10t)$: $\mu_0$의 $4\pi$를 $\pi$로 쓴 것과 같은 계수이다.
• $200\pi\times10^{-7}\sin(10t)$: 진폭이나 미분 계수를 절반만 반영한 값이다.
• $300\pi\times10^{-7}\sin(10t)$: 주어진 값으로는 나올 수 없는 계수이다.

$+y$ 방향으로 통과하는 자속은 4 Wb이다.

자속밀도는 $\mathrm{B}=\nabla\times\mathrm{A}$이며, $y$ 성분만 필요하다.

$B_y=\dfrac{\partial A_x}{\partial z}-\dfrac{\partial A_z}{\partial x}=y-(-z)=y+z$, $y=0$에서 $B_y=z$
$\Phi=\displaystyle\int_0^2\int_0^2 z\,dx\,dz=2\times2=4\ \mathrm{Wb}$

• 0은 $y=0$ 평면에서 $\mathrm{A}$의 일부 성분이 사라지는 것만 보고 자속이 없다고 본 경우로, 자속은 $\mathrm{A}$가 아니라 그 회전으로 구한다.
• 2는 $x$ 방향 적분 구간 길이 2를 곱하지 않은 값이다.

매질 2의 자계는 $\dfrac{1}{18}(\mathbf{a}_x17+\mathbf{a}_y2-\mathbf{a}_z2)$이다.

경계면 법선은 $\mathbf{n}=\dfrac{1}{3}(1,-2,2)$이다. $\mathrm{H}_1$의 법선 성분은 $(\mathrm{H}_1\cdot\mathbf{n})\mathbf{n}=\dfrac{1}{9}(1,-2,2)$, 접선 성분은 $\dfrac{1}{9}(8,2,-2)$이다.

경계 조건은 접선 H 연속, 법선 B 연속이므로 $\mathrm{H}_{2n}=\dfrac{\mu_1}{\mu_2}\mathrm{H}_{1n}=\dfrac{1}{18}(1,-2,2)$이다.
합하면 $\mathrm{H}_2=\dfrac{1}{18}(16,4,-4)+\dfrac{1}{18}(1,-2,2)=\dfrac{1}{18}(17,2,-2)$

• $\dfrac{1}{9}(\mathbf{a}_x-\mathbf{a}_y2+\mathbf{a}_z2)$: 매질 1의 법선 성분만 떼어 낸 값이다.
• $\dfrac{1}{9}(\mathbf{a}_x+\mathbf{a}_y2-\mathbf{a}_z2)$: 접선 성분이 빠졌고, 법선 성분과 비교해 $y,z$ 성분 부호만 뒤집힌 꼴이라 경계 조건을 만족하지 않는다.
• $\dfrac{1}{18}(\mathbf{a}_x17-\mathbf{a}_y2+\mathbf{a}_z2)$: $y,z$ 성분의 부호가 반대라 접선·법선 성분의 합이 맞지 않는다.

자계는 $\mathbf{a}_y\dfrac{1}{60\pi}\cos(15\pi\times10^8t-10\pi z)$이다.

위상 속도: $v=\dfrac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}=1.5\times10^8\ \mathrm{m/s}$
각주파수: $\omega=\beta v=10\pi\times1.5\times10^8=15\pi\times10^8\ \mathrm{rad/s}$

고유 임피던스: $\eta=\dfrac{120\pi}{2}=60\pi\ \Omega$이므로 $H_0=\dfrac{1}{60\pi}$. 진행 방향 $+z$와 전계 $\mathbf{a}_x$에서 $\mathbf{a}_x\times\mathbf{a}_y=\mathbf{a}_z$이므로 자계는 $\mathbf{a}_y$ 방향이다.

• $30\pi\times10^8$은 자유공간 광속으로 각주파수를 구한 값이다.
• $\mathbf{a}_z$ 방향 자계는 진행 방향과 평행이라 평면파가 될 수 없다.