23년 1회차

전파는 빛의 속력으로 진행하므로 파장은 3 m이다.

파장 공식: $\lambda=\dfrac{c}{f}$
대입: $\lambda=\dfrac{3.0\times10^{8}\,\mathrm{m/s}}{1.0\times10^{8}\,\mathrm{Hz}}$
결과: $\lambda=3\,\mathrm{m}$

• $3.4\times10^{-6}$ m는 음속을 진동수로 나눈 값으로, 전파에 음속을 쓴 오류이다.
• 3.4 m는 음속 340 m/s를 진동수 100으로 나눈 값으로, 음속을 쓰고 MHz 환산도 빠뜨린 오류이다.
• 300 m는 진동수를 $1.0\times10^{6}\,\mathrm{Hz}$로 잘못 대입한 값으로, 100 MHz는 $1.0\times10^{8}\,\mathrm{Hz}$이다.

처음 각속도는 0 rad/s로, 원판은 정지 상태에서 출발한 것이다.

등각가속도 회전의 각변위 공식을 쓴다.
$\theta=\omega_0 t+\dfrac{1}{2}\alpha t^{2}$

값을 대입하면 다음과 같다.
$40=4\omega_0+\dfrac{1}{2}\times 5\times 4^{2}=4\omega_0+40$
따라서 $\omega_0=0$이다.

• 5 rad/s라면 4초간 각변위가 60 rad이 되어 주어진 40 rad과 맞지 않는다.
• 10 rad/s라면 각변위가 80 rad이 된다.
• 20 rad/s라면 각변위가 120 rad이 된다.

굴절률은 1.5, 공기 중 파장은 600 nm이다.

굴절률: $n=\dfrac{c}{v}=\dfrac{3.0\times10^{8}}{2.0\times10^{8}}=1.5$

매질이 바뀌어도 진동수는 그대로이므로 파장은 속력에 비례한다.
$\lambda_{0}=n\lambda=1.5\times400\,\mathrm{nm}=600\,\mathrm{nm}$

• 굴절률 1.5에 520 nm를 짝지은 것은 파장 환산값이 맞지 않는다.
• 굴절률 1.2는 $c/v$ 계산과 맞지 않으므로 560 nm·480 nm 짝은 모두 틀리다.

등온 과정이므로 방출된 열은 외부가 한 일과 같고, 최종 부피는 1.2 $\mathrm{m}^{3}$이다.

이상기체의 내부에너지는 온도만의 함수이므로 $\Delta U=0$이고, 외부가 해 준 일 = 방출 열량이다.
$W=P\Delta V=6.4\times10^{5}\,\mathrm{J}$

부피 감소량: $\Delta V=\dfrac{6.4\times10^{5}}{8.0\times10^{5}}=0.8\,\mathrm{m}^{3}$
최종 부피: $2.0-0.8=1.2\,\mathrm{m}^{3}$

• 0.8은 최종 부피가 아니라 부피 감소량이다.
• 0.6과 1.0은 일과 열량의 관계에서 나오지 않는 값이다.

로런츠 힘이 구심력이 되므로 전자의 운동량은 $erB$이다.

구심력 조건: $evB=\dfrac{mv^{2}}{r}$
정리: $mv=erB$

• $\dfrac{eB}{r}$는 반지름이 커질수록 운동량이 작아진다는 뜻이 되어 원운동 조건과 반대이다.
• $\dfrac{eB}{r^{2}}$는 차원이 운동량과 맞지 않는다.
• $er^{2}B$는 반지름 차수가 하나 더 붙어 차원이 맞지 않는다.

가장 우측 지점에서 구심력은 무게의 8배이다.

고리의 가장 우측 지점은 바닥에서 높이 $r=\dfrac{h}{5}$인 곳이므로, 역학적 에너지 보존으로 속력을 구한다.
$v^{2}=2g\left(h-\dfrac{h}{5}\right)=\dfrac{8gh}{5}$

구심력은 다음과 같다.
$F=\dfrac{mv^{2}}{r}=\dfrac{m\cdot\frac{8gh}{5}}{\frac{h}{5}}=8mg$

• 6배는 고리의 꼭대기(높이 $2r$)에서의 값으로, $v^{2}=2g\left(h-\dfrac{2h}{5}\right)$에서 나온다.
• 10배는 고리의 바닥(높이 0)에서의 값으로, $v^{2}=2gh$를 쓴 결과이다.
• 4배는 에너지 보존으로 어느 지점에서도 나오지 않는 값이다.

$n=2$ 상태에서 구간 $0\le x\le L/4$의 발견 확률은 25 %이다.

파동함수: $\psi_{2}=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin\dfrac{2\pi x}{L}$

확률: $P=\dfrac{2}{L}\int_{0}^{L/4}\sin^{2}\dfrac{2\pi x}{L}\,dx=\dfrac{2}{L}\left[\dfrac{x}{2}-\dfrac{L}{8\pi}\sin\dfrac{4\pi x}{L}\right]_{0}^{L/4}=\dfrac{2}{L}\cdot\dfrac{L}{8}=\dfrac{1}{4}$

$0\sim L/2$가 하나의 봉우리이고 $L/4$가 그 대칭 중심이므로 봉우리 절반, 곧 전체의 1/4이라는 것으로도 확인된다.

• 10 %는 적분값 1/4보다 작아 계산 결과와 맞지 않는다.
• 15 %는 봉우리 절반이라는 대칭 결과보다 작은 값이다.
• 20 %도 1/4에 못 미쳐 대칭 결과와 맞지 않는다.

유전율 2배, 간격 1/2이면 전기용량은 4배가 되어 8 μF이다.

평행판 축전기: $C=\dfrac{\varepsilon A}{d}$
변화 후: $C\prime=\dfrac{2\varepsilon A}{d/2}=4C=4\times2\,\mu\mathrm{F}=8\,\mu\mathrm{F}$

• 0.5 μF는 유전율과 간격의 효과를 모두 반대로 적용한 값이다.
• 4 μF는 두 변화 중 하나만 반영한 값이다.
• 6 μF는 배율을 곱하지 않고 더한 값으로 근거가 없다.

정립·축소 상은 볼록 거울의 허상이며 초점 거리는 −1.5 m이다.

배율: $m=-\dfrac{q}{p}=\dfrac{1}{3}$에서 $q=-1.0\,\mathrm{m}$(거울 뒤의 허상)

거울 공식: $\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{3.0}+\dfrac{1}{-1.0}=-\dfrac{2}{3}$
결과: $f=-1.5\,\mathrm{m}$, 음의 초점 거리는 볼록 거울이다.

• 허상·오목·−1.5 m 조합은 음의 초점 거리를 오목 거울로 본 오류이다.
• 실상은 거울 앞에 도립으로 맺히므로 정립 상을 실상으로 본 두 조합은 모두 틀리다.

반지름이 절반이 되면 속력은 $\sqrt{2}\,v$, 공전주기는 $\dfrac{1}{2\sqrt{2}}T$가 된다.

만유인력이 구심력이므로 $\dfrac{GMm}{r^{2}}=\dfrac{mv^{2}}{r}$에서 $v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}\propto r^{-1/2}$이다.

주기는 $T=\dfrac{2\pi r}{v}\propto r^{3/2}$(케플러 제3법칙)이므로 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$배가 된다.

• 속력을 2배로 보는 조합은 속력이 반지름의 제곱근에 반비례한다는 점을 놓친 것이다.
• 속력 $\sqrt{2}\,v$와 주기 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}T$의 조합은 주기를 $r^{1/2}$에 비례하는 것으로 잘못 본 것이다.

최고점에서도 역학적 에너지는 $\dfrac{1}{2}mv^{2}$이다.

공기저항이 없으므로 역학적 에너지가 보존되고, 발사 지점의 퍼텐셜 에너지가 0이므로 처음 역학적 에너지는 운동 에너지 $\dfrac{1}{2}mv^{2}$뿐이다.

• $\dfrac{1}{2}m(v\cos\theta)^{2}$는 최고점의 운동 에너지만 나타낸 것이다.
• $\dfrac{1}{2}m(v\sin\theta)^{2}$는 최고점의 퍼텐셜 에너지 $mgH$에 해당한다.
• $\dfrac{1}{2g}(v\sin\theta)^{2}$는 최고점 높이 $H$로, 에너지 차원이 아니다.

옳은 것은 ㄴ과 ㄷ이다.

러더퍼드 모형은 양전하가 모인 핵 주위를 전자가 공전하고, 보어 모형은 전자 궤도의 각운동량이 양자화($mvr=n\hbar$)된다고 본다.

• ㄱ: 톰슨 모형은 양전하 구 안에 전자가 박혀 있는 구조로, 양전하 외부에 전자가 분포한다는 설명은 틀리다.
• ㄹ: 전자를 확률밀도함수로 기술하는 것은 슈뢰딩거의 양자역학적 모형이며 보어 모형은 정해진 궤도를 가정한다.

옳지 않은 것은 같은 전하일 때 전기장이 0인 위치가 없다는 설명이다.

A와 B는 원점에서 각각 거리 $d$만큼 떨어져 있으므로, $Q_A=Q_B$이면 원점(두 전하의 중점)에서 두 전기장이 크기는 같고 방향이 반대여서 상쇄되어 0이 된다.

• 전위는 스칼라이므로 P에서의 전위는 각 점전하에 의한 전위의 합이다(옳음).
• $Q_B=-Q_A$이면 $x$축 위의 모든 점은 두 전하로부터 같은 거리에 있어 전위가 $kQ_A/r-kQ_A/r=0$이다(옳음).
• $Q_A=Q_B$이면 $+x$축 위에서 두 전기장의 $y$성분이 상쇄되어 합성 전기장은 $x$축 방향만 남는다(옳음).

가속도는 전하량에 비례하고 질량에 반비례하므로 B의 가속도는 $\dfrac{1}{2}a$이다.

A: $a=\dfrac{eE}{m}$
B: $a_{B}=\dfrac{2eE}{4m}=\dfrac{1}{2}a$

• $\dfrac{1}{4}a$는 질량 증가만 반영하고 전하량 증가를 빠뜨린 값이다.
• $2a$는 전하량 증가만 반영하고 질량 증가를 빠뜨린 값이다.
• $4a$는 질량에 반비례하는 관계를 비례로 잘못 쓰고 전하량 증가도 빠뜨린 값이다.

두 물체의 열용량 $mc$가 같으므로 온도 변화 비율은 1이다.

온도 변화: $\Delta T=\dfrac{Q}{mc}$
A: $m_{A}c_{A}=1\times1000=1000\,\mathrm{J/^{\circ}C}$, B: $m_{B}c_{B}=2\times500=1000\,\mathrm{J/^{\circ}C}$

비율: $\dfrac{\Delta T_{A}}{\Delta T_{B}}=\dfrac{1000}{1000}=1$

• 0.5는 비열의 비만 보고 질량을 빠뜨린 값이다.
• 2는 질량의 비만 보고 비열을 빠뜨린 값이다.
• 1.5는 열용량 계산에서 나오지 않는 값이다.

승용차 속력이 트럭과 같아지는 순간 거리가 최소이며, 그 값은 20 m이다.

속력이 같아지는 시각: $30-5t=10$에서 $t=4\,\mathrm{s}$

상대속도 $20\,\mathrm{m/s}$, 상대가속도 $-5\,\mathrm{m/s^{2}}$로 좁혀진 거리:
$20\times4-\dfrac{1}{2}\times5\times4^{2}=40\,\mathrm{m}$
최소 거리: $60-40=20\,\mathrm{m}$

• 10 m는 좁혀진 거리를 50 m로 과대평가한 값이다.
• 15 m는 좁혀진 거리를 45 m로 과대평가한 값이다.
• 25 m는 속력이 같아지는 시각보다 이른 시점의 거리로, 그 뒤에도 간격이 더 줄어든다.

수용각은 $\theta=\sin^{-1}\left(\sqrt{n_1^{2}-n_2^{2}}\right)$이다.

입사면에서 스넬 법칙을 쓰면 굴절각 $\phi$에 대해 $\sin\theta=n_1\sin\phi$이고, 코어–클래딩 경계에서의 입사각은 $90^{\circ}-\phi$이다.

경계에서 임계각 조건 $\sin(90^{\circ}-\phi)=\cos\phi=\dfrac{n_2}{n_1}$을 대입하면
$\sin\theta=n_1\sqrt{1-\dfrac{n_2^{2}}{n_1^{2}}}=\sqrt{n_1^{2}-n_2^{2}}$

• $\cos^{-1}$로 쓴 식은 입사각을 법선이 아닌 경계면 기준으로 잘못 잡은 것이다.
• 근호 값을 2로 나눈 식들은 스넬 법칙에서 나오지 않는 인자가 붙은 것이다.

최대 속력을 $v$로 두면 총거리가 $10v$이므로 등속 구간 거리는 80 m이다.

각 구간 거리: 가속 $\dfrac{7v}{2}$, 등속 $4v$, 감속 $\dfrac{5v}{2}$
합: $3.5v+4v+2.5v=10v=200$에서 $v=20\,\mathrm{m/s}$

등속 구간: $4.0\times20=80\,\mathrm{m}$

• 60 m이면 $v=15\,\mathrm{m/s}$로 총거리가 150 m가 되어 맞지 않는다.
• 70 m이면 $v=17.5\,\mathrm{m/s}$로 총거리가 175 m가 되어 맞지 않는다.
• 90 m이면 $v=22.5\,\mathrm{m/s}$로 총거리가 225 m가 되어 맞지 않는다.

무늬 간격은 C > A > B 순이다.

이중 슬릿 간섭의 무늬 간격은 $\Delta x=\dfrac{L\lambda}{d}$로 파장에 비례하고, 물질파 파장은 $\lambda=\dfrac{h}{mv}$로 운동량에 반비례한다.

운동량은 A가 $3m_0v_0$, B가 $9m_0v_0$, C가 $2m_0v_0$이므로 운동량이 작은 순서인 C, A, B 순으로 $\Delta x$가 크다.

• A가 가장 크다는 비교는 속력만 보고 질량을 고려하지 않은 것이다.
• B가 가장 크다는 비교들은 운동량이 클수록 간격이 커진다고 거꾸로 본 것이다.

낙하 시간과 소리 전달 시간의 합이 9초이므로 낙하 시간은 8초, 충돌 직전 속력은 80 m/s이다.

높이: $h=\dfrac{1}{2}gt^{2}=5t^{2}$, 소리 시간: $\dfrac{h}{320}$
조건: $t+\dfrac{5t^{2}}{320}=9$에서 $t^{2}+64t-576=0$

해: $t=\dfrac{-64+80}{2}=8\,\mathrm{s}$
속력: $v=gt=10\times8=80\,\mathrm{m/s}$

• 50 m/s이면 낙하 5초·소리 약 0.39초로 합이 9초에 못 미쳐 시간 조건을 만족하지 않는다.
• 60 m/s이면 낙하 6초·소리 약 0.56초로 합이 9초에 못 미친다.
• 70 m/s이면 낙하 7초·소리 약 0.77초로 합이 9초에 못 미친다.

물의 열용량이 쇳덩어리 하나의 18배이므로 필요한 최소 개수는 11개이다.

첫 실험: $C_{\mathrm{Fe}}(200-20)=C_{w}(20-10)$에서 $C_{w}=18C_{\mathrm{Fe}}$

80 °C 이상 조건: $N C_{\mathrm{Fe}}(200-80)\ge C_{w}(80-10)$
대입: $120N\ge18\times70=1260$에서 $N\ge10.5$, 정수이므로 11개

• 9개는 평형 온도가 80 °C에 못 미친다.
• 13개는 80 °C 이상 조건을 만족하지만 최소 개수가 아니다.
• 15개도 조건은 만족하지만 최소 개수가 아니다.

도플러 효과를 두 번(A→B 수신, B 반사→A 수신) 적용하면 $\left(\dfrac{v_s+v_A}{v_s-v_B}\right)\left(\dfrac{v_s+v_B}{v_s-v_A}\right)f$이다.

B가 받는 진동수(관측자 B 접근, 음원 A 접근): $f_{1}=\dfrac{v_s+v_B}{v_s-v_A}f$

B가 음원이 되어 반사(음원 B 접근, 관측자 A 접근): $f_{2}=\dfrac{v_s+v_A}{v_s-v_B}f_{1}$

• $f$ 그대로인 것은 서로 접근하는 상대운동을 무시한 것이다.
• 분자에 $v_s-v_A$가 들어간 식은 접근 시 진동수가 커진다는 부호를 거꾸로 적용한 것이다.
• 분모에 $v_s+v_A$와 분자에 $v_s-v_B$가 들어간 식도 부호가 뒤바뀌어 접근 상황과 맞지 않는다.

각 성분이 그 좌표에만 의존하므로 성분별로 적분하면 일은 6 J이다.

$x$ 성분: $x$가 1에서 1로 그대로이므로 0
$y$ 성분: $\int_{2}^{-2}(-2y)\,dy=-\left[y^{2}\right]_{2}^{-2}=0$
$z$ 성분: $\int_{1}^{3}3\,dz=6$

합: $W=0+0+6=6\,\mathrm{J}$

• 4 J는 $z$ 성분의 일 6 J보다 작은데, $x$·$y$ 성분의 일이 모두 0이므로 나올 수 없다.
• 8 J는 $y$ 성분을 위치에 따라 변하는 힘으로 적분하지 않고 일이 남는다고 본 값이다.
• 10 J도 $x$·$y$ 성분에서 추가 일이 생겨야 하는 값으로, 두 성분의 일은 0이다.

녹색 광자의 에너지가 더 크므로 $E_{\mathrm{green}}$가 더 낮은 준위이고, 두 준위 사이 전이의 파장은 $\dfrac{\lambda_{\mathrm{red}}\lambda_{\mathrm{green}}}{\lambda_{\mathrm{red}}-\lambda_{\mathrm{green}}}$이다.

공통 들뜬 준위를 $E^{*}$라 하면 $E^{*}-E_{\mathrm{red}}=\dfrac{hc}{\lambda_{\mathrm{red}}}$, $E^{*}-E_{\mathrm{green}}=\dfrac{hc}{\lambda_{\mathrm{green}}}$

차: $E_{\mathrm{red}}-E_{\mathrm{green}}=hc\left(\dfrac{1}{\lambda_{\mathrm{green}}}-\dfrac{1}{\lambda_{\mathrm{red}}}\right)=\dfrac{hc}{\lambda}$
정리: $\lambda=\dfrac{\lambda_{\mathrm{red}}\lambda_{\mathrm{green}}}{\lambda_{\mathrm{red}}-\lambda_{\mathrm{green}}}$

• 분모가 합인 식은 두 광자 에너지를 더한 전이에 해당해 들뜬 준위보다 높은 에너지를 요구한다.
• 분자에 2가 붙은 두 식은 에너지 차 계산에서 나오지 않는 인자를 넣은 것이다.

균일하게 대전된 구 내부에서는 감싼 전하가 $r^{3}$에 비례하므로 전기장은 $k\dfrac{Qr}{a^{3}}$이다.

가우스 법칙: 반지름 $r$ 안의 전하 $q_{\mathrm{in}}=Q\dfrac{r^{3}}{a^{3}}$
전기장: $E=k\dfrac{q_{\mathrm{in}}}{r^{2}}=k\dfrac{Qr}{a^{3}}$

바깥 도체 껍질의 전하는 대칭적으로 분포하므로 내부 전기장에 기여하지 않는다.

• 0은 도체 내부의 경우로, 전하가 고르게 퍼진 부도체 구 내부에는 해당하지 않는다.
• $k\dfrac{Q}{r^{2}}$는 전체 전하가 반지름 $r$ 안에 있다고 본 것으로 구 바깥($a\lt r\lt b$)의 식이다.
• $k\dfrac{Q}{(b-a)^{2}}$는 가우스 법칙에서 나오지 않는 식이다.