23년 1회차

원통 롤러베어링은 궤도륜과 롤러가 점 접촉이 아니라 선 접촉을 하므로 이 설명이 옳지 않다.

볼베어링이 점 접촉, 롤러베어링이 선 접촉을 하며, 선 접촉이라 반경방향 부하 능력이 크다.

• 니들 롤러베어링: 가늘고 긴 롤러를 써서 반경방향 치수가 작아 설치공간이 좁은 곳에 적합하다(옳음).
• 앵귤러 볼베어링: 접촉각이 있어 반경방향 하중과 함께 큰 축방향 하중을 지지한다(옳음).
• 단열 깊은 홈 볼베어링: 주로 반경방향 하중을 받고 약간의 축방향 하중도 받는다(옳음).

키의 최소 길이는 $l = \dfrac{\rm PDS}{{\rm bd}\tau_{\rm Y}}$이다.

풀리에 걸리는 토크는 $T = \dfrac{PD}{2}$이고, 이 토크는 축 표면(반지름 d/2)에서 키의 전단력으로 전달되므로 키 전단력은 $F = \dfrac{2T}{d} = \dfrac{PD}{d}$이다.

키의 전단 면적은 폭×길이이므로 $\dfrac{PD}{d\,b\,l} = \dfrac{\tau_{\rm Y}}{S}$에서 $l = \dfrac{PDS}{bd\tau_{\rm Y}}$가 된다.

• PdS/(bDτY): 풀리 지름과 축 지름의 위치가 뒤바뀐 식이다.
• 2Pd/(bDSτY): 지름이 뒤바뀌고 안전계수가 분모로 간 식이다.
• 2PD/(bdSτY): 토크 팔을 반지름 D/2 대신 지름 D로 잡고 안전계수를 분모에 둔 식이다.

단순지지 중앙집중하중 축의 하중비(강성)는 $\dfrac{3}{4}\dfrac{E\pi d^4}{l^3}$이다.

중앙 최대 처짐은 $\delta = \dfrac{Pl^3}{48EI}$이고, 중실축의 단면 2차 모멘트는 $I = \dfrac{\pi d^4}{64}$이다.

$\dfrac{P}{\delta} = \dfrac{48E}{l^3}\cdot\dfrac{\pi d^4}{64} = \dfrac{3}{4}\dfrac{E\pi d^4}{l^3}$

• 1/3 계수: 처짐 계수 48과 단면 2차 모멘트의 64를 정리한 3/4와 맞지 않는다.
• 4/3 계수: 48/64를 뒤집은 값이다.
• $3E\pi d^{4}/l^{3}$: 단면 2차 모멘트 분모를 64 대신 16으로 잡은 값이다.

축방향으로 작용하는 힘은 $100\sqrt{3}\ \mathrm{kg_f}$이다.

접선력: $F_t = \dfrac{H}{v} = \dfrac{20\times 75}{5} = 300\ \mathrm{kg_f}$ ($1\ \mathrm{PS} = 75\ \mathrm{kg_f\cdot m/s}$)

축방향 힘 = 접선력 × tanβ: $F_a = F_t\tan\beta = 300\tan 30^{\circ} = \dfrac{300}{\sqrt{3}} = 100\sqrt{3}\ \mathrm{kg_f}$

• 150은 $\tan\beta$ 대신 $\sin\beta$를 곱한 값이다.
• $150\sqrt{3}$은 $\tan\beta$ 대신 $\cos\beta$를 곱한 값이다.

합쳐진 부재의 스프링 상수는 $\dfrac{2AE}{L}$이다.

세 부재는 같은 하중 P를 받는 직렬 연결이므로 각 부재 스프링 상수 $k_i = \dfrac{A_i E}{L_i}$의 역수를 더한다. 길이는 부재 1·2가 각각 L/5, 부재 3이 3L/5이다.

$\dfrac{1}{k} = \dfrac{L/5}{AE} + \dfrac{L/5}{2AE} + \dfrac{3L/5}{3AE} = \dfrac{L}{AE}\left(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{5}\right) = \dfrac{L}{2AE}$

• AE/L: 가장 가는 부재 1이 전체 길이 L을 차지한다고 본 값이다.
• 5AE/L: 부재 1 하나만의 스프링 상수(길이 L/5)이다.
• 10AE/L: 부재 2 하나만의 스프링 상수(2AE·5/L)이다.

굿맨선을 만족하는 축의 최소 단면적은 $4000\ \mathrm{mm^2}$이다.

평균하중 $P_m = \dfrac{180+60}{2} = 120\ \mathrm{kN}$, 진폭하중 $P_a = \dfrac{180-60}{2} = 60\ \mathrm{kN}$

굿맨식: $\dfrac{\sigma_a}{\sigma_e} + \dfrac{\sigma_m}{\sigma_u} = 1$
$\dfrac{60000}{30A} + \dfrac{120000}{60A} = \dfrac{2000}{A} + \dfrac{2000}{A} = 1$
$A = 4000\ \mathrm{mm^2}$

• 항복강도는 소더버그선에 쓰는 값이므로 굿맨선 계산에는 쓰지 않는다.
• 진폭 항이나 평균 항 하나만 계산하면 2,000이 나와 단면적을 과소평가한다.

임계하중이 작은 순서는 고정－자유단 → 핀－핀 → 고정－핀 → 고정－고정이다.

오일러 임계하중 $P_{cr} = n\dfrac{\pi^2EI}{L^2}$에서 단말계수 n은 고정－자유 1/4, 핀－핀 1, 고정－핀 약 2.05, 고정－고정 4이다.

• 핀－핀을 가장 앞에 두는 배열: 고정－자유단(n = 1/4)이 핀－핀보다 작다는 점에 어긋난다.
• 고정－고정을 가장 앞에 두는 배열: 양단 고정이 가장 큰 임계하중(n = 4)을 가진다는 점에 어긋난다.
• 고정－핀·고정－고정을 핀－핀보다 앞에 두는 배열: 핀－핀(n = 1)이 두 조건보다 작다는 점에 어긋난다.

볼트의 초기 인장력은 30 kN이다.

외력 P가 작용하면 $F_b = F_i + \dfrac{k_b}{k_b+k_p}P$, $F_p = F_i - \dfrac{k_p}{k_b+k_p}P$이므로 $F_b - F_p = P = 20\ \mathrm{kN}$이다.

$k_p = 3k_b$이면 $F_b = F_i + \dfrac{1}{4}P$, $F_p = F_i - \dfrac{3}{4}P$
$F_b + F_p = 2F_i - \dfrac{1}{2}P = 2F_i - 10 = 50$
$F_i = 30\ \mathrm{kN}$

• 20 kN은 초기 인장력이 아니라 추가된 외력 P의 크기이다.
• 강성비를 반대로(볼트 쪽이 3배) 적용하면 $2F_i + 10 = 50$이 되어 20 kN이 나오므로 틀린다.

A 위치는 38 MPa(인장), B 위치는 −42 MPa(압축)이다.

굽힘: $M = F_t L = 1000 \times 6 = 6000\ \mathrm{N\cdot mm}$, $Z = \dfrac{bt^2}{6} = \dfrac{36 \times 5^2}{6} = 150\ \mathrm{mm^3}$
$\sigma_b = \dfrac{M}{Z} = 40\ \mathrm{MPa}$

압축: $\sigma_c = \dfrac{F_r}{bt} = \dfrac{360}{36 \times 5} = 2\ \mathrm{MPa}$
접선하중이 아래로 작용하므로 위쪽 A는 굽힘 인장, 아래쪽 B는 굽힘 압축이다. $\sigma_A = 40 - 2 = 38$, $\sigma_B = -40 - 2 = -42$

• 18과 −22: 굽힘응력을 절반(20 MPa)으로 잡은 값이다.
• 28과 −32: 굽힘응력을 30 MPa로 잡아야 나오는 값이다.
• 48과 −52: 굽힘응력을 50 MPa로 잡아야 나오는 값이다.

축직각 모듈 기준이므로 피치원 지름은 $m_sZ_s$, 치직각 압력각은 $\tan^{-1}(\tan\alpha_s\cos\beta)$이다.

축직각 모듈은 피치원 지름을 직접 정의하므로 $D = m_sZ_s$이고, 치직각 모듈로 줄 때에만 $D = \dfrac{m_nZ}{\cos\beta}$가 된다.

압력각 관계는 $\tan\alpha_n = \tan\alpha_s\cos\beta$로, 치직각 압력각이 축직각 압력각보다 작다.

• 피치원 지름을 $\dfrac{m_s}{\cos\beta}Z_s$로 쓴 식: 치직각 모듈을 줄 때의 식을 축직각 모듈에 잘못 적용한 것이다.
• 압력각을 $\tan^{-1}(\dfrac{\tan\alpha_s}{\cos\beta})$로 쓴 식: 치직각 압력각에서 축직각 압력각을 구하는 역관계이다.

엇걸기에서는 벨트가 두 풀리에 같은 접촉각 $180^{\circ}+2\phi$로 감기므로 이 설명이 옳다.

엇걸기는 벨트가 중심선을 교차해 두 풀리 모두 반원보다 더 감기고, 바로걸기는 작은 풀리 $180^{\circ}-2\phi$, 큰 풀리 $180^{\circ}+2\phi$로 갈린다.

• 바로걸기의 접촉각이 더 크다: 작은 풀리 기준으로 엇걸기의 접촉각이 더 크다.
• 바로걸기의 벨트길이가 더 길다: 엇걸기가 $\dfrac{D_1D_2}{C}$만큼 더 길다.
• 바로걸기에서 작은 풀리의 접촉각이 더 크다: 작은 풀리 쪽 접촉각이 더 작아 미끄럼은 작은 풀리에서 먼저 생긴다.

진응력은 $\sigma e^{\varepsilon_T}$이다.

체적 불변을 가정하면 공칭변형률 $\varepsilon$에 대해 $\sigma_T = \sigma(1+\varepsilon)$이고, 진변형률 $\varepsilon_T = \ln(1+\varepsilon)$이므로 $1+\varepsilon = e^{\varepsilon_T}$이다.

대입: $\sigma_T = \sigma e^{\varepsilon_T}$

• $\sigma(1+\varepsilon_T)$: 공칭변형률 자리에 진변형률을 그대로 넣은 식이다.
• $\dfrac{\sigma}{1+\varepsilon_T}$: 인장 시 단면이 줄어 진응력이 공칭응력보다 커야 하는데 오히려 작아진다.
• $\dfrac{\sigma}{e^{\varepsilon_T}}$: 같은 이유로 진응력이 공칭응력보다 작아져 맞지 않는다.

공칭응력 100 MPa, 공칭변형률 1.0 %, 탄성계수 10 GPa이다.

단면적: $A = \dfrac{\pi d^2}{4} = \dfrac{3\times 2^2}{4} = 3\ \mathrm{mm^2}$
응력: $\sigma = \dfrac{300}{3} = 100\ \mathrm{MPa}$

변형률: $\varepsilon = \dfrac{5}{500} = 0.01 = 1\%$
탄성계수: $E = \dfrac{100}{0.01} = 10000\ \mathrm{MPa} = 10\ \mathrm{GPa}$

• 변형률 0.01은 무차원 값으로, 백분율 단위로는 1 %이다.
• 응력을 10 MPa로 보면 탄성계수도 1 GPa로 열 배 작아져 계산과 맞지 않는다.

세레이션은 잇수가 많아 같은 바깥지름의 스플라인축보다 더 큰 회전력을 전달할 수 있으므로 이 설명이 옳지 않다.

세레이션은 작은 이를 축 둘레에 촘촘히 깎은 것으로, 이 높이가 낮고 잇수가 많아 미세한 각도 조정과 강한 고정에 쓰인다.

• 이의 높이가 낮고 잇수가 많다(옳음).
• 이의 측면이 삼각형 산모양인 것이 있다(옳음, 인벌류트 치형도 있다).
• 축과 보스의 상대 각 위치를 가늘게 조절해 고정할 때 쓴다(옳음).

길이 차는 $\dfrac{D_1D_2}{C}$, 엇걸기 원동 풀리 접촉각은 $180^{\circ}+2\sin^{-1}(\dfrac{D_1+D_2}{2C})$이다.

엇걸기: $L_c \approx 2C + \dfrac{\pi(D_1+D_2)}{2} + \dfrac{(D_1+D_2)^2}{4C}$
바로걸기: $L_o \approx 2C + \dfrac{\pi(D_1+D_2)}{2} + \dfrac{(D_2-D_1)^2}{4C}$
$\delta = \dfrac{(D_1+D_2)^2-(D_2-D_1)^2}{4C} = \dfrac{D_1D_2}{C}$

엇걸기의 벨트 경사각은 $\sin\phi = \dfrac{(D_1+D_2)/2}{C}$이므로 접촉각은 $\theta = 180^{\circ}+2\phi$이다.

• 길이 차 $\dfrac{D_1D_2}{C}$와 $\sin^{-1}(\dfrac{D_2+D_1}{C})$ 조합: 접촉각에 반지름 합 대신 지름 합을 써서 틀렸다.
• 길이 차 $\dfrac{D_1D_2}{2C}$와 $\sin^{-1}(\dfrac{D_2+D_1}{C})$ 조합: 길이 차의 계수와 접촉각이 모두 틀렸다.
• 길이 차 $\dfrac{D_1D_2}{2C}$와 올바른 접촉각 조합: 제곱 차 전개에서 계수를 절반으로 잘못 잡았다.

차축의 최소 지름은 20 mm이다.

양 끝에 F/2=120 N이 걸리고 바퀴(반력)는 끝에서 200 mm 안쪽에 있으므로, 바퀴 사이 구간의 최대 굽힘모멘트는 $M = 120 \times 200 = 24000\ \mathrm{N\cdot mm}$로 일정하다.

$\sigma = \dfrac{32M}{\pi d^3}$에서 $d^3 = \dfrac{32 \times 24000}{3 \times 32} = 8000$, $d = 20\ \mathrm{mm}$

• 40 mm: 모멘트를 8배로 과대 평가해야 나오는 값이다.
• 200 mm: $d^{3}$=8000에서 나오지 않는 값으로, 10배 과대하다.
• 400 mm: $d^{3}$=8000에서 나오지 않는 값으로, 20배 과대하다.

웜휠의 회전속도는 20 rpm, 중심거리는 60 mm이다.

속도비: $N_g = N_w\dfrac{z_w}{Z_g} = 500\times\dfrac{2}{50} = 20\ \mathrm{rpm}$

웜휠 피치원 지름: $D_g = mZ_g = 2\times 50 = 100\ \mathrm{mm}$
중심거리: $C = \dfrac{d_w + D_g}{2} = \dfrac{20+100}{2} = 60\ \mathrm{mm}$

• 회전속도 20·중심거리 120: 두 피치원 지름의 합을 그대로 쓴 값으로, 중심거리는 그 절반이다.
• 회전속도 40·중심거리 60: 회전속도가 속도비 2/50에서 나오는 값의 두 배이다.
• 회전속도 40·중심거리 120: 회전속도와 중심거리가 모두 두 배로 잡혔다.

입력축(링기어)에 대한 출력축(캐리어)의 각속도비는 $\dfrac{9}{13}$이다.

링기어 잇수: $Z_r = Z_s + 2Z_p = 24 + 2\times 15 = 54$

윌리스 식: $\dfrac{\omega_s-\omega_c}{\omega_r-\omega_c} = -\dfrac{Z_r}{Z_s}$에 $\omega_s = 0$을 넣으면
$24\omega_c = 54(\omega_r-\omega_c)$
$\dfrac{\omega_c}{\omega_r} = \dfrac{54}{78} = \dfrac{9}{13}$

링기어를 고정하고 태양기어를 입력으로 하면 $\dfrac{Z_s}{Z_s+Z_r}$가 되므로 고정 요소를 혼동하지 않도록 한다.

리벳 지름은 $d = \sqrt{\dfrac{8et}{\pi}}$이다.

판 끝(마진 e)이 전단 파괴될 때는 리벳 하나당 두 개의 전단면(면적 각 et)이 생기므로, 리벳 두 개의 저항력은 $W = 2 \times 2et\tau = 4et\tau$이다.

리벳 전단(1면 전단, 2개): $W = 2 \times \dfrac{\pi d^2}{4}\tau = \dfrac{\pi d^2}{2}\tau$
두 식을 같게 두면 $d^2 = \dfrac{8et}{\pi}$이다.

• √(4et/π): 판 전단면을 리벳당 한 면으로만 본 식이다.
• √(4pt/π): 마진 대신 피치를 쓴 식으로, 판 끝 전단과 맞지 않는다.
• √(8pt/π): 전단면 수는 맞지만 마진 대신 피치를 쓴 식이다.

브레이크의 제동토크는 311 N·m이다.

F1은 레버 지점에 연결돼 모멘트가 없으므로 지점 모멘트 평형은 $F_2 c = F_a L$, $F_2 = \dfrac{100 \times 300}{30} = 1000\ \mathrm{N}$이다.

시계방향 회전에서는 드럼 표면이 F2 쪽으로 밴드를 끌므로 지점 쪽 F1이 긴장측이다. $F_1 = 4.11 \times 1000 = 4110\ \mathrm{N}$
$T = (F_1 - F_2) r = 3110 \times 0.1 = 311\ \mathrm{N\cdot m}$

• 411 N·m: 긴장측 장력 전체를 제동력으로 본 값이다.
• 511 N·m: 장력차 3110 N과 반지름 0.1 m의 곱과 맞지 않는다.
• 611 N·m: 장력차 3110 N과 반지름 0.1 m의 곱과 맞지 않는다.

각 베어링의 최대 발열계수는 0.6 $kgf/mm^{2}$·m/s이다.

마찰차 A는 누르는 힘 P와 회전력 F를 직각으로 함께 받으므로 합력은 $\sqrt{800^2 + 600^2} = 1000\ \mathrm{kgf}$이고, 두 베어링이 나눠 받아 하나당 500 kgf이다.

베어링 압력: $p = \dfrac{500}{20 \times 25} = 1\ \mathrm{kgf/mm^2}$
미끄럼 속도: $v = \dfrac{\pi d N}{60000} = \dfrac{3 \times 20 \times 600}{60000} = 0.6\ \mathrm{m/s}$
$pv = 1 \times 0.6 = 0.6$

• 1.2: 합력 전체를 베어링 하나가 받는다고 본 값이다.
• 1.8: 구한 pv의 3배로, 하중·속도 조건에서 나오지 않는다.
• 2.4: 마찰차 지름(80 mm)으로 미끄럼 속도를 계산한 값이다.

지름비는 $\sqrt[3]{\dfrac{32}{3\pi}} : \sqrt[3]{\dfrac{32}{\pi}}$이다.

상당 굽힘모멘트 기준 $d_{Me} = \sqrt[3]{\dfrac{32M_e}{\pi\sigma_a}}$, 상당 비틀림모멘트 기준 $d_{Te} = \sqrt[3]{\dfrac{16T_e}{\pi\tau_a}}$

조건 대입: $T_e = 2M_e$, $\sigma_a = 3\tau_a$
$d_{Me} = \sqrt[3]{\dfrac{32}{3\pi}\cdot\dfrac{M_e}{\tau_a}}$, $d_{Te} = \sqrt[3]{\dfrac{32}{\pi}\cdot\dfrac{M_e}{\tau_a}}$
공통인수 $\sqrt[3]{M_e/\tau_a}$를 소거하면 위 비가 된다.

• $\sqrt[3]{\dfrac{96}{\pi}} : \sqrt[3]{\dfrac{16}{\pi}}$: 허용굽힘응력의 3배를 나누지 않고 곱했고 $T_e = 2M_e$도 반영하지 않았다.
• $\sqrt[3]{\dfrac{16}{3\pi}} : \sqrt[3]{\dfrac{64}{\pi}}$: 굽힘 쪽 계수를 16으로 잡고 비틀림 쪽 2배를 중복 반영했다.
• $\sqrt[3]{\dfrac{48}{\pi}} : \sqrt[3]{\dfrac{16}{\pi}}$: 굽힘 계수 32 대신 16에 3을 곱했고 비틀림 쪽 2배를 빠뜨렸다.

3가닥 V벨트의 최대 전달동력은 1 kW이다.

$e^{\mu^{\prime}\theta} = e^{0.5\times 2} = e = 3$

한 가닥 유효장력: $T_e = T_t\left(1-\dfrac{1}{e^{\mu^{\prime}\theta}}\right) = 100\times\dfrac{2}{3} = \dfrac{200}{3}\ \mathrm{N}$
3가닥: $3\times\dfrac{200}{3} = 200\ \mathrm{N}$
동력: $H = 200\times 5 = 1000\ \mathrm{W} = 1\ \mathrm{kW}$

가닥 수 3을 곱하지 않으면 $\dfrac{1}{3}\ \mathrm{kW}$가 되므로 주의한다.

축의 최소 지름은 $\sqrt[3]{16000}$ mm이다.

모터와 기어 1 사이 구간이 27 kW 전체를 전달하므로 이 구간의 토크가 최대다. $\omega = \dfrac{2 \times 3 \times 1000}{60} = 100\ \mathrm{rad/s}$, $T = \dfrac{27000}{100} = 270\ \mathrm{N\cdot m}$

$\tau = \dfrac{16T}{\pi d^3}$에서 $d^3 = \dfrac{16 \times 270000}{3 \times 90} = 16000$

• 세제곱근 26,000: 최대 토크 270 N·m로 구한 $d^{3}$=16000보다 크다.
• 세제곱근 36,000: 최대 토크 270 N·m로 구한 $d^{3}$=16000보다 크다.
• 세제곱근 46,000: 최대 토크 270 N·m로 구한 $d^{3}$=16000보다 크다.

페트로프 식으로 구한 베어링 마찰계수는 0.036이다.

페트로프 식: $f = 2\pi^2\dfrac{\eta N}{p}\dfrac{r}{c}$ (N은 초당 회전수, p는 투영면적 기준 압력)

$N = \dfrac{600}{60} = 10\ \mathrm{rps}$, $p = \dfrac{500}{0.1\times 0.1} = 5\times 10^4\ \mathrm{Pa}$, $\dfrac{r}{c} = \dfrac{50}{0.05} = 1000$
$f = 2\times 9\times\dfrac{0.01\times 10}{5\times 10^4}\times 1000 = 0.036$

• 회전수를 rpm 그대로 쓰면 60배 커져 보기 값과 맞지 않는다.
• 반지름 대신 지름을 틈새로 나누면 0.072가 되어 맞지 않는다.