24년 1회차

용액 안에 농도구배가 존재하면 분자의 무작위 운동에 의해 고농도에서 저농도 쪽으로 분자 확산이 일어난다.

픽의 법칙 $J_\mathrm{A} = -D_\mathrm{AB}\dfrac{dc_\mathrm{A}}{dz}$에서 보듯 확산 플럭스의 구동력이 바로 농도구배이다.

• 기체 분자가 서로 충돌하지 않는다는 진술: 기체 분자는 끊임없이 충돌하며, 이 충돌이 평균자유행로와 확산 속도를 결정한다.
• 압력 변화가 확산계수에 무관하다는 진술: 기체 확산계수는 압력에 대략 반비례하므로 압력의 영향을 받는다.
• 온도가 높을수록 확산 속도가 감소한다는 진술: 온도가 오르면 분자 운동이 활발해져 기체 확산계수는 증가한다.

운동량 확산도와 열 확산도의 비는 Prandtl 수이다.

$\mathrm{Pr} = \dfrac{\nu}{\alpha} = \dfrac{c_p\mu}{k}$로, 속도 경계층과 온도 경계층의 상대 두께를 나타낸다.

• Schmidt 수: 운동량 확산도와 물질 확산도의 비 $\nu/D_\mathrm{AB}$이다.
• Grashof 수: 부력과 점성력의 비로 자연대류를 나타낸다.
• Sherwood 수: 대류 물질전달과 확산 물질전달의 비 $k_c L/D_\mathrm{AB}$이다.

$q_x$는 열 플럭스가 아니라 열전달 속도(열흐름률, W)이므로 이 진술이 옳지 않다.

식의 좌변 $q_x/A$가 단위면적당 열흐름, 즉 열 플럭스($\mathrm{W\ m^{-2}}$)에 해당한다.

• 음의 부호: 열은 온도가 감소하는 방향으로 흐르므로 온도구배와 반대 부호가 붙는다.
• $k$: 물질 고유의 열전도도이다.
• $dT/dx$: $x$방향 온도구배이다.

헨리의 법칙에서 분압은 헨리상수와 액상 몰분율의 곱이므로 분압 비는 4이다.

$P_\mathrm{A} = H_\mathrm{A}x_\mathrm{A},\ P_\mathrm{B} = H_\mathrm{B}x_\mathrm{B}$

$\dfrac{P_\mathrm{A}}{P_\mathrm{B}} = \dfrac{H_\mathrm{A}}{H_\mathrm{B}}\cdot\dfrac{x_\mathrm{A}}{x_\mathrm{B}} = \dfrac{2\times10^4}{1\times10^4}\times 2 = 4$

• 헨리상수 비(2)나 몰분율 비(2) 하나만 반영하면 2가 되고, 둘 중 하나를 뒤집어 나누면 1이나 0.5가 되는 오류가 생긴다.

Lewis 수는 열 확산도와 물질확산계수의 비이므로 열 확산도는 0.2 $\mathrm{cm^2\ s^{-1}}$이다.

$\mathrm{Le} = \dfrac{\alpha}{D_\mathrm{AB}} = \dfrac{\mathrm{Sc}}{\mathrm{Pr}}$

$\alpha = \mathrm{Le}\times D_\mathrm{AB} = 2\times 0.1 = 0.2\ \mathrm{cm^2\ s^{-1}}$

• Lewis 수를 거꾸로($D_\mathrm{AB}/\alpha$) 정의하면 0.05가 나오는 함정이다.

강체의 무게와 두 유체가 주는 부력이 평형이므로 높이 비는 2이다.

단면적을 $A$, 한 변을 $h_1 + h_2$라 하면 무게 = 부력 조건은 다음과 같다.
$\rho_s (h_1 + h_2) = \rho_1 h_1 + \rho_2 h_2$
$2000(h_1 + h_2) = 1000 h_1 + 4000 h_2$
$1000 h_1 = 2000 h_2 \Rightarrow \dfrac{h_1}{h_2} = 2$

• 0.5는 비를 거꾸로($h_2/h_1$) 잡은 값이고, 0.25도 유체 2 쪽에 더 깊이 잠긴다고 본 값이다. 강체는 유체 2보다 가벼워 유체 2에는 덜 잠긴다.
• 1은 두 유체에 같은 깊이로 잠긴 경우로, 강체 밀도가 두 유체 밀도의 산술평균(2,500)일 때만 성립한다.

팬이 흡입하므로 관 속 정압은 대기압보다 동압만큼 낮고, 마노미터 높이차는 0.024 m이다.

대기(정지)에서 관 속까지 베르누이 식을 쓰면
$P_\mathrm{atm} - P = \dfrac{1}{2}\rho_\mathrm{air} v^2 = \dfrac{1}{2}(1.2)(20)^2 = 240\ \mathrm{Pa}$

이 압력차를 물기둥이 받치므로
$h = \dfrac{240}{\rho_\mathrm{w} g} = \dfrac{240}{1000 \times 10} = 0.024\ \mathrm{m}$

• 0.020은 동압을 200 Pa로 잘못 계산한 값(공기 밀도를 1로 대입)에 해당한다.
• 20·24는 밀리미터 단위 수치로, 높이차 24 mm는 0.024 m이므로 m 단위 답으로는 틀리다.

스톡스 영역의 종말속도 식을 점도에 대해 풀면 유체 점도는 20 Pa·s이다.

$v_t = \dfrac{2r^2(\rho_s - \rho)g}{9\mu}\ \Rightarrow\ \mu = \dfrac{2r^2(\rho_s - \rho)g}{9v_t}$

$\mu = \dfrac{2\times(0.001)^2\times(10000-1000)\times10}{9\times0.001} = \dfrac{0.18}{0.009} = 20\ \mathrm{Pa\ s}$

밀도차($\rho_s - \rho$)를 쓰지 않고 고체 밀도만 넣거나 지름과 반지름을 혼동하면 다른 값이 나온다.

입구영역 벽면 전단응력의 위치 의존성과 완전발달영역 속도분포의 $r$ 단독 의존성만 옳으므로 ㄱ, ㄴ이 옳다.

입구에서는 경계층이 자라며 속도구배가 축방향으로 변하고, 경계층이 관 중심에서 만나면 속도분포가 더 이상 $z$에 따라 변하지 않는 완전발달 상태가 된다.

• ㄱ(옳음): 입구 근처는 벽면 속도구배가 커서 전단응력이 크고, 하류로 갈수록 감소한다.
• ㄴ(옳음): 완전발달영역에서 $v_z = v_z(r)$이다.
• ㄷ(틀림): 입구영역은 벽 전단응력이 크고 유체 가속에 따른 운동량 변화까지 더해져 단위 길이당 압력강하가 완전발달영역보다 크다.

Reynolds 수 증가에 따른 마찰계수 감소는 층류에서 더 가파르므로, 난류에서 더 크다는 진술이 옳지 않다.

층류에서는 $f \propto \mathrm{Re}^{-1}$로 급하게 떨어지지만, 난류에서는 대략 $\mathrm{Re}^{-1/4}$ 정도로 완만하고 거친 관에서는 Re와 무관해지기도 한다.

• 거칠기 영향: 무디 차트는 상대조도별 곡선으로 거칠기 영향을 보여 준다.
• 난류 관계의 실험적 획득: 난류 마찰계수는 실험과 경험식(Colebrook 등)으로 얻는다.
• 층류 관계의 이론적 유도: 나비에-스토크스 식에서 Hagen-Poiseuille 해를 얻어 $f = 64/\mathrm{Re}$(Darcy 기준)를 유도할 수 있다.

경계층 분리는 구 후방에 저압의 후류를 만들어 형상항력(압력항력)을 크게 하므로, 항력에 영향을 주지 않는다는 진술이 옳지 않다.

분리점 뒤 압력이 회복되지 못해 앞뒤 압력차가 생기며, 이것이 항력의 주된 원인이 된다.

• 점성 유체에서 발생: 벽면 근처 유체가 점성으로 운동량을 잃어야 분리가 일어난다.
• 와류 형성: 분리된 흐름 뒤에는 와류(후류)가 생긴다.
• 흐름 역방향으로 압력 감소: 흐름 방향으로 압력이 증가하는 역압력구배를 말하며 분리의 조건이다.

액막은 앞뒤 두 개의 표면을 가지므로 $\gamma = \dfrac{F}{2b}$, 액체 방울은 표면이 하나이므로 $\gamma = \dfrac{R\Delta P}{2}$이다.

(가) 움직이는 와이어 길이 $b$에 두 표면의 장력이 작용해 $F = 2\gamma b$이다.
(나) 반구 단면의 압력 힘과 둘레의 표면장력이 평형: $\Delta P \pi R^2 = 2\pi R \gamma$, 따라서 $\gamma = \dfrac{R\Delta P}{2}$이다.

• $\dfrac{F}{b}$는 액막의 표면을 하나로 본 것이다.
• $\dfrac{R\Delta P}{4}$는 표면이 두 개인 비눗방울($\Delta P = 4\gamma / R$)의 식이다.

수력학적 직경을 Hagen-Poiseuille 식에 넣으면 부피 유량은 $3.20\times10^{-6}\ \mathrm{m^3\ s^{-1}}$이다.

수력학적 직경: $D_h = \dfrac{4A}{P} = \dfrac{4\times(6\times12)}{2\times(6+12)} = 8\ \mathrm{mm}$

$Q = \dfrac{\pi D_h^4\Delta P}{128\mu L} = \dfrac{3\times(0.008)^4\times100}{128\times0.001\times3}$
$= \dfrac{1.2288\times10^{-6}}{0.384} = 3.20\times10^{-6}\ \mathrm{m^3\ s^{-1}}$

수력학적 직경은 젖은 둘레 기준이므로 단면의 짧은 변이나 긴 변을 그대로 직경으로 쓰면 안 된다.

내부 관의 방사율이 온도 상승에 따라 줄도록 하면 $T_1^4$ 증가분을 상쇄해 열전달 속도를 일정하게 유지할 수 있다.

동심 원통 회색체 사이 복사: $q = \dfrac{\sigma A_1(T_1^4 - T_2^4)}{\dfrac{1}{\varepsilon_1} + \dfrac{A_1}{A_2}\left(\dfrac{1}{\varepsilon_2} - 1\right)}$에서 $\varepsilon_1$이 작아지면 분모가 커져 q가 감소한다.

• 거리와 무관하다는 진술: 면적비 $A_1/A_2$가 두 관 반지름에 따라 달라지므로 간격이 열전달 속도에 영향을 준다.
• 온도차의 네제곱 비례 진술: 복사 열전달은 $T_1^4 - T_2^4$에 비례하며 $(T_1 - T_2)^4$가 아니다.
• $\varepsilon_1$ 증가 시 감소한다는 진술: 방사율이 커지면 분모가 작아져 열전달 속도는 증가한다.

균일 속도 흐름의 에너지 방정식을 적분하면 온도 분포는 $T_\mathrm{s}(z) - \dfrac{U_0 C}{4\alpha}(r_0^2 - r^2)$이다.

정상·축대칭이고 $v_r = v_\theta = 0$, 축방향 전도 $\partial^2 T/\partial z^2 = 0$이므로
$U_0 C = \dfrac{\alpha}{r}\dfrac{d}{dr}\left(r\dfrac{dT}{dr}\right)$

한 번 적분: $r\dfrac{dT}{dr} = \dfrac{U_0 C}{2\alpha}r^2$ (중심 유한 조건으로 적분상수 0)
두 번 적분: $T = \dfrac{U_0 C}{4\alpha}r^2 + K$, 벽면 $T(r_0) = T_\mathrm{s}$를 대입하면 위 식이 된다. 계수는 4α다.

• 분모가 $2\alpha$인 식은 두 번째 적분의 1/2을 빠뜨린 것이다.
• 분모가 $8\alpha$인 식은 적분 계수를 한 번 더 나눈 것이다.
• 분모가 $16\alpha$인 식은 포물선 속도 분포(층류) 계열 계수와 혼동한 것이다.

Re → 평균 Nu → 열전달계수 순으로 구하면 열전달 속도는 70 W이다.

$\mathrm{Re_L} = \dfrac{\rho UL}{\mu} = \dfrac{1.0\times1\times1}{1\times10^{-4}} = 10^4$

$\overline{\mathrm{Nu}} = 0.7\times(10^4)^{1/2}\times1^{1/3} = 70$
$\bar{h} = \dfrac{\overline{\mathrm{Nu}}\,k}{L} = 70\times0.05 = 3.5\ \mathrm{W\ m^{-2}\ K^{-1}}$

$q = \bar{h}A(T_s - T_\infty) = 3.5\times1\times(30-10) = 70\ \mathrm{W}$
열전달계수(3.5)에서 멈추거나 온도차를 빠뜨리지 않도록 주의한다.

B의 최고 온도는 A–B 경계면이므로 그 온도를 25 °C로 두고 직렬 저항을 풀면 A의 최대 열전도도는 1.5 W/(m·K)이다.

경계면→내부 기체의 저항(단위면적): $\dfrac{1.0}{10} + \dfrac{0.1}{1} + \dfrac{1}{10} = 0.3$
열유속: $q = \dfrac{25 - 10}{0.3} = 50\ \mathrm{W\,m^{-2}}$

외부 기체→경계면에도 같은 열유속이 흐르므로
$\dfrac{30 - 25}{\dfrac{1}{30} + \dfrac{0.1}{k_A}} = 50 \Rightarrow \dfrac{0.1}{k_A} = 0.1 - \dfrac{1}{30} \Rightarrow k_A = 1.5$
A가 이보다 잘 전도하면 경계면이 25 °C를 넘는다.

• 0.5·1.0은 B 온도를 25 °C보다 더 낮게 유지하는 값으로, 조건은 만족하나 최댓값이 아니다.
• 2.0이면 외부 측 저항이 작아져 경계면 온도가 25 °C를 넘는다.

원통 벽의 정상 전도에서는 온도가 반지름의 로그에 선형이므로 3 cm 지점 온도는 470 K이다.

$T(r) = T_1 - (T_1 - T_2)\dfrac{\ln(r/r_1)}{\ln(r_2/r_1)}$

$\ln\dfrac{3}{2} = \ln3 - \ln2 = 1.0 - 0.7 = 0.3,\quad \ln\dfrac{4}{2} = 0.7$
$T = 500 - 70\times\dfrac{0.3}{0.7} = 500 - 30 = 470\ \mathrm{K}$

평판처럼 거리에 선형으로 보간하면 중간값 465 K 근처가 나오는데, 원통에서는 안쪽의 온도구배가 더 가파르다.

Knudsen 확산도는 기공 반지름과 분자 평균속도의 곱에 비례하며, 이를 풀면 반지름은 약 $2\times10^{-6}\ \mathrm{cm}$이다.

$D_K = \dfrac{2}{3}r\bar{v} = \dfrac{2}{3}r\sqrt{\dfrac{8RT}{\pi M}}$, 이를 cgs로 정리하면 $D_K = 9700\,r\sqrt{T/M}$ ($r$: cm, $M$: g/mol)

$\sqrt{\dfrac{320}{80}} = 2,\quad D_K = 19400\,r$
$r = \dfrac{0.0388}{19400} = 2\times10^{-6}\ \mathrm{cm}$

Knudsen 영역에서는 분자-벽 충돌이 지배하므로 압력·상대 기체와 무관하고 기공 크기에 좌우된다.

탈거부 조작선의 기울기는 $\dfrac{L}{V}$이다.

점선으로 둘러싼 검사체적(단 m+1 아래와 재비기)에서 휘발성 성분 물질수지를 세우면
$L x_m = V y_{m+1} + W x_W$
$y_{m+1} = \dfrac{L}{V}x_m - \dfrac{W}{V}x_W$

• $\dfrac{V}{L}$는 기울기의 역수로, x–y 축을 바꿔 본 것이다.
• $\dfrac{V}{W}$는 재비기 기준 비(boil-up ratio)로 기울기와 무관하다.
• $\dfrac{W}{V}$는 조작선 식의 절편 계수다.

정상상태에서 두 경막의 플럭스가 같으므로 $\dfrac{k_\mathrm{L}}{k_\mathrm{G}} = \dfrac{P_\mathrm{Ai} - P_\mathrm{AG}}{c_\mathrm{AL} - c_\mathrm{Ai}}$이다.

A가 액체→기체로 이동하므로 구동력은 액체 쪽 $c_\mathrm{AL} - c_\mathrm{Ai}$, 기체 쪽 $P_\mathrm{Ai} - P_\mathrm{AG}$로 모두 양수다.
$N_\mathrm{A} = k_\mathrm{L}(c_\mathrm{AL} - c_\mathrm{Ai}) = k_\mathrm{G}(P_\mathrm{Ai} - P_\mathrm{AG})$

• 분자가 $P_\mathrm{AG} - P_\mathrm{Ai}$인 식은 기체 쪽 구동력 부호가 반대(음수)다.
• $c$차를 분자에 둔 두 식은 역수인 $k_\mathrm{G}/k_\mathrm{L}$ 꼴이며, 분자가 $c_\mathrm{AL} - c_\mathrm{Ai}$인 식은 부호까지 반대다.

등몰상호확산에서는 몰플럭스가 농도차에 선형 비례하므로 확산계수는 4 $\mathrm{cm^2\ s^{-1}}$이다.

$N_\mathrm{A} = \dfrac{D_\mathrm{AB}\,c\,(x_\mathrm{A1} - x_\mathrm{A2})}{L}$, $c = \dfrac{P}{RT} = \dfrac{1}{0.08\times300} = \dfrac{1}{24}\ \mathrm{mol\ L^{-1}} = \dfrac{1}{24000}\ \mathrm{mol\ cm^{-3}}$

$1\times10^{-5} = D_\mathrm{AB}\times\dfrac{1}{24000}\times\dfrac{0.8-0.2}{10}$
$D_\mathrm{AB} = \dfrac{1\times10^{-5}\times24000\times10}{0.6} = 4$

플럭스 자체가 단위면적 기준이므로 단면적은 계산에 쓰이지 않으며, 리터(L)를 $\mathrm{cm^3}$로 바꾸는 단위 환산에 주의한다.

차원 해석 결과 $\pi_1$은 Sherwood 수, $\pi_2/\pi_3$는 Reynolds 수이다.

각 그룹을 무차원으로 만들면 $\pi_1 = \dfrac{kD}{D_\mathrm{AB}}$, $\pi_2 = \dfrac{vD}{D_\mathrm{AB}}$, $\pi_3 = \dfrac{\mu}{\rho D_\mathrm{AB}}$가 된다.

$\dfrac{\pi_2}{\pi_3} = \dfrac{vD}{D_\mathrm{AB}}\cdot\dfrac{\rho D_\mathrm{AB}}{\mu} = \dfrac{\rho vD}{\mu} = \mathrm{Re}$

• Schmidt 수: $\pi_3$ 자체($\mu/\rho D_\mathrm{AB}$)이며 $\pi_1$이 아니다.
• Grashof 수: 부력(밀도차·중력)을 포함하는 자연대류 수로, 강제대류 변수 목록에 중력가속도가 없어 나올 수 없다.

속도 퍼텐셜을 미분해 속도 성분을 구하면 $r=1$에서 속도 크기는 $3\sqrt{2}$이다.

극좌표에서 $v_r = \dfrac{\partial\phi}{\partial r} = \dfrac{3}{r}$, $v_\theta = \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\dfrac{3}{r}$

$r=1:\ |\vec{v}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = 3\sqrt{2}$

$v_\theta$에서 $1/r$ 인자를 빠뜨리거나 한 성분만 취하면 다른 값이 나온다.

Wilke 식으로 A를 제외한 몰분율로 가중하면 $D_\mathrm{AM}$은 $2.5\times10^{3}\ \mathrm{cm^2\ s^{-1}}$이다.

$\dfrac{1}{D_\mathrm{AM}} = \dfrac{y_\mathrm{B}^{\prime}}{D_\mathrm{AB}} + \dfrac{y_\mathrm{C}^{\prime}}{D_\mathrm{AC}}$, A 제외 기준 $y_\mathrm{B}^{\prime} = \dfrac{4}{10} = 0.4,\ y_\mathrm{C}^{\prime} = \dfrac{6}{10} = 0.6$

$\dfrac{1}{D_\mathrm{AM}} = \dfrac{0.4}{2000} + \dfrac{0.6}{3000} = 4\times10^{-4}$
$D_\mathrm{AM} = 2500\ \mathrm{cm^2\ s^{-1}}$

혼합물 확산계수는 두 이성분 확산계수 사이의 값이 되어야 한다.