24년 1회차

전달함수에 대해 옳지 않은 설명은 분모 계수의 부호가 섞여도 안정할 수 있다는 것이다.

특성다항식의 계수가 모두 같은 부호이고 0이 아닌 것은 안정의 필요조건이므로, 부호가 하나라도 다르면 우반평면 극점이 생겨 반드시 불안정하다.

• 임펄스 입력은 $R(s)=1$이므로 출력의 라플라스 변환이 곧 전달함수, 즉 임펄스 응답의 라플라스 변환이 맞다.
• 전달함수는 입출력 관계만 나타내므로 모든 초기 조건을 0으로 둔다.
• 물리적으로 구현 가능한 시스템은 proper 하므로 분모 차수가 분자 차수 이상이다.

사각 펄스의 라플라스 변환은 $\dfrac{A}{st_0}\left(1-e^{-st_0}\right)$이다.

높이 $A/t_0$, 폭 $t_0$인 펄스는 두 계단 함수의 차 $y(t)=\dfrac{A}{t_0}\left[u(t)-u(t-t_0)\right]$로 쓸 수 있다.

시간 지연 정리 $\mathcal{L}\{u(t-t_0)\}=\dfrac{e^{-st_0}}{s}$를 적용하면 $Y(s)=\dfrac{A}{t_0}\cdot\dfrac{1-e^{-st_0}}{s}$이다.

• $\dfrac{A}{st_0}e^{st_0}$: 지수 부호가 양수(시간 앞당김)이고 처음 켜지는 계단 성분이 빠져 있다.
• $\dfrac{A}{st_0}e^{-st_0}$: $t_0$에서 시작하는 계단 하나만 나타내므로 펄스가 아니다.
• $\dfrac{A}{st_0}\left(1+e^{st_0}\right)$: 꺼지는 계단을 빼지 않고 더했으며 지연 부호도 반대다.

시스템의 전달함수는 $\dfrac{10s+25}{s^2+10s+25}$이다.

단위 램프 입력 $R(s)=\dfrac{1}{s^2}$, 출력 $Y(s)=\dfrac{1}{s^2}-\dfrac{1}{(s+5)^2}$이고, 출력을 입력으로 나눈다.
$G(s)=s^2Y(s)=1-\dfrac{s^2}{(s+5)^2}=\dfrac{(s+5)^2-s^2}{(s+5)^2}$
$G(s)=\dfrac{10s+25}{s^2+10s+25}$

• $\dfrac{s+5}{s^2+2s+5}$는 극점이 $-1\pm j2$여서 출력의 $e^{-5t}$ 항(중근 $-5$)과 맞지 않는다.
• $\dfrac{2s+5}{s^2+2s+5}$도 극점이 $-1\pm j2$로 같은 이유로 맞지 않는다.
• $\dfrac{s+5}{s^2+10s+25}=\dfrac{1}{s+5}$는 직류 이득이 $\dfrac{1}{5}$여서, 출력이 램프를 그대로 따라가는(직류 이득 1) 주어진 응답과 맞지 않는다.

옳지 않은 설명은 비례(P) 제어기가 시스템의 형을 증가시킨다는 것이다.

시스템의 형은 개루프 전달함수의 원점 극점(적분기) 개수인데, 비례 제어기는 상수 이득만 곱하므로 형을 바꾸지 못한다. 형을 올리는 것은 적분 동작이다.

• PD 제어기는 미분 동작이 감쇠를 늘려 오버슈트를 줄일 수 있다.
• PI 제어기는 적분기를 추가해 형을 높이므로 정상상태 오차를 줄인다.
• PID 제어기는 미분 동작으로 과도응답을, 적분 동작으로 정상상태 응답을 함께 개선할 수 있다.

감쇠비 0.5, 고유주파수 2가 되려면 $K_1=4$, $K_2=\dfrac{1}{4}$이어야 한다.

내부 루프를 먼저 줄이면 $\dfrac{K_1}{s+1+K_1K_2}$이고, 적분기 $\dfrac{1}{s}$를 곱한 뒤 단위 피드백을 닫으면 $\dfrac{Y(s)}{R(s)}=\dfrac{K_1}{s^2+(1+K_1K_2)s+K_1}$이다.

2차 표준형 $s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2$과 비교하면 $\omega_n^2=K_1=4$, $2\zeta\omega_n=1+K_1K_2=2$에서 $K_2=\dfrac{1}{4}$이다.

• $K_1=\dfrac{1}{4}$, $K_2=4$: $\omega_n=\dfrac{1}{2}$이 되어 고유주파수 조건과 다르다.
• $K_1=\dfrac{1}{2}$, $K_2=2$: $\omega_n^2=\dfrac{1}{2}$로 고유주파수가 맞지 않는다.
• $K_1=2$, $K_2=\dfrac{1}{2}$: $\omega_n=\sqrt{2}$, $2\zeta\omega_n=2$이므로 감쇠비가 약 0.71이 된다.

출력 크기가 0.5가 되는 주파수는 $\omega=2$이고, 그때 위상은 $\phi=-\dfrac{\pi}{3}$이다.

$G(j\omega)=\dfrac{6}{(10-\omega^2)+j3\sqrt{3}\,\omega}$
$\omega=2$일 때 분모 $=6+j6\sqrt{3}$, 크기 $\sqrt{36+108}=12$, $|G|=\dfrac{6}{12}=0.5$
$\phi=-\tan^{-1}\dfrac{6\sqrt{3}}{6}=-\tan^{-1}\sqrt{3}=-\dfrac{\pi}{3}$

• $\omega=2$에서 위상 $-\dfrac{\pi}{4}$는 분모의 실수부와 허수부가 같아야 나오는데, 실제 허수부는 실수부의 $\sqrt{3}$배이다.
• $\omega=3$이면 분모 $=1+j9\sqrt{3}$, 크기 $\sqrt{244}\approx15.6$으로 $|G|\approx0.38$이 되어 위상 $-\dfrac{2\pi}{3}$와 짝지어도 성립하지 않는다.
• $\omega=3$, $\phi=-\dfrac{\pi}{2}$도 크기가 0.5가 아니고, 위상 $-\dfrac{\pi}{2}$는 실수부가 0인 $\omega=\sqrt{10}$에서 나온다.

속도오차상수가 유한한 1이 되려면 개루프가 1형이어야 하므로 $a=0$, $b=2$이고 $a+b=2$이다.

개루프 전달함수는 $G(s)=\dfrac{2b}{(s+a)(s+4)}$이다. $a\neq 0$이면 0형이라 $K_v=\lim_{s\to 0}sG(s)=0$이 되므로 원점에 극점이 있어야 한다.

$a=0$일 때 $K_v=\lim_{s\to 0}s\cdot\dfrac{2b}{s(s+4)}=\dfrac{b}{2}=1$에서 $b=2$이다.

• $a+b=0$: $b=0$이면 전향 이득이 없어 $K_v=0$이다.
• $a+b=\dfrac{1}{2}$: $b=\dfrac{1}{2}$이면 $K_v=\dfrac{1}{4}$로 조건을 만족하지 않는다.
• $a+b=4$: $b=4$이면 $K_v=2$가 된다.

$f(t)$에서 $y_2(t)$까지의 전달함수는 $\dfrac{k}{m_1m_2s^4+k(m_1+m_2)s^2}$이다.

운동방정식은 $m_1\ddot{y}_1=f-k(y_1-y_2)$, $m_2\ddot{y}_2=k(y_1-y_2)$이다.

둘째 식에서 $Y_1=\dfrac{m_2s^2+k}{k}Y_2$를 첫째 식 $(m_1s^2+k)Y_1-kY_2=F$에 대입하면 $\left[(m_1s^2+k)(m_2s^2+k)-k^2\right]Y_2=kF$, 즉 분모는 $m_1m_2s^4+k(m_1+m_2)s^2$이다. 지면과 연결된 스프링이 없어 원점 이중 극점(강체 운동)이 생긴다.

• 분모 $(m_1+m_2)s^2+km_1m_2$: 2차뿐이라 두 질량의 자유도를 반영하지 못하고 질량 항의 합·곱 위치도 틀렸다.
• 분모 $m_1m_2s^2+k(m_1+m_2)$: 2차뿐이라 원점 이중 극점(강체 운동)이 빠져 있다.
• 분모 $(m_1+m_2)s^4+km_1m_2s^2$: 질량의 곱과 합의 위치가 뒤바뀌었다.

K가 커질수록 불안정해진다는 설명이 옳지 않다. 진동은 커지지만 모든 $K\gt 0$에서 안정하다.

개루프 $\dfrac{K}{s(s+4)}$에 단위 피드백을 닫으면 특성방정식은 $s^2+4s+K=0$이고, 계수가 모두 양수인 2차식이므로 항상 안정하다.

• 특성방정식 $s^2+4s+K=0$: $1+G(s)=0$에서 그대로 얻어지므로 옳다.
• $0\lt K\lt 4$에서 과감쇠: 판별식 $16-4K\gt 0$이라 서로 다른 두 음의 실근을 가지므로 옳다.
• $K\gt 4$에서 극점이 원점에서 멀어짐: 극점 $-2\pm j\sqrt{K-4}$의 크기가 $\sqrt{K}$로 커지므로 옳다.

$s=-1$이 근궤적상에 존재한다는 설명이 옳지 않다.

개루프 $G(s)H(s)=\dfrac{K(s+8)(s+10)}{(s+2)(s+6)}$의 극점은 -2, -6, 영점은 -8, -10이다. 실수축 근궤적은 오른쪽 극점·영점 개수가 홀수인 구간 $-6\le s\le -2$와 $-10\le s\le -8$뿐이며, $s=-1$은 오른쪽에 극점·영점이 하나도 없어 근궤적에 속하지 않는다.

• 가지 2개: 개루프 극점이 2개이므로 가지도 2개다.
• -2, -6에서 출발: 근궤적은 $K=0$일 때 개루프 극점에서 출발한다.
• 점근선 없음: 극점 수와 영점 수가 같아($n-m=0$) 모든 가지가 유한 영점 -8, -10에서 끝난다.

출력 파형과 비교하면 $K_0=50$, $K_1=5$이다.

$r(t)=0$일 때 외란에서 출력까지는 $\dfrac{Y(s)}{D(s)}=\dfrac{s}{s^2+(5+K_1)s+K_0}$이고, $D(s)=\dfrac{1}{s}$을 넣으면 $Y(s)=\dfrac{1}{s^2+(5+K_1)s+K_0}$이다.

한편 $\mathcal{L}\{0.2e^{-5t}\sin 5t\}=\dfrac{0.2\cdot 5}{(s+5)^2+25}=\dfrac{1}{s^2+10s+50}$이므로 계수 비교로 $5+K_1=10$, $K_0=50$이다.

• $K_0=25$, $K_1=5$: 분모가 $(s+5)^2$인 중근이 되어 사인 진동이 나오지 않는다.
• $K_0=25$, $K_1=10$: 분모 $s^2+15s+25$가 서로 다른 실근을 가져 진동하지 않는다.
• $K_0=50$, $K_1=10$: 분모 $s^2+15s+50$의 근이 -5, -10인 실근이라 진동하지 않는다.

시스템은 불안정하며 우반평면 극점은 2개이다.

Routh 표: $s^5: 1,\ 5,\ 8$ / $s^4: 2,\ 10,\ 16$ / $s^3$ 행이 전부 0이 되어 보조방정식 $A(s)=2s^4+10s^2+16$을 미분한 $8s^3+20s$로 대체한다.
$s^3: 8,\ 20$ / $s^2: 5,\ 16$ / $s^1: -\dfrac{28}{5}$ / $s^0: 16$

첫째 열 $1,\ 2,\ 8,\ 5,\ -\dfrac{28}{5},\ 16$에서 부호 변화가 2회이므로 우반평면 극점은 2개이다. 실제로 특성방정식은 $(s+2)(s^4+5s^2+8)$로 인수분해된다.

• 안정하다는 판정은 첫째 열에 음수가 나타나므로 틀리다.
• 임계 안정은 우반평면 극점 없이 허수축 극점만 있어야 하는데, $s^4+5s^2+8=0$은 $s^2$가 복소수여서 근이 허수축이 아닌 네 사분면에 대칭으로 놓인다.
• 우반평면 극점 1개는 부호 변화 횟수 2회와 맞지 않는다.

극점이 같은 방사선을 따라 원점에서 멀어지므로 감쇠비는 그대로이고 고유주파수만 커진다. 따라서 최대 오버슈트는 감소하지 않고 그대로다.

극점 $-\zeta\omega_n\pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$에서 원점과 이은 선의 각도는 $\cos\theta=\zeta$로 감쇠비만 정하고, 원점까지의 거리가 $\omega_n$이다. 최대 오버슈트 $e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}$는 $\zeta$에만 의존한다.

• 상승시간 단축: $\omega_n$에 반비례하므로 옳다.
• 정착시간 단축: $t_s\approx\dfrac{4}{\zeta\omega_n}$에서 실수부 크기가 커지므로 옳다.
• 최고시간 단축: $t_p=\dfrac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}$에서 허수부가 커지므로 옳다.

$a+d$의 값은 3이다.

가제어표준형에서 상태행렬의 마지막 행은 $\begin{bmatrix}-f & -e & -d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4 & -3 & -2\end{bmatrix}$이므로 $d=2$, $e=3$, $f=4$이다.

출력 행렬은 분자 계수를 낮은 차수부터 놓은 $\begin{bmatrix}c & b & a\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & 1.5 & 1\end{bmatrix}$이므로 $a=1$
$a+d=1+2=3$

• 값 4는 출력 행렬을 거꾸로 읽어 $a=2$로 본 경우($c+d$)다.
• 값 5는 $d$ 자리에 상수항 계수 $f=4$를 넣은 경우($a+f$)다.
• 값 6은 출력 행렬을 거꾸로 읽고 $d$ 자리에 $f$까지 넣은, 두 오류가 겹친 경우($c+f$)다.

적합한 변환 행렬은 $P=\begin{bmatrix}1 & 1\\-1 & -2\end{bmatrix}$이다.

$x=Pz$이면 $\dot{z}=P^{-1}APz+P^{-1}Bu$, $y=CPz$이다. (나)가 대각형이므로 P의 열은 A의 고유벡터여야 한다.

$A\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}=-1\cdot\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$, $A\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2\\4\end{bmatrix}=-2\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}$
$CP=\begin{bmatrix}2 & 1\end{bmatrix}$, $P\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=B$로 (나)와 일치한다.

• $\begin{bmatrix}-1 & 0\\0 & -2\end{bmatrix}$는 고유벡터 행렬이 아니라서 $P^{-1}AP$가 대각형이 되지 않고 $CP=\begin{bmatrix}-3 & -2\end{bmatrix}$이다.
• $\begin{bmatrix}-2 & 0\\0 & -1\end{bmatrix}$도 같은 이유로 대각화되지 않고 $CP=\begin{bmatrix}-6 & -1\end{bmatrix}$이다.
• $\begin{bmatrix}1 & 1\\-2 & -1\end{bmatrix}$는 고유벡터의 순서가 바뀌어 대각 원소가 $-2,\ -1$ 순이 되고, $CP=\begin{bmatrix}1 & 2\end{bmatrix}$로 출력 행렬도 맞지 않는다.

임계 안정일 때 진동하는 양의 주파수는 $\sqrt{5}$[rad/sec]이다.

특성방정식: $(s+1)^2(s+2)+K=s^3+4s^2+5s+(2+K)=0$
Routh $s^1$ 행: $\dfrac{4\cdot5-(2+K)}{4}=0$에서 $K=18$

보조방정식 $4s^2+(2+K)=4s^2+20=0$에서 $s=\pm j\sqrt{5}$, 즉 $\omega=\sqrt{5}$이다. $s=j\omega$ 대입 시 허수부 $\omega(5-\omega^2)=0$과도 같다.

• $\omega=1$이면 허수부 $1\cdot(5-1)=4\ne0$이다.
• $\omega=\sqrt{2}$이면 허수부 $\sqrt{2}(5-2)\ne0$이다.
• $\omega=4$이면 허수부 $4(5-16)\ne0$이다.

Routh 판별로 얻은 안정 범위는 $-2\lt K\lt 0$이다.

전향 $\dfrac{K}{s}$, 피드백 $\dfrac{s-1}{s^2+2s+3}$이므로 특성방정식은 $s(s^2+2s+3)+K(s-1)=s^3+2s^2+(3+K)s-K=0$이다.

Routh 배열 첫 열 $1,\ 2,\ \dfrac{6+3K}{2},\ -K$가 모두 양수여야 하므로 $K\lt 0$이고 $K\gt -2$이다.

• $K\lt -2$: 첫 열 셋째 원소 $\dfrac{6+3K}{2}$가 음수가 되어 불안정하다.
• $0\lt K\lt 2$: 상수항 $-K$가 음수라 불안정하다.
• $K\gt 2$: 마찬가지로 상수항 $-K$가 음수라 불안정하다.

진상보상기의 위상은 $\omega_m=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$에서 최대이고 그 값은 $\phi_m=30^\circ$이다.

보상기 $K\dfrac{3s+1}{s+1}$의 영점 절점은 $\dfrac{1}{3}$, 극점 절점은 1이며, 최대 위상 주파수는 두 절점의 기하평균 $\omega_m=\sqrt{\dfrac{1}{3}\cdot 1}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$이다.

위상은 $\phi_m=\tan^{-1}(3\omega_m)-\tan^{-1}\omega_m=\tan^{-1}\sqrt{3}-\tan^{-1}\dfrac{1}{\sqrt{3}}=60^\circ-30^\circ=30^\circ$이다.

• $\omega_m=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$, $\phi_m=45$: 주파수는 맞지만 이 주파수에서 위상은 30°이다.
• $\omega_m=\sqrt{3}$, $\phi_m=30$: $\sqrt{3}$은 기하평균이 아니며 이 주파수의 위상은 약 19°에 그친다.
• $\omega_m=\sqrt{3}$, $\phi_m=45$: 주파수와 위상 모두 맞지 않는다.

이득여유 20dB가 되는 이득은 $K=2$이다.

개루프 $G(s)H(s)=\dfrac{K}{s(s+1)(s+4)}$의 위상 교차 주파수는 $\tan^{-1}\omega+\tan^{-1}\dfrac{\omega}{4}=90^\circ$, 즉 $\omega\cdot\dfrac{\omega}{4}=1$에서 $\omega=2$이다.

이때 $|GH|=\dfrac{K}{2\sqrt{5}\sqrt{20}}=\dfrac{K}{20}$이고, 이득여유 20dB는 $|GH|=0.1$을 뜻하므로 $K=2$이다.

• $K=1$: $|GH|=0.05$로 이득여유가 약 26dB이다.
• $K=3$: $|GH|=0.15$로 이득여유가 약 16.5dB이다.
• $K=4$: $|GH|=0.2$로 이득여유가 약 14dB이다.

$\omega=10$[rad/sec]에서 위상이 0°라는 설명이 옳지 않다. 점근 위상은 45°이다.

크기 선도는 1에서 +20dB/dec(영점), 10에서 기울기 0(극점), 100에서 -40dB/dec(이중 극점)으로 꺾이므로 최소위상 $G(s)=\dfrac{s+1}{\left(\frac{s}{10}+1\right)\left(\frac{s}{100}+1\right)^2}$ 꼴이다.

점근 위상은 절점 $\omega_c$마다 $0.1\omega_c$에서 $10\omega_c$까지 직선으로 변한다(1차 요소당 90°). $\omega=10$에서는 영점 +90°, 극점 -45°, 이중 극점 0°로 합이 45°이다.

• $\omega=1$에서 45°: 영점만 절반(+45°) 기여하고 나머지 극점은 아직 0°이므로 옳다.
• $\omega=100$에서 -90°: 영점 +90°, 극점 -90°, 이중 극점 -90°의 합이므로 옳다.
• $\omega=1000$에서 -180°: 영점 +90°, 극점 -90°, 이중 극점 -180°의 합이므로 옳다.

단위 계단 입력에서 정상상태 오차가 0이 되려면 $N=10$이어야 한다.

상태 궤환 후 $\dot{x}=(A-BK)x+BNr$이고 $A-BK=\begin{bmatrix}0&1\\-10&-6\end{bmatrix}$이므로 폐루프 전달함수는 $\dfrac{Y(s)}{R(s)}=\dfrac{N}{s^2+6s+10}$이다.

최종값 정리로 계단 응답의 정상값은 $\dfrac{N}{10}$이고, 이것이 1이어야 하므로 $N=10$이다.

• $N=5$: 정상값 0.5로 오차 0.5가 남는다.
• $N=15$: 정상값 1.5로 오차 -0.5가 남는다.
• $N=20$: 정상값 2로 오차 -1이 남는다.

제어기·관측기 극점 조건을 맞추면 $a=3$, $b=3$이다.

제어기: $A-BK=\begin{bmatrix}0&1\\-8&-1-a\end{bmatrix}$의 특성식 $s^2+(1+a)s+8$을 목표 $(s+2)^2+4=s^2+4s+8$과 맞추면 $a=3$이다.