24년 1회차

정지 상태이므로 두 물체의 빗면 방향 중력 성분이 줄의 장력으로 같아지고, 질량비는 $\sqrt{3}$이다.

장력을 $T$라 하면 $T=m_{\mathrm{A}}g\sin60^\circ=m_{\mathrm{B}}g\sin30^\circ$
$\dfrac{m_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{A}}}=\dfrac{\sin60^\circ}{\sin30^\circ}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}$

완만한 빗면 위의 B가 더 무거워야 균형을 이룬다.

• $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$: 사인 비를 뒤집어 $m_{\mathrm{A}}/m_{\mathrm{B}}$를 구한 값이다.
• $\dfrac{1}{2}$: 한쪽 빗면의 사인값만 쓴 값으로 두 힘의 평형을 반영하지 못한다.
• 2: $1/\sin30^\circ$만 쓴 값으로 60° 빗면 쪽 성분이 빠졌다.

진동수 $4f_0$에서 광전자의 최대 속력은 $\sqrt{3}v$이다.

문턱 진동수가 $f_0$이므로 일함수는 $W=hf_0$이다(광전 방정식).
$2f_0$: $\dfrac{1}{2}mv^2=h(2f_0)-hf_0=hf_0$

$4f_0$: $\dfrac{1}{2}mv'^2=h(4f_0)-hf_0=3hf_0$
운동에너지가 3배이므로 $v'=\sqrt{3}v$이다.

• 속력이 $v$ 그대로라는 것은 진동수 증가로 늘어난 광자 에너지를 무시한 것이다.
• $\sqrt{2}v$는 일함수를 빼지 않고 운동에너지가 진동수에 비례한다고 본 결과이다.
• $2v$는 속력이 진동수에 비례한다고 본 오류로, 운동에너지는 속력의 제곱에 비례한다.

옳지 않은 것은 추의 크기가 진동 주기에 영향을 주지 않는다는 설명이다.

크기가 있는 추는 물리진자이므로 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{I}{mgL}}$, $I=mL^2+I_{\mathrm{cm}}$이다. 추가 커지면 질량중심 둘레 관성모멘트 $I_{\mathrm{cm}}$가 커져 같은 $L$에서도 주기가 길어진다.

• 길이 $L$ 증가: 주기는 대략 $\sqrt{L}$에 비례해 늘어나므로 옳다.
• 순항 중인 비행기: 등속 비행하는 기내는 관성계이고, 고도가 높아 중력가속도가 약간 작으므로 주기가 미세하게 길어 옳다.
• 최저점의 운동에너지: 위치에너지가 최소인 지점이므로 역학적 에너지 보존에 따라 운동에너지가 최대여서 옳다.

평형 상태에서 알루미늄 용기의 온도는 90 °C이다.

물의 비열을 $4c$, 알루미늄을 $c$라 하고 열량 보존(잃은 열 = 얻은 열)을 쓴다.
$2.0\times4c\times(100-T)=1.0\times c\times(T-10)$

$800-8T=T-10$
$T=90\ ^{\circ}\mathrm{C}$

• 20 °C는 열용량이 8배 큰 물이 대부분의 온도를 유지한다는 점에 어긋난다.
• 40 °C 역시 물이 너무 많이 식은 값으로 열량 보존을 만족하지 않는다.
• 113 °C는 끓는 물(100 °C)보다 높아 열평형 결과가 될 수 없다.

등속 운동 조건에서 운동 마찰계수는 0.4임을 알 수 있다.

등속이면 알짜힘이 0이므로 운동 마찰력은 80 N이다.
$\mu_k=\dfrac{80}{20\times10}=0.4$

반면 최대 정지 마찰력은 60 N 이상, 120 N 미만이라는 범위만 알 수 있어 $0.3\le\mu_s\lt 0.6$으로 하나로 정해지지 않는다.

• 정지 마찰계수 0.3: 60 N에서 멈춰 있었다는 사실은 하한만 줄 뿐 0.3으로 확정할 수 없다.
• 정지 마찰계수 0.6: 120 N에서 움직였으므로 최대 정지 마찰력은 120 N보다 작고, 계수도 0.6보다 작다.
• 정지 마찰력 120 N: 정지 마찰력은 가한 힘에 따라 달라지며(60 N일 때 60 N), 120 N에서는 이미 미끄러진다.

앞으로 방출할 알파선 입자 수는 약 $10\times10^{8}$개이다.

4일은 반감기의 절반이므로 남은 비율은 $2^{-1/2}\approx0.707$이다.
$N_0(1-0.707)=4\times10^{8}$
$N_0\approx1.37\times10^{9}$

남은 핵이 모두 붕괴하며 방출할 수:
$0.707N_0\approx9.7\times10^{8}\approx10\times10^{8}$

• $6\times10^{8}$: 남은 핵은 이미 붕괴한 수의 약 2.4배인데 그보다 훨씬 작다.
• $14\times10^{8}$: 처음 원자핵 전체 수에 해당해 이미 붕괴한 몫을 빼지 않은 값이다.
• $23\times10^{8}$: 처음 존재한 원자핵 수보다도 많아 불가능하다.

열펌프가 매초 내부에 공급하는 열량은 1.8 kJ이다.

절대온도로 $T_H=300\ \mathrm{K}$, $T_C=250\ \mathrm{K}$이다.
카르노 열펌프의 성능계수 $K=\dfrac{T_H}{T_H-T_C}=\dfrac{300}{50}=6$

$Q_H=K\times W=6\times300=1800\ \mathrm{J}=1.8\ \mathrm{kJ}$

• 0.2 kJ: 가한 일 0.3 kJ보다 작아 $Q_H=W+Q_C$에 어긋난다.
• 0.5 kJ: 성능계수 약 1.7에 해당해 카르노 열펌프의 값 6과 맞지 않는다.
• 1.5 kJ: 외부에서 흡수한 열 $Q_C=Q_H-W$로, 내부 공급량이 아니다.

축전기 에너지의 증가량은 $\dfrac{Q^2}{2C}$이다.

절연 상태라 전하량 $Q$가 일정하고, 간격이 2배가 되면 $C'=\dfrac{C}{2}$이다.

$U_i=\dfrac{Q^2}{2C}$, $U_f=\dfrac{Q^2}{2C'}=\dfrac{Q^2}{C}$
$\Delta U=\dfrac{Q^2}{C}-\dfrac{Q^2}{2C}=\dfrac{Q^2}{2C}$

• $\dfrac{Q^2}{4C}$: 나중 에너지를 처음의 1.5배로 본 셈으로, 전하 일정일 때 에너지가 간격에 비례해 2배가 된다는 점과 맞지 않는다.
• $\dfrac{Q^2}{C}$: 나중 에너지 자체로, 처음 에너지를 빼지 않은 값이다.
• $\dfrac{2Q^2}{C}$: 처음 에너지의 4배만큼 늘어난 값으로, 간격 2배에 대해 지나치게 크다.

등압과정에 필요한 열은 8 kJ이다.

헬륨은 단원자 기체이므로 정압 몰비열 $C_p=\dfrac{5}{2}R$이다.

$Q=nC_p\Delta T=2.0\times\dfrac{5}{2}\times8\times200$
$Q=8000\ \mathrm{J}=8\ \mathrm{kJ}$

• 5 kJ: 정적 몰비열($\tfrac{3}{2}R$, 4.8 kJ)에 가까운 값으로, 등압 팽창 시 기체가 한 일을 빠뜨렸다.
• 10 kJ: 단원자 기체의 정압 몰비열보다 큰 비열을 쓴 값이다.
• 16 kJ: $\tfrac{5}{2}R$ 대신 $5R$를 곱한 값으로 2배 과대하다.

적합하지 않은 것은 전체 일률이 1/20 이하가 된다는 설명이다.

슈테판-볼츠만 법칙에서 $P\propto T^4$이므로 온도가 절반이면 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^4=\dfrac{1}{16}$로, 1/20보다 크다.

• 최대 세기 파장 1000 nm: 빈 변위 법칙 $\lambda_{\max}T=\mathrm{const}$에 따라 온도가 절반이면 파장은 2배가 된다.
• 400 nm 성분 세기 감소: 플랑크 분포는 온도가 낮아지면 모든 파장에서 세기가 줄어든다.
• 연속 스펙트럼: 흑체 복사는 온도와 관계없이 연속 스펙트럼이다.

영희의 이동 변위 크기는 10 m이다.

외력이 없으므로 질량중심이 정지한 채 유지되고, 두 사람은 질량중심에서 만난다.

영희 질량 $m$, 철수 $2m$일 때 영희에서 질량중심까지:
$15\times\dfrac{2m}{3m}=10\ \mathrm{m}$

• 5 m: 철수의 이동 거리이다.
• 2 m: 철수가 13 m를 움직인 셈이 되어 이동 거리 비(영희:철수 = 2:1)를 만족하지 않는다.
• 8 m: 철수가 7 m를 움직인 셈으로 역시 2:1이 아니다.

옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.

가속도 그래프의 넓이로 속도를 구하면 $t=4\,\mathrm{s}$에 $4\,\mathrm{m/s}$, 4~6 s 동안 유지, $t=8\,\mathrm{s}$에 $-4\,\mathrm{m/s}$, $t=12\,\mathrm{s}$에 $4\,\mathrm{m/s}$이다. 속도는 $t=7\,\mathrm{s}$와 $t=10\,\mathrm{s}$에서 0이 되며 부호가 바뀐다.

구간별 이동 거리는 8, 8, 2, 2, 4, 4 m로 합이 28 m이고, 변위는 $t=7\,\mathrm{s}$에 18 m로 최대이다($t=10\,\mathrm{s}$에 12 m, $t=12\,\mathrm{s}$에 16 m).

• ㄱ: 0~4 s는 가속도 $1\,\mathrm{m/s^2}$의 등가속도 운동이므로 틀리다.
• ㄴ: 운동 방향이 7 s와 10 s에 두 번 바뀌므로 옳다.
• ㄷ: 총 이동 거리 28 m는 26 m보다 길므로 옳다.
• ㄹ: 출발점에서 가장 먼 위치는 7 s일 때 18 m이므로 옳다.

옳지 않은 것은 고리에 $y$축 방향의 자기력이 작용한다는 설명이다. 유도 전류는 선속 감소를 막으려 하므로 고리는 직선 도선 쪽($-y$ 방향)으로 끌린다.

$+x$ 방향 전류는 고리 위치($+y$ 쪽)에 $+z$ 방향 자기장을 만든다. 전류가 줄면 이 선속이 줄어들므로 렌츠 법칙에 따라 $+z$ 방향 자기장을 보강하는 반시계 방향 전류가 유도된다.

도선에 가까운 변에는 직선 도선과 같은 방향 전류가 흘러 인력을, 먼 변에는 반대 방향 전류가 흘러 척력을 받는데, 가까운 변의 자기장이 더 강해 합력은 도선 쪽이다.

• 자기선속 감소: 전류가 줄면 자기장도 약해져 선속 크기가 감소하므로 옳다.
• 반시계 방향 유도 전류: 위의 렌츠 법칙 분석대로 옳다.
• $yz$평면에 평행한 고리: 자기장이 $x$축을 감싸는 원 방향이라 고리 면과 나란하므로 관통 선속이 0이고 유도 전류도 0이어서 옳다.

옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

코사인은 짝함수이므로 $\Psi_{\mathrm{Q}}=2A\cos(2kx+3\omega t)$로, 파수 $2k$, 각진동수 $3\omega$이며 −x 방향으로 진행한다.

진행 속력 $v=\dfrac{\omega}{k}$이므로 Q는 $\dfrac{3\omega}{2k}=1.5\times\dfrac{\omega}{k}$이다.

• ㄱ(옳음): 진폭은 $2A$와 $A$로 Q가 2배이다.
• ㄴ(틀림): $\lambda=\dfrac{2\pi}{k}$이고 파수가 2배이므로 Q의 파장은 P의 절반이다.
• ㄷ(옳음): 진행 속력은 Q가 P의 1.5배이다.
• ㄹ(틀림): P는 +x, Q는 −x 방향으로 진행 방향이 반대이다.

투과광 세기가 최대가 되는 파장은 200 nm이다.

공기(1.0)→박막(1.5)→기판(2.0)으로 굴절률이 차례로 커져 두 반사면 모두 반파장 위상 반전이 생기므로, 반사가 상쇄(투과 최대)되는 조건은 $2nd=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)\lambda$이다.

$2nd=2\times1.5\times100=300\ \mathrm{nm}$
$\lambda=\dfrac{300}{m+1/2}=600,\ 200,\ 120,\ \ldots\ \mathrm{nm}$

• 300 nm: $2nd=\lambda$로 반사가 보강되어 투과광은 오히려 최소가 된다.
• 400 nm: $300/400=0.75$로 반정수 조건을 만족하지 않는다.
• 500 nm: $300/500=0.6$으로 역시 조건을 만족하지 않는다.

세기가 0인 띠의 배열 주기는 1.2 mm이다.

세기가 0이려면 두 파장이 동시에 어두운 무늬여야 한다. 어두운 무늬 위치는 $y=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)\dfrac{\lambda L}{d}$이다.

200 nm: 간격 $\dfrac{(200\times10^{-9})(2.0)}{1.0\times10^{-3}}=0.4\ \mathrm{mm}$ → 0.2, 0.6, 1.0, 1.4, 1.8 mm …
600 nm: 간격 1.2 mm → 0.6, 1.8, 3.0 mm …
600 nm의 어두운 무늬는 모두 200 nm의 어두운 무늬와 겹치므로 세기 0인 띠는 1.2 mm마다 나타난다.

• 0.4 mm: 200 nm 성분만의 간격으로, 그 사이 일부 위치에서는 600 nm 빛이 밝게 남는다.
• 0.6 mm: 600 nm 무늬 간격의 절반으로 어두운 무늬가 겹치는 주기가 아니다.
• 0.8 mm: 0.4 mm의 2배일 뿐 600 nm의 어두운 무늬 배열과 일치하지 않는다.

두 물체의 질량을 힘과 가속도로 나타내 합치면 $a=3\left(\dfrac{a_1a_2}{2a_1+a_2}\right)$이다.

$m_{\mathrm{A}}=\dfrac{F}{a_1}$, $m_{\mathrm{B}}=\dfrac{2F}{a_2}$
$a=\dfrac{3F}{m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}}}=\dfrac{3F}{\dfrac{F}{a_1}+\dfrac{2F}{a_2}}=\dfrac{3a_1a_2}{2a_1+a_2}$

검산: $a_1=a_2$이면 B가 A의 2배 질량이므로 $a=\dfrac{3F}{3m_{\mathrm{A}}}=a_1$이 되어야 하고, 위 식이 이를 만족한다. 다른 식은 단위나 이 검산에서 어긋난다.

• $a=2\left(\dfrac{a_1a_2}{3a_1+a_2}\right)$: $a_1=a_2$일 때 $a_1/2$가 되어 맞지 않다.
• $a=2\left(\dfrac{3a_1+a_2}{a_1a_2}\right)$: 단위가 가속도의 역수가 되어 성립하지 않는다.
• $a=3\left(\dfrac{2a_1+a_2}{a_1a_2}\right)$: 올바른 식의 분수가 뒤집혀 단위가 가속도의 역수가 된다.

바퀴의 회전 운동 방정식으로 장력을 구하면 물체의 질량은 1 kg이다.

$I=10\,\mathrm{g\cdot m^2}=0.01\,\mathrm{kg\cdot m^2}$, $R=0.1\,\mathrm{m}$, $\alpha=a/R$
$TR=I\dfrac{a}{R}\Rightarrow T=\dfrac{Ia}{R^2}=\dfrac{0.01\times5.0}{0.01}=5\,\mathrm{N}$

물체: $mg-T=ma\Rightarrow m(10-5.0)=5\Rightarrow m=1\,\mathrm{kg}$
관성모멘트가 직접 주어졌으므로 바퀴 질량 $M$은 계산에 쓰이지 않는다.

• 0.1 kg: $a=\dfrac{mg}{m+I/R^2}=\dfrac{1}{1.1}\approx0.9\,\mathrm{m/s^2}$로 너무 작다.
• 0.3 kg: $a=\dfrac{3}{1.3}\approx2.3\,\mathrm{m/s^2}$로 너무 작다.
• 2 kg: $a=\dfrac{20}{3}\approx6.7\,\mathrm{m/s^2}$로 너무 크다.

원점의 자기장이 45° 방향이 되려면 두 성분이 같은 크기의 양수여야 하므로 $I_1\gt 0$이고 $I_2=-2I_1$이다.

$y=d$의 도선이 원점에 만드는 자기장: $B_x=\dfrac{\mu_0I_1}{2\pi d}$
$x=2d$의 도선이 원점에 만드는 자기장: $B_y=-\dfrac{\mu_0I_2}{2\pi(2d)}$

제1사분면 45°이면 $B_x=B_y\gt 0$
$\dfrac{\mu_0I_1}{2\pi d}=-\dfrac{\mu_0I_2}{4\pi d}\Rightarrow I_2=-2I_1$이고 $B_x\gt 0$에서 $I_1\gt 0$이다.

• $I_2=-4I_1$: 거리가 $2d$로 두 배이므로 계수는 2여야 해서 틀리다.
• $I_2=4I_1$: $B_y$가 음이 되어 제4사분면 방향이 되므로 틀리다.
• $I_1\lt 0$, $I_2=2I_1$: $B_x$는 음, $B_y$는 양이 되어 135° 방향이 되므로 틀리다.

옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.

스위치가 $a$에 있으면 $E$–$R_1$–$C$ 회로로 충전되고, $b$에 있으면 $C$가 $R_2$를 통해 방전된다. 그래프에서 $t=2$에 충전이 시작되어 6에 수렴하고, $t=10$부터 방전된다.

시정수 $\tau=RC$이므로 저항비는 곡선의 느리기 비와 같다. 전압이 절반(3)에 이르는 시간이 충전 때 약 1, 방전 때 약 2이므로 $R_2$는 $R_1$의 약 2배이다.

• ㄱ: $t=2$에 충전이 시작되므로 $b$에서 $a$로 전환된 것이 옳다.
• ㄴ: 방전 중 $R_2$의 전압은 $V_C$와 같고 $t=12$에 약 3이므로 2 이상이 옳다.
• ㄷ: 방전 시정수가 충전 시정수의 약 2배이므로 3배 이상은 틀리다.
• ㄹ: 충분히 충전된 $V_C$가 6에 수렴하므로 $E=6$이 옳다.

렌즈 공식으로 초점거리를 구하면 격자 6칸이므로 초점의 위치는 D이다.

격자 한 칸을 1로 두면 물체는 렌즈 왼쪽 3칸(높이 2), 상은 같은 쪽 6칸(높이 4)에 생긴 정립 허상이다. 배율 2가 $|b|/a=6/3$과 일치한다.

$\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{6}\Rightarrow f=6$
렌즈 오른쪽 6칸 지점이 초점이다.

• A(3칸): $f=3$이면 물체가 초점 위에 놓여 상이 생기지 않는다.
• B(4칸): $f=4$이면 $b=-12$로 상이 12칸 거리, 배율 4가 된다.
• C(5칸): $f=5$이면 $b=-7.5$로 그림의 상 위치·크기와 다르다.

최고점에서도 줄이 팽팽하려면 $v_0\ge\sqrt{5gL}$이어야 한다.

최고점에서 장력이 0 이상이려면 구심력이 중력 이상이어야 한다.
$\dfrac{mv_{\mathrm{top}}^2}{L}\ge mg\Rightarrow v_{\mathrm{top}}^2\ge gL$

최저점에서 최고점까지 높이 $2L$, 역학적 에너지 보존:
$v_0^2=v_{\mathrm{top}}^2+2g(2L)\ge gL+4gL=5gL$

• $\sqrt{2gL}$: 줄이 수평이 되는 높이 $L$까지만 오를 수 있는 속력이다.
• $\sqrt{3gL}$: 최고점에 이르기 전에 줄이 느슨해져 원운동이 끊긴다.
• $2\sqrt{gL}$: 최고점 속력이 0이 되는 조건으로, 줄은 최고점 전에 느슨해진다.

흡수될 수 있는 전자기파의 파장은 $\dfrac{hc}{21E_1}$이다.

무한 퍼텐셜 우물의 준위는 $E_n=n^2E_1$이고, 첫 번째 들뜬상태는 $n=2$($4E_1$)이다. 흡수는 더 높은 준위로의 전이만 가능하다.

$\Delta E=(n^2-4)E_1=5E_1,\ 12E_1,\ 21E_1,\ \ldots$
$n=2\to5$ 전이: $\lambda=\dfrac{hc}{21E_1}$

• $\dfrac{hc}{3E_1}$: $n=2\to1$ 전이 에너지로, 바닥상태로 내려가며 방출하는 빛이다.
• $\dfrac{5E_1}{hc}$: 에너지를 $hc$로 나눈 값은 길이의 역수 차원이라 파장이 될 수 없다.
• $\dfrac{14E_1}{hc}$: 차원이 맞지 않고 $14E_1$에 해당하는 준위 간격도 없다.

옳지 않은 것은 B→C 과정에서 $W$의 크기가 $\Delta U$의 크기보다 크다는 설명이다. B→C는 단열과정이어서 $Q=0$, $W=-\Delta U$로 두 크기가 같다.

온도: $T_{\mathrm{A}}=T_0$, $T_{\mathrm{B}}=2T_0$(압력 같고 부피 2배), $T_{\mathrm{C}}=\dfrac{1}{5}\times5\,T_0=T_0$. A→B는 등압, C와 A의 온도가 같으므로 C→A는 등온이고, 남은 B→C 곡선이 단열과정이다.

• A→B 온도 변화량: $T_0$에서 $2T_0$로 $T_0$만큼 변하므로 옳다.
• C→A 일: 등온 압축 $W=nRT_0\ln\dfrac{V_0}{5V_0}=-P_0V_0\ln5$이므로 옳다.
• 순환 전체 일: P–V 그래프에서 시계 방향 순환이므로 알짜 일이 양수여서 옳다.

저항 $R_5$에는 30 mA의 전류가 흐른다.

회로가 위아래로 대칭이라 같은 열의 위·아래 마디 전위가 같으므로 세로 저항 $R_9$, $R_{10}$에는 전류가 흐르지 않는다.

$R_1\parallel R_2=50\,\Omega$, 위 경로 $R_3+R_5+R_7=300\,\Omega$와 아래 경로 $300\,\Omega$의 병렬 $150\,\Omega$
$R=50+150=200\,\Omega$, $I=\dfrac{12}{200}=0.06\,\mathrm{A}=60\,\mathrm{mA}$
위아래로 반씩 나뉘어 $R_5$에는 $30\,\mathrm{mA}$가 흐른다.

• 12 mA: 10개를 모두 직렬($1000\,\Omega$)로 본 값이다.
• 24 mA: 이 경우 A–B 전압이 $50\times0.048+300\times0.024=9.6\,\mathrm{V}$로 12 V와 맞지 않다.
• 48 mA: 위 경로 $300\,\Omega$에만 $14.4\,\mathrm{V}$가 걸려 전원 전압을 넘는다.