24년 1회차

최소 펀칭력은 120 kN이다. 펀칭 시 뽑혀 나가는 원의 둘레 측면 전체가 전단면이 된다.

전단면적: $A=\pi d t=3\times100\times2=600\ \mathrm{mm^2}$
펀칭력: $F=\tau A=200\times600=120{,}000\ \mathrm{N}=120\ \mathrm{kN}$

• 120,000: N 단위 값을 그대로 쓴 것으로 kN 환산이 빠졌다.
• 150 및 150,000: 전단면적이나 강도 대입을 잘못한 값으로 위 계산과 맞지 않는다.

ㄱ과 ㄹ이 모두 억지 끼워맞춤으로 같은 종류이다. 축의 최소 치수가 구멍의 최대 치수보다 크면 항상 죔새가 생긴다.

ㄱ: 축 48.2~48.3, 구멍 47.9~48.0 → 축이 항상 크다.
ㄹ: 축 19.99~20.15, 구멍 19.95~19.98 → 축 최소 19.99 > 구멍 최대 19.98 이다.

• ㄴ: 축 34.9~35.0, 구멍 35.1~35.2 로 구멍이 항상 커서 헐거운 끼워맞춤이다.
• ㄷ: 축 44.85~45.15, 구멍 44.95~45.25 로 틈새와 죔새가 모두 생길 수 있는 중간 끼워맞춤이다.

고정 커플링은 플랜지 커플링과 클램프 커플링이다. 두 축을 일직선상에 완전히 고정해 한 몸처럼 회전시킨다.

고정 커플링에는 원통형(머프·클램프 등)과 플랜지형이 있으며, 축 사이의 어긋남을 허용하지 않는다.

• 유니버설 커플링: 두 축이 일정 각도로 교차할 때 쓰는 자재이음이다.
• 기어 커플링: 내·외치 기어의 물림으로 약간의 편심·각 어긋남을 흡수하는 플렉시블 커플링이다.

원뿔키는 편심이 거의 없다는 것이 특징이므로 편심이 크다는 설명이 옳지 않다.

원뿔키는 축과 보스 사이에 갈라진 원뿔통을 박아 넣어 둘레 전체를 고르게 죄므로 중심이 잘 맞는다.

• 키홈 가공: 축과 보스 모두에 키홈을 파지 않는다.
• 전달 방식: 원뿔면의 마찰력만으로 회전력을 전달한다.
• 고정 위치: 키홈이 없으므로 보스를 축의 임의 위치에 고정할 수 있다.

키의 최소 측면적은 $\dfrac{\pi d^2}{8}$이다.

축의 허용 최대토크는 $T=\dfrac{\pi d^3}{16}\tau$이고, 키에 작용하는 접선력은 $F=\dfrac{2T}{d}$이다.

키 홈 깊이가 $\dfrac{h}{2}$이므로 압축 접촉면적은 $\dfrac{h}{2}l$이다.
$\sigma_c=\dfrac{F}{hl/2}=\dfrac{4T}{dhl}$

대입하면 $hl=\dfrac{4T}{d\sigma_c}=\dfrac{4}{d\cdot 2\tau}\cdot\dfrac{\pi d^3\tau}{16}=\dfrac{\pi d^2}{8}$이다.

• $\dfrac{\pi d^2}{2}$: 필요한 최소 면적의 4배로, 최소 측면적이 아니다.
• $\dfrac{\pi d^2}{4}$: 허용압축응력을 $\sigma_c=2\tau$가 아니라 $\tau$로 놓은 값이다.
• $\dfrac{\pi d^2}{16}$: 압축 접촉 높이를 $\dfrac{h}{2}$가 아니라 $h$ 전체로 본 값이다.

원동축의 최소 축방향 하중은 $\dfrac{4{,}000}{\sqrt{13}}\ \mathrm{N}$이다. 마찰 전달에 필요한 수직력에 원동차 꼭지각 반각의 사인을 곱한다.

축각 90°에서 $\tan\alpha_1=\dfrac{D_1}{D_2}=\dfrac{2}{3}$ → $\sin\alpha_1=\dfrac{2}{\sqrt{13}}$
원주속도: $v=\dfrac{\pi D_1 N_1}{60{,}000}=\dfrac{3\times120\times1{,}000}{60{,}000}=6\ \mathrm{m/s}$

회전력: $F=\dfrac{1{,}200}{6}=200\ \mathrm{N}$, 수직력: $Q=\dfrac{F}{\mu}=2{,}000\ \mathrm{N}$
축방향 하중: $Q\sin\alpha_1=2{,}000\times\dfrac{2}{\sqrt{13}}=\dfrac{4{,}000}{\sqrt{13}}\ \mathrm{N}$

• $\dfrac{1{,}000}{\sqrt{13}}$, $\dfrac{2{,}000}{\sqrt{13}}$, $\dfrac{3{,}000}{\sqrt{13}}$: 수직력이나 반각의 사인 대입을 잘못한 값으로 위 계산과 맞지 않는다.
• 종동차 쪽 각($\cos\alpha_1=\dfrac{3}{\sqrt{13}}$)을 잘못 쓰면 $\dfrac{6{,}000}{\sqrt{13}}$이 되어 어느 값과도 맞지 않는다.

리벳 효율은 $\dfrac{1.8\pi d^2\tau}{4pt\sigma}$이다.

리벳 효율은 한 피치당 리벳의 전단강도를 구멍 없는 판의 인장강도로 나눈 값이다.
$\eta=\dfrac{f_s\cdot\frac{\pi d^2}{4}\tau}{pt\sigma}$

양쪽 덮개판 맞대기이음은 리벳 한 개가 두 면에서 전단되는 복 전단면이므로 $f_s=1.8$을 대입한다.

• $\dfrac{p-d}{p}$: 리벳 효율이 아니라 판의 효율이다.
• $\dfrac{\pi d^2\tau}{4pt\sigma}$: 단일 전단면(겹치기이음)일 때의 리벳 효율이다.
• $\dfrac{1.8\pi d^2\sigma}{4pt\tau}$: 리벳의 전단응력과 판의 인장응력 위치가 뒤바뀌었다.

너트의 최소 높이는 25 mm이다. 접촉면압으로 필요한 나사산 수를 구한 뒤 피치를 곱한다.

나사산 수: $n=\dfrac{Q}{\pi d_2 h q}=\dfrac{15{,}000}{3\times40\times2.5\times10}=5$
너트 높이: $H=np=5\times5=25\ \mathrm{mm}$

• 12.5: 피치 대신 나사산 높이를 곱한 값이다.
• 50, 75: 나사산 수나 피치를 과대 적용한 값으로 위 계산과 맞지 않는다.

축 전체의 위험속도는 $600\sqrt5\ \mathrm{rpm}$이다. 던커레이 식은 각 하중별 위험속도의 제곱 역수의 합으로 전체를 구한다.

자중만: $N_0=\dfrac{30}{\pi}\sqrt{\dfrac{g}{\delta_0}}=10\sqrt{\dfrac{9}{0.0001}}=3{,}000\ \mathrm{rpm}$
풀리만: $N_1=10\sqrt{\dfrac{9}{0.0004}}=1{,}500\ \mathrm{rpm}$

$\dfrac{1}{N_c^2}=\dfrac{1}{3{,}000^2}+\dfrac{1}{1{,}500^2}=\dfrac{5}{3{,}000^2}$ → $N_c=\dfrac{3{,}000}{\sqrt5}=600\sqrt5\ \mathrm{rpm}$

• 600: $\sqrt5$로 한 번 더 나눈 값이다.
• 1,000 및 $1{,}000\sqrt5$: 처짐 단위(mm→m) 환산이나 합성식을 잘못 적용한 값이다.

최대 전달토크는 $5{,}000\pi^2\ \mathrm{N\cdot mm}$이다. 비틀림각 식 $\theta=\dfrac{TL}{GJ}$에서 각도를 라디안으로 바꿔 대입한다.

$\theta=2^\circ=\dfrac{\pi}{90}\ \mathrm{rad}$, $J=\dfrac{\pi d^4}{32}=\dfrac{\pi\times20^4}{32}=5{,}000\pi\ \mathrm{mm^4}$

$T=\dfrac{\theta GJ}{L}=\dfrac{\frac{\pi}{90}\times180{,}000\times5{,}000\pi}{2{,}000}=5{,}000\pi^2\ \mathrm{N\cdot mm}$

• $1{,}250\pi^2$, $2{,}500\pi^2$: 극단면 2차 모멘트 계수(32)나 각도 환산을 잘못한 값이다.
• $7{,}250\pi^2$: 위 식으로 나올 수 없는 값이다.

기어의 회전력은 10 kN이다. 중심거리와 속도비로 기어의 피치원 지름을 구한 뒤 원주속도로 동력을 나눈다.

속도비 5 이므로 $D_2=5D_1$, $\dfrac{D_1+D_2}{2}=180$ → $D_1=60\ \mathrm{mm}$, $D_2=300\ \mathrm{mm}$

$v=\dfrac{\pi D_2 N_2}{60{,}000}=\dfrac{3\times300\times300}{60{,}000}=4.5\ \mathrm{m/s}$
$F=\dfrac{45{,}000}{4.5}=10{,}000\ \mathrm{N}=10\ \mathrm{kN}$

• 15, 20, 25: 중심거리를 지름의 합으로 보거나 속도비를 잘못 적용한 값이다.
• 기어와 피니언은 원주속도와 회전력이 같으므로 어느 쪽으로 계산해도 결과는 같다.

최대 평균압력은 $\dfrac{1}{6}\ \mathrm{kg_f/mm^2}$이다. 엔드 저널은 외팔보로 보고 굽힘강도로 지름을 정한 뒤 투영면적으로 압력을 구한다.

$\dfrac{Pl}{2}=\dfrac{\pi d^3}{32}\sigma_a$, $l=1.5d$ → $d^2=\dfrac{24P}{\pi\sigma_a}=\dfrac{24\times100}{3\times2}=400$ → $d=20\ \mathrm{mm}$, $l=30\ \mathrm{mm}$

$p=\dfrac{P}{dl}=\dfrac{100}{20\times30}=\dfrac{1}{6}\ \mathrm{kg_f/mm^2}$

• $\dfrac{1}{5}$, $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{3}$: 하중 작용점을 폭 끝으로 보거나 폭경비를 잘못 적용해 지름을 작게 잡은 값이다.

장력비는 2.0이다. 유효장력을 구해 이완측 장력을 얻는다.

유효장력: $T_e=\dfrac{P}{v}=\dfrac{6{,}000}{6}=1{,}000\ \mathrm{N}$
이완측 장력: $T_s=T_t-T_e=2{,}000-1{,}000=1{,}000\ \mathrm{N}$
장력비: $\dfrac{T_t}{T_s}=\dfrac{2{,}000}{1{,}000}=2.0$

• 1.5, 1.6, 1.8: 유효장력을 이완측 장력과 혼동하는 등 위 관계와 맞지 않는 값이다.

피동 스프로킷의 이뿌리원 지름은 368 mm이다. 피치원 지름에서 롤러 바깥지름을 빼면 된다.

피동 잇수: $z_2=20\times\dfrac{600}{200}=60$
피치원 지름: $D=\dfrac{p}{\sin(180^\circ/z_2)}=\dfrac{19}{\sin3^\circ}=\dfrac{19}{0.05}=380\ \mathrm{mm}$

이뿌리원 지름: $D_B=D-d_r=380-12=368\ \mathrm{mm}$

• 380: 피치원 지름으로, 롤러 지름을 빼지 않았다.
• 392: 롤러 지름을 더한 값으로 이끝원 쪽 방향이다.
• 374: 롤러 지름의 절반만 뺀 값이다.

필요한 최소 단면적은 1,500 mm²이다. 긴장측 장력을 허용응력과 이음효율의 곱으로 나눈다.

긴장측 장력: $T_t=1.5\times100=150\ \mathrm{kg_f}$
단면적: $A=\dfrac{T_t}{\sigma_a\eta}=\dfrac{150}{0.2\times0.5}=1{,}500\ \mathrm{mm^2}$

• 375: 이음효율을 분자에 곱한 값이다.
• 1,000: 이완측 장력으로 계산한 값이다.
• 2,500: 장력 합을 쓴 값으로 긴장측 장력 기준이 아니다.

최대 전달토크는 6,000 kgf·mm이다. 원추면 접촉면적에 면압을 곱해 수직력을 구하고 평균반지름을 곱한다.

면압 단위: $1\ \mathrm{kg_f/cm^2}=0.01\ \mathrm{kg_f/mm^2}$
수직력: $N=q\pi D_m b=0.01\times3\times200\times25=150\ \mathrm{kg_f}$

토크: $T=\mu N\dfrac{D_m}{2}=0.4\times150\times100=6{,}000\ \mathrm{kg_f\cdot mm}$

• 3,000: 평균반지름 대신 그 절반을 쓰는 등 계수를 잘못 적용한 값이다.
• 4,000, 5,000: 마찰계수나 면적 대입이 위 계산과 맞지 않는 값이다.

중심거리는 $140\sqrt3\ \mathrm{mm}$이다. 헬리컬 기어의 피치원 지름은 치직각 모듈을 $\cos\beta$로 나눈 축직각 모듈로 구한다.

$C=\dfrac{m_n(z_1+z_2)}{2\cos\beta}=\dfrac{3\times140}{2\times\frac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{420}{\sqrt3}=140\sqrt3\ \mathrm{mm}$

• 140: 바른 값에서 $\sqrt3$을 빠뜨린 값이다.
• 280: 분모의 2와 $\sqrt3$을 함께 빠뜨린 값이다.
• $280\sqrt3$: 중심거리가 아닌 피치원 지름의 합에 해당한다.

외팔보형 판 스프링의 처짐이 $l^2$에 비례하고 $bh^2$에 반비례한다는 설명이 옳지 않다. 처짐은 $l^3$에 비례하고 $bh^3$에 반비례한다.

외팔보 처짐: $\delta=\dfrac{Pl^3}{3EI}$, $I=\dfrac{bh^3}{12}$ → $\delta=\dfrac{4Pl^3}{Ebh^3}$

• Wahl 계수: 스프링 지수가 커질수록 곡률 영향이 줄어 작아진다.
• 토션바: $k=\dfrac{GJ}{l}$이고 $J\propto d^4$이므로 $d^4$에 비례, $l$에 반비례한다.
• 압축 코일스프링: $\delta=\dfrac{8PD^3n}{Gd^4}$로 $D^3$에 비례, $d^4$에 반비례한다.

두 지름 세제곱의 차는 $\dfrac{16M}{\pi\sigma_a}$이다. 두 식의 $\sqrt{M^2+T^2}$ 항이 서로 상쇄된다.

최대주응력설: $M_e=\dfrac{M+\sqrt{M^2+T^2}}{2}$ → ${d_1}^3=\dfrac{32M_e}{\pi\sigma_a}=\dfrac{16(M+\sqrt{M^2+T^2})}{\pi\sigma_a}$
최대전단응력설: $T_e=\sqrt{M^2+T^2}$ → ${d_2}^3=\dfrac{16T_e}{\pi\tau_a}$

$\sigma_a=\tau_a$이므로 ${d_1}^3-{d_2}^3=\dfrac{16M}{\pi\sigma_a}$

• 비틀림 모멘트 $T$를 포함한 식: $T$는 근호 항 안에만 있어 차를 구하면 사라진다.
• $\dfrac{32M}{\pi\sigma_a}$: 상당 굽힘 모멘트의 1/2 계수를 빠뜨린 값이다.

설명하는 축은 스핀들이다. 공작기계 주축처럼 주로 비틀림을 받으며 치수 정밀도와 강성이 높아야 하는 짧은 회전축이다.

변형이 크면 가공 정밀도가 떨어지므로 강도뿐 아니라 처짐·비틀림 변형이 작아야 한다.

• 차축: 주로 굽힘 하중을 받으며 동력을 전달하지 않거나 적게 전달한다.
• 유연축: 축 방향을 자유롭게 바꿀 수 있는 휨성 있는 축이다.
• 크랭크축: 왕복운동과 회전운동을 상호 변환하는 축이다.

안전계수는 2.5이다. 인장과 전단이 함께 작용하므로 최대주응력을 구해 극한강도와 비교한다.

$\sigma_1=\dfrac{\sigma}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{\sigma}{2}\right)^2+\tau^2}=15+\sqrt{15^2+20^2}=15+25=40\ \mathrm{MPa}$
$S=\dfrac{100}{40}=2.5$

• 3.0, 3.5: 최대전단응력이나 인장응력만으로 계산한 경우 등 위 결과와 맞지 않는다.
• 4.0: 최대 전단응력 25 MPa 로 극한강도를 나눈 값이다.

전달력의 비는 $\dfrac{1}{\sin15^\circ+0.3\times\cos15^\circ}$이다. V홈 마찰차의 상당마찰계수에는 홈 각도의 절반을 쓴다.

상당마찰계수: $\mu'=\dfrac{\mu}{\sin\alpha+\mu\cos\alpha}$, $\alpha=15^\circ$
같은 밀어붙이는 힘 $Q$에서 $\dfrac{F_b}{F_a}=\dfrac{\mu' Q}{\mu Q}=\dfrac{1}{\sin15^\circ+0.3\cos15^\circ}$

• 30°를 쓴 식: 홈 전체 각도를 그대로 넣은 것으로 반각이 아니다.
• 분자가 0.3인 식: 비가 아니라 V홈 마찰차의 상당마찰계수 자체이다.

림의 관성모멘트는 $\dfrac{\pi b\gamma}{2g}(r_1^4-r_2^4)$이다.

반지름 $r$, 두께 $dr$인 얇은 링의 질량은 $dm=\dfrac{\gamma}{g}b\cdot 2\pi r\,dr$이다.

관성모멘트 정의 $I=\int r^2\,dm$를 $r_2$에서 $r_1$까지 적분한다.
$I=\dfrac{2\pi b\gamma}{g}\int_{r_2}^{r_1}r^3\,dr=\dfrac{\pi b\gamma}{2g}(r_1^4-r_2^4)$

• $r^3$ 차를 쓴 식들: 질량요소에 반지름을 한 번 덜 곱한 것으로, 관성모멘트의 차원(길이의 4제곱)이 맞지 않는다.
• 계수가 $3g$인 4제곱 식: 적분 계수를 잘못 적용해 $\dfrac{\pi}{2}$ 대신 $\dfrac{\pi}{3}$가 된 값이다.

지지할 수 있는 최대 하중은 4 kN이다. 발열계수 $pv$에 투영면적 기준 압력과 원주속도를 대입한다.

$p=\dfrac{P}{dl}$, $v=\dfrac{\pi dN}{60{,}000}$ → $pv=\dfrac{P\pi N}{60{,}000\,l}$

$P=\dfrac{pv\times60{,}000\,l}{\pi N}=\dfrac{1\times60{,}000\times100}{3\times500}=4{,}000\ \mathrm{N}=4\ \mathrm{kN}$

• 2: 지름이나 속도 대입을 절반으로 잘못한 값이다.
• 0.002, 0.004: m/s 와 mm 단위 환산을 빠뜨린 값이다.

반경방향 전체하중은 $1{,}000\sqrt{\dfrac{11}{10}}$ N이다.

회전력: $F_{tm}=\dfrac{P}{v}=\dfrac{2000}{2}=1000\,\mathrm{N}$

치면 수직하중: $F_s'=F_{tm}\tan\alpha=\dfrac{1000}{3}\,\mathrm{N}$

반경방향 하중은 이를 피치원추각으로 분해한다. $\tan\delta=\dfrac{1}{3}$이면 $\cos\delta=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$이다.
$F_s=F_s'\cos\delta=\dfrac{1000}{3}\cdot\dfrac{3}{\sqrt{10}}=\dfrac{1000}{\sqrt{10}}$

$\sqrt{F_{tm}^2+F_s^2}=\sqrt{1000^2+\dfrac{1000^2}{10}}=1000\sqrt{\dfrac{11}{10}}$

• $\dfrac{1{,}000}{9}\sqrt{10}$: 약 351 N으로 회전력 1000 N보다 작아 합성 하중이 될 수 없다.
• $\dfrac{1{,}000}{9}\sqrt{11}$: 약 368 N으로 역시 회전력보다 작아 합성 하중이 될 수 없다.
• $1{,}000\sqrt{\dfrac{91}{10}}$: 반경방향 하중을 회전력보다 크게 잡은 값으로, $\tan\alpha$ 대신 역수를 쓴 결과이다.