25년 1회차

출력전압은 $V_o=-V_1+V_2$이다.

비반전 단자는 두 저항 $R$의 분압이므로 $V_+=\dfrac{V_2}{2}$이고, 가상단락으로 $V_-=\dfrac{V_2}{2}$이다.

반전 단자 KCL: $\dfrac{V_1-V_-}{R}=\dfrac{V_- - V_o}{R}$
$V_o=2V_- - V_1=V_2-V_1$

• $V_1+V_2$는 반전 입력의 부호(이득 $-1$)를 무시한 값이다.
• $-V_1+2V_2$는 비반전 입력 쪽 분압을 빠뜨린 값이다.
• $V_1+2V_2$는 부호와 분압을 모두 잘못 처리한 값이다.

중첩의 원리는 전압·전류에만 성립하고 전력에는 성립하지 않으므로, 전력까지 포함한 설명이 옳지 않다.

전력은 $P=I^2R$처럼 전류의 제곱에 비례하는 비선형량이라, 전원별 전력의 합이 전체 전력과 같지 않다(교차항 $2I_1I_2R$ 누락).

• 저항 소비전력 $I^2R$는 $R\ge 0$이므로 음이 아니다 — 옳다.
• 부하저항이 테브난 등가저항과 같을 때 최대전력이 전달된다는 것은 최대전력 전달 정리로 옳다.
• 마디로 들어오는 전류의 합과 나가는 전류의 합이 같다는 것은 키르히호프 전류법칙으로 옳다.

저항은 $R=6\ \mathrm{k\Omega}$이다.

출력이 $\pm 15\ \mathrm{V}$로 포화되는 반전 슈미트 트리거이므로 문턱전압은 비반전 단자의 분압 $V_{th}=\pm 15\cdot\dfrac{R}{12+R}$이다.

그림 (나)의 문턱이 $\pm 5\ \mathrm{V}$이므로
$\dfrac{R}{12+R}=\dfrac{1}{3}\ \Rightarrow\ 3R=12+R\ \Rightarrow\ R=6\ \mathrm{k\Omega}$

• 4 [kΩ]이면 문턱이 $\pm 15\cdot\dfrac{4}{16}=\pm 3.75\ \mathrm{V}$가 되어 맞지 않는다.
• 24 [kΩ]이면 문턱이 $\pm 10\ \mathrm{V}$가 된다.
• 36 [kΩ]이면 문턱이 $\pm 11.25\ \mathrm{V}$가 된다.

직류 정상상태에서 인덕터는 단락, 커패시터는 개방되므로 $W_L=0$, $W_C=\dfrac{1}{2}CV_0^2$이다.

직렬 경로에 개방된 커패시터가 있어 전류가 흐르지 않는다.
$I=0\Rightarrow W_L=\dfrac{1}{2}LI^2=0$

전류가 0이면 저항·인덕터의 전압강하도 0이므로 전원 전압 전체가 커패시터에 걸린다.
$V_C=V_0\Rightarrow W_C=\dfrac{1}{2}CV_0^2$

• 두 에너지가 모두 0인 조합은 커패시터가 전원 전압으로 충전된 것을 놓쳤다.
• 인덕터 에너지 $\frac{1}{2}L(V_0/R)^2$와 커패시터 에너지 0의 조합은 전류가 $V_0/R$로 흐른다고 보고 충전도 무시했다.
• 두 에너지가 모두 0이 아닌 조합은 커패시터가 직렬로 있는데도 정상상태 전류 $V_0/R$가 흐른다고 본 것이라 모순이다.

파형은 $10[u(t-2)-u(t-5)]$이다.

$t=2$에서 10 [V]로 올라가고 $t=5$에서 0으로 내려가는 구형 펄스이므로, 시작 시각의 계단에서 끝 시각의 계단을 빼서 표현한다.

• $10[u(t)-u(t-2)]$는 0~2 [sec] 구간의 펄스이다.
• $10[u(t)-u(t-5)]$는 0~5 [sec] 구간의 펄스이다.
• $10[u(t-2)+u(t-5)]$는 5 [sec] 이후 20 [V]로 커지는 계단으로 다시 0이 되지 않는다.

전원 전류는 $I_s=1.2\ \mathrm{mA}$이다.

$\dfrac{12}{4}\neq\dfrac{18}{9}$이므로 평형 브리지가 아니다. 중간 두 마디 전압을 $V_1$(왼쪽), $V_2$(오른쪽)로 두고 마디해석한다(kΩ, mA 단위).

$\dfrac{12-V_1}{12}=\dfrac{V_1}{4}+\dfrac{V_1-V_2}{6}\ \Rightarrow\ 6V_1-2V_2=12$
$\dfrac{12-V_2}{18}=\dfrac{V_2}{9}+\dfrac{V_2-V_1}{6}\ \Rightarrow\ -3V_1+6V_2=12$
$V_1=3.2\ \mathrm{V},\ V_2=3.6\ \mathrm{V}$

$I_s=\dfrac{12-3.2}{12}+\dfrac{12-3.6}{18}=0.733+0.467=1.2\ \mathrm{mA}$ (등가저항 10 [kΩ])

• 0.6 [mA]는 등가저항 20 [kΩ]에 해당해 회로와 맞지 않는다.
• 0.8 [mA]는 등가저항 15 [kΩ]에 해당해 회로와 맞지 않는다.
• 2.4 [mA]는 등가저항 5 [kΩ]에 해당해 회로와 맞지 않는다.

테브난 등가저항은 $R_{Th}=\dfrac{6}{5}\ \mathrm{k\Omega}$이다.

종속전원은 제거하지 않고 단자 a에 시험전압 $V$를 걸어 $R_{Th}=\dfrac{V}{I}$를 구한다. 가운데 마디 전압을 $V_x$라 하면 $I_x=\dfrac{V_x}{1\ \mathrm{k\Omega}}$이므로 종속전원 전압은 $2000I_x=2V_x$이다.

가운데 마디 KCL(kΩ, mA): $(V-V_x)+\dfrac{2V_x-V_x}{2}=V_x\ \Rightarrow\ V_x=\dfrac{2}{3}V$
$I=\dfrac{V}{2}+(V-V_x)=\dfrac{5}{6}V\ \Rightarrow\ R_{Th}=\dfrac{6}{5}\ \mathrm{k\Omega}$

• $\dfrac{2}{5}$ [kΩ]이면 단자 전류가 $2.5V$여야 하나 실제는 $\dfrac{5}{6}V$이다.
• $\dfrac{4}{5}$ [kΩ]이면 단자 전류가 $1.25V$여야 하나 실제와 다르다.
• $\dfrac{8}{5}$ [kΩ]이면 단자 전류가 $0.625V$여야 하나 실제와 다르다.

스위치가 닫힌 직후 $v_R(0^+)=1\ \mathrm{V}$이다.

$t\lt 0$ 정상상태에서 커패시터는 개방, 인덕터는 단락이므로 $i_L(0^-)=\dfrac{5}{6+4}=0.5\ \mathrm{A}$이다.

인덕터 전류는 순간적으로 변하지 않으므로 닫힌 직후 0.5 [A]가 병렬 $4\parallel 4=2\ \Omega$로 흐른다.
$v_R(0^+)=0.5\times 2=1\ \mathrm{V}$

• 2 [V]는 스위치가 닫히기 전 값 $0.5\times 4$이다.
• 3 [V]는 0.5 [A]가 2 [Ω]에 흐르는 조건과 맞지 않는다.
• 4 [V]는 4 [Ω]에 1 [A]가 흘러야 하는 값으로 인덕터 초기전류와 맞지 않는다.

$f(t)=f(t-T_0/2)$이면 짝수 고조파만 남고 홀수 고조파가 0이 되므로, 짝수 차수 계수가 0이라는 설명이 옳지 않다.

반주기 이동해도 파형이 같으면 실제 주기가 $T_0/2$이고 기본 각주파수가 $2\omega_0$이므로, 그 정수배인 짝수 차 성분만 존재한다.

• 기본 각주파수 $\omega_0=2\pi/T_0$는 정의 그대로 옳다.
• 직류분 $a_0$는 한 주기 평균값 $\dfrac{1}{T_0}\int_0^{T_0}f(t)dt$로 옳다.
• $f(t)=-f(-t)$인 기함수는 sin 항만 가지므로 $a_n=0$이 옳다.

전압원은 $V_i=5\ \mathrm{V}$이다.

$t\gt 0$에서는 2 [Ω]과 2 [F]만 남아 $\tau=RC=4\ \mathrm{s}$, 즉 $e^{-0.25t}$로 감쇠하므로 초기전압 3 [V]만 맞추면 된다.

$t\lt 0$ 정상상태(커패시터 개방)에서 상단 마디 KCL:
$\dfrac{V_i-v_c}{4}+1=\dfrac{v_c}{2}\ \Rightarrow\ v_c(0)=\dfrac{V_i+4}{3}$
$\dfrac{V_i+4}{3}=3\ \Rightarrow\ V_i=5\ \mathrm{V}$

• 6 [V]이면 초기전압이 $\dfrac{10}{3}\ \mathrm{V}$가 된다.
• 7 [V]이면 초기전압이 $\dfrac{11}{3}\ \mathrm{V}$가 된다.
• 8 [V]이면 초기전압이 4 [V]가 된다.

출력전압은 $V_o=-4\ \mathrm{V}$이다.

전원의 위쪽이 − 극이므로 위 단자는 $-9\ \mathrm{V}$이고, 비반전 입력은 분압으로 $-9\times\dfrac{12}{6+12}=-6\ \mathrm{V}$이다.

연산증폭기는 전압 폴로어라 출력도 $-6\ \mathrm{V}$이고, 다시 6 [kΩ]–12 [kΩ] 분압으로 $V_o=-6\times\dfrac{12}{18}=-4\ \mathrm{V}$이다.

• −2 [V]는 출력 측 분압비를 1/3로 잘못 쓴 값이다.
• 2 [V]는 부호와 분압비를 모두 틀린 값이다.
• 4 [V]는 전원 극성(위쪽 −)을 무시한 값이다.

입력 임피던스는 $Z_{in}=Z_S+\left(\dfrac{N_1}{N_2}\right)^2Z_L$이다.

이상 변압기에서 $V_1=\dfrac{N_1}{N_2}V_2$, $I_1=\dfrac{N_2}{N_1}I_2$이므로 1차로 환산한 부하는 $\dfrac{V_1}{I_1}=\left(\dfrac{N_1}{N_2}\right)^2Z_L$이고, 여기에 직렬 $Z_S$를 더한다.

• $\left(\dfrac{N_1}{N_2}\right)Z_L$ 형태는 전압·전류 변환이 함께 작용해 권수비의 제곱이 곱해지는 점을 빠뜨렸다.
• $\left(\dfrac{N_2}{N_1}\right)Z_L$ 형태는 비의 방향과 제곱을 모두 틀렸다.
• $\left(\dfrac{N_2}{N_1}\right)^2Z_L$ 형태는 1차를 2차로 환산하는 방향과 혼동했다.

a상 Y 임피던스는 $2.8+j1.6\ \Omega$이다.

Δ→Y 변환에서 a상은 a에 붙은 두 변의 곱을 세 변의 합으로 나눈다.
$Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}=10\ \Omega$
$Z_a=\dfrac{(4+j6)(4-j2)}{10}=\dfrac{28+j16}{10}=2.8+j1.6$

• $2.8-j1.6$는 허수부 부호를 틀렸다.
• $3.8-j1.6$는 실수부와 허수부가 모두 곱셈 결과와 다르다.
• $3.8+j1.6$는 실수부 계산 $16+12=28$을 틀렸다.

최대전력 조건은 $Z_L=Z_S^*=10+j10\ \Omega$이고 이때 1.25 [W]이다.

최대평균전력은 $P_{max}=\dfrac{|V_m|^2}{8R_S}=\dfrac{10^2}{8\times 10}=1.25\ \mathrm{W}$이다($V_m$은 최댓값 10 [V]).

• $10-j10$와 1.25 [W] 조합은 켤레가 아니라 같은 임피던스를 택했다.
• $10-j10$와 2.5 [W] 조합은 켤레 조건과 최댓값·실효값을 모두 혼동했다.
• $10+j10$와 2.5 [W] 조합은 최댓값 10 [V]를 실효값처럼 써서 $\dfrac{10^2}{4\times 10}$로 계산했다.

비정현파의 실효값은 각 성분 실효값의 제곱합의 제곱근으로, $5\sqrt{2}\ \mathrm{V}$가 된다.

직류분 3, 기본파 실효값 5, 3고조파 실효값 4이며 직류분도 실효값에 포함한다.
$V=\sqrt{3^2+5^2+4^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\ \mathrm{V}$

• 5는 기본파 실효값만 취한 값으로 직류분과 고조파를 빠뜨렸다.
• 10은 제곱합이 100이어야 나오는 값으로, 성분 제곱합 50보다 크다.
• $10\sqrt{2}$는 제곱합이 200이어야 나오는 값으로 과대 산정이다.

커패시터 전압은 $v_c(t)=6+14e^{-0.1t}\ \mathrm{V}$이다.

초기값: $t\lt 0$에서 $9u(t)=0$이고 스위치가 닫혀 20 [V] 전원이 커패시터와 병렬이므로 $v_c(0)=20\ \mathrm{V}$이다.

최종값과 시정수: $t\gt 0$에서 9 [V] 전원과 $2+1=3\ \Omega$, 6 [Ω]이 남는다.
$v_c(\infty)=9\times\dfrac{6}{3+6}=6\ \mathrm{V}$, $R_{Th}=3\parallel 6=2\ \Omega$, $\tau=2\times 5=10\ \mathrm{s}$
$v_c=6+(20-6)e^{-t/10}$

• $6+14e^{-10t}$는 $e^{-t/\tau}$에 시정수를 곱해 넣었다.
• $20+14e^{-0.1t}$는 초기값을 최종값 자리에 썼다.
• $20+14e^{-10t}$는 최종값과 시정수를 모두 틀렸다.

부분분수 전개 결과 역변환은 $[-e^{-2t}\cos 2t-2e^{-2t}\sin 2t+2e^{-2t}]u(t)$이다.

극 $s=-2$의 유수:
$K=\dfrac{s^2+4}{s^2+4s+8}\Big|_{s=-2}=\dfrac{8}{4}=2$

나머지 항:
$F(s)-\dfrac{2}{s+2}=\dfrac{-(s^2+8s+12)}{(s+2)(s^2+4s+8)}=-\dfrac{s+6}{(s+2)^2+4}$
$=-\dfrac{s+2}{(s+2)^2+2^2}-2\cdot\dfrac{2}{(s+2)^2+2^2}$

역변환하면 $-e^{-2t}\cos 2t-2e^{-2t}\sin 2t$이고, 여기에 $2e^{-2t}$를 더한다.

• $e^{-t}\cos t$, $e^{-t}\sin t$ 조합은 복소극 $-2\pm j2$와 감쇠율·각주파수가 모두 맞지 않는다.
• $e^{-t}\cos 2t$, $e^{-t}\sin 2t$ 조합은 감쇠율을 1로 잘못 잡았다.
• $e^{-2t}\cos 2t+e^{-2t}\sin 2t$ 조합은 나머지 항의 음의 부호와 sin 계수 2를 반영하지 못했다.

전달함수는 $H(s)=\dfrac{3s+1}{3s+2}$이다.

가운데 마디를 $V_m$으로 두고 출력이 개방된 상태에서 마디해석한다(커패시터 어드미턴스 $s$).
출력 마디: $s(V_i-V_o)+(V_m-V_o)=0\ \Rightarrow\ V_m=(1+s)V_o-sV_i$
가운데 마디: $(V_i-V_m)+(V_o-V_m)=V_m\ \Rightarrow\ V_i+V_o=3V_m$
대입: $(1+3s)V_i=(3s+2)V_o$

검산: 직류($s=0$)에서는 커패시터 개방으로 $H=\dfrac{1}{2}$, 고주파($s\to\infty$)에서는 커패시터 단락으로 $H=1$이어야 한다.

• $\dfrac{s+2}{s+3}$는 직류이득이 $\dfrac{2}{3}$로 맞지 않는다.
• $\dfrac{s+2}{2s+3}$는 직류이득 $\dfrac{2}{3}$, 고주파 이득 $\dfrac{1}{2}$로 맞지 않는다.
• $\dfrac{2s+1}{3s+2}$는 직류이득은 맞으나 고주파 이득이 $\dfrac{2}{3}$로 맞지 않는다.

주파수응답은 $H(j100)=1.5-j0.5$이다.

$\omega=100$에서 $Z_L=j100\times 0.02=j2\ \Omega$, $Z_C=\dfrac{1}{j100\times 0.002}=-j5\ \Omega$이다.
저항과 커패시터의 병렬: $Z_p=\dfrac{1}{0.1+j0.2}=2-j4\ \Omega$

분압: $H=\dfrac{Z_p}{Z_p+j2}=\dfrac{2-j4}{2-j2}=\dfrac{(2-j4)(2+j2)}{8}=\dfrac{12-j4}{8}=1.5-j0.5$

• $1.5+j0.5$는 허수부 부호를 틀렸다.
• $3-j1.5$는 분압 결과보다 크기가 약 2배로 맞지 않는다.
• $3+j1.5$는 크기와 위상 부호가 모두 맞지 않는다.

10 [Ω]의 평균전력은 62.5 [W]이다.

$\omega=10$에서 $Z_L=j5\ \Omega$, $Z_C=\dfrac{1}{j10\times 0.01}=-j10\ \Omega$이다.
병렬부: $10\parallel(-j10)=\dfrac{-j100}{10-j10}=5-j5\ \Omega$

전체 $Z=15+j5+5-j5=20\ \Omega$로 리액턴스가 상쇄되어 $I_m=\dfrac{100}{20}=5\ \mathrm{A}$이다.
병렬부 전압 $|V_m|=5\times 5\sqrt{2}=25\sqrt{2}\ \mathrm{V}$
$P=\dfrac{|V_m|^2}{2R}=\dfrac{1250}{20}=62.5\ \mathrm{W}$

• 35.5 [W]는 위 페이저 계산 결과와 맞지 않는다.
• 87.0 [W]는 위 페이저 계산 결과와 맞지 않는다.
• 122.5 [W]는 위 페이저 계산 결과와 맞지 않는다(최댓값을 실효값처럼 쓰면 125 [W]가 된다).

임피던스 파라미터는 $z_{11}=50,\ z_{12}=z_{21}=30,\ z_{22}=40$이다.

T형 회로는 개방 시험으로 바로 읽힌다. 2차 개방 시 $z_{11}=20+30=50$, 1차 개방 시 $z_{22}=10+30=40$, 전달 임피던스는 공통 가지 30 [Ω]이다.

• 30, 40, 50, 30 조합은 가역 회로인데 $z_{12}\neq z_{21}$이라 성립하지 않는다.
• 30, 50, 40, 30 조합도 $z_{12}\neq z_{21}$이라 성립하지 않는다.
• 50, 30, 30, 50 조합은 $z_{22}$에 왼쪽 20 [Ω]을 잘못 더했다.

옳지 않은 것은 $y_{22}=\dfrac{2}{3}$이며, 실제 값은 $\dfrac{5}{6}\ \mathrm{S}$이다.

π형 회로는 단락 시험으로 구한다. 직렬 2 [Ω]의 어드미턴스는 $\dfrac{1}{2}\ \mathrm{S}$, 병렬 가지는 $1\ \mathrm{S}$와 $\dfrac{1}{3}\ \mathrm{S}$이다.
$y_{22}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{6}$

• $y_{11}=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$로 옳다.
• $y_{12}=-\dfrac{1}{2}$는 직렬 어드미턴스에 음부호를 붙인 값으로 옳다.
• $y_{21}=-\dfrac{1}{2}$도 가역 회로라 같은 값으로 옳다.

전류는 $I_o=0.2\ \mathrm{A}$이다.

왼쪽 가운데 마디는 1 [V] 전원으로 고정된다. 위 마디를 $V_T$, 가운데 열의 중간 마디(종속전류원 위)를 $V_B$로 두면 $I_o=1-V_T$이고, 종속전류원 $2I_o$는 $V_B$ 마디로 들어간다.

위 마디: $I_o+\dfrac{V_B-V_T}{2}=\dfrac{V_T}{2}\ \Rightarrow\ V_B=4V_T-2$
가운데 마디: $2I_o+(1-V_B)=\dfrac{V_B-V_T}{2}\ \Rightarrow\ V_B=2-V_T$
$V_T=0.8\ \mathrm{V},\ I_o=1-0.8=0.2\ \mathrm{A}$

• 0.1 [A]는 두 마디 KCL을 동시에 만족하지 않는다.
• 0.5 [A]는 위 마디가 0.5 [V]가 되어 가운데 마디 KCL을 만족하지 않는다.
• 1 [A]는 1 [Ω]만 보고 $\dfrac{1}{1}$로 계산한 값이다.

결합계수는 $k=0.9$이다.

(가)는 전류가 두 코일의 점 단자로 모두 들어가는 가동결합, (나)는 한쪽만 점으로 들어가는 차동결합이다.
$L_1+L_2+2M=119$, $L_1+L_2-2M=11$

$4M=108\ \Rightarrow\ M=27\ \mathrm{mH}$, $L_2=65-20=45\ \mathrm{mH}$
$k=\dfrac{M}{\sqrt{L_1L_2}}=\dfrac{27}{\sqrt{900}}=0.9$

• 0.3은 $M=9\ \mathrm{mH}$에 해당해 두 측정값의 차와 맞지 않는다.
• 0.5는 $M=15\ \mathrm{mH}$에 해당해 맞지 않는다.
• 0.7은 $M=21\ \mathrm{mH}$에 해당해 맞지 않는다.

부하 평균전력은 40 [W]이다.

1차 전류를 $I_1$(실효값)로 두면 2:1 이상 변압기에서 2차 전류 크기는 $2I_1$, 전압은 $V_2=\dfrac{V_1}{2}$이다. 점 표시상 두 전류는 공통 10 [Ω]에서 합쳐져 $3I_1$이 흐른다.

2차: $V_2=10\times 3I_1+10\times 2I_1=50I_1$
1차: $V_1=150-20I_1-30I_1=150-50I_1$
$V_1=2V_2\ \Rightarrow\ 150-50I_1=100I_1\ \Rightarrow\ I_1=1\ \mathrm{A}$

$P_{R_L}=(2I_1)^2\times 10=40\ \mathrm{W}$

• 18 [W]는 위 회로 방정식에서 나오지 않는 값이다.
• 20 [W]는 실효값 전류로 구한 전력에 다시 1/2을 곱한 값이다.
• 36 [W]는 공통 저항의 전류 합산을 잘못 처리한 값으로 맞지 않는다.