25년 1회차

랜덤변수 $Z=X^2$의 기댓값은 2.5이다.

기댓값 정의 $E[Z]=\sum x^2 P(x)$에 표본값을 대입한다.
$E[X^2]=\dfrac{1}{4}(4+1+1+4)=\dfrac{10}{4}=2.5$

• 0은 X 자체의 평균으로, 대칭 분포라서 0이 되지만 제곱의 평균은 아니다.
• 1, 4.5는 제곱값의 가중합을 잘못 계산한 값이다.

$P(A\cap B)=P(A)P(B)$가 성립하므로 A와 B는 독립이다.

$P(A)P(B)=0.2\times 0.5=0.1$로 교집합 확률과 같다.

• 여사건 확률은 $P(A^C)=0.8$, $P(B^C)=0.5$로 A의 여사건이 더 크다.
• 합집합은 $0.2+0.5-0.1=0.6$이지 0.7이 아니다.
• 조건부 확률은 $P(A\mid B)=\dfrac{0.1}{0.5}=0.2$로 P(A)와 같고 P(B)와는 다르다.

시간 이동 $t_0$는 주파수 영역에서 선형 위상 인자 $e^{-j2\pi f t_0}$를 곱하는 것과 같다.

$\mathcal{F}\{x(t-t_0)\}=\int x(t-t_0)e^{-j2\pi ft}dt$에서 $\tau=t-t_0$로 치환하면 $X(f)e^{-j2\pi ft_0}$가 된다.

• $X(f)$는 이동이 없는 원 신호의 변환이며, 진폭 스펙트럼만 같을 뿐 위상이 다르다.
• $X(-f)$는 시간 반전 $x(-t)$의 변환이다.
• 지수 부호가 양수인 형태는 시간 앞당김 $x(t+t_0)$의 변환이다.

상호 정보량은 $I(X;Y)=H(X)-H(X\mid Y)=2$이다.

값을 대입하면 $I(X;Y)=3-1=2$이다. 참고로 $H(Y)=I(X;Y)+H(Y\mid X)=4$이다.

• 1은 조건부 엔트로피 $H(X\mid Y)$ 값이다.
• 3은 $H(X)$ 자체이고, 4는 $H(Y)$에 해당한다.

위상 변조 신호의 전력은 메시지와 무관하게 $A^2/2$로 일정하므로 여전히 1 W이다.

PM·FM 같은 각 변조는 진폭이 A로 고정된 정현파의 위상만 바뀌므로 평균 전력이 $\dfrac{A^2}{2}$로 변하지 않는다.

• 0.5, 0.25, 0.75는 메시지 전력이 변조 신호 전력에 반영되는 진폭 변조처럼 계산한 값이다.

반송파 $\cos(4\pi f_ct)=\cos(2\pi\cdot 2f_c t)$의 주파수는 $2f_c$이므로 스펙트럼은 $\dfrac{1}{2}M(f-2f_c)+\dfrac{1}{2}M(f+2f_c)$이다.

변조 정리 $m(t)\cos(2\pi f_1t)\leftrightarrow \dfrac{1}{2}[M(f-f_1)+M(f+f_1)]$에 $f_1=2f_c$를 대입한다.

• $f_c$만큼 이동한 형태는 반송파 주파수를 절반으로 착각한 것이다.
• 계수 1/4인 형태는 주파수는 맞지만 변조 정리의 계수 1/2와 다르다.
• $4f_c$ 이동, 계수 1/8인 형태는 주파수와 계수를 모두 잘못 쓴 것이다.

실수 WSS 과정의 자기상관 함수는 우함수이므로 $R_{XX}(\tau)=R_{XX}(-\tau)$이고, 같지 않다는 설명이 틀렸다.

$R_{XX}(\tau)=E[X(t)X(t+\tau)]$에서 $t'=t+\tau$로 두면 $R_{XX}(-\tau)$와 같아진다.

• 자기상관의 크기는 원점에서 최대이므로 $|R_{XX}(\tau)|\le R_{XX}(0)$이 성립한다.
• $R_{XX}(0)=E[X^2(t)]$는 평균 전력이다.
• 자기상관의 푸리에 변환은 전력 스펙트럼 밀도이므로 음수가 될 수 없다.

$y(t)=e^{-x(t)}$는 비선형·시불변 시스템이다.

입력을 두 배로 하면 $e^{-2x}\neq 2e^{-x}$이므로 동차성이 깨져 비선형이다.
입력을 $t_0$만큼 지연하면 출력도 $e^{-x(t-t_0)}=y(t-t_0)$로 똑같이 지연되므로 시불변이다.

• 선형으로 본 판정은 지수 함수가 중첩의 원리를 만족하지 않으므로 틀렸다.
• 시변으로 본 판정은 시스템 식에 t가 직접 들어 있지 않으므로 틀렸다.

FM은 비선형 변조로, 변조 과정이 중첩의 원리를 따르지 않는다.

메시지가 위상의 지수 안에 들어가므로 두 메시지의 합으로 만든 FM 신호는 각 FM 신호의 합과 다르다.

• FM 신호의 진폭은 일정하므로 평균 전송 전력은 메시지와 무관하게 일정하다.
• 순시 주파수가 메시지에 따라 변하므로 영점 교차 간격도 불규칙하게 변한다.
• 광대역 FM의 대역폭(카슨 법칙)은 AM보다 일반적으로 넓다.

입력 주파수가 2 kHz로 통과대역 1 kHz를 넘으므로 출력은 $y(t)=0$이다.

$\cos(4000\pi t)=\cos(2\pi\cdot 2000t)$이므로 $f=2\,\mathrm{kHz}$이고, 이 주파수에서 $|H(f)|=0$이다.

• 입력 그대로의 출력은 필터가 2 kHz를 통과시킨다고 본 것이다.
• 진폭이 1/2로 줄어든 출력은 이 필터의 이득이 0 또는 1뿐이므로 나올 수 없다.
• 주파수가 4 kHz로 바뀐 출력은 LTI 필터가 새 주파수 성분을 만들지 못하므로 틀렸다.

복소 지수 푸리에 계수는 $c_0=3$, $c_1=3-6j$, $c_{-1}=3+6j$이다.

오일러 공식으로 전개한다.
$6\cos(2\pi f_0t)=3e^{j2\pi f_0t}+3e^{-j2\pi f_0t}$
$12\sin(2\pi f_0t)=-6je^{j2\pi f_0t}+6je^{-j2\pi f_0t}$

지수항별로 모으면 $c_1=3-6j$, $c_{-1}=3+6j$이며, 실수 신호라서 켤레 대칭을 이룬다.

• 1, j, -j 조합은 직류 성분과 계수 크기를 모두 줄여 잡은 값이다.
• 1, 2-4j, 2+4j 조합은 직류 성분 3을 1로 잘못 잡고 계수 크기도 틀렸다.
• 3, 6j, 12j 조합은 cos·sin 진폭을 그대로 옮겨 적어 1/2 분배를 빠뜨린 것이다.

같은 용량을 내려면 SNR이 낮은 A의 대역폭이 B보다 커야 한다.

$C=B\log_2(1+\mathrm{SNR})$에서 C가 같으므로 $B=\dfrac{C}{\log_2(1+\mathrm{SNR})}$이다.
A는 SNR 100, B는 SNR 10000이므로 $\log_2(101)\lt\log_2(10001)$이고 A의 대역폭이 약 2배 크다.

• A의 대역폭이 작거나 같다는 판정은 SNR과 대역폭의 교환 관계를 반대로 본 것이다.
• 섀넌 공식에서 대역폭과 SNR은 함께 용량을 결정하므로 무관하다는 설명은 틀렸다.

M진 PSK에도 그레이 부호 매핑을 적용할 수 있으므로, 적용할 수 없다는 설명이 틀렸다.

인접 위상 심볼이 1비트만 다르도록 매핑하면 가장 흔한 인접 심볼 오류가 1비트 오류로 그쳐 비트 오류율이 줄어든다.

• M개 심볼이므로 심볼당 비트 수는 $\log_2 M$이다.
• 각 심볼은 M개의 서로 다른 위상값 중 하나를 갖는다.
• 진폭이 같으므로 성상점은 동일 반경의 원 위에 놓인다.

보호 대역은 인접 채널 간섭을 줄일 뿐 완전히 제거하지는 못한다.

실제 필터는 차단 특성이 이상적이지 않아 측파대 일부가 인접 채널로 새어 나가므로 누화가 남는다.

• FDM은 각 신호를 서로 다른 주파수의 반송파로 변조해 배치한다.
• 보호 대역은 정보를 싣지 않으므로 대역 효율이 낮아진다.
• 다중화·역다중화 시 각 채널을 분리하려면 대역통과 필터가 필요하다.

성상도의 규칙을 읽으면 S1=0111, S2=1111, S3=0101, S4=1101이다.

그레이 부호 16-QAM에서 앞 2비트는 I축 위치, 뒤 2비트는 Q축 위치를 나타낸다. 맨 아래 행(0000·0100·1100·1000)에서 I 열이 왼쪽부터 00, 01, 11, 10이고, 맨 왼쪽 열(0010·0011·0001·0000)에서 Q 행이 위부터 10, 11, 01, 00임을 알 수 있다.

S1은 둘째 열·둘째 행이라 01+11=0111, S2는 셋째 열·둘째 행이라 11+11=1111, S3은 둘째 열·셋째 행이라 01+01=0101, S4는 셋째 열·셋째 행이라 11+01=1101이다.

• S1=1111, S2=0101, S3=1101, S4=0111: 네 심볼에 각각 S2·S3·S4·S1의 비트열을 하나씩 밀어 넣은 연결이다.
• S1=0101, S2=1111, S3=1101, S4=0111: S2만 맞고 S1·S3·S4에는 각각 S3·S4·S1의 비트열이 들어갔다.
• S1=1101, S2=0111, S3=0101, S4=1111: S3만 맞고 S1·S2·S4에는 각각 S4·S1·S2의 비트열이 들어갔다.

허프만 부호화는 소스 부호화(데이터 압축)이지 채널 부호화가 아니다.

소스 부호화는 중복을 제거해 평균 부호 길이를 줄이고, 채널 부호화는 반대로 중복(패리티)을 추가해 오류를 검출·정정한다.

• (7, 4) 부호는 메시지 4비트에 패리티 3비트를 붙여 7비트 부호어를 만든다.
• 블록 부호의 오류 정정 능력은 최소 해밍 거리로 결정된다.
• ARQ는 재전송을 요청해야 하므로 역방향 링크가 필요하다.

비동기 BFSK의 최소 직교 주파수 간격은 $\Delta f=1/T_b=1\,\mathrm{MHz}$이다.

위상을 모르는 비동기 검파에서는 임의 위상에서도 직교하려면 $\Delta f=\dfrac{1}{T_b}$가 필요하다.
$\Delta f=\dfrac{1}{1\,\mu\mathrm{s}}=1\,\mathrm{MHz}$

• 0.5 MHz는 위상을 아는 동기 검파의 최소 간격 $1/(2T_b)$이다.
• 2 MHz, 4 MHz도 직교하지만 최소 간격은 아니다.

심볼 에너지가 같을 때 BPSK의 최소 거리는 QPSK의 $\sqrt{2}$배이다.

BPSK는 두 점 $\pm\sqrt{E_s}$이므로 $d_{\mathrm{BPSK}}=2\sqrt{E_s}$이다.
QPSK는 반경 $\sqrt{E_s}$ 원 위 90° 간격이므로 $d_{\mathrm{QPSK}}=\sqrt{2E_s}$이다.
비율은 $\dfrac{2\sqrt{E_s}}{\sqrt{2E_s}}=\sqrt{2}$이다.

• 1/2과 $1/\sqrt{2}$은 BPSK가 더 가깝다고 본 것으로, 비교 방향이 반대다.
• 2는 거리 제곱(에너지 거리)의 비율과 혼동한 값이다.

3회 반복 부호를 다수결로 복호하면 세 비트 중 2개 이상이 반전될 때만 오류가 나므로, 평균 오류 확률은 $3p^2-2p^3$이다.

각 비트는 독립적으로 확률 $p$로 반전된다. 정확히 2개가 반전될 확률과 3개 모두 반전될 확률을 더한다.

$P_e=\binom{3}{2}p^2(1-p)+p^3$
$=3p^2-3p^3+p^3=3p^2-2p^3$

채널이 대칭이므로 0을 보낼 때와 1을 보낼 때의 오류 확률이 같아, 두 비트의 발생 확률로 평균해도 같은 값이 된다.

• $2p^2-3p^3$: 두 비트 반전 경우의 수와 세 비트 반전 항을 모두 잘못 처리한 식으로, 이항 전개 결과와 맞지 않는다.
• $2p^2-2p^3$: 두 비트 반전 경우의 수를 3이 아닌 2로 세고 $p^3$ 항도 빠뜨린 $2p^2(1-p)$이다.
• $3p^2-3p^3$: 정확히 2개 반전 항 $3p^2(1-p)$만 더하고 3개 모두 반전되는 $p^3$ 항을 빠뜨렸다.

평균 비트 오류 확률은 $Q(A/\sigma)$이다.

판정 임계값은 0이고, +A를 보냈을 때 잡음이 $-A$보다 작으면 오류다.
$P(n\lt -A)=Q\left(\dfrac{A}{\sigma}\right)$이며, 대칭이므로 -A 송신 때도 같다.

• $Q(A/2\sigma)$는 임계값까지의 여유 거리 A를 절반으로 잘못 잡은 것이다.
• $Q(2A/\sigma)$는 두 신호점 사이 전체 거리를 여유로 본 것이다.
• $\sqrt{A}$가 들어간 형태는 진폭과 에너지를 혼동한 것이다.

전송 속도는 96 Mbps이다.

100 μs마다 보내는 비트 수: $200\times 8\times 6=9600\,\mathrm{bit}$
전송 속도: $\dfrac{9600}{100\times 10^{-6}}=96\times 10^{6}\,\mathrm{bps}$

• 12 Mbps는 byte를 bit로 환산하지 않은 값이다.
• 24, 48 Mbps는 프레임 수나 비트 환산 일부를 빠뜨린 값이다.

모든 레지스터가 0이면 귀환 출력도 계속 0이 되어 PN 부호열을 만들 수 없다.

LFSR의 귀환은 XOR 선형 연산이므로 전부 0인 상태는 자기 자신으로만 이어지며, 최장 부호열은 이 상태를 제외한 $2^n-1$개 상태를 순환한다.

• PN 부호는 유한 상태를 순환하므로 주기성을 갖는다.
• CDMA에서는 PN 부호의 오프셋으로 기지국·섹터를 구분한다.
• 정규화 자기상관은 한 칩 이상 지연 시 $-1/N$이므로 길이가 길수록 0에 가깝다.

시스템 대역폭은 12.5 MHz이다.

OFDM 심볼당 비트 수: $100\times\log_2 8=300\,\mathrm{bit}$
심볼 길이(보호 구간 포함): $\dfrac{300}{30\times 10^{6}}=10\,\mu\mathrm{s}$

보호 구간이 심볼 길이의 20 %이므로 유효 심볼 길이는 $10\times 0.8=8\,\mu\mathrm{s}$이다.
부반송파 간격: $\dfrac{1}{8\,\mu\mathrm{s}}=125\,\mathrm{kHz}$
대역폭: $100\times 125\,\mathrm{kHz}=12.5\,\mathrm{MHz}$

• 10 MHz는 보호 구간을 무시하고 10 μs 전체로 부반송파 간격을 잡은 값이다.
• 15, 17.5 MHz는 보호 구간 비율을 잘못 반영한 값이다.

무왜곡 전송은 일정한 지연과 상수배 감쇠를 허용하므로, 지연되면 무왜곡이 아니라는 설명이 틀렸다.

무왜곡 조건은 $y(t)=Kx(t-t_d)$, 즉 $H(f)=Ke^{-j2\pi ft_d}$이다.

• 이 조건에서 진폭 응답 $|H(f)|=K$는 상수다.
• 위상 응답 $-2\pi ft_d$는 주파수에 선형이다.
• 이상적 등화기는 채널 응답의 역수(제로포싱)로 채널 왜곡을 보상한다.

셀당 최대 사용자 수는 100명이다.

셀당 할당 대역: $\dfrac{35\,\mathrm{MHz}}{7}=5\,\mathrm{MHz}$
사용자 수: $\dfrac{5\,\mathrm{MHz}}{50\,\mathrm{kHz}}=100$

• 50 kHz는 송·수신을 합친 전이중 대역폭이므로 그대로 나누어야 하며, 150·200·250은 셀당 대역이나 사용자 대역을 잘못 잡은 값이다.