25년 1회차

휘발성 용질을 액체에서 기체 쪽으로 옮겨 제거하는 조작은 탈거(stripping)이다.

비활성 기체를 액체와 접촉시키면 기상의 용질 분압이 낮아 용질이 액상에서 기상으로 이동한다. 기체흡수와 물질전달 방향만 반대인 조작이다.

• 흡착: 유체 속 성분이 고체 표면에 달라붙어 분리되는 조작이다.
• 여과: 다공성 매체로 유체 속 고체 입자를 걸러내는 기계적 분리이다.
• 기체흡수: 기체 혼합물의 성분을 액체에 녹여 제거하는 조작으로, 용질이 기상에서 액상으로 이동한다.

옳은 설명은 Newton 유체의 선형 관계와 기체 점도의 분자량 의존성으로, ㄴ, ㄷ이다.

Newton 유체는 $\tau = \mu \dfrac{dv}{dy}$로 전단응력이 전단변형률에 비례한다. 저밀도 비극성 단원자 기체의 점도는 Chapman–Enskog 이론에서 $\mu \propto \dfrac{\sqrt{MT}}{\sigma^2 \Omega_\mu}$로 분자량의 영향을 받는다.

• ㄱ(틀림): 액체의 점도는 온도가 오르면 감소하지만 기체의 점도는 온도가 오르면 증가하므로 "모든 유체"라는 표현이 틀렸다.

원형도관 완전발달 층류의 속도 분포는 플러그 유동이 아니라 포물선형이므로, 플러그 유동이라는 설명이 옳지 않다.

Hagen–Poiseuille 해는 $v_z = v_{\max}\left[1-\left(\dfrac{r}{R}\right)^2\right]$로 벽에서 0, 중심에서 최대이다. 단면 속도가 균일한 플러그 유동은 점성과 비미끄럼 조건을 무시한 이상화이다.

• 유동 방향으로 속도가 변하지 않는다: 완전발달 흐름의 정의 그대로이므로 옳다.
• 마찰계수는 Reynolds 수에 반비례한다: 층류 Fanning 마찰계수는 $f = \dfrac{16}{\mathrm{Re}}$이므로 옳다.
• 입구길이는 Reynolds 수에 비례한다: 층류 입구길이는 Re와 관 지름의 곱에 비례하므로 옳다.

Stokes–Einstein 식에서 확산계수는 입자 반지름에 반비례하므로, A의 반지름은 B의 0.4배이다.

$D = \dfrac{k_B T}{6\pi\mu R}$에서 같은 용매·온도이면 $R \propto \dfrac{1}{D}$이다.

$\dfrac{R_A}{R_B} = \dfrac{D_B}{D_A} = \dfrac{6.0\times10^{-7}}{1.5\times10^{-6}} = 0.4$

확산계수 비를 그대로(A/B) 쓰면 2.5배가 되어 관계가 거꾸로 나오므로, 반지름 비는 확산계수 비의 역수로 잡아야 한다.

Lewis 수는 열 확산도와 물질 확산도의 비이므로, 관성력과 표면장력의 비라는 설명이 옳지 않다.

$\mathrm{Le} = \dfrac{\alpha}{D_{AB}} = \dfrac{\mathrm{Sc}}{\mathrm{Pr}}$이며, 관성력과 표면장력의 비는 Weber 수이다.

• 항력계수: $C_D = \dfrac{F_D}{\frac{1}{2}\rho v^2 A}$로 항력을 동압(관성력)으로 나눈 값이다.
• Reynolds 수: $\mathrm{Re} = \dfrac{\rho v L}{\mu}$로 관성력과 점성력의 비이다.
• Prandtl 수: $\mathrm{Pr} = \dfrac{\nu}{\alpha}$로 운동량 확산도와 열 확산도의 비이다.

중간 평판에 필요한 힘은 위아래 두 유체층의 점성 전단력의 합이다.

Couette 유동에서 각 층의 속도분포는 선형이므로 전단응력은 $\tau_1=\mu_1 V/h_1$, $\tau_2=\mu_2 V/h_2$이다. 두 면 모두 평판의 운동을 방해하는 방향으로 작용하므로 $F=A\left(\dfrac{\mu_1 V}{h_1}+\dfrac{\mu_2 V}{h_2}\right)$가 된다.

• 두 항을 빼는 식: 위아래 전단력은 서로 상쇄되지 않고 같은 방향(운동 반대)으로 더해진다.
• 앞에 2A를 곱한 식들: 윗면·아랫면 면적이 각각 A이고 각 면의 힘을 이미 따로 더했으므로 2를 또 곱하면 이중 계산이다.

펌프 출력은 400 W이다.

마찰을 무시한 기계적 에너지 수지에서 단위질량당 일은 $w=\dfrac{P_2-P_1}{\rho}+g\Delta z+\dfrac{v_2^2-v_1^2}{2}$이다.

대입하면 $w=\dfrac{700\,000}{1000}+10\times 9+\dfrac{36-16}{2}=700+90+10=800\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$
출력은 $\dot{m}w=0.5\times 800=400\ \mathrm{W}$이다.

• 390 W: 운동에너지 항(10 J/kg)의 부호를 뒤집어 700+90−10으로 계산한 값이다.
• 310 W: 위치 항(90 J/kg)의 부호를 뒤집어 700−90+10으로 계산한 값이다.
• 300 W: 위치·운동에너지 항의 부호를 모두 뒤집은 값이다.

평균속도는 $\dfrac{\rho g L^2}{6\mu}$이다.

평균속도는 두께에 대한 적분 평균이다. $\eta=y/L$로 두면 $\bar{V}=\dfrac{\rho g L^2}{2\mu}\int_0^1\left(\eta-\dfrac{\eta^2}{2}\right)d\eta=\dfrac{\rho g L^2}{2\mu}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}\right)$

괄호 값이 $1/3$이므로 $\bar{V}=\dfrac{\rho g L^2}{6\mu}$이며, 자유표면의 최대속도 $\rho g L^2/(4\mu)$의 2/3이다.

• $\rho g L^2/(3\mu)$: 최대속도보다도 커서 평균일 수 없다.
• $\rho g L^2/(2\mu)$: 속도식의 앞 계수만 떼어 낸 값이다.
• $\rho g L^2/\mu$: 적분 평균을 하지 않은 과대값이다.

유선 함수의 일반적 정의 $v_x = \dfrac{\partial \psi}{\partial y}$, $v_y = -\dfrac{\partial \psi}{\partial x}$를 적용하면 $v_x = -x+16y$, $v_y = 16x+y$이다.

$v_x = \dfrac{\partial}{\partial y}(8y^2 - xy - 8x^2) = 16y - x$
$v_y = -\dfrac{\partial}{\partial x}(8y^2 - xy - 8x^2) = -(-y - 16x) = 16x + y$

검산: $\dfrac{\partial v_x}{\partial x} + \dfrac{\partial v_y}{\partial y} = -1 + 1 = 0$으로 연속방정식을 만족한다.

• $x-16y$와 $-16x-y$: 두 성분 부호가 모두 반대로, 유선 함수 부호 정의를 거꾸로 적용한 결과이다.
• $x-16y$와 $16x-y$: 어느 부호 정의로도 두 성분이 함께 나오지 않는다.
• $-x+16y$와 $-16x-y$: $y$방향 부호가 틀려 발산이 $-2$가 되므로 연속방정식을 위반한다.

기름의 높이는 10 cm이다.

왼쪽 수은면(기름 윗면보다 15 cm 아래)과 같은 높이에서 압력을 같게 놓는다. 오른쪽은 대기압에 수은 1 cm가 더해진다.

$P_A+\rho_{o}gx+\rho_{w}g(0.15-x)=P_{atm}+\rho_{Hg}g(0.01)$
$60+8000x+1500-10000x=1360$
$2000x=200,\ x=0.10\ \mathrm{m}$

• 7 cm: 공기 게이지압 60 Pa을 빠뜨려 $1500-2000x=1360$으로 푼 값이다.
• 8 cm·9 cm: 위 압력 평형식에 대입하면 양변이 같아지지 않는다.

열확산계수의 단위는 $\mathrm{m^2\,s^{-1}}$이며, 같은 차원은 동점도와 물질확산계수(ㄱ, ㄹ)이다.

$\alpha = \dfrac{k}{\rho c_p}$, 동점도 $\nu = \dfrac{\mu}{\rho}$, 물질확산계수 $D_{AB}$는 모두 길이 제곱을 시간으로 나눈 확산도이다.

• ㄴ 열전도도: 단위가 $\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$로 차원이 다르다.
• ㄷ 체적팽창계수: $\beta = \dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P$로 단위가 $\mathrm{K^{-1}}$이다.

광자 에너지는 파장에 반비례하므로 단파장 복사의 에너지가 더 크다. 따라서 단파장 에너지가 작다는 설명이 옳지 않다.

$E = h\nu = \dfrac{hc}{\lambda}$로, 파장이 짧을수록 광자 하나의 에너지가 커진다.

• 빛의 속도로 전달된다: 열복사는 전자기파이므로 매질 없이 빛의 속도로 전달된다.
• 흑체의 흡수율은 1이다: 흑체는 입사 복사를 모두 흡수하는 이상 물체이다.
• 회색체의 단색 흡수율은 일정하다: 회색체는 단색 흡수율(방사율)이 파장과 무관하게 일정하다고 가정한 물체이다.

Buckingham π 정리에 따라 독립 무차원 매개변수의 개수는 변수 개수에서 독립 차원 수를 뺀 값, 즉 4개이다.

$i = n - j = 9 - 5 = 4$

독립 차원 수는 반복 변수의 개수와 같으며, 나머지 변수마다 하나씩 서로 독립인 π 그룹이 만들어진다.

Grashof 수에는 비열이 포함되지 않는다.

$\mathrm{Gr} = \dfrac{g\beta\,\Delta T\,L^3 \rho^2}{\mu^2}$로 부력과 점성력의 비를 나타낸다. 비열은 Prandtl 수 $\mathrm{Pr} = \dfrac{c_p \mu}{k}$에 들어간다.

• 밀도: 분자에 $\rho^2$으로 포함된다.
• 점도: 분모에 $\mu^2$으로 포함된다(동점도로 쓰면 $\nu^2$).
• 체적팽창계수: 부력 항 $g\beta\,\Delta T$로 포함된다.

Knudsen 확산계수는 분자량이 작고 온도가 높을수록 크므로, 네온, 350 K일 때 가장 크다.

$D_K = \dfrac{d}{3}\sqrt{\dfrac{8RT}{\pi M}} \propto \sqrt{\dfrac{T}{M}}$
네온 350 K: $T/M = 350/20 = 17.5$로 최대이다.

• 네온, 300 K: $T/M = 15$로 같은 기체에서 온도가 낮아 더 작다.
• 아르곤, 500 K: $T/M = 12.5$로 가장 작다.
• 아르곤, 550 K: $T/M = 13.75$로 온도가 높아도 분자량이 2배라 네온보다 작다.

유선은 한 순간에 유동장의 모든 점에서 속도 벡터에 접하는 곡선이며, 이 정의는 비정상상태에서도 그대로 성립한다.

비정상 흐름에서는 속도장이 시간에 따라 변해 유선·유적선·유맥선이 서로 달라지며, 정상상태에서만 세 선이 일치한다.

• 유맥선과 항상 일치: 일치는 정상상태에 한하며 비정상상태에서는 일반적으로 다르다.
• 속도 포텐셜의 등선: 등포텐셜선으로, 포텐셜 유동에서 유선과 직교한다.
• 개별 유체 입자의 운동 궤적: 유적선(pathline)의 정의이다.

두 점의 온도 차이는 25 K이다.

열원 없는 정상 2차원 전도이므로 유한차분에서 각 내부 절점 온도는 상하좌우 네 이웃의 평균이다. 격자 간격은 0.5 m이고 내면 경계는 500 K, 외면 경계는 400 K이다.

대칭을 이용해 미지 절점을 정리하고 연립하면 내면 바로 옆 중앙 절점은 약 445.8 K, 모서리 대각 절점은 약 420.8 K가 되어 차이는 25 K이다.

• 5 K·10 K: 모서리 절점이 외면 두 변에 둘러싸여 훨씬 낮아지는 효과를 과소평가한 값이다.
• 50 K: 두 경계 온도 차의 절반으로, 격자 계산 없이 단순 비례로 추정한 값이다.

열전달 면적은 14 m²이다.

열량 $Q=2\times 2000\times(450-350)=4\times 10^5\ \mathrm{W}$, 물의 온도 상승 $\Delta T_w=\dfrac{4\times 10^5}{2\times 4000}=50\ \mathrm{K}$이므로 물 출구는 350 K이다.

향류 양단 온도차는 100 K와 50 K이고 $\Delta T_{lm}=\dfrac{100-50}{\ln 2}=\dfrac{500}{7}\ \mathrm{K}$
$A=\dfrac{Q}{U\Delta T_{lm}}=\dfrac{4\times 10^5}{400\times 500/7}=14\ \mathrm{m^2}$

• 14/3·28/3: 대수평균 대신 다른 평균온도차나 잘못된 출구온도를 쓴 값이다.
• 56/3: 대수평균온도차보다 작은 온도차를 적용해 면적을 과대평가한 값이다.

Bi·Fo는 특성길이에 반비례하므로 같은 온도 비에 도달하는 시간은 반지름에 비례하고, A가 B의 2배이다.

$\mathrm{Bi}\cdot\mathrm{Fo} = \dfrac{hL_c}{k}\cdot\dfrac{\alpha t}{L_c^2} = \dfrac{h\,t}{\rho c_p L_c}$

구의 특성길이는 $L_c = \dfrac{V}{A_s} = \dfrac{R}{3}$이고, 같은 온도에 이르려면 지수가 같아야 하므로 $t \propto L_c \propto R$이다.
$\dfrac{t_A}{t_B} = \dfrac{R_A}{R_B} = 2$

Fourier 수만 보고 $t \propto R^2$로 잡으면 4배가 되지만, Biot 수에도 반지름이 들어가 한 제곱이 상쇄된다.

1,000초 동안 흡수되는 약물은 $10^{-9}$ mol이다.

정상상태 평판 확산에서 피부 쪽 농도는 0이므로 픽 법칙으로 $J=\dfrac{DC}{L}=\dfrac{10^{-7}\times 10^{-7}}{0.1}=10^{-13}\ \mathrm{mol\,cm^{-2}\,s^{-1}}$이다(0.1 $\mu mol/cm^{3}$ = $10^{-7}$ $mol/cm^{3}$, 1 mm = 0.1 cm).

총량은 $N=JAt=10^{-13}\times 10\times 1000=10^{-9}\ \mathrm{mol}$이다.

• $10^{-10}$: 두께를 1 cm로 잘못 넣은 값이다.
• $10^{-8}$: 두께를 0.01 cm로 잘못 단위 환산한 값이다.
• $10^{-7}$: 두께를 0.001 cm(m 단위 수치)로 넣은 값이다.

표면 반응에서 각 성분의 몰 플럭스는 양론계수에 비례하므로, A의 몰 플럭스는 $\frac{1}{2}N_{\mathrm{B}}$와 같다.

$\dfrac{N_{\mathrm{A}}}{-1} = \dfrac{N_{\mathrm{B}}}{-2} = \dfrac{N_{\mathrm{C}}}{3}$
A와 B는 같은 방향(표면 쪽)으로 이동하므로 $N_{\mathrm{A}} = \dfrac{1}{2}N_{\mathrm{B}}$, C는 반대 방향이므로 $N_{\mathrm{A}} = -\dfrac{1}{3}N_{\mathrm{C}}$이다.

• $2N_{\mathrm{B}}$: 양론계수 비를 거꾸로 적용한 값이다.
• $\frac{1}{3}N_{\mathrm{C}}$: 크기는 맞지만 생성물 C는 표면에서 멀어지므로 부호가 반대이다.
• $3N_{\mathrm{C}}$: 계수 비와 부호가 모두 틀렸다.

$\mu$가 0.25배, $D$가 2배가 되면 두 효과가 정확히 상쇄되어 $\delta_c$는 변하지 않는다.

$\mathrm{Sc} = \dfrac{\mu}{\rho D}$를 대입하면
$\delta_c = 5\sqrt{\dfrac{\mu L}{\rho U}}\left(\dfrac{\rho D}{\mu}\right)^{1/3} = 5\,\mu^{1/6}\rho^{-1/6}D^{1/3}L^{1/2}U^{-1/2}$
$(0.25)^{1/6}\times 2^{1/3} = 2^{-1/3}\times 2^{1/3} = 1$

• $\delta_c$가 $\delta$보다 항상 작다: Sc가 1보다 클 때만 성립하며, Sc가 1보다 작으면 오히려 더 두껍다.
• $U$만 증가: $\delta_c \propto U^{-1/2}$이므로 감소한다.
• $\rho$와 $\mu$만 각각 2배: 두 지수가 반대 부호로 같아 $\delta_c$는 변하지 않는다.

정상상태 투과 플럭스는 확산계수 × 용해도 × 압력차 ÷ 두께이며, 10분간 투과한 기체 A는 $6.0\times10^{-6}\ \mathrm{g}$이다.

단위 통일: $L = 0.01\ \mathrm{mm} = 1.0\times10^{-3}\ \mathrm{cm}$, $t = 600\ \mathrm{s}$, $\Delta p = 0.1\ \mathrm{atm}$

$N_A = \dfrac{D S \Delta p}{L} = \dfrac{(1.0\times10^{-8})(1.0\times10^{-3})(0.1)}{1.0\times10^{-3}} = 1.0\times10^{-9}\ \mathrm{mol\,cm^{-2}\,s^{-1}}$
$m = N_A A t M = (1.0\times10^{-9})(0.2)(600)(50) = 6.0\times10^{-6}\ \mathrm{g}$

두께를 mm 그대로 넣거나 시간을 분 단위로 넣으면 자릿수가 어긋나므로 cm·s로 통일해야 한다.

유효 열전도도는 $k_1$의 3/7배이다.

세 층이 두께 방향으로 이어져 있으므로 열저항이 직렬로 더해진다. $k_2=k_1/2$, $k_3=k_1/4$이므로 $R=\dfrac{L}{k_1}+\dfrac{2L}{k_1}+\dfrac{4L}{k_1}=\dfrac{7L}{k_1}$이다.

전체 두께 3L에 대해 $\dfrac{3L}{k_{eff}}=\dfrac{7L}{k_1}$에서 $k_{eff}=\dfrac{3}{7}k_1$이다.

• 1/7: 전체 두께를 3L이 아닌 L로 잡은 값이다.
• 1/5: 직렬 저항 합 $7L/k_1$과 맞지 않는 값이다.
• 3/5: 두께 방향 흐름에서는 층별 열저항을 직렬로 더해야 하므로 성립하지 않는다.

형상인자는 $\dfrac{2\pi}{\ln 2}$ m이다.

원통 벽의 반경 방향 정상 전도는 $q=\dfrac{2\pi kL(T_i-T_o)}{\ln(r_o/r_i)}$이므로 형상인자는 $S=\dfrac{2\pi L}{\ln(r_o/r_i)}$이다.

$L=1\ \mathrm{m}$, $r_o/r_i=2$를 대입하면 $S=\dfrac{2\pi}{\ln 2}\ \mathrm{m}$이다.

• $4\pi$: 로그 대신 반지름 차 등을 쓴 근사로, 원통 전도식이 아니다.
• $2\pi/\ln 0.5$: 반지름 비를 거꾸로 넣어 음수가 되므로 형상인자가 될 수 없다.
• $200\pi/\ln 2$: 길이 1 m를 100 cm로 넣어 단위가 맞지 않는 값이다.