25년 1회차

접선 성분은 전기장 연속, 법선 성분은 전속밀도 연속 조건을 적용하면 영역 2의 전기장 크기는 $\sqrt{26}\,\mathrm{V/m}$이다.

경계면의 법선이 z축이므로 접선 성분 $E_{2x}=3,\ E_{2y}=-1$은 그대로 유지된다.

법선 성분: $\epsilon_{r1}E_{1z}=\epsilon_{r2}E_{2z}$
$2\times6=3E_{2z}\ \Rightarrow\ E_{2z}=4$
$|\vec{E_2}|=\sqrt{3^2+1^2+4^2}=\sqrt{26}$

• $\sqrt{46}$: 법선 성분 전기장까지 연속($E_{2z}=6$)으로 본 값이다.
• $\sqrt{22}$: 법선 성분이 $2\sqrt{3}$이어야 나오는 값으로 경계조건과 맞지 않는다.
• $\sqrt{33}$: 법선 성분이 $\sqrt{23}$이어야 나오는 값으로 경계조건과 맞지 않는다.

균일한 자기장 속에 놓인 닫힌 도체 루프에 작용하는 알짜 힘은 0이다.

도선 요소의 힘은 $d\overrightarrow{F}=I\,d\overrightarrow{\ell}\times\overrightarrow{B}$이고, 자속밀도가 균일하면 $\overrightarrow{F}=I\left(\oint d\overrightarrow{\ell}\right)\times\overrightarrow{B}$로 묶인다.

폐루프를 한 바퀴 돌면 $\oint d\overrightarrow{\ell}=0$이므로 세 변의 힘이 벡터적으로 상쇄된다. 회전력은 생길 수 있어도 병진력은 없다.

• $3\sqrt{2}\,IaB_0\left(\overrightarrow{a_x}-\overrightarrow{a_y}+\overrightarrow{a_z}\right)$: 각 변의 힘은 자속밀도(z 방향)에 수직이므로 z 성분이 생길 수 없고, 합력도 0이다.
• $3\sqrt{2}\,IaB_0\left(\overrightarrow{a_x}+\overrightarrow{a_y}-\overrightarrow{a_z}\right)$: 마찬가지로 z 성분을 포함하며, 변별 힘을 상쇄 없이 더한 형태라 틀리다.
• $3\sqrt{2}\,IaB_0\left(\overrightarrow{a_x}+\overrightarrow{a_y}+\overrightarrow{a_z}\right)$: 폐루프의 힘 상쇄를 무시한 값이다.

고유 임피던스는 $\eta=\eta_0\sqrt{\mu_r/\epsilon_r}$이므로 이 매질에서는 $30\pi\,\Omega$이다.

자유공간: $\eta_0=\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\epsilon_0}}=\sqrt{4\pi\times10^{-7}\times36\pi\times10^{9}}=120\pi$
매질: $\eta=\dfrac{120\pi}{\sqrt{16}}=30\pi$

비유전율은 제곱근으로 들어가므로 16이 아니라 4로 나눈다.

• $5\pi$: $\eta_0$를 24로 나눈 값으로 공식과 맞지 않는다.
• $10\pi$: $\eta_0$를 12로 나눈 값으로 공식과 맞지 않는다.
• $20\pi$: $\eta_0$를 6으로 나눈 값으로 공식과 맞지 않는다.

양도체의 표피 깊이는 주파수의 제곱근에 반비례하므로 800 kHz에서 0.05 mm가 된다.

$\delta=\dfrac{1}{\sqrt{\pi f\mu\sigma}}\ \propto\ \dfrac{1}{\sqrt{f}}$

주파수가 4배 → $\delta$는 $1/\sqrt{4}=1/2$배
$\delta=0.1\times\dfrac{1}{2}=0.05\,\mathrm{mm}$

• 0.025: 표피 깊이를 주파수에 반비례로 잘못 본 값이다.
• 0.2: 주파수의 제곱근에 비례한다고 거꾸로 본 값이다.
• 0.4: 주파수에 비례한다고 본 값으로, 주파수가 높을수록 표피 깊이가 얕아진다는 성질과 반대다.

앙페르 법칙의 미분형 $\vec{J}=\nabla\times\vec{H}$을 적용하면 상수 $k=1$이다.

$H_x=4kxy^2,\ H_y=0,\ H_z=-3z^2$이므로 x, y 성분 회전은 0이고 z 성분만 남는다.

$J_z=\dfrac{\partial H_y}{\partial x}-\dfrac{\partial H_x}{\partial y}=-8kxy$
점 P 대입: $J_z=-8k(2)(-1)=16k$
$16k=16\ \Rightarrow\ k=1$

• $k=2$: $J_z=32$가 되어 주어진 전류밀도와 맞지 않는다.
• $k=3$: $J_z=48$이 되어 맞지 않는다.
• $k=4$: $J_z=64$가 되어 맞지 않는다.

회전력은 $\overrightarrow{T}=-\dfrac{\mu_0}{2}Ia^2K_0\overrightarrow{a_y}$이다.

무한 면전류가 만드는 자계는 $\overrightarrow{H}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{K}\times\overrightarrow{a_n}$이다. 루프가 있는 $z>0$ 쪽은 $\overrightarrow{a_n}=\overrightarrow{a_z}$이므로
$\overrightarrow{B}=\dfrac{\mu_0}{2}(-K_0\overrightarrow{a_y})\times\overrightarrow{a_z}=-\dfrac{\mu_0K_0}{2}\overrightarrow{a_x}$

그림의 전류는 위에서 보아 반시계 방향이므로 자기모멘트는 $\overrightarrow{m}=Ia^2\overrightarrow{a_z}$이다.
$\overrightarrow{T}=\overrightarrow{m}\times\overrightarrow{B}=Ia^2\overrightarrow{a_z}\times\left(-\dfrac{\mu_0K_0}{2}\overrightarrow{a_x}\right)=-\dfrac{\mu_0}{2}Ia^2K_0\overrightarrow{a_y}$

• $\dfrac{\mu_0}{2}Ia^2K_0\overrightarrow{a_x}$: 자속밀도가 x 방향이므로 $\overrightarrow{m}\times\overrightarrow{B}$는 x 성분을 가질 수 없다.
• $-\dfrac{\mu_0}{2}Ia^2K_0\overrightarrow{a_x}$: 부호와 관계없이 자속밀도와 같은 x 방향의 토크는 외적에서 나오지 않는다.
• $\dfrac{\mu_0}{2}Ia^2K_0\overrightarrow{a_y}$: 외적 순서나 면전류 자계 방향을 뒤집어 부호가 반대로 나온 값이다.

원운동 반지름 $r=\dfrac{mv}{qB}$로 궤도 넓이를 구해 B를 곱하면 자속은 $\dfrac{\pi m^2v^2}{q^2B}$이다.

구심력 = 로렌츠 힘: $\dfrac{mv^2}{r}=qvB\ \Rightarrow\ r=\dfrac{mv}{qB}$

$\Phi=B\pi r^2=B\pi\dfrac{m^2v^2}{q^2B^2}=\dfrac{\pi m^2v^2}{q^2B}$

• $\dfrac{\pi m^2v^2}{4q^2B}$: 반지름을 실제의 절반으로 잡은 값이다.
• $\dfrac{\pi m^2v^2}{2q^2B}$: 궤도 넓이를 $\pi r^2/2$로 잡은 값이다.
• $\dfrac{2\pi m^2v^2}{q^2B}$: 궤도 넓이를 $2\pi r^2$로 잡은 값으로, 원의 넓이가 아니다.

자속이 시간 변화와 회전을 함께 겪으므로 기전력의 주파수는 $\dfrac{\omega}{\pi}$가 된다.

쇄교 자속: $\Phi=BS\cos\alpha=ab\sin\omega t\cos\omega t=\dfrac{ab}{2}\sin 2\omega t$

기전력: $e=-\dfrac{d\Phi}{dt}=-ab\,\omega\cos 2\omega t$
각주파수가 $2\omega$이므로 $f=\dfrac{2\omega}{2\pi}=\dfrac{\omega}{\pi}$

• $\dfrac{\omega}{2\pi}$: 자기장 변화나 회전 중 하나만 고려한 값이다.
• $\dfrac{\omega}{3\pi}$: 두 변화의 곱에서 나오는 배각 성분과 관계없는 값이다.
• $\dfrac{\omega}{4\pi}$: 주파수를 오히려 절반으로 줄인 값으로, 배각이 되는 결과와 반대다.

유도 기전력은 $V=-4N\omega B_0b^2\left(1-\dfrac{2}{\pi}\right)\cos\omega t$이다.

자속밀도가 반지름에 따라 변하므로 고리 면적소 $2\pi r\,dr$로 적분한다.
$\Phi=B_0\sin\omega t\int_0^b\cos\left(\dfrac{\pi r}{2b}\right)2\pi r\,dr$

부분적분: $\int_0^b r\cos\left(\dfrac{\pi r}{2b}\right)dr=\dfrac{2b^2}{\pi}-\dfrac{4b^2}{\pi^2}$
$\Phi=4B_0b^2\left(1-\dfrac{2}{\pi}\right)\sin\omega t$
$V=-N\dfrac{d\Phi}{dt}=-4N\omega B_0b^2\left(1-\dfrac{2}{\pi}\right)\cos\omega t$

• $-4N\omega^2B_0b\left(1-\dfrac{2}{\pi}\right)\cos\omega t$: 시간 미분은 $\omega$를 한 번만 내보내고 면적 적분은 $b^2$를 주므로 차원이 맞지 않는다.
• $-4N\omega^2B_0b\left(1-\dfrac{2}{\pi}\right)\sin\omega t$: 차원 오류에 더해 사인을 미분하면 코사인이 된다는 점도 어긋난다.
• $-4N\omega B_0b^2\left(1-\dfrac{2}{\pi}\right)\sin\omega t$: 크기는 맞지만 미분 후 위상이 사인으로 남아 틀리다.

주파수는 $f=\omega/2\pi$, 비유전율은 위상상수 $\beta=\omega\sqrt{\epsilon_r}/c$에서 구하면 $f=\dfrac{3\times10^7}{\pi}$, $\epsilon_r=4$이다.

$\omega=6\times10^7,\ \beta=0.4$
$f=\dfrac{6\times10^7}{2\pi}=\dfrac{3\times10^7}{\pi}\,\mathrm{Hz}$

$\sqrt{\epsilon_r}=\dfrac{\beta c}{\omega}=\dfrac{0.4\times3\times10^8}{6\times10^7}=2\ \Rightarrow\ \epsilon_r=4$

• $\dfrac{6\times10^7}{\pi}$와 2의 조합: 주파수를 $\omega/\pi$로 계산하고 제곱 전 값을 비유전율로 본 것이다.
• $\dfrac{6\times10^7}{\pi}$와 4의 조합: 비유전율은 맞지만 주파수에서 $2\pi$가 아닌 $\pi$로 나눴다.
• $\dfrac{3\times10^7}{\pi}$와 2의 조합: 주파수는 맞지만 $\sqrt{\epsilon_r}=2$를 제곱하지 않았다.

솔레노이드의 자기에너지는 $W=\tfrac{1}{2}LI^2$로 $10\times10^{-6}\,\mathrm{J}$이다.

$L=0.5\times10^{-3}\,\mathrm{H},\ I=0.2\,\mathrm{A}$
$W=\tfrac{1}{2}\times0.5\times10^{-3}\times0.2^2=1\times10^{-5}=10\times10^{-6}\,\mathrm{J}$

mH와 mA를 모두 기본 단위로 환산한 뒤 대입해야 한다.

• $10\times10^{-3}$: 인덕턴스를 mH에서 H로 환산하지 않은 값이다.
• 10: 전류를 mA 그대로 200으로 대입한 값이다.
• $10\times10^{-12}$: 실제 값보다 백만 배 작아 단위 환산을 과도하게 한 결과다.

자기저항은 $R_m=\dfrac{l}{\mu_0\mu_rS}$로 $\dfrac{10^6}{8\pi}\,\mathrm{AT/Wb}$이다.

$S=200\,\mathrm{cm^2}=0.02\,\mathrm{m^2}$
$\mu_0\mu_rS=4\pi\times10^{-7}\times500\times0.02=4\pi\times10^{-6}$

$R_m=\dfrac{0.5}{4\pi\times10^{-6}}=\dfrac{10^6}{8\pi}$

• $\dfrac{10^6}{4\pi}$: 실제의 2배로, 단면적을 절반(또는 길이를 2배)으로 본 값이다.
• $\dfrac{10^4}{4\pi}$: 자릿수가 맞지 않아 단위 환산 오류가 있는 값이다.
• $\dfrac{10^4}{8\pi}$: 실제의 1/100로 단위 환산 오류가 있는 값이다.

매질의 고유 임피던스가 공기의 1/3이므로 반사계수 −0.5, 투과계수 0.5이다.

$\eta_2=\dfrac{\eta_1}{\sqrt{9}}=\dfrac{\eta_1}{3}$
$R=\dfrac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1}=\dfrac{1/3-1}{1/3+1}=-0.5$
$T=\dfrac{2\eta_2}{\eta_2+\eta_1}=1+R=0.5$

임피던스가 작은 매질로 입사하므로 반사계수는 음수다.

• −0.4와 0.6: $T=1+R$는 만족하지만 반사계수 크기가 계산값과 다르다.
• 0.4와 0.6: 반사계수 부호가 틀렸고 $T=1+R$도 만족하지 않는다.
• 0.5와 0.5: 반사계수 부호가 틀렸고 $T=1+R$도 만족하지 않는다.

푸아송 방정식 $\nabla^2V=-\rho_v/\epsilon_0$을 적용하면 $\rho_v=-35\epsilon_0$이다.

$\dfrac{\partial^2V}{\partial x^2}=\dfrac{4}{x^3},\ \ \dfrac{\partial^2V}{\partial y^2}=6x,\ \ \dfrac{\partial^2V}{\partial z^2}=0$

$x=\tfrac{1}{2}$ 대입: $\nabla^2V=32+3=35$
$\rho_v=-\epsilon_0\nabla^2V=-35\epsilon_0$

• $-32\epsilon_0$: y에 대한 2계 미분 항 $6x$를 빠뜨린 값이다.
• $-30\epsilon_0$: 라플라시안 합 35와 맞지 않는다.
• $-26\epsilon_0$: 라플라시안 합 35와 맞지 않는다.

로렌츠 힘 $\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B})$을 계산하면 $2\vec{a_x}-2\vec{a_z}\,\mathrm{N}$이다.

$\vec{v}\times\vec{B}=(2,-1,1)\times(1,-2,2)=(0,\,-3,\,-3)$
$\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}=(1,\,0,\,-1)$
$\vec{F}=2(1,\,0,\,-1)=2\vec{a_x}-2\vec{a_z}$

전기력과 자기력을 벡터로 합한 뒤 전하량을 곱한다.

• $-3\vec{a_y}-3\vec{a_z}$: $\vec{v}\times\vec{B}$만 쓰고 전기력 항과 전하량을 빠뜨린 값이다.
• $2\vec{a_x}+6\vec{a_y}+4\vec{a_z}$: 전기력 $q\vec{E}$만 계산하고 자기력을 빠뜨린 값이다.
• $12\vec{a_x}+36\vec{a_y}+24\vec{a_z}$: 전기장과 평행한 벡터로 자기력 항이 반영되지 않았다.

손실이 있는 매질에서는 고유 임피던스가 복소수가 되므로 전기장과 자기장의 위상이 항상 같다는 설명은 옳지 않다.

도전율이 있으면 $\eta=|\eta|e^{j\theta}$로 위상각이 생겨 자기장이 전기장보다 위상이 뒤진다(양도체에서는 약 45°). 위상이 같은 것은 무손실 매질에 한한다.

• 전기장과 자기장이 서로 수직이라는 설명: 균일 평면파는 TEM파이므로 옳다.
• 두 장이 진행 방향과 수직이라는 설명: 진행 방향 성분이 없는 TEM파의 성질로 옳다.
• 전기장과 자기장 크기의 비가 일정하다는 설명: 그 비가 매질의 고유 임피던스 크기로 일정하므로 옳다.

원판 축 위의 전위는 $V=\dfrac{\rho_s}{2\epsilon_0}\left[\sqrt{a^2+z^2}-|z|\right]$이다.

반지름 $r$, 폭 $dr$인 고리의 전하 $dQ=\rho_s2\pi r\,dr$는 축 위 점까지 모두 같은 거리 $\sqrt{r^2+z^2}$에 있다.

$V=\int_0^a\dfrac{\rho_s2\pi r\,dr}{4\pi\epsilon_0\sqrt{r^2+z^2}}=\dfrac{\rho_s}{2\epsilon_0}\left[\sqrt{r^2+z^2}\right]_0^a=\dfrac{\rho_s}{2\epsilon_0}\left[\sqrt{a^2+z^2}-|z|\right]$

• $\dfrac{\rho_s}{2\epsilon_0}\left[\sqrt{a^2+z^2}+|z|\right]$: 하한 대입의 부호가 반대이며, 멀어질수록 전위가 커져 무한원 전위 0과 모순된다.
• $\dfrac{\rho_s}{2\epsilon_0}\left[-\dfrac{z}{\sqrt{a^2+z^2}}+1\right]$: 전위가 아니라 $z>0$에서의 전계 크기 표현이다.
• $\dfrac{\rho_s}{2\epsilon_0}\left[-\dfrac{z}{\sqrt{a^2+z^2}}-1\right]$: 전계 형태에 부호까지 틀린 식으로 전위가 아니다.

위상 항이 $\omega t-kx$이므로 +x 방향으로 진행하고, 전기장이 y→z로 회전하므로 오른손 원형 편파이다.

$x=0$에서 $t=0$일 때 $\vec{E}=20\vec{a_y}$, $\omega t=\pi/2$일 때 $\vec{E}=20\vec{a_z}$로 두 성분의 크기가 같고 위상차가 90°이다.

오른손 엄지를 진행 방향(+x)에 두면 네 손가락이 y→z로 감기므로 오른손 원형 편파다. 지면에서 나오는 파를 마주 볼 때 반시계 방향 회전이다.

• −x와 오른손 원형: 위상 항이 $\omega t-kx$이므로 −x 방향 진행이 아니다.
• −x와 왼손 원형: 진행 방향과 회전 방향이 모두 틀렸다.
• +x와 왼손 원형: 진행 방향은 맞지만 회전 방향이 반대다.

점 P의 자속밀도 크기는 $\dfrac{\mu_0I}{4\pi d}\dfrac{L}{\sqrt{L^2+d^2}}$이다.

유한 직선 전류: $B=\dfrac{\mu_0I}{4\pi d}\left(\sin\theta_2-\sin\theta_1\right)$ (각은 P에서 도선에 내린 수선 기준)

P가 도선 끝 바로 위에 있으므로 $\theta_1=0$, $\sin\theta_2=\dfrac{L}{\sqrt{L^2+d^2}}$이다. 수선의 발이 도선의 한쪽 끝이므로 계수 $4\pi$에 사인 값 하나만 남는다.

• $\dfrac{\mu_0I}{2\pi d}\dfrac{L}{\sqrt{L^2+d^2}}$: 계수를 무한 직선의 $2\pi$로 잡아 실제 값의 두 배가 된 식이다.
• $\dfrac{\mu_0I}{2\pi d}\dfrac{\sqrt{L^2+d^2}}{L}$: 사인 값을 역수로 뒤집어 1보다 큰 인자가 되므로 무한 직선 값을 넘어선다.
• $\dfrac{\mu_0I}{4\pi d}\dfrac{\sqrt{L^2+d^2}}{L}$: 계수는 맞지만 각 인자가 역수로 뒤집혔다.

매질 속 위상속도로 $\omega$와 B의 크기를 구하고 진행 방향으로 부호를 정하면 $\vec{B}=-5\times10^{-8}\cos(10^9t-10z)\vec{a_x}$이다.

위상속도: $v=\dfrac{c}{\sqrt{9}}=10^8\,\mathrm{m/s}$
$\omega=\beta v=10\times10^8=10^9\,\mathrm{rad/s}$
$B=\dfrac{E}{v}=\dfrac{5}{10^8}=5\times10^{-8}\,\mathrm{T}$

진행 방향 $\vec{a_z}$ = $\vec{E}$ 방향 × $\vec{B}$ 방향이므로 $\vec{a_y}\times(-\vec{a_x})=\vec{a_z}$, 즉 B는 −x 방향이다.

• $10^8t$이고 −x 방향인 식: 위상속도를 각주파수로 착각한 값이다.
• $10^8t$이고 +x 방향인 식: 각주파수와 방향이 모두 틀렸다.
• $10^9t$이고 +x 방향인 식: 각주파수는 맞지만 $\vec{E}\times\vec{B}$가 −z 방향이 되어 위상 항의 +z 진행과 맞지 않는다.

정합 조건에서 $Z_1=20\ \Omega$이다.

$\dfrac{\lambda}{4}$ 변환기의 입력 임피던스는 $Z_{in}=\dfrac{Z^2}{Z_{load}}$이다. 부하 쪽부터 차례로 변환한다.

둘째 구간: $Z_{in2}=\dfrac{40^2}{200}=8\ \Omega$
첫째 구간: $\dfrac{Z_1^2}{8}=50\Rightarrow Z_1^2=400\Rightarrow Z_1=20\ \Omega$

• 25 Ω: 입력 임피던스가 $625/8\approx78\ \Omega$으로 50 Ω과 정합되지 않는다.
• 30 Ω: $900/8=112.5\ \Omega$으로 정합되지 않는다.
• 40 Ω: $1600/8=200\ \Omega$으로 부하 값이 그대로 돌아와 정합되지 않는다.

토로이드 내부 자속밀도는 3 mT이다.

앙페르 법칙: $B=\dfrac{\mu_0NI}{2\pi r_0}$ (단면적은 자속 계산에만 쓰이며 자속밀도에는 영향이 없다)

$B=\dfrac{4\pi\times10^{-7}\times1000\times2.4}{2\pi\times0.16}=\dfrac{4.8\times10^{-4}}{0.16}=3\times10^{-3}\ \mathrm{T}=3\ \mathrm{mT}$

• 0.5 mT: 계산값의 6분의 1로, 앙페르 법칙 결과와 맞지 않는다.
• 1 mT: 계산값의 3분의 1로 맞지 않는다.
• 2 mT: 전류 2.4 A 대신 1.6 A를 넣어야 나오는 값으로 조건과 다르다.

점 P의 전기장 세 성분이 모두 +x 방향으로 더해져 크기는 21 V/m이다.

무한 면전하: $E=\dfrac{\rho_s}{2\epsilon_0}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{10^{-9}}{3\pi}\cdot36\pi\times10^{9}=6\ \mathrm{V/m}$
양전하 면(x=0)은 밀어내고 음전하 면(x=4)은 끌어당기므로 둘 다 +x, 합 12 V/m이다.

무한 선전하(P까지 4 m): $E=\dfrac{\rho_\ell}{2\pi\epsilon_0r}=\dfrac{2\times10^{-9}\times18\times10^{9}}{4}=9\ \mathrm{V/m}$
음전하로 향하므로 +x, 합계 $12+9=21\ \mathrm{V/m}$

• 6 V/m: 면전하 한 장의 기여만 본 값이다.
• 9 V/m: 선전하 기여만 본 값이다.
• 27 V/m: 세 기여의 합 21 V/m보다 크며, 면전하 기여(12 V/m)와 선전하 기여(9 V/m) 어느 조합으로도 나오지 않는다.

도체판의 단위 면적당 힘은 정전 에너지 밀도 $F^{\prime}=\tfrac{1}{2}\epsilon E^2$와 같아 $20\,\mathrm{N/m^2}$이다.

$E=\dfrac{V}{d}=\dfrac{100}{10^{-3}/\sqrt{\pi}}=\sqrt{\pi}\times10^5\ \Rightarrow\ E^2=\pi\times10^{10}$
$\epsilon=144\times\dfrac{10^{-9}}{36\pi}=\dfrac{4}{\pi}\times10^{-9}$

$F^{\prime}=\tfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{\pi}\times10^{-9}\times\pi\times10^{10}=20$

• 10: 결과의 절반으로 힘 공식의 계수를 잘못 적용한 값이다.
• 5: 결과의 1/4로 계산과 맞지 않는다.
• 1: 비유전율 반영 등 상수 처리가 틀린 값으로 계산과 맞지 않는다.

두 전류가 반대 방향이므로 서로 밀어내어 $\overrightarrow{F_2}\,'=2\overrightarrow{a_y}\ \mathrm{mN/m}$이다.