25년 1회차

계자전류를 줄이면 자속이 감소하므로 무부하속도는 증가하고 정격전류에서의 토크는 감소한다.

무부하에서는 역기전력이 단자전압과 거의 같아 $\omega_0\approx\dfrac{V}{k\phi}$이므로 속도는 자속에 반비례한다. 토크는 $T_e=k\phi I_a$이므로 같은 전류에서 자속에 비례해 줄어든다.

• 속도·토크 모두 감소: 자속이 줄면 무부하속도는 오히려 오른다(약계자 운전).
• 속도 감소·토크 증가: 속도와 토크 모두 반대 방향으로 판단한 조합이다.
• 속도·토크 모두 증가: 같은 전기자전류에서 자속이 줄면 토크도 줄어든다.

Δ-Y 결선에서 2차 선간전압은 1차의 √3배, 2차 선전류는 1차의 1/√3배가 된다.

1차 Δ의 상전압은 선간전압 $V_1$과 같고, 권선비 1:1이므로 2차 상전압도 $V_1$이다. 2차가 Y이므로 $V_2=\sqrt{3}\,V_1$이다.

1차 Δ의 상전류는 $\dfrac{I_1}{\sqrt{3}}$이고 2차 상전류도 같으며, Y결선은 선전류와 상전류가 같으므로 $I_2=\dfrac{I_1}{\sqrt{3}}$이다.

• 전압 1/√3배·전류 같음: 2차가 Y이면 선간전압은 상전압보다 √3배 커진다.
• 전압 같음·전류 1/√3배: 상전압과 선간전압의 √3배 관계를 빠뜨렸다.
• 전압 √3배·전류 같음: 전력이 보존되려면 전압이 √3배일 때 전류는 1/√3배여야 한다.

회전자동손은 공극전력에 슬립을 곱한 $sP_g$이다.

공극전력은 $P_g:P_{c2}:P_{em}=1:s:(1-s)$의 비로 나뉜다. 즉 $P_{c2}=sP_g$, $P_{em}=(1-s)P_g$이다.

• $(1-s)P_g$: 회전자동손이 아니라 기계적 동력이다.
• $\dfrac{P_{em}}{1-s}$: 공극전력 자체이다.
• $\dfrac{P_g}{s}$: 슬립 비례관계를 거꾸로 적용한 식이다.

3상 전파정류는 전원 한 주기에 6개의 펄스가 출력되므로 리플 맥동주파수는 전원주파수의 6배이다.

6개의 선간전압 중 가장 큰 값이 차례로 출력되어 한 주기 동안 여섯 차례 맥동한다. 펄스 수가 많을수록 리플이 작아진다.

• 2배: 단상 전파정류의 맥동주파수이다.
• 3배: 3상 반파정류의 맥동주파수이다.
• 12배: 6펄스 정류기 두 대를 30° 위상차로 조합한 12펄스 정류의 값이다.

입력전력에 효율을 곱해 출력을 구하고 토크로 나누면 회전속도는 $\dfrac{4800}{\pi}\ \mathrm{rpm}$이다.

전기자전류: $I_a=\dfrac{T}{k_T}=\dfrac{1}{0.5}=2\ \mathrm{A}$
입력: $P_{in}=100\times2=200\ \mathrm{W}$, 출력: $P_o=0.8\times200=160\ \mathrm{W}$

기계손을 무시하므로 $P_o=T\omega$: $\omega=\dfrac{160}{1}=160\ \mathrm{rad/s}$
$N=\dfrac{60\omega}{2\pi}=\dfrac{60\times160}{2\pi}=\dfrac{4800}{\pi}\ \mathrm{rpm}$

효율을 적용하지 않고 입력 200 W를 그대로 출력으로 보면 효율 기준을 놓친 것이다.

심구형(NEMA B형)은 기동토크는 일반형과 비슷하지만 기동전류가 작다.

기동 시 회전자 주파수가 높아 깊은 도체에 표피효과가 생겨 실효저항이 커지고, 깊은 슬롯 때문에 누설리액턴스도 커진다. 커진 리액턴스가 기동전류를 줄이고, 커진 저항이 토크 감소를 보상한다.

• 기동 시 회전자저항 감소: 표피효과로 저항은 오히려 증가한다.
• 기동 시 누설리액턴스 감소: 슬롯이 깊어 누설리액턴스는 증가한다.
• 기동토크·기동전류 모두 크게 증가: 기동전류는 오히려 줄어든다.

배터리의 직류를 전동기 구동용 가변전압·가변주파수 교류로 바꿔야 하므로 인버터(DC-AC)가 필요하다.

영구자석 동기전동기는 회전자 위치에 맞춘 3상 교류로 속도·토크를 제어하는데, 전원이 직류이므로 직류를 교류로 바꾸는 장치가 쓰인다.

• 사이클로컨버터: 교류를 다른 주파수의 교류로 바꾸는 AC-AC 변환기이다.
• SCR 제어정류기: 교류를 직류로 바꾸는 AC-DC 변환기이다.
• 승압형 AC-DC 컨버터: 교류 입력을 직류로 바꾸는 장치라 직류 배터리 전원에 맞지 않는다.

역기전력 300 V, 전기자전류 100 A이므로 기계적 출력은 30 kW이다.

중권이므로 병렬회로수는 극수와 같은 4이다.
$E=\dfrac{PZ\phi N}{60a}=\dfrac{4\times360\times0.05\times1000}{60\times4}=300\ \mathrm{V}$

$I_a=\dfrac{V-E}{R_a}=\dfrac{320-300}{0.2}=100\ \mathrm{A}$
$P=EI_a=300\times100=30\ \mathrm{kW}$

입력 $VI_a=32\ \mathrm{kW}$를 출력으로 착각하지 않도록 한다. 차이 2 kW는 전기자 동손이다.

순환전류는 두 기전력의 차를 두 동기리액턴스의 합으로 나눈 값으로 10 A이다.

기전력 차: $|\dot E_A-\dot E_B|=2E\sin\dfrac{\delta}{2}=2\times2000\times\sin30^\circ=2000\ \mathrm{V}$

$I_c=\dfrac{2000}{2X_s}=\dfrac{2000}{2\times100}=10\ \mathrm{A}$

리액턴스를 한 대분(100 Ω)만 쓰면 두 배 값이 나오므로, 순환 경로가 두 발전기를 모두 지난다는 점에 주의한다.

네오디뮴 자석은 동작온도가 오르면 보자력이 줄어든다. 온도계수가 커서 고온에서 감자될 위험이 있다.

영구자석은 외부 자계를 없애도 남는 잔류자속과, 이를 없애는 데 필요한 보자력이 커야 한다. 네오디뮴은 둘 다 크지만 열에 약하다.

• 잔류자속이 0: 잔류자속이 있어야 영구자석이 된다.
• 알니코 보자력이 네오디뮴보다 큼: 알니코는 보자력이 작아 쉽게 감자된다.
• 페라이트 자속밀도가 네오디뮴보다 높음: 페라이트는 잔류자속밀도가 낮고 네오디뮴이 훨씬 높다.

발전기 입력, 즉 원동기 출력이 500 kW이므로 원동기 효율은 약 90.91 %이다.

발전기 출력: $500\times0.9=450\ \mathrm{kW}$
발전기 입력: $\dfrac{450}{0.9}=500\ \mathrm{kW}$

원동기 효율: $\eta=\dfrac{500}{550}\times100\approx90.91\ \%$

발전기까지 포함한 종합효율은 $\dfrac{450}{550}\approx81.8\ \%$로, 묻는 효율의 기준을 구분해야 한다.

최고효율 조건(철손=동손)을 50 % 부하에 적용하면 75 % 부하에서의 손실비는 2.25이다.

정격 동손을 $P_{cn}$이라 하면 최고효율 조건: $P_i=(0.5)^2P_{cn}=0.25P_{cn}$

75 % 부하 동손: $P_c=(0.75)^2P_{cn}=0.5625P_{cn}$
$\dfrac{P_c}{P_i}=\dfrac{0.5625}{0.25}=2.25$

동손은 부하율의 제곱에 비례하고 철손은 부하와 무관하게 일정하다는 점이 핵심이다.

유기기전력이 180 V로 늘고 각종 전압강하를 빼면 단자전압은 167 V이다.

무부하 단자전압 100 V가 곧 유기기전력이고, $E\propto\phi N$이므로
$E'=100\times1.2\times1.5=180\ \mathrm{V}$

$V=E'-I_aR_a-e_b-e_a=180-50\times0.2-2-1=167\ \mathrm{V}$

전기자 저항강하 10 V에 더해 브러시·전기자반작용 강하까지 모두 빼야 한다.

유기기전력은 계자전류(자속)와 회전속도의 곱에 비례하므로 필요한 계자전류는 2.2 A이다.

자기포화를 무시하면 $E=kI_fN$이다.
$\dfrac{220}{200}=\dfrac{I_f\times1200}{1\times2400}$

$I_f=1.1\times\dfrac{2400}{1200}=2.2\ \mathrm{A}$

속도가 절반이 되었으므로 같은 전압에도 계자전류가 두 배 필요하고, 여기에 전압 10 % 증가분이 곱해진다.

비례추이로 슬립을 0.05에서 0.3으로 6배 키워야 하므로 외부저항은 회전자저항의 5배이다.

동기속도: $N_s=\dfrac{120\times60}{4}=1800\ \mathrm{rpm}$
$s_1=\dfrac{1800-1710}{1800}=0.05$, $s_2=\dfrac{1800-1260}{1800}=0.3$

토크 일정 조건: $\dfrac{r_2}{s_1}=\dfrac{r_2+R}{s_2}$에서 $\dfrac{r_2+R}{r_2}=\dfrac{0.3}{0.05}=6$
$R=5r_2$

슬립비 6을 그대로 외부저항 배수로 쓰면 틀린다. 6배는 회전자회로 전체 저항의 배수이다.

회전자동손과 슬립으로 공극전력을 구해 동기각속도로 나누면 유기토크는 40 N·m이다.

$P_g=\dfrac{P_{c2}}{s}=\dfrac{400}{0.05}=8000\ \mathrm{W}$
$\omega_s=\dfrac{\omega_r}{1-s}=\dfrac{190}{0.95}=200\ \mathrm{rad/s}$

$T_e=\dfrac{P_g}{\omega_s}=\dfrac{8000}{200}=40\ \mathrm{N\cdot m}$

검산: 기계적 동력 $(1-s)P_g=7600\ \mathrm{W}$를 회전자속도로 나눠도 $\dfrac{7600}{190}=40$으로 같다.

상당 동기임피던스의 단위법 값은 단락비의 역수이므로 2.5/√3 [pu]이다.

단락비는 정격전압을 내는 계자전류와 정격전류를 흘리는 계자전류의 비 $K=\dfrac{I_{f1}}{I_{f2}}$이고, 단락특성이 직선이므로 $\dfrac{I_{f1}}{I_{f2}}=\dfrac{I_s}{I_n}$이다.

정격전류 $I_n=\dfrac{50\times10^6}{\sqrt{3}\times10\times10^3}=\dfrac{5000}{\sqrt{3}}\ \mathrm{A}$
$Z_s=\dfrac{1}{K}=\dfrac{I_n}{I_s}=\dfrac{5000/\sqrt{3}}{2000}=\dfrac{2.5}{\sqrt{3}}\ \mathrm{pu}$

• 1.1은 계산값 $2.5/\sqrt{3}\approx1.44$와 맞지 않는다.
• 2.5는 선간·상 기준 환산에서 √3을 빠뜨린 값이다.
• 2.5√3은 정격전류를 구할 때 √3을 분자에 잘못 둔 값이다.

부하율 20 %에서 손실 합 50 W와 효율 80 %로 출력 200 W가 나오므로 역률은 0.5이다.

철손 $P_i=46\ \mathrm{W}$, 동손 $P_c=(0.2)^2\times100=4\ \mathrm{W}$, 손실 합은 50 W이다.

$\eta=\dfrac{P}{P+50}=0.8$에서 $P=200\ \mathrm{W}$
$\cos\theta=\dfrac{200}{0.2\times2000}=0.5$

동손은 부하율의 제곱으로 줄어드므로 부하율을 한 번만 곱한 20 W로 계산하지 않도록 한다.

병렬운전 중인 두 발전기는 같은 주파수로 운전하므로 동작주파수는 57 Hz, A의 분담 부하는 1.5 MW이다.

그래프에서 무부하 60 Hz, 2 MW일 때 A는 56 Hz, B는 54 Hz이므로 A의 기울기는 2 Hz/MW, B의 기울기는 3 Hz/MW이다.

$P_A=\dfrac{60-f}{2},\ P_B=\dfrac{60-f}{3}$
$P_A+P_B=\dfrac{5}{6}(60-f)=2.5\ \Rightarrow\ f=57\ \mathrm{Hz}$
$P_A=\dfrac{60-57}{2}=1.5\ \mathrm{MW},\ P_B=1\ \mathrm{MW}$

• A의 부하를 1 MW로 본 조합은 기울기가 더 큰(주파수 강하가 큰) B의 분담분을 A로 바꿔 놓은 것이다.
• 58.5 Hz에서는 A가 0.75 MW, B가 0.5 MW로 합이 1.25 MW에 불과해 부하 2.5 MW를 감당하지 못한다.

축출력에 기계손을 더한 102 kW와 회전자동손 6 kW로 슬립 1/18을 얻으면 회전속도는 3,400 rpm이다.

기계적 동력: $P_{em}=100+2=102\ \mathrm{kW}$
공극전력: $P_g=102+6=108\ \mathrm{kW}$

$s=\dfrac{P_{c2}}{P_g}=\dfrac{6}{108}=\dfrac{1}{18}$
$N=N_s(1-s)=3600\times\dfrac{17}{18}=3400\ \mathrm{rpm}$

2극 60 Hz의 동기속도는 3,600 rpm이며, 기계손을 빠뜨리지 않도록 손실 흐름 순서(공극전력 → 회전자동손 → 기계손 → 축출력)를 지킨다.

120° 통전방식에서는 역기전력이 가장 큰 상을 직류 (+)측에, 가장 작은 상을 (−)측에 연결하므로 T2와 T6를 도통시킨다.

회로에서 상단 스위치 T1·T2·T3는 각각 a·b·c상을 (+)단에, 하단 스위치 T4·T5·T6는 각각 a·b·c상을 (−)단에 연결한다. 따라서 b상 상단 스위치와 c상 하단 스위치가 짝이 된다.

• T1, T6 조합은 역기전력 최대상이 아닌 a상을 (+)측에 연결한다.
• T3, T4 조합은 c상을 (+)측, a상을 (−)측에 연결해 측정 결과와 무관한 상을 구동한다.
• T3, T5 조합은 최솟값 상인 c상을 오히려 (+)측에, 최댓값 상인 b상을 (−)측에 연결해 토크가 역방향이 된다.

플라이백 컨버터의 전압전달비는 권선비와 D/(1−D)의 곱으로 정해지며, 1/4을 만족하는 조합은 N1=40, N2=10, D=1/2이다.

$G_V=\dfrac{V_o}{V_i}=\dfrac{N_2}{N_1}\cdot\dfrac{D}{1-D}$
$\dfrac{10}{40}\cdot\dfrac{1/2}{1-1/2}=\dfrac{1}{4}\cdot1=\dfrac{1}{4}$

• N1=10, N2=40, D=1/2이면 $4\times1=4$로 승압이 되어 맞지 않는다.
• N1=10, N2=20, D=1/4이면 $2\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$이다.
• N1=20, N2=10, D=1/4이면 $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$이다.

300 V에서 정격의 2배 전류가 흘렀으므로 정격전류 기준 임피던스 전압은 150 V이고, %임피던스 강하는 3 %이다.

2차 정격전류: $I_{2n}=\dfrac{10000}{200}=50\ \mathrm{A}$이므로 단락전류 100 A는 정격의 2배이다.

임피던스 전압: $V_s=\dfrac{300}{2}=150\ \mathrm{V}$
$\%Z=\dfrac{150}{5000}\times100=3\ \%$

300 V를 그대로 쓰면 6 %가 되므로 정격전류로 환산하는 단계가 핵심이다.

주파수 50 Hz로 상전압 5 kV를 구한 뒤 Y결선 선간전압으로 바꾸면 무부하 단자전압은 $5\sqrt{3}\ \mathrm{kV}$이다.

주파수: $f=\dfrac{PN_s}{120}=\dfrac{16\times375}{120}=50\ \mathrm{Hz}$

상전압: $E=\sqrt{2}\pi fN\phi k_w=\sqrt{2}\pi\times50\times100\times\dfrac{1}{\sqrt{2}\,\pi}=5000\ \mathrm{V}$
선간전압: $V=\sqrt{3}E=5\sqrt{3}\ \mathrm{kV}$

상전압 5 kV에서 멈추면 상/선간 혼동 함정에 걸린다.

병렬운전 시 분담전류는 정격용량에 비례하고 %임피던스에 반비례하므로 전류비는 1.0이다.

$\dfrac{I_B}{I_A}=\dfrac{P_B}{P_A}\times\dfrac{\%Z_A}{\%Z_B}=\dfrac{300}{400}\times\dfrac{4}{3}=1.0$

실제 임피던스[Ω]로 환산하면 두 대가 같아 전류를 똑같이 나눈다. 다만 정격용량이 작은 B의 부하율이 더 높다.