25년 1회차

원형관과 정사각형관의 모세관 상승 높이는 같다.

원형관은 표면장력 연직성분 $\pi D T\cos\theta$가 물기둥 무게 $w h_1 \pi D^2/4$와 평형하여 $h_1 = \dfrac{4T\cos\theta}{wD}$이다.

정사각형관은 둘레 $4L$, 단면적 $L^2$이므로 $4LT\cos\theta = w h_2 L^2$에서 $h_2 = \dfrac{4T\cos\theta}{wL}$이고, $D = L$이면 둘레/단면적 비가 같아 두 높이가 일치한다.

• 원형관이 더 낮다는 판단은 둘레/단면적 비가 같다는 점을 놓친 것이다.
• 원형관이 더 높다는 판단도 같은 이유로 성립하지 않는다.
• 재질(접촉각)이 같다고 주어졌으므로 비교가 불가능하지 않다.

동압력은 $\rho\dfrac{V^2}{2}$로 표현된다.

베르누이 식을 압력 차원으로 쓰면 $p + \dfrac{\rho V^2}{2} + \rho g z = \mathrm{const}$이며, 여기서 $\rho V^2/2$가 동압력이다(단위 $\mathrm{Pa}$).

• $V^2/2g$는 압력이 아니라 길이 차원인 속도수두이다.
• $\rho V^2/2g$는 밀도와 속도수두의 곱으로 압력 차원이 맞지 않는다.
• $wV^2/2$는 $g$로 나누지 않아 차원이 맞지 않으며, 단위중량으로 쓰려면 $wV^2/2g$가 되어야 한다.

레이놀즈 수는 $2.5 \times 10^6$이다.

공식: $Re = \dfrac{VD}{\nu}$

대입: $Re = \dfrac{2 \times 1.25}{1.0 \times 10^{-6}} = 2.5 \times 10^6$

값이 4,000을 크게 넘으므로 난류 흐름이다.

한계수심은 일정 유량에서 비에너지가 최소가 되는 수심이다.

한계수심에서는 프루드 수가 1이고, 평균유속이 장파의 전파속도 $\sqrt{gh}$와 같으며, 비력도 최소가 된다.

• 프루드 수가 1보다 큰 흐름은 사류이며, 그 수심은 한계수심보다 얕다.
• 일정 유량에서 한계수심의 비력은 최대가 아니라 최소이다.
• 평균유속이 장파 전파속도보다 작은 흐름은 상류이며, 한계수심에서는 두 속도가 같다.

유역 최원점의 강우가 출구까지 흘러오는 데 걸리는 시간은 도달시간이다.

도달시간은 합리식에서 강우지속기간을 정하는 기준이 되며, 유역 전체가 출구 유출에 기여하기 시작하는 시간이다.

• 지체시간은 유효우량 중심에서 첨두유량(또는 유출 중심)까지의 시간이다.
• 기저시간은 직접유출이 시작되어 끝날 때까지의 시간이다.
• 첨두시간은 직접유출 시작에서 첨두유량 발생까지의 시간이다.

손실수두는 2.0 m이다.

공식: $h_L = f\dfrac{L}{D}\dfrac{V^2}{2g}$

대입: $h_L = 0.02 \times \dfrac{100}{0.2} \times \dfrac{2^2}{2 \times 10} = 0.02 \times 500 \times 0.2 = 2.0\ \mathrm{m}$

속도수두 $V^2/2g$에 중력가속도 10을 그대로 쓰는 것이 핵심이다.

관로의 직경은 40 cm이다.

$V = \dfrac{4Q}{\pi D^2}$를 $Re = \dfrac{VD}{\nu}$에 넣으면 $Re = \dfrac{4Q}{\pi D \nu}$이므로 $D = \dfrac{4Q}{\pi\, Re\, \nu}$이다.

대입: $Q = 0.6\ \mathrm{L/s} = 6 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^3/s}$
$D = \dfrac{4 \times 6 \times 10^{-4}}{3 \times 2000 \times 1.0 \times 10^{-6}} = \dfrac{2.4 \times 10^{-3}}{6 \times 10^{-3}} = 0.4\ \mathrm{m}$

유량을 L에서 $\mathrm{m^3}$로 환산하지 않으면 값이 1,000배 어긋난다.

수문에 작용하는 힘은 7,425 kgf이다. 상·하류 단면 사이 검사체적에 운동량 방정식을 세워 구한다.

정수압 차: $\dfrac{\gamma B}{2}(y_1^2-y_2^2)=\dfrac{1000\times1}{2}(16-1)=7500\ \mathrm{kg_f}$

유속: $V_1=\dfrac{1}{1\times4}=0.25\ \mathrm{m/s}$, $V_2=\dfrac{1}{1\times1}=1\ \mathrm{m/s}$
운동량 변화: $\dfrac{\gamma}{g}Q(V_2-V_1)=\dfrac{1000}{10}\times1\times0.75=75\ \mathrm{kg_f}$

$F_{Rx}=7500-75=7425\ \mathrm{kg_f}$

• 7,475는 유입 운동량($\rho QV_1=25$)만 빼고 유출 속도를 반영하지 않은 값이다.
• 7,525는 유입 운동량 25를 더해 부호를 반대로 처리한 값이다.
• 7,575는 운동량 변화 75를 빼지 않고 더해 수문 반력의 방향을 거꾸로 잡은 값이다.

집수량은 0.003 $m^{3}/s$이다. 불투수층 위 집수암거는 양쪽에서 지하수가 유입되므로 한쪽 유입량의 2배를 취한다.

한쪽 유입량은 $q=\dfrac{kl(H^2-h^2)}{2R}$이므로 전체는 $Q=\dfrac{kl(H^2-h^2)}{R}$이다.

$k=0.1\ \mathrm{cm/s}=0.001\ \mathrm{m/s}$
$Q=\dfrac{0.001\times100\times(2^2-1^2)}{100}=0.003\ \mathrm{m^3/s}$

• 0.004·0.005·0.006은 위 식에 어떤 조건을 넣어도 나오지 않는 값으로, 투수계수 단위 환산이나 수위 제곱 차 계산을 잘못한 경우이다.
• 한쪽 유입만 고려하면 0.0015가 되어 보기에 없으므로 양측 유입으로 계산해야 한다.

수평력은 5,000 N/m, 연직력은 7,850 N/m이다. 곡면 AB는 관 바닥에서 수면까지의 사분원 호이다.

수평력 = 곡면의 연직 투영면(높이 1 m)에 작용하는 정수압
$F_h=\gamma h_G A=10\times0.5\times(1\times1)=5\ \mathrm{kN/m}$

연직력 = 곡면 위 물의 무게(사분원 면적)
$F_v=\gamma\dfrac{\pi r^2}{4}=10\times\dfrac{3.14\times1^2}{4}=7.85\ \mathrm{kN/m}$

• 500과 785의 조합은 kN을 N으로 환산할 때 자릿수를 하나 적게 잡은 값이다.
• 785와 500의 조합은 자릿수 오류에 더해 수평·연직을 뒤바꾼 값이다.
• 7,850과 5,000의 조합은 수평력과 연직력을 서로 바꿔 짝지은 값이다.

수면형은 M1 곡선이다. $h_n\gt h_c$이므로 완경사 수로(M)이고, 수심이 등류수심보다 깊으므로 1구역이다.

댐에 의한 배수(背水)로 상류 수면이 등류수심 위로 올라가는 전형적인 배수곡선이 M1이다.

• M2는 $h_n\gt h\gt h_c$인 저하곡선으로, 수로 끝 낙하부 상류에 생긴다.
• S1은 급경사 수로($h_c\gt h_n$)에서 수심이 한계수심보다 깊을 때의 곡선이다.
• S2는 급경사 수로에서 $h_c\gt h\gt h_n$인 경우로, 경사 변화점 하류에 생긴다.

모형 수로에 흘려야 할 유량은 0.005 $\mathrm{m^3/s}$이다.

개수로 모형은 프루드 상사를 따르므로 유량비는 $Q_r = L_r^{5/2}$이다.

대입: $Q_r = 100^{5/2} = 10^5$
$Q_m = \dfrac{500}{10^5} = 0.005\ \mathrm{m^3/s}$

• 길이비 그대로 나누면 5가 되어 틀린다.
• 길이비의 제곱으로 나누면 0.05가 되어 틀린다.

기저유출은 유출곡선지수(CN)를 결정하는 인자가 아니다.

CN은 NRCS(SCS) 방법에서 직접유출 잠재능을 나타내는 지수로, 토지이용·피복 상태와 수문학적 토양군, 선행토양함수조건으로 정해진다. 기저유출은 지하수에서 공급되는 성분으로 직접유출 산정과 무관하다.

• 토지이용상태는 불투수 면적 비율을 좌우하는 CN 결정 인자이다.
• 토양의 종류는 수문학적 토양군(A~D)으로 분류되어 CN 결정 인자가 된다.
• 식생의 피복상태는 차단·침투에 영향을 주는 CN 결정 인자이다.

뉴턴유체의 전단응력-속도변화율 관계는 원점을 지나는 직선이다.

뉴턴의 점성법칙 $\tau = \mu\dfrac{du}{dy}$에서 점성계수 $\mu$가 일정하므로 기울기가 일정하고, 속도변화율이 0이면 전단응력도 0이다.

• 원점을 지나는 곡선은 의소성·팽창성 유체처럼 점성이 변하는 비뉴턴유체이다.
• 원점을 지나지 않는 직선은 항복응력을 넘어야 흐르는 빙햄 유체이다.
• 원점을 지나지 않는 곡선은 항복응력이 있고 점성도 변하는 비뉴턴유체이다.

평수량은 약 150 $m^{3}/s$이다. 평수량은 1년 중 185일은 이보다 작아지지 않는 유량이다.

유량변동곡선에서 누가일수 185일 부근의 유량을 읽으면 약 150이다(180일에서 150 격자선과 만난다).

• 50은 누가일수 약 280일의 유량으로, 저수량(275일) 부근에 해당한다.
• 100은 약 220일 부근의 값으로 평수량보다 작다.
• 200은 누가일수 150일의 값으로, 풍수량(95일)과 평수량 사이에 해당한다.

한계류 상태의 수심은 4.0 m이다.

직사각형 단면에서 한계류일 때 속도수두가 수심의 절반이므로 $E = h_c + \dfrac{h_c}{2} = \dfrac{3}{2}h_c$이다.

대입: $h_c = \dfrac{2}{3} \times 6 = 4.0\ \mathrm{m}$

비에너지의 2/3가 한계수심이라는 관계만 기억하면 바로 풀린다.

도시화로 증가하는 유효우량은 약 7.23 mm이다.

공식: $S = \dfrac{25400}{CN} - 254$, $I_a = 0.2S$, $Q = \dfrac{(P - I_a)^2}{P - I_a + S}$ ($P \gt I_a$일 때)

도시화 이전: $S = \dfrac{25400}{50} - 254 = 254\ \mathrm{mm}$, $I_a = 50.8\ \mathrm{mm}$
강우 24 mm가 초기손실보다 작아 유효우량은 0이다.

도시화 이후: $S = \dfrac{25400}{90} - 254 \approx 28.22\ \mathrm{mm}$, $I_a \approx 5.64\ \mathrm{mm}$
$Q = \dfrac{(24 - 5.64)^2}{24 - 5.64 + 28.22} \approx \dfrac{336.9}{46.58} \approx 7.23\ \mathrm{mm}$ 따라서 증가량은 $7.23 - 0 = 7.23\ \mathrm{mm}$이다.

60분 지속기간 최대강우강도는 55 mm/hr이다.

30분 간격 누가우량에서 연속한 60분 구간의 차를 구한다.

07:00~08:00은 40, 07:30~08:30은 46, 08:00~09:00은 $95 - 40 = 55$, 08:30~09:30은 47, 09:00~10:00은 17 mm이다.

최댓값 55 mm가 60분 동안 내렸으므로 강도는 $55\ \mathrm{mm/hr}$이다.

사이펀 정점부의 위치가 높을수록 정점부 압력은 증가하는 것이 아니라 감소한다.

정점부 압력수두는 동수경사선과 관 정점의 고저차만큼 대기압보다 낮아지므로, 정점이 높을수록 부압이 커진다.

• 관이 동수경사선 위로 올라가는 구간에서는 대기압보다 낮은 부압이 생긴다.
• 사이펀은 관의 일부가 동수경사선보다 높이 지나는 관수로를 말한다.
• 정점부 부압이 대기압 수두 한계에 가까워지면 공동현상으로 흐름이 끊기므로, 실무에서는 이론 한계보다 작은 고저차를 넘으면 사이펀을 적용하지 않는다.

$X$에 해당하는 유량은 170 $\mathrm{m^3/s}$이다.

단위유량도의 직접유출 총량은 유효우량 1 cm에 유역면적을 곱한 체적과 같다.

체적: $0.01\ \mathrm{m} \times 180 \times 10^6\ \mathrm{m^2} = 1.8 \times 10^6\ \mathrm{m^3}$
유량 합: $\sum Q \times 3600 = 1.8 \times 10^6$에서 $\sum Q = 500\ \mathrm{m^3/s}$

대입: $0 + 80 + X + 120 + 80 + 40 + 10 + 0 = 500$이므로 $X = 170$이다. 시간 간격 1 hr = 3,600 s 환산을 빠뜨리지 않는 것이 핵심이다.

온도가 상승하면 물의 동점성계수는 커지는 것이 아니라 작아진다.

물은 온도가 오르면 점성계수가 크게 줄고 밀도 변화는 작으므로, $\nu = \mu/\rho$인 동점성계수도 감소한다.

• 액체인 물은 온도가 상승하면 분자 간 응집력이 약해져 점성계수가 작아진다.
• 동점성계수는 점성계수를 밀도로 나눈 값이며 단위로 stokes($\mathrm{cm^2/s}$)를 쓴다.
• 액체는 온도 상승 시 점성이 줄고 기체는 분자 운동량 교환이 늘어 점성이 커지므로 서로 상반된다.

평균유속은 약 3.33 m/s이다.

단면: $A = 6.0 \times 1.5 = 9.0\ \mathrm{m^2}$, 윤변 $P = 6.0 + 2 \times 1.5 = 9.0\ \mathrm{m}$, $R = A/P = 1.0\ \mathrm{m}$

Manning 공식: $V = \dfrac{1}{n}R^{2/3}S^{1/2} = \dfrac{1}{0.015} \times 1.0 \times \sqrt{0.0025} = \dfrac{0.05}{0.015} \approx 3.33\ \mathrm{m/s}$

수심 1.5 m로 흐르는 개수로 상태이므로 윤변에 수면 폭을 넣지 않는다.

평판이 받는 힘은 30 N이다. 평판이 제트 쪽으로 움직이므로 상대속도는 두 속도의 합이다.

$V_r=V_j+V_p=6+4=10\ \mathrm{m/s}$
$A=\dfrac{\pi d^2}{4}=\dfrac{3\times0.02^2}{4}=0.0003\ \mathrm{m^2}$

$F=\rho A V_r^2=1000\times0.0003\times10^2=30\ \mathrm{N}$

• 평판을 정지한 것으로 보고 제트 속도만 쓰면 $\rho A V_j^2=1000\times0.0003\times6^2=10.8\ \mathrm{N}$으로 20·40·50 어느 값도 나오지 않는다.
• 상대속도를 두 속도의 차($6-4=2\ \mathrm{m/s}$)로 잡으면 1.2 N이 되는데, 평판이 제트 쪽으로 다가오므로 상대속도는 합으로 잡아야 한다.

난류 조건을 만족하는 최소 유량은 0.314 L/s이다.

원형관에서 난류는 레이놀즈 수 4,000 이상을 기준으로 본다.

유속: $V = \dfrac{Re\,\nu}{D} = \dfrac{4000 \times 1.0 \times 10^{-6}}{0.1} = 0.04\ \mathrm{m/s}$
유량: $Q = \dfrac{3.14 \times 0.1^2}{4} \times 0.04 = 3.14 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^3/s} = 0.314\ \mathrm{L/s}$

• 층류 한계인 레이놀즈 수 2,000을 쓰면 0.157 L/s가 나오는데, 이는 난류가 아니라 층류 상한에 해당한다.

한계수심은 10 m이다.

단위폭 유량: $q = \dfrac{1000}{10} = 100\ \mathrm{m^2/s}$

직사각형 단면 한계수심: $h_c = \left(\dfrac{\alpha q^2}{g}\right)^{1/3} = \left(\dfrac{100^2}{10}\right)^{1/3} = 1000^{1/3} = 10\ \mathrm{m}$

전체 유량이 아니라 단위폭 유량을 넣어야 한다.