25년 1회차

발산 렌즈는 물체와 같은 쪽 25 cm 위치에 허상을 만들므로 상과 물체 사이의 거리는 25 cm이다.

렌즈 공식 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{f}$에 $a=50\,\mathrm{cm}$, $f=-50\,\mathrm{cm}$를 대입한다.
$\dfrac{1}{b}=-\dfrac{1}{50}-\dfrac{1}{50}=-\dfrac{1}{25}$, 즉 $b=-25\,\mathrm{cm}$이다.

부호가 음이므로 상은 물체와 같은 쪽에 생기며, 두 지점 사이 거리는 $50-25=25\,\mathrm{cm}$이다.

• 10 cm: 거리를 계산할 근거가 없는 값이다.
• 75 cm: 상이 렌즈 반대쪽에 생긴다고 보고 50과 25를 더한 값이다.
• 무한대: 물체가 볼록 렌즈의 초점에 놓일 때의 결과로, 발산 렌즈는 항상 유한한 거리에 허상을 만든다.

B가 C를 미는 힘의 크기는 7 N이다.

힘 $F$는 C를 왼쪽으로 밀고, C는 B를 통해 A와 B 전체를 가속시킨다. A와 B를 한 덩어리로 보면 $F_{\mathrm{CB}}=(2+5)\times 1=7\,\mathrm{N}$이다.

작용·반작용에 의해 B가 C를 미는 힘도 7 N이다(C의 운동방정식 $10-7=3\times 1$로도 확인된다).

• 0 N: 물체들이 붙어 함께 가속하므로 접촉력이 0일 수 없다.
• 3 N: C 자체의 질량에 필요한 알짜힘 크기일 뿐 접촉력이 아니다.
• 5 N: B 하나만 가속시키는 힘으로, A까지 함께 미는 것을 빠뜨린 값이다.

힘의 크기는 $\frac{1}{2}mg\tan\theta$이다.

회전 중심점에 대한 돌림힘 평형을 쓴다. 수평력 $F$의 팔은 $L\cos\theta$, 막대 중심에 작용하는 중력의 팔은 $\frac{L}{2}\sin\theta$이다.

$FL\cos\theta=mg\frac{L}{2}\sin\theta$
$F=\frac{1}{2}mg\tan\theta$

• $mg\cot\theta$: 팔 길이를 서로 바꾸고 중력 작용점을 끝으로 잡은 값이다.
• $mg\tan\theta$: 균일한 막대의 무게중심이 가운데임을 빠뜨린 값이다.
• $\frac{1}{2}mg\cot\theta$: 두 힘의 팔(사인·코사인)을 뒤바꾼 값이다.

한쪽 끝이 막힌 관의 기본 진동수는 100 Hz이다.

폐관의 기본 진동에서는 관 길이가 4분의 1 파장이다.
$\lambda=4L=4\times0.85=3.4\,\mathrm{m}$

$f=\dfrac{v}{\lambda}=\dfrac{340}{3.4}=100\,\mathrm{Hz}$

• 200 Hz: 양쪽이 열린 관처럼 관 길이를 반파장으로 본 값이다.
• 150 Hz, 300 Hz: 폐관은 기본 진동수의 홀수배만 생기므로 300 Hz는 3배 진동이고, 150 Hz는 정상파 조건에 맞지 않는다.

발견 확률이 가장 높은 구간은 b, 가장 낮은 구간은 c이다.

입자가 발견될 확률밀도는 $|\psi(x)|^2$에 비례하므로 파동함수의 부호가 아니라 크기가 중요하다. 구간 a, b, c에서의 크기는 각각 $|A|$, $|B|$, $|C|$이고, 폭이 같으므로 $|B|>|A|>|C|$ 순서가 곧 확률 순서다.

• a가 가장 높다는 연결: b에서 파동함수가 음수이지만 크기는 더 크므로 틀리다.
• b가 가장 낮다는 연결: 음의 값을 작은 확률로 오해한 것으로, 확률은 제곱에 비례한다.
• c가 가장 높다는 연결: c 구간의 크기가 셋 중 가장 작다.

등속 원운동의 구심가속도는 $\dfrac{\pi^2}{2}\,\mathrm{m/s^2}$이다.

주기 $T$로 반지름 $r$인 원을 돌 때 $a=\dfrac{4\pi^2 r}{T^2}$이다.

$a=\dfrac{4\pi^2\times2}{4^2}=\dfrac{8\pi^2}{16}=\dfrac{\pi^2}{2}$

• $\pi$: 속력 $v=\dfrac{2\pi r}{T}=\pi\,\mathrm{m/s}$를 가속도로 착각한 값이다.
• $\pi^2$: $v^2$을 반지름으로 나누지 않은 값이다.
• $2\pi^2$: 반지름을 나누지 않고 곱한 값이다.

B가 1초당 방출하는 에너지는 A의 4배이다.

슈테판-볼츠만 법칙에 따라 복사 일률은 표면적과 절대온도의 4제곱에 비례한다.
$P=e\sigma(4\pi R^2)T^4\propto R^2T^4$

$\dfrac{P_{\mathrm{B}}}{P_{\mathrm{A}}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\times2^4=\dfrac{1}{4}\times16=4$

• 1배: 온도 의존을 제곱으로 잘못 둔 값이다($\frac{1}{4}\times2^2=1$).
• 2배: 표면적 효과(1/4배)와 온도의 4제곱 효과(16배)를 함께 반영하면 나올 수 없는 값이다.
• 8배: 표면적 대신 반지름의 1제곱만 반영한 값이다.

10 Ω 양단 전위차는 20 V, 60 Ω에 흐르는 전류는 1 A이다.

20 Ω과 10 Ω은 직렬로 30 Ω이고, 이것이 60 Ω과 병렬이므로 합성 $\frac{30\times 60}{30+60}=20\,\Omega$이다. 전체 저항은 $30+20=50\,\Omega$, 전체 전류는 $\frac{150}{50}=3\,\mathrm{A}$이다.

병렬부 전압은 $3\times 20=60\,\mathrm{V}$이므로 60 Ω 전류는 $\frac{60}{60}=1\,\mathrm{A}$, 오른쪽 가지 전류는 $\frac{60}{30}=2\,\mathrm{A}$이고 10 Ω 양단은 $2\times 10=20\,\mathrm{V}$이다.

• 20 V와 2 A: 2 A는 오른쪽 가지 전류로, 60 Ω 전류가 아니다.
• 30 V와 1 A: 10 Ω 양단 전압은 $2\times 10=20\,\mathrm{V}$이지 30 V가 아니다.
• 30 V와 2 A: 전압·전류 모두 다른 소자의 값과 혼동한 것이다.

파장 순서는 $\lambda_{\mathrm{A}}=\lambda_{\mathrm{B}}$, 그다음 $\lambda_{\mathrm{C}}$이다.

드브로이 파장은 $\lambda=\frac{h}{mv}$로 운동량에 반비례한다.

운동량은 A가 $\frac{m}{2}\times 2v=mv$, B가 $m\times v=mv$, C가 $3m\times\frac{v}{2}=\frac{3}{2}mv$이다. 따라서 A와 B의 파장이 같고 C가 가장 짧다.

• A, B, C 순으로 모두 다르다는 나열: A와 B의 운동량이 같다.
• A가 가장 크고 B와 C가 같다는 나열: C의 운동량이 B보다 크다.
• C, B, A 순의 나열: 운동량이 가장 큰 C의 파장이 가장 짧다.

빠져나가는 순간 $y$방향 속도의 크기는 $\frac{eEl}{mv_x}$이다.

전자는 $x$방향으로 등속, $y$방향으로 가속도 $a=\frac{eE}{m}$의 등가속도 운동을 한다. 판을 지나는 시간은 $t=\frac{l}{v_x}$이다.

$v_y=at=\frac{eE}{m}\cdot\frac{l}{v_x}=\frac{eEl}{mv_x}$

• $\frac{eEl}{2mv_x}$: 속도에 변위 공식의 1/2을 잘못 붙인 값이다.
• $\frac{eEl^2}{mv_x^2}$: 시간을 제곱한 것으로 속도가 아닌 변위 꼴이다.
• $\frac{eEl^2}{2mv_x^2}$: $y$방향 변위이지 속도가 아니다.

가장 큰 일을 하는 경로는 A→D→C이다.

기체가 한 일은 압력-부피 그래프 아래 넓이이다. 세 경로 모두 부피가 $V_1$에서 $V_2$로 늘지만, 높은 압력 $P_2$에서 팽창하는 A→D→C의 넓이 $P_2(V_2-V_1)$가 가장 크다.

• 경로 A→C: 넓이가 $\frac{1}{2}(P_1+P_2)(V_2-V_1)$로 중간이다.
• 경로 A→B→C: 낮은 압력 $P_1$에서 팽창하므로 $P_1(V_2-V_1)$로 가장 작다.
• 세 경로의 일이 동일하다는 진술: 일은 경로에 따라 달라지는 양이다.

벽이 물체에 가한 평균 힘의 크기는 $\dfrac{2mv}{\Delta t}$이다.

평균 힘은 운동량 변화량을 충돌 시간으로 나눈 값이다.
$\Delta p=mv-(-mv)=2mv$

$F=\dfrac{\Delta p}{\Delta t}=\dfrac{2mv}{\Delta t}$

• $\dfrac{mv}{\Delta t}$: 물체가 벽에 붙어 정지할 때의 값으로, 튕겨 나오는 경우를 반영하지 못했다.
• $\dfrac{mv^2}{\Delta t}$, $\dfrac{2mv^2}{\Delta t}$: 에너지 차원을 시간으로 나눈 일률의 차원이어서 힘이 될 수 없다.

유리의 굴절률은 $\dfrac{3}{2}$이다.

굴절률은 진공 속 빛의 속력과 매질 속 빛의 속력의 비이다. 파장 값은 계산에 필요 없다.
$n=\dfrac{c}{v}=\dfrac{c}{\frac{2}{3}c}=\dfrac{3}{2}$

• $\dfrac{2}{3}$: 비를 거꾸로 잡은 값으로, 굴절률은 1보다 커야 한다.
• $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$, $\sqrt{\dfrac{3}{2}}$: 굴절률은 속력의 비 자체이며 제곱근이 붙지 않는다.

보강간섭 무늬 사이의 간격은 1 mm이다.

이웃한 밝은 무늬의 간격은 $\Delta y=\dfrac{L\lambda}{d}$이다.

$\Delta y=\dfrac{1\times(500\times10^{-9})}{5\times10^{-4}}=1\times10^{-3}\,\mathrm{m}=1\,\mathrm{mm}$

• 2 mm: 슬릿 간격을 0.025 cm로 잘못 본 경우의 값이다.
• 4 mm, 8 mm: 0.05 cm를 $5\times10^{-4}\,\mathrm{m}$로 바르게 환산해 대입하면 나오지 않는 값으로, 무늬 간격은 파장과 거리에 비례하고 슬릿 간격에 반비례한다.

회전 운동에너지 순서는 속이 빈 얇은 원통 > 속이 빈 구 껍질 > 속이 꽉 찬 원통 > 속이 꽉 찬 구, 즉 (라), (다), (나), (가)이다.

같은 각속도에서 $E=\frac{1}{2}I\omega^2$이므로 관성모멘트 크기 순서와 같다. 질량이 축에서 멀리 분포할수록 관성모멘트가 크다.

• (다), (가), (라), (나) 나열: 얇은 원통이 구 껍질보다 크고, 꽉 찬 구가 가장 작다.
• (다), (라), (가), (나) 나열: 얇은 원통이 구 껍질보다 크고, 꽉 찬 구가 꽉 찬 원통보다 작다.
• (라), (나), (다), (가) 나열: 꽉 찬 원통이 구 껍질보다 작다.

압력이 두 배가 되면 온도는 처음의 $2\sqrt{2}$배가 된다.

$P=aV^2$에서 $V=\sqrt{\dfrac{P}{a}}\propto P^{1/2}$이다.

이상기체 상태방정식 $PV=RT$에서 $T\propto PV\propto P^{3/2}$이므로 $2^{3/2}=2\sqrt{2}$배이다.

• $\sqrt{2}$배: 부피 변화만 반영한 값이다.
• 2배: 부피가 일정하다고 본 값이다.
• 4배: 부피도 압력처럼 두 배가 된다고 본 값이다.

지표면 중력 가속도는 현재의 2배가 된다.

$g=\dfrac{GM}{R^2}$이고, 부피가 8배이면 반지름은 $\sqrt[3]{8}=2$배이다.

$\dfrac{g'}{g}=\dfrac{8}{2^2}=2$

• 4배: 반지름 증가를 1제곱으로만 반영한 값이다.
• 8배: 반지름 변화를 무시하고 질량 증가만 반영한 값이다.
• 16배: 질량 증가와 반지름 증가를 모두 곱한 값으로, 반지름이 커지면 오히려 중력 가속도는 줄어든다.

왕복운동 주기는 $\frac{2\pi}{\sqrt{2\alpha g}}$이다.

위치에너지는 $U=mgh=mg\alpha x^2$로 용수철의 $\frac{1}{2}kx^2$ 꼴이므로 유효 용수철 상수는 $k=2mg\alpha$이다(작은 진폭 근사).

$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{2\alpha g}$
$T=\frac{2\pi}{\sqrt{2\alpha g}}$

• $\frac{2\pi}{\sqrt{\alpha g}}$: $\frac{1}{2}kx^2$의 계수 2를 빠뜨린 값이다.
• $2\pi\sqrt{\frac{m}{\alpha g}}$: 질량이 상쇄된다는 점을 놓쳐 차원도 맞지 않는다.
• $2\pi\sqrt{\frac{m}{2\alpha g}}$: 마찬가지로 질량이 남아 있어 차원이 맞지 않는다.

최대속력의 비 $\dfrac{v_A}{v_B}$는 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$이다.

광전자의 최대 운동에너지는 $E_k=E-\varPhi$이다.
$E_{kA}=2\varPhi-\varPhi=\varPhi$, $E_{kB}=3\varPhi-\varPhi=2\varPhi$

$E_k=\dfrac{1}{2}mv^2$이므로 $\dfrac{v_A}{v_B}=\sqrt{\dfrac{\varPhi}{2\varPhi}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$이다.

• $\dfrac{1}{2}$: 운동에너지의 비를 속력의 비로 그대로 쓴 값이다.
• $\sqrt{2}$, 2: 비의 분자와 분모를 거꾸로 잡은 값으로, 에너지가 큰 빛에서 광전자가 더 빠르다.

구멍 뚫린 금속판의 질량중심은 $\left(\frac{R}{12},0\right)$이다.

원판 전체(질량 비 1, 중심 원점)에서 떼어 낸 원판(면적 비 $\frac{1}{4}$, 중심 $-\frac{R}{4}$)을 음의 질량으로 빼서 계산한다. 남은 부분의 질량 비는 $\frac{3}{4}$이다.

$x=\frac{1\cdot 0-\frac{1}{4}\cdot\left(-\frac{R}{4}\right)}{\frac{3}{4}}=\frac{R/16}{3/4}=\frac{R}{12}$

• $\left(\frac{R}{2},0\right)$: 떼어 낸 원판의 반지름을 좌표로 혼동한 값이다.
• $\left(\frac{R}{4},0\right)$: 구멍 중심의 대칭점일 뿐 질량 가중을 하지 않았다.
• $\left(\frac{R}{6},0\right)$: 질량 가중 평균 결과의 두 배로, 분모를 잘못 잡은 값이다.

유전체 $Y$의 유전율은 $3\epsilon$이다.

(가)에서 $C=\frac{\epsilon A}{d}$이다. (나)는 두께 $\frac{d}{4}$(Y), $\frac{d}{4}$(X), $\frac{d}{2}$(Y)인 세 층의 직렬 연결이고, Y 전체 두께는 $\frac{3d}{4}$이다.

$\frac{1}{2C}=\frac{3d}{4\epsilon_Y A}+\frac{d}{4\epsilon A}=\frac{d}{2\epsilon A}$
$\frac{3}{4\epsilon_Y}=\frac{1}{4\epsilon}$이므로 $\epsilon_Y=3\epsilon$

• $\epsilon$: 유전체가 모두 같아져 용량이 $C$ 그대로다.
• $\frac{3}{2}\epsilon$: 대입하면 용량이 $\frac{4}{3}C$로 2배에 못 미친다.
• $4\epsilon$: 대입하면 용량이 $\frac{16}{7}C$로 2배를 넘는다.

진동수의 비는 $\dfrac{32}{27}$이다.

보어 모형에서 $E_n\propto-\dfrac{1}{n^2}$이므로 바닥 상태로의 전이에서 $f\propto1-\dfrac{1}{n^2}$이다.

$f_{2\to1}\propto\dfrac{3}{4}$, $f_{3\to1}\propto\dfrac{8}{9}$
$\dfrac{f_{3\to1}}{f_{2\to1}}=\dfrac{8}{9}\times\dfrac{4}{3}=\dfrac{32}{27}$

• $\dfrac{3}{2}$: 양자수의 비를 그대로 쓴 값이다.
• $\dfrac{4}{3}$, $\dfrac{9}{8}$: 두 전이의 비례값 $\dfrac{3}{4}$, $\dfrac{8}{9}$ 중 하나만 뒤집어 쓴 값으로, 두 전이를 함께 반영하지 않았다.

직사각형 도선 전체에 작용하는 힘의 크기는 $\frac{8\mu_0}{\pi}$이다.

직선 도선과 수직인 두 변의 힘은 서로 상쇄되고, 평행한 두 변만 남는다. 가까운 변(거리 $c$)은 전류 방향이 같아 인력, 먼 변(거리 $b+c$)은 반대여서 척력이다.

$F_1=\frac{\mu_0 I_1 I_2 a}{2\pi c}=\frac{\mu_0\cdot 8\cdot 0.6}{2\pi\cdot 0.2}=\frac{12\mu_0}{\pi}$
$F_2=\frac{\mu_0\cdot 8\cdot 0.6}{2\pi\cdot 0.6}=\frac{4\mu_0}{\pi}$
$F=F_1-F_2=\frac{8\mu_0}{\pi}$(인력)

• $\frac{2\mu_0}{\pi}$: 두 변 힘의 차를 바르게 계산하면 나오지 않는 값이다.
• $\frac{4\mu_0}{\pi}$: 먼 변의 힘만 계산한 값이다.
• $\frac{16\mu_0}{\pi}$: 두 변의 힘을 빼지 않고 더한 값이다.

등속 원운동 주기는 $\frac{2\pi\sqrt{3}}{5}\,\mathrm{s}$이다.

원추 진자의 주기는 $T=2\pi\sqrt{\frac{L\cos\theta}{g}}$이다. $\tan\theta=\frac{4}{3}$이면 $\cos\theta=\frac{3}{5}$이다.

$L\cos\theta=2\times\frac{3}{5}=1.2\,\mathrm{m}$
$T=2\pi\sqrt{0.12}=2\pi\cdot\frac{\sqrt{3}}{5}=\frac{2\pi\sqrt{3}}{5}$

• $\frac{2\pi}{5}$: 높이를 0.4 m로 잘못 잡은 값이다.
• $\frac{2\pi\sqrt{2}}{5}$: 높이를 0.8 m로 잘못 잡은 값이다.
• $\frac{4\pi}{5}$: 높이 대신 줄 길이의 $\sin\theta$ 성분 1.6 m를 쓴 값이다.

상수 $a$의 값은 1이다.

자기장에 수직인 속도 성분은 $8v$, 평행 성분은 $v$이다. 반지름은 $R=\frac{m\cdot 8v}{qB}$, 회전 주기는 $T=\frac{2\pi m}{qB}$이다.

입자는 원점($x$축 위)에서 출발하므로 한 주기마다 한 번 $x$축과 만난다. 네 번째 만남은 $4T$ 후이다.

$x=v\cdot 4T=\frac{8\pi mv}{qB}=\pi\cdot\frac{8mv}{qB}=\pi R$

• 0.5: 반 주기마다 축과 만난다고 본 값이다.
• 4: 만나는 횟수를 그대로 계수로 쓴 값으로, 한 주기 진행 거리는 $\frac{\pi R}{4}$이다.
• 8: 피치를 수직 속도 성분 $8v$로 계산한 값이다.