25년 1회차

두 축이 같은 평면 안에서 일정 각도로 교차할 때는 유니버설 커플링(훅 조인트)을 쓴다.

십자형 핀으로 연결된 두 요크가 각각 회전하므로 축 사이에 각이 있어도 동력을 전달한다.

• 고정 커플링: 두 축이 일직선에 놓여 있을 때만 쓰는 강성 이음이다.
• 머프 커플링: 원통(슬리브)에 두 축 끝을 끼워 키로 고정하는 고정 커플링의 일종으로, 동일 축선이 전제다.
• 올덤 커플링: 두 축이 평행하지만 약간 어긋나 있을 때 쓰며, 교차각은 허용하지 않는다.

V벨트는 홈에 쐐기처럼 끼워 쓰므로 엇걸기를 할 수 없고 바로걸기만 가능하여, 바로걸기와 엇걸기가 모두 있다는 설명이 옳지 않다.

엇걸기는 벨트가 비틀려 교차해야 하는데, 사다리꼴 단면의 V벨트는 비틀면 홈에서 이탈하고 측면이 손상된다.

• 운전이 정숙하고 충격을 흡수한다: 고무 벨트의 탄성 덕분에 옳은 설명이다.
• 작은 장력으로 큰 동력을 얻는다: 홈 측면의 쐐기 작용으로 접촉 압력이 커져 평벨트보다 유리하다.
• 감길 때 바깥쪽은 늘어나고 안쪽은 줄어든다: 벨트의 굽힘 변형을 바르게 설명한 것이다.

굽힘과 비틀림이 함께 작용하면 상당 비틀림 모멘트로 최대전단응력을 구하며, 그 값은 비틀림만 1 kN·m 작용할 때의 5배가 된다.

$T_e=\sqrt{M^2+T^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\ \mathrm{kN\cdot m}$

같은 중실축에서 $\tau_{max}=\dfrac{16T_e}{\pi d^3}$ 이므로 응력은 모멘트에 비례한다.
$\dfrac{\tau_{max}}{\tau_1}=\dfrac{5}{1}=5$

• 비틀림 모멘트만 비교하면 3배가 되지만, 굽힘의 기여를 빠뜨린 값이다.
• 굽힘 모멘트만 비교한 4배도 상당 모멘트 개념과 맞지 않는다.

양단이 고정된 봉의 열하중은 열응력에 단면적을 곱한 값으로, $P = E\alpha\Delta T A$이다.

자유 상태라면 늘어났을 열변형률 $\varepsilon = \alpha\Delta T$를 벽이 완전히 막으므로 열응력 $\sigma = E\alpha\Delta T$가 생긴다.
힘은 $P = \sigma A = E\alpha\Delta T A$이며, 봉 길이와는 무관하다.

• $E\alpha\Delta T$: 응력 [$N/mm^{2}$] 차원으로, 단면적을 곱하지 않아 힘이 아니다.
• $2E\alpha\Delta T$: 양쪽 벽이 있다고 응력이 두 배가 되지 않으며, 역시 응력 차원이다.
• $2E\alpha\Delta T A$: 양 끝 반력 P는 서로 같은 크기의 한 쌍일 뿐, 두 배로 더하지 않는다.

웜휠 F의 회전속도는 30 rpm이다.

평기어: $N_B = 1800 \times \dfrac{30}{45} = 1200\ \mathrm{rpm}$
베벨기어(C는 B와 같은 축): $N_D = 1200 \times \dfrac{12}{24} = 600\ \mathrm{rpm}$
웜기어(E는 D와 같은 축): $N_F = 600 \times \dfrac{3}{60} = 30\ \mathrm{rpm}$

웜기어 속도비는 웜 줄수 ÷ 웜휠 잇수이므로 큰 감속이 일어난다.

• 10 rpm: 세 단 속도비의 곱(1/60)보다 감속이 과한 값이다.
• 20 rpm: 전체 속도비 1/90에 해당해 단별 속도비 곱과 맞지 않는다.
• 40 rpm: 전체 속도비 1/45에 해당해 감속이 부족한 값이다.

비틀림각은 극단면 2차 모멘트에 반비례하고 길이에 비례하므로, 지름을 2배로 하면 길이를 16배로 해야 같은 비틀림각이 유지된다.

$\theta=\dfrac{TL}{GI_p}$, $I_p=\dfrac{\pi d^4}{32}$

지름 2배 → $I_p$는 $2^4=16$배.
$\theta$ 일정 → $\dfrac{L}{I_p}$ 일정 → $L_2=16L_1$

• 2배나 8배는 지름의 4제곱 관계를 1제곱·3제곱으로 잘못 적용한 값이다.
• 4배는 단면적(지름의 제곱)에 비례한다고 본 경우다.

나사의 자립조건은 리드각 ≤ 마찰각이며, 피치가 클수록 리드각이 커져 자립에 불리하다는 설명이 옳다.

$\tan\lambda=\dfrac{p}{\pi d_e}$ 이므로 피치가 커지면 리드각이 커져 마찰각을 넘기 쉽다.

• 리드각이 마찰각보다 크면 하중에 의해 저절로 풀리므로 자립하지 않는다.
• 자립조건은 각도 관계로만 정해지며 축방향 하중의 크기와는 무관하다.
• 사각나사는 삼각나사보다 상당 마찰계수가 작아 마찰각이 작으므로 자립 유지에 오히려 불리하다.

축직각 단면에서 원주력과 반지름 방향 분력은 모두 축에 수직이므로, 축－베어링계가 받는 반지름 방향 하중은 두 힘의 합성력 $F_t\sqrt{1+(\tan\alpha_n/\cos\beta)^2}$ 이다.

헬리컬 기어의 반지름 방향 분력은 축직각 압력각 $\alpha_s$로 $F_r=F_t\tan\alpha_s=\dfrac{F_t\tan\alpha_n}{\cos\beta}$ 이다.

$F=\sqrt{F_t^2+F_r^2}=F_t\sqrt{1+\left(\dfrac{\tan\alpha_n}{\cos\beta}\right)^2}$

• $F_t\tan\alpha_n/\cos\beta$: 반지름 방향 분력 하나만 나타낸 것으로, 원주력이 축에 주는 하중을 빠뜨렸다.
• $F_t\tan\alpha_n\cos\beta$: 비틀림각 보정을 거꾸로 적용한 식이다.
• $F_t/(\tan\alpha_n\cos\beta)$: 압력각 관계를 뒤집은 식으로 분력 관계에 맞지 않는다.

마찰차의 전달 동력은 마찰력 × 원주속도이며, 계산하면 $0.5\pi\ \mathrm{kW}$가 된다.

마찰력: $F=\mu P=0.2\times1000=200\ \mathrm{N}$

원주속도(원동차 기준): $v=\dfrac{\pi D_1N_1}{60}=\dfrac{\pi\times0.25\times600}{60}=2.5\pi\ \mathrm{m/s}$

$H=Fv=200\times2.5\pi=500\pi\ \mathrm{W}=0.5\pi\ \mathrm{kW}$

• 종동차 지름에 원동축 회전수를 곱하면 0.7π가 되지만, 종동차는 그보다 느리게 돌므로 틀린 값이다.
• 마찰계수를 빠뜨리거나 단위 환산을 잘못하면 다른 값이 된다.

종동풀리 4단 지름은 200 mm이다.

등비급수: $\varphi^4 = \dfrac{800}{50} = 16$이므로 $\varphi = 2$, 따라서 $N_4 = 400\ \mathrm{rpm}$이다.
1단 속도비: $\dfrac{N_1}{N} = \dfrac{D_1}{d_1} \Rightarrow \dfrac{50}{200} = \dfrac{120}{d_1}$, $d_1 = 480\ \mathrm{mm}$

지름 합 일정: $D_4 + d_4 = 120 + 480 = 600$
4단 속도비: $\dfrac{D_4}{d_4} = \dfrac{400}{200} = 2$이므로 $3d_4 = 600$, $d_4 = 200\ \mathrm{mm}$

• 120 mm: 원동 4단이 480 mm가 되어 속도비가 4(800 rpm)로, 5단 조건에 해당한다.
• 150 mm: 원동 4단이 450 mm가 되어 속도비가 3(600 rpm)으로 맞지 않는다.
• 240 mm: 이때 원동 4단 지름이 360 mm가 되어 속도비가 1.5로 400 rpm을 만들지 못한다.

손실 동력은 입력 동력에서 유효 동력을 뺀 값으로, 유효 동력 × (1/효율 − 1) 형태가 된다.

유효 동력: $H_0=\dfrac{L_dv}{75}\ \mathrm{PS}$
사각나사 효율: $\eta=\dfrac{\tan\lambda}{\tan(\lambda+\rho)}$, $\tan\lambda=\dfrac{p}{\pi d_e}$, $\tan\rho=\mu$

$\tan(\lambda+\rho)=\dfrac{p+\pi d_e\mu}{\pi d_e-p\mu}$ 이므로 $\dfrac{1}{\eta}=\dfrac{\pi d_e(p+\pi d_e\mu)}{p(\pi d_e-p\mu)}$

$H_{loss}=H_0\left(\dfrac{1}{\eta}-1\right)=\dfrac{L_dv}{75}\left(\dfrac{\pi d_e(p+\pi d_e\mu)}{p(\pi d_e-p\mu)}-1\right)$

• 분자·분모의 부호를 바꾼 식은 나사를 내릴 때의 관계로, 들어 올리는 경우에 맞지 않는다.
• 1에서 효율을 뺀 형태는 입력 동력 대비 손실 비율이므로, 유효 동력에 곱하면 손실 동력이 되지 않는다.

안전계수는 전단 5, 압축 4이다.

키에 걸리는 접선력: $W = \dfrac{2T}{d} = \dfrac{2 \times 5000}{50} = 200\ \mathrm{kg_f}$

전단응력: $\tau = \dfrac{W}{bl} = \dfrac{200}{10 \times 50} = 0.4$, 안전계수 $\dfrac{2}{0.4} = 5$
압축응력(축·보스에 h/2씩 묻힘): $\sigma_c = \dfrac{W}{(h/2)\,l} = \dfrac{200}{4 \times 50} = 1$, 안전계수 $\dfrac{4}{1} = 4$

• 전단 4·압축 4: 전단 안전계수를 잘못 구한 조합이다.
• 전단 4·압축 5: 두 값을 서로 뒤바꾼 조합이다.
• 전단 5·압축 5: 압축 안전계수를 잘못 구한 조합으로, 키 높이의 절반만 압축면이 되므로 압축응력은 1이다.

유량으로 안지름을 구하고 얇은 관의 후프 응력으로 두께를 정하면 최소 바깥지름은 224 mm이다.

안지름: $A=\dfrac{Q}{v}=\dfrac{0.3}{10}=0.03\ \mathrm{m^2}$
$\dfrac{3D^2}{4}=0.03\Rightarrow D=0.2\ \mathrm{m}=200\ \mathrm{mm}$

두께: $t=\dfrac{pD}{2\sigma_a\eta}+C=\dfrac{0.5\times200}{2\times5\times1}+2=12\ \mathrm{mm}$

바깥지름: $D_o=D+2t=200+24=224\ \mathrm{mm}$

• 두께를 한쪽만 더하면 212 mm가 되어 틀린다 — 바깥지름에는 양쪽 두께가 들어간다.
• 부식여유를 빼먹거나 두 번 더하면 다른 값이 나온다.

최대전단응력이 같으려면 두 축의 극단면계수가 같아야 하며, 이를 풀면 중공축 바깥지름은 $2\sqrt[3]{\frac{2}{15}}\,d$ 이다.

중실축: $Z_p=\dfrac{\pi d^3}{16}$
중공축($d_i=D/2$): $Z_p=\dfrac{\pi(D^4-d_i^4)}{16D}=\dfrac{\pi D^3}{16}\cdot\dfrac{15}{16}$

$d^3=\dfrac{15}{16}D^3\Rightarrow D=\sqrt[3]{\dfrac{16}{15}}\,d=2\sqrt[3]{\dfrac{2}{15}}\,d$

• 제곱근 형태는 전단응력 조건을 잘못 세운 식이다 — 극단면계수는 지름의 세제곱 관계다.
• 계수 2가 없는 세제곱근은 $D/d$가 1보다 작게 나와, 중공축이 중실축보다 가늘어지는 모순이 생긴다.

모듈·피치·잇수·피치원 지름의 관계 세 개는 옳고, 바깥지름은 $D_0=(Z+2)m$ 이어야 하므로 ㄱ, ㄴ, ㄷ만 옳다.

기본 관계는 $D=mZ$, $p=\pi m$ 이며, 이로부터 나머지 식이 모두 유도된다.

• ㄱ: $p=\pi m$ 에서 $m=p/\pi$ 로 옳다.
• ㄴ: 피치원 둘레를 잇수로 나눈 값이 원주피치이므로 옳다.
• ㄷ: $D=mZ$ 에서 $Z=D/m$ 로 옳다.
• ㄹ: 바깥지름은 피치원에 이끝 높이(m)를 양쪽으로 더하므로 $(Z+2)m$ 이 맞고, $(Z-2)m$ 은 틀렸다.

취성 재료는 뚜렷한 항복점이 없으므로 정하중일 때 극한강도(인장강도)를 기준강도로 삼으며, 항복강도를 쓴다는 설명이 옳지 않다.

연성 재료의 정하중에는 항복강도를, 취성 재료에는 극한강도를 쓰는 것이 원칙이다.

• 반복하중: 피로 파괴가 지배하므로 피로한도를 기준으로 한다.
• 긴 기둥·편심하중: 좌굴로 파손되므로 좌굴응력을 기준으로 한다.
• 고온 정하중: 시간에 따른 변형이 문제이므로 크리프 한도를 기준으로 한다.

유체윤활영역에서 마찰계수는 베어링 계수 $\eta N/p$에 비례하여 증가하므로, 반비례한다는 설명이 옳지 않다.

스트리벡 곡선의 유체윤활 구간에서는 점도·회전수가 커지거나 압력이 작아질수록 마찰계수가 커진다.

• 점도가 클수록: $\eta$ 증가로 베어링 계수가 커져 마찰계수가 커진다.
• 저속·고하중: $N$ 감소, $p$ 증가로 베어링 계수가 작아져 마찰계수가 작아진다(유체윤활 유지 가정).
• 압력이 낮을수록: 분모가 작아져 베어링 계수가 커지므로 마찰계수가 커진다.

전달토크는 $\dfrac{2.25\mu\pi p D_2^3}{32}$이다.

축방향 힘: $F = p \dfrac{\pi}{4}(D_2^2 - D_1^2) = p\dfrac{\pi}{4}(1 - 0.25)D_2^2 = \dfrac{0.75\pi p D_2^2}{4}$
평균지름: $D_m = \dfrac{D_1 + D_2}{2} = 0.75D_2$

전달토크: $T = \mu F \dfrac{D_m}{2} = \mu \dfrac{0.75\pi p D_2^2}{4} \times 0.375D_2 = \dfrac{2.25\mu\pi p D_2^3}{32}$

• $\dfrac{2.25\mu\pi p D_2}{32}$: 토크는 면적(지름 제곱)×반지름이므로 지름의 3제곱이어야 한다.
• $\dfrac{1.25\mu\pi p D_2^3}{16}$: 계수가 약 0.078로 계산값(약 0.070)보다 커 축력이나 평균반지름 산정이 틀린 값이다.
• $\dfrac{1.25\mu\pi p D_2}{16}$: 계수와 차원이 모두 맞지 않는다.

같은 질량으로 관성모멘트를 키우려면 질량을 바깥쪽(림)에 집중해야 하므로, 중심쪽을 두껍게 하고 바깥쪽을 얇게 만든다는 설명이 옳지 않다.

관성모멘트는 회전 중심으로부터 거리의 제곱에 비례하므로 림을 두껍게 하고 보스·암은 가볍게 한다.

• 각속도 변동 감소: 남는 에너지를 저장하고 모자랄 때 방출하여 속도 변동을 줄인다.
• 출력과 극관성모멘트: 저장 에너지 $E=\frac{1}{2}J\omega^2$ 이므로 관성모멘트와 직접 관계가 있다.
• 축적 에너지의 전환: 프레스·전단기처럼 저장된 운동에너지를 순간 작업에 쓴다.

리벳의 개수는 7개이다.

리벳 전단(1면 전단): 1개당 $\dfrac{\pi}{4}d^2\tau = \dfrac{3}{4} \times 100 \times 2 = 150\ \mathrm{kg_f}$
$n \ge \dfrac{1000}{150} = 6.67$이므로 7개 이상 필요하다.

판의 절단(구멍으로 줄어든 단면): $(w - nd)\,t\,\sigma_t \ge P$
$(200 - 10n) \times 2 \times 4 \ge 1000 \Rightarrow n \le 7.5$이므로 7개까지 허용된다.

• 5개: 리벳 전단 강도가 750 kgf로 하중에 못 미친다.
• 6개: 리벳 전단 강도가 900 kgf로 하중에 못 미친다.
• 8개: 남은 판 단면 120 mm로 판 강도가 960 kgf가 되어 판이 먼저 끊어진다.

스러스트 베어링의 발열계수는 평균 압력 × 평균 원주속도로, 계산하면 0.1이다.

각속도: $\omega=\dfrac{H}{T}=\dfrac{3000}{150}=20\ \mathrm{rad/s}$

평균 압력: $p=\dfrac{W}{\frac{\pi}{4}(D_2^2-D_1^2)}=\dfrac{3000}{0.75\times(600^2-400^2)}=0.02\ \mathrm{N/mm^2}$
평균 원주속도(평균 지름 500 mm): $v=\omega r_m=20\times0.25=5\ \mathrm{m/s}$

$pv=0.02\times5=0.1\ \mathrm{N/mm^2\cdot m/s}$

• 원주속도에 바깥지름을 쓰거나 면적을 바깥지름 원 전체로 잡으면 다른 값이 나온다.
• 속도 단위를 m/s가 아닌 mm/s로 두면 1,000배 큰 값이 되어 틀린다.

가해질 수 있는 최대 토크는 $\dfrac{1}{4}Pc$이다.

인장응력 $\sigma = \dfrac{P}{\pi c^2}$, 비틀림 전단응력 $\tau = \dfrac{Tc}{J} = \dfrac{2T}{\pi c^3}$이다.
최대전단응력설: $\sqrt{\left(\dfrac{\sigma}{2}\right)^2 + \tau^2} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{2}}$

양변을 제곱하면 $\tau^2 = \dfrac{\sigma^2}{4}$, 즉 $\tau = \dfrac{\sigma}{2}$이다.
$\dfrac{2T}{\pi c^3} = \dfrac{P}{2\pi c^2} \Rightarrow T = \dfrac{Pc}{4}$

• $\dfrac{1}{8}Pc$: 이때 전단응력이 $\sigma/4$에 그쳐 항복 조건에 도달하지 않으므로 최대값이 아니다.
• $\dfrac{1}{2}Pc$: 비틀림 응력을 $T/(\pi c^3)$로 잘못 잡으면 나오는 값이다.
• $\dfrac{1}{\sqrt{2}}Pc$: 이때 전단응력이 $\sqrt{2}\,\sigma$로 커져 최대전단응력이 항복전단응력을 넘는다.

체인은 스프로킷에 다각형으로 감기는 다각형(폴리곤) 효과 때문에 스프로킷이 일정 각속도로 돌아도 체인 속도가 주기적으로 변동하므로, 속도 변동이 없다는 설명이 옳지 않다.

잇수가 적을수록 유효 반지름 변화가 커져 속도 변동과 진동이 심해진다.

• 전동효율: 미끄럼이 없는 맞물림 전동이라 벨트·로프보다 효율이 높다.
• 축간거리 조절: 링크 수를 늘리거나 줄여 길이를 조정할 수 있다.
• 사일런트 체인: 치형 링크가 스프로킷과 매끄럽게 물려 롤러체인보다 조용하고 고속에 적합하다.

얇은 원통 압력용기에서 두께 설계의 기준은 가장 큰 원주방향(후프) 응력 $\dfrac{pr}{t}$ 이다.

원주방향: $\sigma_t=\dfrac{pD}{2t}=\dfrac{pr}{t}$
축방향: $\sigma_z=\dfrac{pD}{4t}=\dfrac{pr}{2t}$

• $\dfrac{pr}{2t}$: 축방향 응력으로, 후프 응력의 절반이라 두께 결정 기준이 아니다.
• $\dfrac{pr}{4t}$: 축방향 식 $\dfrac{pD}{4t}$의 지름을 반지름으로 잘못 바꾼 값이다.
• $\dfrac{2pr}{t}$: 반지름 자리에 지름을 넣어 2배 크게 잡은 값이다.

브레이크의 제동토크는 8,000 kgf·mm이다.

각 슈를 핀(지점) 기준 모멘트 평형으로 풀며, 마찰력 모멘트가 미는 힘을 돕는 자기작동(리딩) 슈와 반대로 작용하는 트레일링 슈로 나뉜다.
리딩 슈: $Fa + \mu N_1 c = N_1 b \Rightarrow N_1 = \dfrac{120 \times 100}{50 - 0.2 \times 50} = 300$
트레일링 슈: $Fa = N_2 b + \mu N_2 c \Rightarrow N_2 = \dfrac{12000}{50 + 10} = 200$

제동토크: $T = \mu (N_1 + N_2)\dfrac{D}{2} = 0.2 \times 500 \times 80 = 8000$

• 3,200: 트레일링 슈 하나의 제동토크($0.2 \times 200 \times 80$)만 계산한 값이다.
• 4,800: 리딩 슈 하나의 제동토크($0.2 \times 300 \times 80$)만 계산한 값이다.
• 16,000: 반지름 대신 지름 D를 곱해 두 배로 계산한 값이다.