26년 1회차

DSB-LC도 동기식(코히어런트) 수신기로 복원할 수 있으므로, 동기식 수신기로 복원이 불가능하다는 설명이 옳지 않다.

DSB-LC 신호 $A_c[1+m\,x(t)]\cos\omega_c t$에 국부 반송파를 곱하고 저역통과시키면 직류분과 메시지가 남고, 직류를 제거하면 원 신호가 복원된다. 포락선 검파가 가능해 동기식이 필수가 아닐 뿐이다.

• 실수 신호의 스펙트럼은 켤레 대칭이므로 상측파대와 하측파대의 진폭스펙트럼은 반송파를 중심으로 대칭이다(옳음).
• 큰 반송파 덕분에 포락선 검파로 복원할 수 있어 반송파 복원 회로가 필요 없고, DSB-SC 수신기보다 간단하다(옳음).
• 전력효율은 $\eta=\dfrac{m^2}{2+m^2}$이므로 변조지수가 작을수록 반송파 전력 비중이 커져 효율이 낮아진다(옳음).

이 시스템은 비선형이면서 시변이다.

입력이 제곱되므로 중첩의 원리가 성립하지 않는다. 예를 들어 입력을 2배로 하면 출력은 4배가 된다.

또한 출력에 시간 $t$가 직접 곱해져 있어, 입력을 $t_0$만큼 지연시킨 응답 $t\,x^2(t-t_0-1)$과 출력을 지연시킨 $(t-t_0)\,x^2(t-t_0-1)$이 다르다. 따라서 시불변이 아니다.

• 선형이라는 판정은 제곱 항 때문에 성립하지 않는다.
• 시불변이라는 판정은 계수 $t$ 때문에 성립하지 않는다.

샤논 용량 공식으로 계산하면 채널 용량은 3 Mbps이다.

$C=B\log_2(1+\mathrm{SNR})$
$=10^6\times\log_2(1+7)=10^6\times\log_2 8$
$=3\times10^6\ \mathrm{bps}$

• SNR 값 7을 그대로 용량으로 보거나 $1+\mathrm{SNR}=8$을 용량으로 쓰는 것은 로그를 빼먹은 오류다.
• 대역폭 1 MHz를 용량으로 착각하면 1 Mbps가 나오는데, 이는 대역폭(Hz)과 전송률(bps)을 혼동한 것이다.

그레이 코드는 인접 위상끼리 1비트만 다르도록 배치하므로 (가)=000, (나)=011, (다)=110, (라)=101이다.

3비트 그레이 순서는 000→001→011→010→110→111→101→100이다. 위상 0을 000으로 두면 표의 주어진 값(001, 010, 111, 100)과 모두 들어맞는다.

• (가)를 110으로 두면 $\pi/4$의 001과 3비트가 달라 그레이 조건을 어긴다.
• (나)를 101로 두면 001과는 1비트 차이지만 $3\pi/4$의 010과 3비트가 달라진다.
• (라)를 000으로 두면 $5\pi/4$의 111과 3비트가 달라 인접 조건이 깨진다.

처리 이득은 칩률과 비트율의 비이므로 40 dB이다.

$G_p=\dfrac{R_c}{R_b}=\dfrac{10^7}{10^3}=10^4$
$10\log_{10}10^4=40\ \mathrm{dB}$

• 지수 차이 4를 dB로 환산할 때 10을 곱해야 하며, 20을 곱하면 80 dB로 과대평가된다.
• 30 dB이나 50 dB는 비의 지수를 하나 잘못 센 경우에 나오는 값이다.

저궤도 위성은 지표와의 거리가 짧아 전파 지연이 오히려 작으므로, 전파 지연이 크다는 설명이 옳지 않다.

정지궤도는 고도가 약 36,000 km로 왕복 지연이 수백 ms에 이르지만, 저궤도는 고도가 수백~수천 km라 지연이 훨씬 짧다.

• 저궤도 위성은 지상에 대해 빠르게 움직이므로 도플러 영향이 크다(옳음).
• 경로 거리가 짧아 자유공간손실이 작으므로 같은 송신 전력에서 수신 전력이 크다(옳음).
• 한 위성이 지상 한 지점을 비추는 시간이 짧아 연속 서비스를 하려면 많은 위성으로 군집을 구성해야 한다(옳음).

PN 부호를 정보 비트열에 곱해 대역을 넓히는 것은 직접 시퀀스(DS) 방식이므로, 이를 주파수 도약 방식으로 설명한 것이 옳지 않다.

주파수 도약(FH) 방식은 PN 부호로 반송파 주파수를 시간에 따라 바꾸어 넓은 대역에 신호를 퍼뜨린다.

• 대역확산은 항재밍·저피탐을 위한 군 통신에서 출발해 CDMA 이동통신으로 확대되었다(옳음).
• PN 부호는 랜덤 부호처럼 보이지만 결정론적으로 생성되며 자기상관·균형성 등 통계적 성질이 일정해 확산 부호로 쓰인다(옳음).
• PN 부호 생성기는 시프트 레지스터와 모듈로-2 덧셈기(XOR)로 만든 선형 귀환 구조로 구현한다(옳음).

OFDM은 주파수 선택적 페이딩을 부반송파별 평탄 페이딩으로 바꾸는 효과가 있으므로, 방향을 거꾸로 쓴 설명이 옳지 않다.

넓은 대역을 좁은 부반송파 여러 개로 나누면 각 부반송파 대역폭이 코히런스 대역폭보다 작아져, 각 부채널은 거의 평탄한 채널로 보인다.

• 여러 부반송파에 데이터를 실어 보내므로 변조와 다중화를 결합한 방식이다(옳음).
• 부반송파 간 간격을 심볼 주기의 역수로 두어 서로 직교하므로 스펙트럼이 겹쳐도 분리할 수 있다(옳음).
• 순환전치는 다중경로 지연을 흡수하고 선형 컨벌루션을 순환 컨벌루션처럼 만들어 부반송파 간 직교성을 유지한다(옳음).

자유공간손실 차이는 거리비로 구하며 35.6 dB이다.

거리비: $\dfrac{36000}{600}=60$
$20\log_{10}60=20(\log_{10}2+\log_{10}3+1)$
$=20(0.3+0.48+1)=20\times1.78=35.6\ \mathrm{dB}$

• 손실이 거리의 제곱에 비례하므로 20을 곱해야 하며, 10을 곱하면 절반인 17.8 dB가 된다.
• 71.2 dB는 계수를 40으로 잘못 잡아 두 배로 계산한 값이다.

상호 정보량은 대칭이어서 $I(X;Y)=I(Y;X)$이므로, 서로 다르다는 표현이 옳지 않다.

$I(X;Y)=H(X)-H(X\mid Y)=H(Y)-H(Y\mid X)$로 어느 쪽에서 정의해도 값이 같다.

• 조건부 엔트로피가 0 이상이므로 상호 정보량은 각 엔트로피를 넘지 못해 $I(X;Y)\le\min\{H(X),H(Y)\}$이다(옳음).
• 결합 엔트로피를 이용하면 $I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(X,Y)$로 쓸 수 있다(옳음).
• 출력을 관측한 뒤 남는 입력의 불확실성을 빼는 정의 $I(X;Y)=H(X)-H(X\mid Y)$는 기본 정의이다(옳음).

세 사건의 교집합 확률은 0.125이다.

$(X,Y)$는 단위 정사각형에서 균등하므로 확률은 넓이와 같다. $A\cap B$는 한 변 0.5인 정사각형으로 넓이 0.25이다.

이 정사각형을 대각선 $X=Y$가 이등분하므로 $X\lt Y$인 부분은 $0.25\times\dfrac{1}{2}=0.125$이다.

• 0.25는 $C$ 조건을 빠뜨리고 $A\cap B$만 계산한 값이다.
• 0.5는 $C$ 하나의 확률, 0.75는 $A\cup B$의 확률에 해당한다.

곱을 합으로 바꾸면 최고 주파수가 4 kHz이므로 최소 표본화 주파수는 8 kHz이다.

$\cos(2000\pi t)\cos(6000\pi t)=\dfrac{1}{2}[\cos(4000\pi t)+\cos(8000\pi t)]$
성분 주파수: 2 kHz, 4 kHz

나이퀴스트율: $f_s=2f_{\max}=2\times4=8\ \mathrm{kHz}$

• 원래 두 인자의 주파수(1 kHz, 3 kHz)로 판단하면 6 kHz가 나오는데, 곱하면 합 주파수가 생긴다는 점을 놓친 것이다.
• 2 kHz나 4 kHz는 최고 주파수의 2배를 취하지 않았거나 차 주파수만 본 값이다.

변조지수는 $\tfrac{2}{3}$, 전력효율은 $\tfrac{2}{11}$이다.

반송파 진폭 30, 측파대 진폭 각 10이고 측파대 진폭은 $\dfrac{mA_c}{2}$이므로
$m=\dfrac{2\times10}{30}=\dfrac{2}{3}$

$\eta=\dfrac{m^2}{2+m^2}=\dfrac{4/9}{22/9}=\dfrac{2}{11}$
(검산: 측파대 전력 100, 반송파 전력 450, $100/550=2/11$)

• 효율을 $\tfrac{1}{11}$로 잡은 것은 측파대를 한쪽만 센 경우다.
• 변조지수를 $\tfrac{1}{3}$이나 $\tfrac{1}{2}$로 잡은 것은 측파대 진폭이 $mA_c/2$라는 관계를 놓친 것이다.

주변확률을 구해 계산하면 $H(X)=2-\tfrac{3}{4}\log_2 3$이다.

주변확률: $P(X=0)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}$, $P(X=1)=\tfrac{1}{4}$

$H(X)=-\tfrac{3}{4}\log_2\tfrac{3}{4}-\tfrac{1}{4}\log_2\tfrac{1}{4}$
$=\tfrac{3}{4}(2-\log_2 3)+\tfrac{1}{2}=2-\tfrac{3}{4}\log_2 3$

• $2-\tfrac{1}{2}\log_2 3\approx1.21$은 이진 변수 엔트로피의 상한인 1비트를 넘으므로 답이 될 수 없다.
• $\tfrac{3}{4}\log_2 3-1\approx0.19$는 실제 값(약 0.81)과 다르고, $\tfrac{1}{2}\log_2 3-1$은 음수라 엔트로피가 될 수 없다.

카슨의 법칙으로 계산한 전송 대역폭은 42 kHz이다.

최대 주파수 편이: $\Delta f=k_f A_m=40\times0.5=20\ \mathrm{kHz}$
메시지 주파수: $W=1\ \mathrm{kHz}$

$B=2(\Delta f+W)=2(20+1)=42\ \mathrm{kHz}$

• 82 kHz나 80 kHz는 진폭 0.5를 곱하지 않고 $\Delta f=40$ kHz로 계산한 값이다.
• 40 kHz는 메시지 대역 $W$를 빠뜨린 값이다.

초기 출력 4비트는 1,1,0,1이다.

그림에서 위쪽 합산기는 레지스터 첫째·둘째 단을, 아래쪽 합산기는 첫째·셋째 단을 더하므로 탭 연결(생성 계수)은 (1,1,0)·(1,0,1)이다.

첫 입력 1 → 레지스터 1,0,0: $v^{(1)}=1\oplus 0=1,\ v^{(2)}=1\oplus 0=1$
둘째 입력 1 → 레지스터 1,1,0: $v^{(1)}=1\oplus 1=0,\ v^{(2)}=1\oplus 0=1$

• 1,0,0,1: 첫 클록의 아래쪽 출력도 첫째 단의 1이 그대로 나오므로 둘째 비트가 0일 수 없다.
• 0,1,0,1: 첫 클록에서 위쪽 합산기도 첫째 단 1을 받아 첫 비트는 1이다.
• 0,1,1,1: 첫 클록 출력이 11이 아니고, 둘째 클록 위쪽 출력(1⊕1=0)도 맞지 않는다.

총 비트 수는 2880 kbits이다.

최고 주파수: $3000\pi/2\pi=1.5\ \mathrm{kHz}$
나이퀴스트율: $2\times1.5=3\ \mathrm{kHz}$, 그 두 배: $6\ \mathrm{kHz}$

$6000\times60=360000$ 표본
$360000\times8=2880000\ \mathrm{bits}=2880\ \mathrm{kbits}$

• 1440 kbits는 나이퀴스트율의 두 배를 적용하지 않은 값이다.
• 1920 kbits나 960 kbits는 낮은 쪽 주파수 성분(1 kHz)을 기준으로 잡은 경우다.

주파수 비선택적·느린 페이딩은 $B_s\lt B_c$이고 $T_s\lt T_c$인 경우로, 이 조합이 옳다.

주파수 선택성은 신호 대역폭과 코히런스 대역폭을 비교해 $B_s\gt B_c$이면 선택적이다. 페이딩 속도는 심볼주기와 코히런스 시간을 비교해 $T_s\gt T_c$이면 빠른 페이딩이다.

• 주파수 선택적·느린 페이딩에 $B_s\lt B_c$를 붙인 것은 선택성 조건이 반대이다.
• 주파수 선택적·빠른 페이딩에 $T_s\lt T_c$를 붙인 것은 느린 페이딩 조건이다.
• 주파수 비선택적·빠른 페이딩에 $B_s\gt B_c$를 붙인 것은 선택적 조건이다.

선형 변환의 확률밀도는 $f_Y(y)=\tfrac{1}{2}f_X\!\left(\tfrac{y-4}{2}\right)$이다.

$Y=aX+b$이면 $f_Y(y)=\dfrac{1}{|a|}f_X\!\left(\dfrac{y-b}{a}\right)$이다. 여기서 $a=2,\ b=4$를 대입한다.

• 계수 $\tfrac{1}{2}$가 없는 식은 전체 적분이 1이 되도록 하는 야코비안 보정을 빠뜨린 것이다.
• $\tfrac{y-2}{4}$를 쓴 식은 기울기와 절편을 뒤바꾼 역변환이다.

이항분포로 계산하면 확률은 $\tfrac{54}{256}$이다.

$P(X\gt 3)=\displaystyle\int_3^{\infty}\dfrac{dx}{(1+x)^2}=\dfrac{1}{1+3}=\dfrac{1}{4}$

$\binom{4}{2}\left(\dfrac{1}{4}\right)^2\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=6\times\dfrac{1}{16}\times\dfrac{9}{16}=\dfrac{54}{256}$

• $\tfrac{9}{256}$는 조합 수 6을 곱하지 않은 값이다.
• $\tfrac{27}{256}$나 $\tfrac{81}{256}$은 개수 조합이나 지수를 잘못 잡은 경우에 나온다.

컨벌루션을 계산하면 출력은 $3(t-e^{-t}+1)u(t)$이다.

임펄스 응답이 $3u(t)$이므로 출력은 입력의 누적 적분에 3을 곱한 것이다.
$y(t)=3\displaystyle\int_0^t(e^{-\tau}+1)\,d\tau$

$=3\left[(1-e^{-t})+t\right]=3(t-e^{-t}+1),\quad t\ge0$

• 상수항이 $-1$인 식은 $t=0$에서 출력이 0이 되어야 한다는 초기 조건을 만족하지 않는다.
• $-t$가 들어간 식은 계단 입력의 적분이 증가하는 램프라는 점과 맞지 않는다.

RS(7, 3) 부호는 $t=2$, $m=3$이다.

리드솔로몬 부호는 $n=2^m-1$이므로 $7=2^3-1$에서 $m=3$이다.

패리티 심볼 수 $n-k=2t$이므로 $t=\dfrac{7-3}{2}=2$이다.

• $t=1$은 패리티 4개로 2개 심볼을 정정할 수 있다는 관계를 놓친 것이다.
• $m=4$는 $2^4-1=15$로 부호 길이 7과 맞지 않는다.

힐버트 변환기와 90° 위상변환을 쓰는 이 구조는 단측파대 진폭 변조(SSB)의 위상천이법 변조기이다.

출력은 $u(t)=A\,m(t)\cos(2\pi f_c t)+A\,\hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)$로, 동상 성분과 힐버트 변환된 직교 성분을 합해 한쪽 측파대(여기서는 하측파대)를 상쇄하고 다른 쪽만 남긴다.

• 양측파대 반송파억압 진폭 변조(DSB-SC)는 $A\,m(t)\cos(2\pi f_c t)$ 한 가지만으로 이루어져 힐버트 변환 경로가 필요 없다.
• 위상 변조(PM)는 메시지가 반송파의 위상각 안에 들어가는 비선형 변조로, 메시지를 반송파에 곱해 더하는 구조가 아니다.
• 주파수 변조(FM)는 메시지 적분값이 위상각에 들어가는 방식으로, 역시 곱셈·합산형 선형 구조가 아니다.

오류율이 큰 순서는 16PSK, BFSK, BPSK와 QPSK(같음) 순이다.

동기 검파 시 BPSK와 그레이 부호 QPSK의 비트오류율은 모두 $Q\!\left(\sqrt{2E_b/N_0}\right)$로 같다. 동기 BFSK와 BASK는 $Q\!\left(\sqrt{E_b/N_0}\right)$로 3 dB 불리하다.

16PSK는 신호점 간 거리가 크게 줄어 가장 오류율이 크다.

• BFSK와 BPSK를 같다고 본 비교는 직교 신호와 대척 신호의 3 dB 차이를 무시한 것이다.
• QPSK가 BPSK보다 오류율이 크다고 본 비교는 비트당 에너지 기준으로 둘이 같다는 점과 어긋난다.
• BPSK가 QPSK보다 크다고 본 비교도 같은 이유로 틀렸다.

필요한 부반송파의 최소 개수는 18개이다.

ISI 제거를 위한 최소 보호구간은 최대지연확산과 같아 $T_G=1\ \mu\mathrm{s}$, 전체 심볼구간은 $T+T_G=6\ \mu\mathrm{s}$이다.

심볼당 필요 비트: $12\times10^6\times6\times10^{-6}=72$
16QAM은 부반송파당 4비트이므로 $72/4=18$

• 15개는 보호구간을 빼고 유효심볼구간 5 μs만으로 계산한 값이다.
• 30개와 36개는 부반송파당 비트 수를 2비트로 잘못 잡은 경우로, 각각 보호구간을 뺀 경우와 포함한 경우이다.