26년 1회차

제1사분위수와 최빈값이 모두 61이므로 둘을 더한 값은 122이다.

자료 30개 중 61이 세 번 나타나 가장 많으므로 최빈값은 61이다.

제1사분위수의 위치는 $0.25\times(30+1)=7.75$로, 크기순 일곱째·여덟째 값이 모두 61이므로 제1사분위수도 61이다.
$61+61=122$

$B$와 $C$가 배반이므로 $B$·$C$가 겹치는 항이 모두 사라져 $P(A\cup B\cup C)=$0.84이다.

포함배제 원리: $P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)$

독립이므로 $P(A\cap B)=0.06$, $P(A\cap C)=0.1$이고, 배반이므로 $P(B\cap C)=P(A\cap B\cap C)=0$이다.
$0.2+0.3+0.5-0.06-0.1=0.84$

세 추정량이 모두 불편추정량이라 MSE는 분산과 같고, 작은 순서는 $\hat{\mu}_B,\ \hat{\mu}_A,\ \hat{\mu}_C$이다.

계수의 합이 각각 1이므로 편향은 0이고, $Var(X_i)=1$이므로 분산은 계수 제곱의 합이다.

• $Var(\hat{\mu}_A)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{8}$
• $Var(\hat{\mu}_B)=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{3}{8}$
• $Var(\hat{\mu}_C)=\frac{9}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{19}{8}$

최소제곱 회귀직선은 항상 평균점 $(\bar{x},\bar{y})$을 지나므로 $\sum y_i$는 290이다.

$\bar{x}=\frac{120}{10}=12$
$\bar{y}=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1\bar{x}=5+2\times 12=29$
$\sum_{i=1}^{10}y_i=10\times 29=290$

세 진술이 모두 옳다 — 추정 기대도수는 행·열 합계를 보존하고, 자유도는 $(3-1)(2-1)=2$이다.

귀무가설하에서 공통 비율을 $\frac{O_1}{n}$로 추정하므로 $\hat{E}_{k1}=\frac{n_kO_1}{n}$, $\hat{E}_{k0}=\frac{n_kO_0}{n}$이다.

• ㄱ: $\hat{E}_{10}+\hat{E}_{11}=\frac{n_1(O_0+O_1)}{n}=n_1$이므로 옳다.
• ㄴ: $\sum_{k}\hat{E}_{k1}=\frac{O_1\sum_{k}n_k}{n}=O_1$이므로 옳다.
• ㄷ: 3행 2열 분할표의 동질성 검정 자유도는 $(3-1)(2-1)=2$이므로 옳다.

중앙값 조건에서 $y=50$, 평균 조건에서 $x=100$이 정해지므로 $x-y$는 50이다.

8개 값의 합은 $8\times 55=440$이고 나머지 여섯 값의 합이 290이므로 $x+y=150$이다.

중앙값은 크기순 넷째·다섯째 값의 평균이다. $y\le 40$이면 중앙값이 45, $y\gt 50$이면 50을 넘으며, 그 사이에서는 $\frac{y+50}{2}=50$이 되도록 $y=50$이어야 한다.

베이즈 정리로 계산하면 스팸으로 분류된 메일이 정상 메일일 확률은 $\frac{1}{2}$이다.

스팸인 사건을 $S$, 스팸으로 분류되는 사건을 $D$라 하면
$P(D)=0.01\times 0.99+0.99\times 0.01=0.0198$
$P(S^c\cap D)=0.99\times 0.01=0.0099$
$P(S^c\mid D)=\frac{0.0099}{0.0198}=\frac{1}{2}$

스팸 비율이 낮아 잘못 분류된 정상 메일의 비중이 실제 스팸과 같아지는 것이 핵심이다.

95.44 % 신뢰수준의 임계값은 $z=2$이고, $p(1-p)$의 최댓값을 쓰면 최소 표본 크기는 400이다.

$P(Z\ge 2)=0.0228$이므로 $P(|Z|\lt 2)=1-2\times 0.0228=0.9544$이다.

$p$를 모르므로 $p(1-p)\le\frac{1}{4}$를 쓴다.
$2\sqrt{\frac{1}{4n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}\le 0.05$
$\sqrt{n}\ge 20,\ n\ge 400$

옳은 것은 ㄴ과 ㄷ이다 — 양측 $p$-값 0.052는 5 %보다 커서 기각하지 못하고, 단측 $p$-값은 그 절반이다.

양측 $p$-값은 양쪽 꼬리 확률의 합이며, 같은 유의수준의 양측검정과 신뢰구간은 쌍대 관계에 있다.

• ㄱ: $0.052\gt 0.05$이므로 유의수준 5 %에서 귀무가설을 기각하지 않는다. 옳지 않다.
• ㄴ: 검정통계량 분포가 대칭이고 표본평균 11.5가 10보다 크므로 우단측 $p$-값은 $\frac{0.052}{2}=0.026$이다. 옳다.
• ㄷ: 유의수준 5 % 양측검정에서 기각되지 않는 값은 95 % 신뢰구간 안에 있으므로 구간은 10을 포함한다. 옳다.

옳은 것은 ㄱ과 ㄷ이다 — 절편 없는 회귀직선은 원점을 지날 뿐 평균점을 지난다는 보장이 없다.

원점을 지나는 모형의 최소제곱 추정량은 $\hat{\beta}=\frac{\sum x_iy_i}{\sum x_i^2}$이며 추정하는 모수가 하나뿐이다.

• ㄱ: 모수 1개만 추정하므로 잔차제곱합의 자유도는 $11-1=10$이다. 옳다.
• ㄴ: 직선 $\hat{y}=\hat{\beta}x$가 $(2,3)$을 지나려면 $\hat{\beta}=1.5$여야 하지만 일반적으로 $\frac{\sum x_iy_i}{\sum x_i^2}\ne\frac{\bar{y}}{\bar{x}}$이다. 옳지 않다.
• ㄷ: $E(\hat{\beta})=\frac{\sum x_i\cdot\beta x_i}{\sum x_i^2}=\beta$이므로 비편향이다. 옳다.

기각역이 '4개 모두 검은 공'이므로 제1종 오류 확률은 $\frac{1}{16}$, 검정력은 $\frac{81}{256}$이다.

제1종 오류 확률은 $H_0$가 참(검은 공 확률 $\frac{1}{2}$)일 때 기각할 확률이다.
$\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}$

검정력은 $H_1$이 참(검은 공 확률 $\frac{3}{4}$)일 때 기각할 확률이다.
$\left(\frac{3}{4}\right)^4=\frac{81}{256}$

• $\frac{1}{32}$은 지수를 5로 잘못 센 값이다.
• $\frac{1}{256}$은 흰 공 확률 $\frac{1}{4}$를 거듭제곱한 것으로, 모두 흰 공일 확률이지 기각 확률이 아니다.

네 값 가운데 가장 큰 것은 $y$와 $\hat{y}$의 표본상관계수로, 유일하게 양수이다.

산점도는 $x$가 커질수록 $y$가 뚜렷하게 줄어드는 음의 선형관계를 보이므로 $\hat{\beta}_1\lt 0$이고 $r_{xy}\lt 0$이다.

적합값은 $x$의 일차변환이므로 $r_{x\hat{y}}=\operatorname{sign}(\hat{\beta}_1)=-1$이고, 단순회귀에서 $r_{y\hat{y}}=|r_{xy}|$이므로 $0\lt r_{y\hat{y}}\le 1$이다.

• 추정 회귀직선의 기울기: 산점도가 우하향하므로 음수이다.
• $x$와 $y$의 표본상관계수: 강한 음의 상관으로 $-1$에 가까운 음수이다.
• $x$와 $\hat{y}$의 표본상관계수: $\hat{y}$가 $x$에 대해 감소하는 일차식이므로 정확히 $-1$로 가장 작다.

옳은 것은 ㄱ뿐이다 — 오차 자유도 24에서 반복수는 3, 교호작용 자유도는 6이다.

비료 자유도 $4-1=3$($\frac{145}{3}\approx 48.3$), 토양 자유도 $3-1=2$이고, 오차 자유도 $ab(r-1)=12(r-1)=24$에서 $r=3$이다.

• ㄱ: $600-145-35-120=300$이다. 옳다.
• ㄴ: 교호작용 자유도는 $(4-1)(3-1)=6$이다. 옳지 않다.
• ㄷ: 반복수는 4가 아니라 3이다. 옳지 않다.

옳은 것은 ㄱ과 ㄷ이다 — 잔차평균제곱은 26이고, 신뢰구간 폭은 표준오차에 비례한다.

잔차제곱합은 $980-538=442$, 자유도는 $20-3=17$이며, 동일 신뢰수준이면 두 계수의 $t$ 임계값이 같다.

• ㄱ: $MSE=\frac{442}{17}=26$이다. 옳다.
• ㄴ: $x_2$의 $p$-값 0.123이 0.05보다 커서 유의하지 않다. 옳지 않다.
• ㄷ: 표준오차가 $0.354\gt 0.294$이므로 $\beta_1$의 구간이 더 넓다. 옳다.

검정통계량은 $\frac{50}{63}$로 임계값 2.71보다 작아 귀무가설을 기각하지 않는다.

기대도수(행합×열합÷총합)는 수강·합격 42, 수강·불합격 18, 미수강·합격 28, 미수강·불합격 12이며, 관측도수와의 차이는 모두 $\pm 2$이다.

$\chi^2=4\left(\frac{1}{42}+\frac{1}{18}+\frac{1}{28}+\frac{1}{12}\right)=4\times\frac{50}{252}=\frac{50}{63}\approx 0.79$
자유도는 $(2-1)(2-1)=1$이므로 $\chi^2_{0.1}(1)=2.71$과 비교한다.

• $\frac{200}{63}$은 편차 제곱을 4가 아닌 16으로 잘못 계산한 값이다.
• 기각한다는 결론은 $0.79\lt 2.71$이라는 비교와 맞지 않는다.

신뢰구간은 $\left(\frac{3}{3.87},\,3\times 3.44\right)$이다 — 하한은 $F(12,9)$, 상한은 자유도를 뒤집은 $F(9,12)$를 쓴다.

$\frac{S_A^2/\sigma_A^2}{S_B^2/\sigma_B^2}\sim F(12,9)$이고 표본분산비는 $\frac{27}{9}=3$이다.

$F_{0.975}(12,9)=\frac{1}{F_{0.025}(9,12)}$를 이용하면
$\frac{3}{F_{0.025}(12,9)}\lt \frac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2}\lt 3\times F_{0.025}(9,12)$

• 상한에 3.87을 곱한 구간은 역수 관계에서 자유도 순서를 뒤집지 않은 것이다.
• 하한을 3.44로 나눈 구간은 분자·분모 자유도를 바꿔 쓴 것이다.

오차제곱합은 99, 자유도는 12이다.

오차제곱합은 그룹 내 변동의 합이다.
$SSE=\sum(n_i-1)s_i^2=3\times 7.0+4\times 9.5+5\times 8.0=21+38+40=99$

자유도는 $N-k=15-3=12$이며, 14는 총자유도 $N-1$에 해당한다.

대응표본 $t$-검정통계량의 절댓값은 2.5이다.

차이(이수 후 − 이수 전): $-2,\ 6,\ 10,\ 14,\ 22$
$\bar{d}=\frac{50}{5}=10$

$s_d^2=\frac{144+16+0+16+144}{4}=80$
$t=\frac{\bar{d}}{s_d/\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{16}}=2.5$

$E(X)$는 $\frac{9}{4}$이며, 꼬리합 공식 $E(X)=\sum P(X\ge x)$로 계산한다.

최솟값이 $x$ 이상이려면 세 장 모두 $x,\dots,8$에서 뽑아야 하므로 $P(X\ge x)=\frac{\binom{9-x}{3}}{\binom{8}{3}}$이다.

$E(X)=\frac{\binom{8}{3}+\binom{7}{3}+\cdots+\binom{3}{3}}{56}=\frac{\binom{9}{4}}{56}=\frac{126}{56}=\frac{9}{4}$

$14m_0$는 27.6이다 — 사분위수 범위는 $2\times 0.70=1.40$이고, 양쪽 꼬리 합 0.02에 해당하는 값은 $t_{0.01}(10)=2.76$이다.

$t$분포는 0에 대칭이므로 $Q_1=-0.70$, $Q_3=0.70$이다.
$P(|T|\ge 1.4m)\le 0.02\iff 1.4m\ge 2.76$
$m_0=\frac{2.76}{1.4},\ 14m_0=27.6$

• 23.6은 한쪽 꼬리 0.02에 해당하는 2.36을 쓴 값이다.
• 55.2는 사분위수 범위를 1.40이 아닌 0.70으로 잡은 값이다.
• 47.2는 위 두 실수를 함께 범한 값이다.

$P\left(X\gt \frac{1}{2}\right)$는 $\frac{1}{8}$이며, 먼저 $X$의 주변확률밀도함수를 구한다.

$f_X(x)=\int_0^{1-x}6(1-x-y)\,dy=3(1-x)^2,\ 0\lt x\lt 1$

$\int_{1/2}^{1}3(1-x)^2\,dx=\left[-(1-x)^3\right]_{1/2}^{1}=\frac{1}{8}$

$F$-검정통계량은 10이다(처리평균제곱 10, 오차평균제곱 1).

약품별 평균은 2, 1, −1, −2이고 총평균은 0이다.
$SSTR=3(4+1+1+4)=30$, 자유도 3 → 평균제곱 10

각 약품 안의 편차가 $1,0,-1$이라 오차제곱합은 $4\times 2=8$, 자유도 $12-4=8$ → 평균제곱 1
$F=\frac{10}{1}=10$

• 30은 처리제곱합을 자유도로 나누지 않은 값이다.
• 8은 오차제곱합 또는 오차 자유도이다.

ㄱ, ㄴ, ㄷ이 모두 옳다 — 설명변수를 상수배해도 적합값 $\hat{y}_i$가 그대로이기 때문이다.

$\widehat{\beta_1^*}=\frac{\hat{\beta}_1}{2}$이므로 $\widehat{\beta_1^*}x_i^*=\hat{\beta}_1x_i$이고, 절편도 $\bar{y}-\widehat{\beta_1^*}\bar{x}^*=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}$로 변하지 않는다.

• ㄱ: 위 식에서 절편 추정값이 같다. 옳다.
• ㄴ: 적합값이 같으므로 $SSR=\sum(\hat{y}_i-\bar{y})^2$도 같다. 옳다.
• ㄷ: 잔차와 자유도 $n-2$가 같으므로 잔차평균제곱도 같다. 옳다.

(가)는 $1-3.5e^{-2.5}$, (나)는 0.1587이다.

독립인 포아송 확률변수의 합은 포아송이므로 5장의 총 결함은 평균 2.5인 포아송 분포를 따른다.
$P(S\ge 2)=1-e^{-2.5}(1+2.5)=1-3.5e^{-2.5}$

50장의 총 결함은 평균 25, 분산 25(표준편차 5)이므로 중심극한정리로
$P(S\ge 30)\approx P\left(Z\ge\frac{30-25}{5}\right)=P(Z\ge 1)=0.1587$

• $1-e^{-0.5}$는 웨이퍼 1장에서 결함이 1개 이상일 확률로, 5장 합산과 '2개 이상' 조건을 반영하지 않았다.
• 0.0228은 $P(Z\ge 2)$로, 표준화 값 1과 맞지 않는다.

$Var(R_P)$를 최소로 하는 값은 $a=\frac{5}{7}$이다.

$Var(R_P)=5a^2+20(1-a)^2+2a(1-a)(-5)$
$=35a^2-50a+20$

이차함수의 꼭짓점에서 $a=\frac{50}{70}=\frac{5}{7}$이며, $0\le a\le 1$ 범위 안에 있다.