26년 1회차

정지 유체 내 한 점의 압력이 방향마다 다르다는 설명이 틀렸다. 정지 유체의 압력은 모든 방향으로 같은 크기(등방성)로 작용한다.

정지 유체에는 전단응력이 없으므로 한 점에 작용하는 힘은 수직응력뿐이고, 미소 쐐기 요소의 힘 평형을 세우면 방향과 무관하게 압력이 같아진다(파스칼 원리).

• 온도와 압력이 정해지면 상태방정식에 따라 밀도가 하나로 결정되므로 옳다.
• 유체는 전단응력을 받으면 계속 변형하므로, 멈춰 있는 유체에는 전단응력이 없다는 설명은 옳다.
• 압축성 유체(기체)는 온도·압력에 따라 밀도가 크게 변하고 비압축성 유체는 거의 변하지 않으므로 옳다.

온도가 오르면 평균 자유 경로가 감소한다는 설명이 틀렸다. 기체운동론에서 평균 자유 경로는 온도에 비례하고 압력에 반비례하므로 온도가 오르면 오히려 늘어난다.

평균 자유 경로 증가와 평균 분자 속도 증가가 함께 작용해 확산계수는 대략 $D_{\mathrm{AB}} \propto \dfrac{T^{3/2}}{P}$ 로 커진다.

• 압력이 높아지면 분자 수밀도가 커져 평균 자유 경로가 짧아지므로 확산계수가 감소한다는 설명은 옳다.
• 평균 분자 속도는 분자량의 제곱근에 반비례하므로 분자량이 큰 기체일수록 확산계수가 작아진다는 설명은 옳다.
• 기체운동론 식은 이상기체를 전제로 하며, 고압에서는 분자 간 상호작용으로 이상기체에서 벗어나므로 옳다.

단면적이 줄어드는 구간에서 기포는 커진다.

연속방정식에 따라 단면적이 줄면 유속이 증가하고, 마찰을 무시한 베르누이 식에서 유속이 커지면 정압이 낮아진다.

표면장력이 우세해 기포는 구형을 유지한 채 주위 압력에만 반응하므로, 주위 압력이 떨어지면 기포 내부 기체가 팽창해 부피가 커진다.

종말속도에서 항력·부력·중력이 평형을 이루므로 항력계수는 10이다.

힘 평형과 항력계수 정의를 결합하면 $C_D = \dfrac{4 g D(\rho_s - \rho)}{3 \rho u_t^2}$ 이다.

값 대입: $C_D = \dfrac{4 \times 10 \times 0.01 \times 3000}{3 \times 1000 \times 0.2^2} = \dfrac{1200}{120}$
결과: $C_D = 10$

Stokes 영역 관계 $C_D = 24/Re$ 로 보면 이때 $Re = 2.4$에 해당하며, 계산 결과는 힘 평형식만으로 결정된다.

단열 경계조건은 경계면에서의 온도구배가 0인 조건, 즉 $\left.\dfrac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=0} = 0$ 이다.

푸리에 법칙 $q_x = -k\dfrac{\partial T}{\partial x}$ 에서 경계면을 통과하는 열플럭스가 0이 되려면 그 위치의 온도구배가 0이어야 한다.

• 경계면 온도를 내부 평균 온도와 같게 두는 조건은 경계 온도를 지정하는 조건일 뿐 열 흐름 차단을 뜻하지 않는다.
• 경계면에서 온도의 시간 변화율이 0이라는 조건은 정상상태를 뜻하며 단열과는 다르다.
• 경계면과 내부 평균 온도의 차이가 0이라는 조건도 온도값 지정에 해당해 열플럭스가 0임을 보장하지 않는다.

평균물질전달계수는 $5.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ 이다.

무차원수 계산:
$Re_L = \dfrac{v_\infty L}{\nu} = \dfrac{0.01 \times 0.1}{1.0 \times 10^{-5}} = 100$
$Sc = \dfrac{\nu}{D_{\mathrm{A}}} = 1$

관계식 대입: $Sh_L = 0.5 \times 100^{1/2} \times 1^{1/3} = 5$

Sherwood 수 정의 $Sh_L = \dfrac{k_c L}{D_{\mathrm{A}}}$ 에서
$k_c = \dfrac{5 \times 1.0 \times 10^{-5}}{0.1} = 5.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$

공급해야 할 순수한 물의 몰 유량은 80 kmol/h이다.

들어오는 아세톤은 $125\times0.2=25\,\mathrm{kmol\,h^{-1}}$이고 그중 80 %인 $20\,\mathrm{kmol\,h^{-1}}$가 액으로 회수된다.

바닥 수용액이 아세톤 20 mol%이므로 $L_b=\dfrac{20}{0.2}=100\,\mathrm{kmol\,h^{-1}}$이고, 물은 증발하지 않으므로 물 유량 = 100 − 20이다.

• 60은 물 수지에서 회수 아세톤을 두 번 뺀 값으로 맞지 않는다.
• 100은 바닥 수용액 전체 유량으로, 아세톤 20 kmol/h를 빼지 않은 값이다.
• 120은 수용액 유량에 아세톤을 더한 값으로, 물만의 유량이 아니다.

평판 층류에서 두 경계층 두께의 관계가 Reynolds 수에 의존한다는 설명이 틀렸다. 그 비는 Prandtl 수에 의존한다.

평판 층류 해석에서 $\dfrac{\delta}{\delta_t} \approx Pr^{1/3}$ 이며, 두 두께가 모두 Reynolds 수에 같은 형태로 의존하므로 비에서는 Reynolds 수가 소거된다.

• $Nu = \dfrac{hL}{k} = \dfrac{L/k}{1/h}$ 이므로 Nusselt 수는 대류 저항에 대한 전도 저항의 비라는 설명은 옳다.
• $Pr = \nu/\alpha$ 로 열확산계수에 대한 운동량확산계수의 비라는 설명은 옳다.
• 자연대류는 Grashof 수·Rayleigh 수로 해석하며, 이들은 부력 관련 물성과 온도차로 정의되고 유속을 포함하지 않으므로 옳다.

단원자·2원자 기체가 열복사를 투과하지 못한다는 설명이 틀렸다. 이들 기체는 열복사에 대해 사실상 투명하여 복사를 거의 그대로 투과시킨다.

복사를 흡수·방출하는 것은 이산화탄소·수증기 같은 다원자 기체이며, 단원자·2원자 기체 공간에서는 전도·대류뿐 아니라 복사에 의한 열 흐름도 함께 일어난다.

• 흑체의 방출 에너지는 슈테판-볼츠만 법칙에 따라 절대온도의 4제곱에 비례하므로 옳다.
• 흑체는 입사 복사를 전부 흡수하므로 반사·투과가 없다는 설명은 옳다.
• 복사선은 공간을 지나는 동안 에너지를 잃지 않고, 물질에 흡수된 에너지만 열로 나타나므로 옳다.

대류 열전달계수가 유체 고유 물성으로 흐름 형태와 무관하다는 설명이 틀렸다. 열전달계수는 흐름 상태(유속·층류/난류)와 기하 형상에 따라 달라지는 값이다.

그래서 열전달계수는 $Nu = f(Re, Pr)$ 같은 무차원 상관식으로 흐름 조건마다 구한다.

• 금속의 높은 열전도도는 자유전자의 운동에 기인하므로 옳다.
• 푸리에 법칙은 열플럭스가 온도구배에 비례함을 나타내므로 옳다.
• 온도 차에 따른 밀도 차와 부력으로 유발되는 흐름이 자연대류라는 설명은 옳다.

세 진술이 모두 옳다.

고체 내 확산은 원자가 이웃한 빈 격자점으로 옮겨 가는 빈자리 확산과, 작은 원자가 격자 사이 공간을 따라 이동하는 틈새 확산으로 설명한다.

• ㄱ: 빈자리 확산에서 원자가 격자 위치에서 이웃 빈자리로 이동한다는 설명은 정의 그대로다.
• ㄴ: 빈자리 확산과 틈새 확산은 고체 확산의 대표 메커니즘이다.
• ㄷ: 고체 확산계수는 아레니우스 형태 $D = D_0 \exp(-Q/RT)$ 를 따르므로 온도가 오르면 증가한다.

상부 평판의 이동 속도는 0.002 m/s이다.

Bingham 유체는 항복응력을 넘는 만큼만 뉴턴 유체처럼 흐른다: $\tau=\tau_0+\mu\dfrac{dv}{dy}$.

정상상태 평판 사이에서 전단응력은 일정하고 속도분포는 선형이므로 $150-100=5000\times\dfrac{V}{0.2}$
$V=\dfrac{50\times0.2}{5000}=0.002\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

• 0.001은 간격을 0.1 m로 잘못 넣은 값이다.
• 0.005·0.010은 Bingham 식으로 나오지 않는다. 항복응력을 빼지 않아도 0.006이 되어 어느 쪽과도 맞지 않는다.

길이 4L 유로의 유량은 2 $cm^{3}/s$이다.

층류 원형관에서 하겐–푸아죄유 식에 따라 단면적이 같으면 $Q\propto\dfrac{\Delta P}{L}$이고, 병렬 유로는 압력강하가 같다.

$Q_1\cdot4L=Q_2\cdot2L\Rightarrow Q_2=2Q_1$
$Q_1+Q_2=6\Rightarrow Q_1=2\,\mathrm{cm^3\,s^{-1}}$

• 1·1.5는 압력강하 동일 조건을 만족하지 않는다. 예를 들어 1이면 나머지 유로가 5가 되어 유량비가 2가 아니다.
• 3은 두 유로에 똑같이 나눈 값으로, 긴 유로의 저항이 2배라는 점을 무시했다.

장을 에너지와 시간의 함수로 정의한 설명이 틀렸다. 장은 주어진 영역에서 위치(공간 좌표)와 시간의 함수로 정의되는 양이다.

속도장·압력장·온도장처럼 각 물리량을 $(x, y, z, t)$ 의 함수로 나타내는 것이 유동장 표현의 기본이다.

• 모든 점에서 흐름이 시간에 무관하면 정상상태라는 정의는 옳다.
• 유선은 각 점의 속도 벡터에 접하도록 그린 선이라는 정의는 옳다.
• Euler 법은 고정된 공간 좌표와 시간을 독립변수로 속도장을 나타내므로 옳다.

Stokes-Einstein 식의 확산계수가 온도의 1.5제곱에 비례한다는 설명이 틀렸다. 이 식에서 확산계수는 절대온도에 비례하고 점도에 반비례한다.

Stokes-Einstein 식은 $D_{\mathrm{AB}} = \dfrac{k_B T}{6 \pi \mu_B r_A}$ 이며, 온도의 1.5제곱 의존성은 기체 확산계수의 특징이다.

• Fick 제1법칙에서 확산 몰플럭스는 농도구배에 비례하므로 옳다.
• 전압이 일정한 등몰 상호확산에서는 A와 B의 플럭스가 크기는 같고 방향이 반대이므로 옳다.
• 난류에서 소용돌이에 의해 조성이 다른 유체가 섞이는 현상이 에디확산이므로 옳다.

모형 원형관의 압력강하는 200 kPa 이다.

같은 유체이므로 Reynolds 수가 같으려면 $u D$ 가 같아야 한다.
$u_m = 5.0 \times \dfrac{10}{1.0} = 50\ \mathrm{cm\,s^{-1}}$

완전발달 층류의 Hagen-Poiseuille 식 $\Delta P = \dfrac{32 \mu u L}{D^2}$ 에서 비를 잡는다.
$\dfrac{\Delta P_m}{\Delta P} = \dfrac{u_m}{u} \cdot \dfrac{L_m}{L} \cdot \left(\dfrac{D}{D_m}\right)^2 = 10 \times \dfrac{0.1}{2.0} \times 100 = 50$

결과: $\Delta P_m = 50 \times 4.0 = 200\ \mathrm{kPa}$

옳은 것은 ㄱ과 ㄷ이다.

Henry 법칙 $p_A = H x_A$ 에서 기상 몰분율은 $y_A = \dfrac{H}{P} x_A$ 이므로 전체 압력이 클수록 평형선 기울기가 작아져 흡수에 유리하다.

• ㄱ: 같은 액상 조성에서 기체의 평형 몰분율은 전체 압력에 반비례하므로 옳다.
• ㄴ: 농후기체를 흡수하면 많은 양의 용해열(흡수열)이 방출되어 탑 바닥과 꼭대기 사이에 온도 분포가 생기므로 틀렸다.
• ㄷ: 고압일수록 용질 분압이 커져 액체 내 용해도가 높아지므로 옳다.

벽을 통한 단위 면적당 열 손실은 10.0 $W/m^{2}$이다.

1차원 정상 전도에서 두 층은 직렬 열저항이므로 $R=\dfrac{0.5}{1.00}+\dfrac{0.1}{0.05}=0.5+2.0=2.5\,\mathrm{m^2\,K\,W^{-1}}$이다.

$q=\dfrac{25-0}{2.5}=10.0\,\mathrm{W\,m^{-2}}$

• 5.0은 전체 저항을 두 배(5.0)로 잡은 값이다.
• 15.0·20.0은 전체 저항이 각각 1.67, 1.25여야 나오는 값으로, 단열재 저항(0.1/0.05=2.0)만으로도 이보다 크다.

공급원료의 온도가 낮아질수록 정류부 단수가 증가한다는 설명이 옳지 않다.

공급원료 온도가 낮아지면 $q$ 값이 커져 q선이 수직 쪽으로 서고, 조작선 교점이 정류부 조작선을 따라 고농도 쪽으로 이동하므로 정류부 단수는 오히려 줄어든다.

• 환류비를 높이면 정류부 조작선이 대각선에 가까워져 필요한 단수가 줄어든다.
• 그림의 9단은 2단보다 탑 아래쪽에 있어 톨루엔(고비점 성분)이 많으므로 온도가 더 높다.
• q선이 공급 조성에서 왼쪽 위로 기울어 있어 $0 \lt q \lt 1$, 즉 공급원료는 기액 2상 혼합물이다.

Sherwood 수는 4,000 이다.

원형관 층류의 Fanning 마찰계수는 $f = \dfrac{16}{Re} = 16$ 이므로 주어진 관계에서 $\dfrac{k_c}{U} = 8$ 이다.

Sherwood 수를 무차원수의 곱으로 바꾼다.
$Sh = \dfrac{k_c D}{D_{\mathrm{AB}}} = \dfrac{k_c}{U} \cdot \dfrac{U D}{\nu} \cdot \dfrac{\nu}{D_{\mathrm{AB}}} = \dfrac{k_c}{U} \cdot Re \cdot Sc$

값 대입: $Sh = 8 \times 1 \times 500 = 4000$

단위 부피당 열 발생 속도는 100 $kW/m^{3}$ 이다.

원통 좌표의 열 발생 전도식은 $\dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dr}\left(r\dfrac{dT}{dr}\right) = -\dfrac{\dot{q}}{k}$ 이다.

미분: $\dfrac{dT}{dr} = 1000\left(-10r + \dfrac{1}{r}\right)$, $r\dfrac{dT}{dr} = 1000(-10r^2 + 1)$
$\dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dr}\left(r\dfrac{dT}{dr}\right) = \dfrac{1000(-20r)}{r} = -20000$

결과: $\dot{q} = 20000 \times 5 = 1.0 \times 10^{5}\ \mathrm{W\,m^{-3}} = 100\ \mathrm{kW\,m^{-3}}$ (로그항은 라플라시안이 0이라 발생항에 기여하지 않는다)

A면의 온도는 28.0 ℃이다.

정상상태에서 같은 열유속이 대류와 전도를 차례로 통과한다.

대류: $T_B=25+\dfrac{100}{50}=27\,^{\circ}\mathrm{C}$
전도: $T_0=T_B+\dfrac{qL}{k}=27+\dfrac{100\times0.1}{10}=28\,^{\circ}\mathrm{C}$

• 27.0은 B면 온도로, 벽 전도에 의한 온도 강하를 빠뜨린 값이다.
• 30.0·31.0은 대류(2 ℃)와 전도(1 ℃) 온도 강하의 합 3 ℃를 넘는 값으로 수지와 맞지 않는다.

감쇠 토크는 반지름의 네제곱에 비례한다.

반지름 $r$에서 선속도는 $\omega r$이고 속도분포가 선형이므로 전단응력은 $\tau=\mu\dfrac{\omega r}{S}$이다.

양면에 대해 적분하면 $T=2\int_0^R\mu\dfrac{\omega r}{S}\,r\,(2\pi r)\,dr=\dfrac{\pi\mu\omega R^4}{S}$로 면적과 팔 길이가 함께 커져 지수가 4가 된다.

• R에 단순 비례한다는 것은 전단응력의 반지름 의존성과 면적 증가를 모두 무시한 것이다.
• R의 제곱 비례는 면적만 반영하고 속도·모멘트 팔의 증가를 빠뜨린 것이다.
• R에 반비례한다는 것은 물리적으로 맞지 않는다.

페인트가 흘러내리지 않으려면 항복응력이 최소 5 Pa이어야 한다.

압력구배가 없고 공기 계면 전단응력이 0이므로 힘 수지에서 $\tau(y)=\rho g(\delta-y)$이며, 벽면에서 최대가 된다.

$\tau_{\max}=\rho g\delta=1000\times10\times0.5\times10^{-3}=5\,\mathrm{Pa}$

• 10은 두께를 1 mm로 잘못 쓰거나 벽면 전단응력을 두 배로 잡은 값이다.
• 15·20은 $\rho g\delta$의 어떤 대입으로도 나오지 않는다.

최대 온도와 표면 온도의 차이는 2배가 된다.

균일 발열 원통의 정상상태 온도 분포는 $T - T_0 = \dfrac{S_h R^2}{4k}\left(1 - \dfrac{r^2}{R^2}\right)$ 이고, 최대 온도는 중심에서 나타난다.

최대 온도차: $\Delta T_{\max} = \dfrac{S_h R^2}{4k}$

변화 비율: $\dfrac{(2R)^2 / (2k)}{R^2 / k} = \dfrac{4}{2} = 2$ 로, 온도차는 반지름의 제곱에 비례하고 열전도도에 반비례한다.