26년 1회차

푸아송 방정식에서 전하밀도는 $\rho_v=-12\epsilon_0$이다.

푸아송 방정식: $\nabla^2 V=-\dfrac{\rho_v}{\epsilon_0}$
라플라시안: $\nabla^2 V=6+4+2=12$
따라서 $\rho_v=-\epsilon_0\nabla^2 V=-12\epsilon_0\ \mathrm{C/m^3}$

• $-4\epsilon_0$, $-8\epsilon_0$: 2차 미분 세 항(6, 4, 2) 중 일부만 더한 값이다.
• $-16\epsilon_0$: 2차 미분 합(12)과 맞지 않는다.

전계의 크기는 힘의 크기를 전하로 나눈 $6\times 10^5\ \mathrm{V/m}$이다.

힘의 크기: $|\overrightarrow{F}|=\sqrt{2^2+4^2+(-4)^2}=6\ \mathrm{mN}$
전계: $E=\dfrac{F}{Q}=\dfrac{6\times 10^{-3}}{10\times 10^{-9}}=6\times 10^5\ \mathrm{V/m}$

• $4\times 10^5$, $5\times 10^5$: 힘의 크기 6 mN을 10 nC로 나눈 값보다 작다.
• $7\times 10^5$: 힘의 크기를 6 mN보다 크게 잡아야 나오는 값이다.

전위차는 $V_{12}=43\ \mathrm{V}$이다.

정의: $V_{12}=V_1-V_2=-\displaystyle\int_{P_2}^{P_1}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_{P_1}^{P_2}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}$

성분별 적분(보존장이므로 경로 무관):
$\displaystyle\int_2^4 4x\,dx=24,\ \int_{-2}^{2}3y^2\,dy=16,\ \int_1^{-2}2z\,dz=3$
합: $V_{12}=24+16+3=43\ \mathrm{V}$

• 86: 적분 계수 처리를 잘못해 두 배가 된 값이다.
• $-43$: 적분 구간 방향($V_2-V_1$)을 뒤집은 값이다.
• $-86$: 방향과 계수를 모두 잘못 처리한 값이다.

자화의 세기는 $M=(\mu_r-1)H=3990\ \mathrm{A/m}$이다.

자화율: $\chi_m=\mu_r-1=399$
대입: $M=\chi_m H=399\times 10=3990\ \mathrm{A/m}$

• 4000: 자화율 대신 비투자율을 곱한 값($\mu_r H$)이다.
• 400: 비투자율 값을 그대로 쓴 것이다.
• 5030: 관계식으로 얻을 수 없는 값이다.

원점에서 두 자계가 상쇄되려면 크기가 같아야 하므로 $\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{3}$이다.

두 선전류는 원점의 양쪽에 있고 방향이 같으므로, 원점에서 만드는 자계는 서로 반대 방향이다. 무한 선전류의 자계 $H=\dfrac{I}{2\pi r}$를 같게 두면 $\dfrac{2}{2\pi a}=\dfrac{3}{2\pi b}$이다.

$2b=3a$이므로 $\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{3}$이다.

• $\dfrac{4}{9}$: 전류비를 제곱한 값으로, 자계가 거리의 제곱에 반비례한다고 본 오류이다.
• $\dfrac{3}{2}$: 전류와 거리의 대응을 뒤바꾼 값이다.
• $\dfrac{9}{4}$: 거리 제곱 반비례와 대응 뒤바꿈이 겹친 값이다.

진공 영역의 자속밀도 크기는 $\dfrac{\mu_0}{\mu}B_0$이다.

자속밀도가 경계면에 평행하므로 접선 성분만 있고, 표면 전류가 없으면 자계 H의 접선 성분이 연속이다. 따라서 $\dfrac{B_0}{\mu}=\dfrac{B}{\mu_0}$이다.

정리하면 $B=\dfrac{\mu_0}{\mu}B_0$로, 투자율이 큰 자성체보다 진공 쪽 자속밀도가 작아진다.

• $\dfrac{\mu}{\mu_0}B_0$: 투자율 비를 뒤집은 값으로, 자성체 쪽이 오히려 커지는 결과가 된다.
• $\mu_0\mu B_0$: 투자율을 곱하기만 해 차원이 맞지 않는다.
• $\dfrac{1}{\mu\mu_0}B_0$: 투자율로 나누기만 해 차원이 맞지 않는다.

도선 양단의 유도기전력 크기는 10 [V]이다.

운동 기전력은 $e=(\vec{v}\times\vec{B})\cdot\vec{L}$이다. $\vec{v}\times\vec{B}=20\vec{a_x}\times\vec{a_z}=-20\vec{a_y}$이므로, 도선 길이의 $y$성분만 기여한다.

도선이 $x$축과 30°를 이루므로 $y$성분은 $1\times\sin 30^\circ=0.5$이고, $|e|=20\times 0.5=10\ \mathrm{V}$이다.

• 20: 도선이 속도에 수직이라고 보고 $vBL$를 그대로 쓴 값이다.
• 5: 성분을 두 번 줄여 곱한 값이다.
• 15: 30° 성분($\sin 30^\circ$, $\cos 30^\circ$) 어느 쪽으로도 나오지 않는 값이다.

루프가 받는 토크는 $T=0.1\ \mathrm{N\cdot m}$이다.

루프 면적벡터는 $z$ 방향, 자속밀도는 $x$ 방향이므로 두 방향이 수직이라 토크가 최대이다.

공식: $T=NIAB\sin 90^\circ$
대입: $T=10\times 2\times 0.01\times 0.5=0.1\ \mathrm{N\cdot m}$

• 0.05: 계산값의 절반으로, 수직 배치에서 최대가 되는 토크와 맞지 않는다.
• 0.2: 자속밀도 0.5를 빠뜨린 값이다.
• 1: 면적(0.01 $m^{2})$ 대신 한 변의 길이 0.1 m를 곱한 값이다.

변위전류밀도는 $\omega\epsilon E_0\cos(\omega t-\beta z)\overrightarrow{a_x}$이다.

정의: $\overrightarrow{J_d}=\dfrac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}=\epsilon\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$
미분: $\dfrac{\partial}{\partial t}\sin(\omega t-\beta z)=\omega\cos(\omega t-\beta z)$

• $\beta$가 붙은 식(양·음 모두): 공간(z) 미분을 한 것으로, 시간 미분인 변위전류와 다르다.
• $-\omega\epsilon E_0\cos(\omega t-\beta z)\overrightarrow{a_x}$: $\sin$의 시간 미분에서 부호를 잘못 붙인 것이다.

접속점의 전압 반사계수는 0.2이다.

선로 $Z_0$에서 입사한 파가 보는 부하는 무한 선로 $Z_1$이므로 $\Gamma=\dfrac{Z_1-Z_0}{Z_1+Z_0}$이다.

$\Gamma=\dfrac{75-50}{75+50}=\dfrac{25}{125}=0.2$

• $-0.2$: 분자의 순서를 뒤바꾼 값으로, 반대 방향 입사의 반사계수이다.
• 0.5와 $-0.5$: 분모를 합이 아닌 값으로 잡은 계산 오류이다.

점 P의 전계는 $\dfrac{5}{2\epsilon_0}\vec{a_z}$이다.

무한 면전하의 전계는 거리와 무관하게 $\dfrac{\rho_s}{2\epsilon_0}$이며 양전하면 면에서 멀어지는 방향이다. P는 $z=-3$이므로 위쪽 두 평면 아래, 맨 아래 평면 위에 있다.

$z=4$(음전하): $+\dfrac{8}{2\epsilon_0}$, $z=1$: $-\dfrac{6}{2\epsilon_0}$, $z=-4$: $+\dfrac{3}{2\epsilon_0}$
합: $\dfrac{8-6+3}{2\epsilon_0}=\dfrac{5}{2\epsilon_0}$

• $-\dfrac{5}{2\epsilon_0}\vec{a_z}$: 크기는 같으나 방향을 반대로 잡은 값이다.
• $\pm\dfrac{2\epsilon_0}{5}\vec{a_z}$: 유전율을 분자에 둔 것으로 차원이 맞지 않는다.

로렌츠 힘은 $-18\overrightarrow{a_x}+21\overrightarrow{a_y}-18\overrightarrow{a_z}$이다.

공식: $\overrightarrow{F}=Q(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B})$
외적: $\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}=5\overrightarrow{a_x}-5\overrightarrow{a_y}+5\overrightarrow{a_z}$
합: $\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}=6\overrightarrow{a_x}-7\overrightarrow{a_y}+6\overrightarrow{a_z}$
곱: $\overrightarrow{F}=-3(6,-7,6)=-18\overrightarrow{a_x}+21\overrightarrow{a_y}-18\overrightarrow{a_z}\ \mathrm{N}$

• $18\overrightarrow{a_x}-21\overrightarrow{a_y}+18\overrightarrow{a_z}$: 음전하 부호를 빠뜨린 값이다.
• $-18\overrightarrow{a_x}+9\overrightarrow{a_y}-18\overrightarrow{a_z}$: 외적의 $y$ 성분을 잘못 계산한 값이다.
• $18\overrightarrow{a_x}-9\overrightarrow{a_y}+18\overrightarrow{a_z}$: 외적 오류와 전하 부호 누락이 겹친 값이다.

점 O의 자속밀도 크기는 $\dfrac{\mu_0 I}{16a}$이다.

두 직선 구간은 O를 지나는 축 위에 있어 O에서 자계를 만들지 않는다. 반지름 $R$인 사분원 전류는 중심에 $\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{\mu_0 I}{2R}=\dfrac{\mu_0 I}{8R}$를 만든다.

안쪽 원호와 바깥 원호는 전류의 회전 방향이 반대이므로 상쇄된다.
$B=\dfrac{\mu_0 I}{8a}-\dfrac{\mu_0 I}{16a}=\dfrac{\mu_0 I}{16a}$

• $\dfrac{\mu_0 I}{8a}$: 안쪽 원호만 계산한 값이다.
• $\dfrac{\mu_0 I}{4a}$: 반원 기준으로 계산한 값이다.
• $\dfrac{\mu_0 I}{2a}$: 원형 전체 전류의 중심 자계를 쓴 값이다.

각도가 경계면 기준이므로 $\tan\theta_B=\dfrac{2}{3}$이다.

자유전하가 없으면 E의 접선 성분과 D의 법선 성분이 연속이다. 경계면과 이루는 각 기준으로 접선 성분은 $E\cos\theta$, 법선 성분은 $E\sin\theta$이다.

$E_A\cos 45^\circ=E_B\cos\theta_B$, $2\epsilon_0 E_A\sin 45^\circ=3\epsilon_0 E_B\sin\theta_B$
나누면 $\tan\theta_B=\dfrac{2}{3}\tan 45^\circ=\dfrac{2}{3}$

• $\dfrac{3}{2}$: 법선 기준 각의 굴절 관계를 그대로 써서 유전율 비가 뒤집힌 값이다.
• $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{4}{3}$: 경계조건에서 나올 수 없는 비이다.

옳지 않은 설명은 퀴리 온도 이상에서 강자성체의 자화율이 커진다는 내용이다.

퀴리 온도를 넘으면 열운동으로 자구 정렬이 깨져 강자성을 잃고 상자성체처럼 되므로 자화율은 크게 감소한다.

• 상자성체: 자화율이 작은 양수여서 비투자율이 1보다 약간 크다 — 옳다.
• 반자성체: 외부 자계와 반대로 자화되어 자화율이 음수이다 — 옳다.
• 강자성체: 자구 구조를 가지며 히스테리시스 특성을 보인다 — 옳다.

단위 길이당 정전용량은 $C=80\ \mathrm{pF/m}$이다.

무손실 선로: $\beta=\omega\sqrt{LC}$, $Z_0=\sqrt{\dfrac{L}{C}}$
두 식을 나누면 $C=\dfrac{\beta}{\omega Z_0}$

대입: $C=\dfrac{0.8\pi}{2\pi\times 10^8\times 50}=8\times 10^{-11}\ \mathrm{F/m}=80\ \mathrm{pF/m}$

• 20, 40: 계산값보다 작아 $\beta$와 $Z_0$를 동시에 만족하지 못한다.
• 160: 각주파수 대신 $\pi f$로 분모를 절반으로 잡은 값이다.

유전체 슬랩 내부 전계는 $\dfrac{10}{7}$ [kV/m]이다.

전원을 분리한 뒤 삽입했으므로 전하량이 보존되고, 판에 수직인 전속밀도 $D$도 그대로 유지된다.

삽입 전 공기 전계 $E_0=\dfrac{V_0}{d}=\dfrac{100}{0.01}=10\ \mathrm{kV/m}$
슬랩 내부 $E=\dfrac{D}{\epsilon_0\epsilon_r}=\dfrac{E_0}{7}=\dfrac{10}{7}\ \mathrm{kV/m}$

• 10: 삽입 전 전계, 또는 슬랩 바깥 공기 영역의 전계이다.
• $\dfrac{5}{7}$: 슬랩 전계에 두께 비 $t/d$를 한 번 더 곱한 값으로 근거가 없다.
• $\dfrac{1}{7}$: 자릿수(10배)를 놓친 값이다.

벡터 자기포텐셜은 $\dfrac{\mu_0 I}{2\pi}\ln\left(\dfrac{r_0}{r}\right)\overrightarrow{a_z}$이다.

무한 직선전류의 자속밀도: $\overrightarrow{B}=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\overrightarrow{a_\phi}$
$A_z$만 있을 때 $B_\phi=-\dfrac{\partial A_z}{\partial r}$이므로 $A_z=-\dfrac{\mu_0 I}{2\pi}\ln r+k$

기준 $r=r_0$에서 0이 되도록 상수를 정하면 $A_z=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi}\ln\dfrac{r_0}{r}$

• $\ln(r/r_0)$ 꼴: 부호가 반대여서 회전을 취하면 자계가 $-\overrightarrow{a_\phi}$ 방향이 된다.
• 분모에 $r$가 더 붙은 두 꼴: 자속밀도 식에 로그를 곱한 것으로 차원이 맞지 않는다.

내부 도체 표면의 면전하밀도는 $\dfrac{\epsilon V_0}{a\ln(\dfrac{b}{a})}$이다.

동축선로 사이 전계는 $E=\dfrac{\rho_L}{2\pi\epsilon r}$이고 적분하면 $V_0=\dfrac{\rho_L}{2\pi\epsilon}\ln\dfrac{b}{a}$이므로 $E=\dfrac{V_0}{r\ln(b/a)}$이다.

도체 표면에서 $\rho_s=D=\epsilon E(a)=\dfrac{\epsilon V_0}{a\ln(b/a)}$이다.

• $\dfrac{\epsilon V_0}{a\ln(a/b)}$: $\ln(a/b)<0$이어서 부호가 뒤집힌 값이다.
• 분자·분모가 뒤집힌 두 식: 차원이 면전하밀도가 아니다.

유도기전력 크기는 $\dfrac{\mu_0 va^2 I}{2\pi x_0(x_0+a)}$이다.

루프의 세로 두 변만 운동 기전력을 만들고, 두 변의 기전력은 서로 반대이므로 자속밀도 차이에 비례한다. $B(x)=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi x}$이다.

$e=va\left[\dfrac{\mu_0 I}{2\pi x_0}-\dfrac{\mu_0 I}{2\pi(x_0+a)}\right]=\dfrac{\mu_0 va^2 I}{2\pi x_0(x_0+a)}$

• $\dfrac{\mu_0 vaI}{2\pi x_0(x_0+a)}$: 통분에서 나오는 $a$를 빠뜨려 차원이 맞지 않는다.
• 로그가 포함된 두 식: 쇄교 자속 자체의 꼴로, 시간 변화율(속도 곱)이 아니다.

단자 전압은 $V_{ab}=\dfrac{d\Phi}{dt}=\cos t$로, 시작점에서 1인 코사인 파형이다.

패러데이 법칙에 따라 유도기전력 크기는 $\left|\dfrac{d\Phi}{dt}\right|=|\cos t|$이므로 사인 자속보다 위상이 90° 앞선 파형이 된다.

단자 a에서 루프를 $+z$ 기준 반시계 방향으로 따라 b에 이르는 결선으로 보면 $V_b-V_a=-\dfrac{d\Phi}{dt}$이므로 $V_{ab}=+\cos t$이다.

• 자속과 같은 사인 파형: 미분을 하지 않은 것이다.
• 음의 사인 파형: 미분 없이 부호만 뒤집은 것이다.
• 음의 코사인 파형: 단자 극성을 반대로 잡은 것이다.

순시식은 $20\sin(\omega t)\overrightarrow{a_x}+10\cos\left(\omega t+\dfrac{2\pi}{3}\right)\overrightarrow{a_y}$이다.

코사인 기준 변환 $\mathrm{Re}[\overrightarrow{B_s}e^{j\omega t}]$을 쓴다.
$x$ 성분: $\dfrac{20}{j}=20e^{-j\pi/2}\rightarrow 20\cos\left(\omega t-\dfrac{\pi}{2}\right)=20\sin\omega t$
$y$ 성분: $10e^{j2\pi/3}\rightarrow 10\cos\left(\omega t+\dfrac{2\pi}{3}\right)$

• $-20\sin(\omega t)$을 쓴 식: $1/j=-j$의 위상 지연을 위상 앞섬으로 잘못 본 것이다.
• $20\cos(\omega t)$을 쓴 식: $1/j$의 위상 이동을 빠뜨렸다.
• $-20\cos(\omega t)$을 쓴 식: $1/j$를 $-1$로 착각했다.

옳지 않은 것은 파수가 3/2라는 설명이다.

자유공간에서 $\beta=\dfrac{\omega}{c}=\dfrac{10^8}{3\times 10^8}=\dfrac{1}{3}\ \mathrm{rad/m}$이다.

• 페이저 $2e^{-j\beta z}\overrightarrow{a_y}$: 코사인 기준 순시식을 그대로 옮긴 것이므로 옳다.
• $\nabla\cdot\overrightarrow{E_s}=0$: 전계는 $y$ 성분뿐이고 $z$만의 함수라 발산이 0이며, 무원천 조건과도 맞다.
• $\nabla\cdot\overrightarrow{H_s}=0$: 자기 단극이 없으므로 항상 성립한다.

포인팅 벡터는 $\dfrac{V_0 I}{2\pi r^2\ln(\dfrac{b}{a})}\vec{a_z}$이다.

두 도체 사이 전계는 $\vec{E}=\dfrac{V_0}{r\ln(b/a)}\vec{a_r}$, 자계는 앙페르 법칙으로 $\vec{H}=\dfrac{I}{2\pi r}\vec{a_\phi}$이다.

$\vec{P}=\vec{E}\times\vec{H}=\dfrac{V_0 I}{2\pi r^2\ln(b/a)}\vec{a_z}$이며, 단면 적분하면 $V_0 I$로 전달 전력과 일치한다.

• 분모에 $r$만 있는 식: E와 H 각각의 $1/r$ 중 하나를 빠뜨린 값이다.
• $\ln(a/b)$를 쓴 두 식: 음수가 되어 전력 흐름 방향이 반대로 나온다.

입력 임피던스는 음의 리액턴스이므로 용량성이다.

단락 종단 무손실 선로의 입력 임피던스는 $Z_{in}=jZ_0\tan\beta l$이다.

$\lambda=\dfrac{3\times 10^8}{37.5\times 10^6}=8\ \mathrm{m}$, $\beta l=\dfrac{2\pi}{8}\times 3=\dfrac{3\pi}{4}$
$Z_{in}=j120\pi\tan 135^\circ=-j120\pi\ \Omega$

• 유도성: 선로 길이가 $\lambda/4$보다 짧을 때의 특성이다.
• 개방: 길이가 $\lambda/4$의 홀수배일 때이다.
• 단락: 길이가 $\lambda/2$의 정수배일 때이다.