26년 1회차

두 캔틸레버의 자유단 처짐이 같으려면 $\dfrac{P_1}{P_2}=8$이어야 한다.

자유단 집중하중을 받는 캔틸레버의 처짐은 길이의 세제곱에 비례한다.
$\delta=\dfrac{PL^3}{3EI}$

$\dfrac{P_1 (L/2)^3}{3EI}=\dfrac{P_2 L^3}{3EI}$
$\dfrac{P_1}{8}=P_2 \;\Rightarrow\; \dfrac{P_1}{P_2}=8$

• 1/8은 비를 거꾸로 뒤집은 값이다.
• 1/4은 처짐을 길이의 제곱에 비례한다고 보고 비까지 뒤집은 값이다.
• 4는 처짐을 길이의 제곱에 비례한다고 본 값으로, 세제곱 관계를 놓쳤다.

최대 휨응력은 36 MPa이다.

캔틸레버의 최대 휨모멘트는 고정단에서 생긴다.
$M_{max}=12\times 3=36\,\mathrm{kN\cdot m}=36\times 10^{6}\,\mathrm{N\cdot mm}$

직사각형 단면계수와 응력은 다음과 같다.
$Z=\dfrac{bh^2}{6}=\dfrac{150\times 200^2}{6}=1.0\times 10^{6}\,\mathrm{mm^3}$
$\sigma=\dfrac{M}{Z}=\dfrac{36\times 10^{6}}{1.0\times 10^{6}}=36\,\mathrm{MPa}$

• 24 MPa는 길이를 2 m로 잡은 것과 같은 값으로 모멘트를 과소평가했다.
• 30 MPa는 단면계수나 모멘트를 잘못 계산한 값으로 위 식을 만족하지 않는다.
• 48 MPa는 단면의 폭과 높이를 바꿔 넣은 값($Z=200\times150^2/6=0.75\times10^{6}$)이다.

임계좌굴하중은 $\dfrac{\pi^2 E t^4}{L^2}$이다.

좌굴은 약축(최소 단면2차모멘트)으로 일어나므로 두께 t 방향으로 휘는 축을 쓴다.
$I_{min}=\dfrac{3t\cdot t^3}{12}=\dfrac{t^4}{4}$

양단 고정 기둥의 유효길이계수는 0.5이다.
$P_{cr}=\dfrac{\pi^2 E I}{(0.5L)^2}=\dfrac{\pi^2 E\,(t^4/4)}{L^2/4}=\dfrac{\pi^2 E t^4}{L^2}$

• 분모가 $4L^{2}$인 값은 유효길이계수를 1(양단 힌지)로 본 결과다.
• 분자에 9가 붙고 분모가 $4L^{2}$인 값은 강축 I와 양단 힌지 조건을 함께 잘못 적용한 결과다.
• 분자에 9가 붙고 분모가 $L^{2}$인 값은 강축 $I=\dfrac{t(3t)^3}{12}=\dfrac{9t^4}{4}$을 쓴 결과다.

부재 AB의 부재력은 6.25 kN(압축)이다.

하중이 대칭이므로 지점 반력은 $R_A=R_C=5\,\mathrm{kN}$이다. AB의 길이는 $\sqrt{3^2+4^2}=5\,\mathrm{m}$로 3-4-5 삼각형이다.

절점 A의 연직 평형:
$F_{AB}\times\dfrac{4}{5}=5 \;\Rightarrow\; F_{AB}=6.25\,\mathrm{kN}$
힘이 절점을 향해 밀고 있으므로 압축이다.

• 4.25(압축)은 크기가 평형식을 만족하지 않는다.
• 4.25(인장)은 크기와 방향이 모두 맞지 않는다.
• 6.25(인장)은 크기는 같지만 꼭대기 하중을 받치는 경사재는 압축을 받으므로 방향이 틀렸다(인장은 하현재 AC가 받는다).

지점 A의 수직 반력은 24 kN이다.

T형 단면적을 구해 자중을 등분포하중으로 바꾼다.
$A=0.6\times0.2+0.2\times0.6=0.24\,\mathrm{m^2}$
$w=\gamma A=20\times0.24=4.8\,\mathrm{kN/m}$

전체 자중 $W=4.8\times10=48\,\mathrm{kN}$을 두 지점이 절반씩 받는다.
$R_A=\dfrac{48}{2}=24\,\mathrm{kN}$

• 12 kN은 플랜지나 웨브 한쪽 면적만 넣은 값이다.
• 10 kN·18 kN은 면적이나 지간을 잘못 잡은 값으로 위 계산과 맞지 않는다.

케이블 BC의 인장력은 5 kN이다.

강체 AB는 수평·연직 모두 10 m이므로 자중 10 kN은 A에서 수평으로 5 m 떨어진 중앙점에 작용한다. 케이블은 수평이며 A에서 10 m 높이에 있다.

힌지 A에 대한 모멘트 평형:
$T\times10=10\times5$
$T=5\,\mathrm{kN}$

• 7 kN은 모멘트 평형식을 만족하지 않는다.
• 10 kN은 자중이 B점에 작용한다고 본 값이다.
• 15 kN은 평형식을 만족하지 않는다.

이 라멘의 부정정 차수는 3차이다.

지점 반력은 고정단 3개와 롤러 1개로 4개이므로 외적 부정정 차수는 4−3=1이다.

두 기둥 상부와 두 보가 만드는 폐합 고리 1개는 내적 부정정 3차를 더하고, 위쪽 보의 힌지 1개는 1차를 줄인다.
$N=1+3-1=3$

• 1차는 외적 부정정만 센 값이다.
• 2차는 폐합 고리나 힌지 중 하나를 잘못 반영한 값이다.
• 4차는 힌지에 의한 감소를 빠뜨린 값이다.

최대 면내 전단응력은 13 MPa이다.

그림에서 $\sigma_x$는 인장 7 MPa, $\sigma_y$는 압축 3 MPa이다. 최대 면내 전단응력은 모어원의 반지름이다.

$\tau_{max}=\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}=\sqrt{\left(\dfrac{7-(-3)}{2}\right)^2+12^2}$
$=\sqrt{25+144}=13\,\mathrm{MPa}$

• 12 MPa는 주어진 전단응력만 읽은 값이다.
• 15 MPa·18 MPa는 수직응력 차이를 잘못 잡거나 부호를 놓친 값으로 위 식과 맞지 않는다.

B점의 휨모멘트는 45 kN·m이다.

롤러 D는 수평 반력이 없으므로 수평하중 15 kN은 힌지 A의 수평 반력이 모두 받는다.
$H_A=15\,\mathrm{kN}$

기둥 AB만 떼어 B점 모멘트를 구한다(A의 연직 반력은 기둥 축선 위라 B에 대한 팔길이가 0).
$M_B=H_A\times3=15\times3=45\,\mathrm{kN\cdot m}$

• 5는 팔길이 3 m를 반영하지 않은 값이다.
• 15는 하중 크기를 모멘트로 혼동한 값이다.
• 30은 팔길이를 2 m로 잡은 것과 같아 기둥 높이 3 m와 맞지 않는다.

강판의 평균 전단응력은 $\dfrac{P}{\pi dt}$, 펀치의 평균 압축응력은 $\dfrac{4P}{\pi d^2}$이다.

강판이 뚫리는 면은 지름 d, 두께 t인 원통 측면이다.
$A_s=\pi d t \;\Rightarrow\; \tau=\dfrac{P}{\pi d t}$

펀치는 원형 단면 전체로 하중을 받는다.
$A=\dfrac{\pi d^2}{4} \;\Rightarrow\; \sigma=\dfrac{4P}{\pi d^2}$

• 전단응력에 4를 곱한 조합은 전단면적에 원 면적 공식을 섞어 쓴 결과다.
• 압축응력이 $\dfrac{8P}{\pi d^2}$인 조합은 원 면적을 $\pi d^2/8$로 잘못 잡은 결과다.

C 지점의 처짐각은 $\dfrac{3ML}{4EI}$이다.

BC는 힌지 B와 롤러 C로 받쳐진 단순보이고, B의 반력 $\dfrac{M}{2L}$이 캔틸레버 AB의 끝에 하중으로 전달된다. 따라서 C의 처짐각은 BC의 휨 회전과 B점 처짐에 의한 강체 회전의 합이다.

BC 휨에 의한 회전:
$\theta_1=\dfrac{M(2L)}{3EI}=\dfrac{2ML}{3EI}$
B점 처짐과 강체 회전:
$\delta_B=\dfrac{(M/2L)L^3}{3EI}=\dfrac{ML^2}{6EI},\quad \theta_2=\dfrac{\delta_B}{2L}=\dfrac{ML}{12EI}$
$\theta_C=\dfrac{2ML}{3EI}+\dfrac{ML}{12EI}=\dfrac{3ML}{4EI}$

• $\dfrac{ML}{EI}$는 회전을 과대평가한 값으로 두 성분의 합과 맞지 않는다.
• $\dfrac{ML}{4EI}$은 두 회전 성분의 합보다 작다.
• $\dfrac{ML}{2EI}$는 휨 회전 성분 하나에도 못 미치는 값이다.

C점의 수직처짐은 16 kN·$m^{3}/EI$이다.

내민보 끝 처짐은 내민 부분의 캔틸레버 처짐과 B점 회전에 의한 처짐의 합이다(L=2 m, a=2 m, P=3 kN).

$\theta_B=\dfrac{(Pa)L}{3EI}=\dfrac{3\times2\times2}{3EI}=\dfrac{4}{EI}$
$\delta_C=\theta_B a+\dfrac{Pa^3}{3EI}=\dfrac{8}{EI}+\dfrac{8}{EI}=\dfrac{16}{EI}$

• 8은 두 성분 중 하나만 계산한 값이다.
• 4는 B점 처짐각의 계수를 처짐으로 착각한 값이다.
• 2는 두 성분의 합과 맞지 않는다.

물체를 밀어 올리려면 110 kN을 넘는 힘이 필요하다.

경사면 높이 5 m, 밑변 12 m이므로 빗변은 13 m이다.
$\sin\theta=\dfrac{5}{13},\quad \cos\theta=\dfrac{12}{13}$

경사면을 따라 미는 힘은 중력의 경사 성분과 마찰력을 함께 이겨야 한다.
$P=W\sin\theta+\mu W\cos\theta=130\times\dfrac{5}{13}+0.5\times130\times\dfrac{12}{13}$
$=50+60=110\,\mathrm{kN}$

• 50 kN은 마찰력을 빠뜨린 값이다.
• 60 kN은 마찰력만 계산한 값이다.
• 120 kN은 수직항력(경사면 법선 성분)을 힘으로 혼동한 값이다.

x축에서 도심까지의 거리는 $\dfrac{h}{3}\cdot\dfrac{2a+b}{a+b}$이다.

단면을 두 삼각형으로 나눈다. 밑변 b인 삼각형(x축 쪽)의 도심은 $h/3$, 윗변 a인 삼각형의 도심은 $2h/3$ 높이에 있다.

$\bar{y}=\dfrac{\frac{bh}{2}\cdot\frac{h}{3}+\frac{ah}{2}\cdot\frac{2h}{3}}{\frac{(a+b)h}{2}}=\dfrac{h}{3}\cdot\dfrac{2a+b}{a+b}$
넓은 변 a가 위에 있으므로 도심은 위쪽으로 치우친다.

• $\dfrac{h}{3}\cdot\dfrac{a+2b}{a+b}$는 짧은 변 b를 기준으로 a·b를 뒤바꾼 식이다.
• 계수 $\dfrac{2h}{3}$가 붙은 두 식은 a=b(직사각형)일 때 h가 되어 도심 h/2와 맞지 않는다.

청동은 30 kN, 알루미늄은 60 kN의 압축력을 받는다.

강체판으로 눌리므로 두 재료의 변형량이 같고, 하중은 축강성 EA에 비례해 나뉜다.
$A_{br}=\pi\times25^2,\quad A_{al}=\pi(50^2-25^2)=3A_{br}$

$E_{br}A_{br}:E_{al}A_{al}=105\times1:70\times3=1:2$
$P_{br}=90\times\dfrac{1}{3}=30\,\mathrm{kN},\quad P_{al}=90\times\dfrac{2}{3}=60\,\mathrm{kN}$

• 청동 60·알루미늄 30은 탄성계수만 보고 단면적 차이를 무시한 결과다.
• 40·50과 50·40은 축강성 비 1:2를 만족하지 않는다.

휨모멘트가 0이 되는 위치는 A로부터 $\dfrac{10}{3}\,\mathrm{m}$이다.

일단 고정·타단 롤러 보의 롤러 끝에 모멘트 $M_0=50\,\mathrm{kN\cdot m}$를 가하면, 고정단으로 전달률 1/2만큼 전달된다.
$M_A=\dfrac{50}{2}=25\,\mathrm{kN\cdot m}$

하중이 없으므로 휨모멘트도는 A의 −25에서 B의 +50까지 직선으로 변한다.
$x=10\times\dfrac{25}{25+50}=\dfrac{10}{3}\,\mathrm{m}$

• 20/3 m는 B로부터 잰 거리로, 기준점을 뒤바꾼 값이다.
• 5 m는 양단 모멘트가 같다고 본 값이다.
• 7.5 m는 전달률을 잘못 적용한 값으로 직선 보간과 맞지 않는다.

부재의 변형에너지는 $\dfrac{49P^2L}{72EA}$이다.

단면적은 지름 제곱에 비례하므로 각 구간 면적은 9A, 4A, A이고, 모든 구간의 축력은 P로 같다.

$U=\sum\dfrac{P^2L}{2EA_i}=\dfrac{P^2L}{2E}\left(\dfrac{1}{9A}+\dfrac{1}{4A}+\dfrac{1}{A}\right)$
$=\dfrac{P^2L}{2EA}\cdot\dfrac{49}{36}=\dfrac{49P^2L}{72EA}$

• 분모가 36EA인 49 값은 변형에너지의 1/2을 빠뜨린 값이다.
• 분자가 31인 두 값은 세 구간 유연도의 합 49/36과 맞지 않는다.

단면 폭은 0.002 mm 증가한다.

단면적은 $150\times20=3000\,\mathrm{mm^2}$이다.
$\sigma=\dfrac{200000}{3000}=66.7\,\mathrm{MPa},\quad \varepsilon=\dfrac{66.7}{200000}=3.33\times10^{-4}$

축방향으로 압축되면 포아송 효과로 가로 방향은 늘어난다.
$\Delta b=\nu\varepsilon b=0.3\times3.33\times10^{-4}\times20=0.002\,\mathrm{mm}$

• 0.002 mm 감소는 크기는 맞지만 압축 시 가로 방향이 늘어난다는 점을 놓쳤다.
• 0.001 mm 감소·증가는 폭 20 mm를 절반으로 잡은 것과 같은 값이다.

지점 A의 수평반력은 2 kN이다.

전체 구조의 B점 모멘트 평형으로 연직 반력을 구한다(하중은 A에서 5 m).
$V_A\times20=8\times15 \;\Rightarrow\; V_A=6\,\mathrm{kN}$

크라운 힌지 C에서 휨모멘트가 0이므로 왼쪽 부분에 대해:
$V_A\times10-8\times5-H_A\times10=0$
$H_A=\dfrac{60-40}{10}=2\,\mathrm{kN}$

• 1 kN·3 kN은 C점 모멘트 평형식을 만족하지 않는다.
• 4 kN은 하중이 크라운에 작용할 때의 값으로 하중 위치를 무시했다.

지점 A의 수직반력은 28 kN이다.

힌지 C에서 끊으면 CD는 단순보로, 등분포하중의 절반을 C에서 받는다.
$R_C=\dfrac{8\times4}{2}=16\,\mathrm{kN}$

이 힘이 캔틸레버 AC의 끝에 하중으로 전달되므로:
$R_A=12+16=28\,\mathrm{kN}$

• 12 kN은 힌지에서 전달되는 힘을 빠뜨린 값이다.
• 16 kN은 전달력만 넣고 B점 집중하중을 빠뜨린 값이다.
• 44 kN은 등분포하중 전체 32 kN을 A가 받는다고 본 값이다.

F점의 휨모멘트는 630 kN·m이다.

힌지 A에 대한 모멘트 평형으로 롤러 B의 반력을 구한다(롤러는 연직 반력만 있다).
$R_B\times20=100\times14+70\times10=2100$
$R_B=105\,\mathrm{kN}$

F의 오른쪽(F–D–B)을 자유물체로 보면 외력은 $R_B$뿐이다.
$M_F=R_B\times6=105\times6=630\,\mathrm{kN\cdot m}$

• 700은 수평하중의 모멘트 70×10만 떼어 쓴 값이다.
• 730·800은 B점 반력 105 kN과 팔길이 6 m의 곱과 맞지 않는다.

강봉 AB는 0.2 mm 감소한다.

D점에 대한 모멘트 평형에서 B점 힘의 크기는 40 kN이다. E의 하중이 D를 축으로 강체를 돌리려 하므로 B점은 위로 들리려 하고, 강봉 AB가 이를 눌러 막아 압축을 받는다.
$F_{AB}\times1=40\times1 \;\Rightarrow\; F_{AB}=40\,\mathrm{kN}$

$\delta=\dfrac{PL}{EA}=\dfrac{40000\times700}{200000\times700}=0.2\,\mathrm{mm}$ (단축)

• 0.2 mm 증가는 크기는 맞지만 부재력의 방향을 인장으로 잘못 본 값이다.
• 0.4 mm 감소·증가는 부재력을 80 kN으로 잡은 값으로, 이는 CD가 받는 힘이다.

부재 GC의 부재력은 20 kN(인장)이다.

하중이 대칭이므로 $R_A=R_E=\dfrac{12+24+12}{2}=24\,\mathrm{kN}$이다. GC를 지나는 단면으로 자르면 왼쪽 부분의 전단력은 24−12=12 kN이다.

GC의 길이는 $\sqrt{6^2+4.5^2}=7.5\,\mathrm{m}$이므로 연직 성분 비율은 0.6이다.
$F_{GC}\times0.6=12 \;\Rightarrow\; F_{GC}=20\,\mathrm{kN}$
G에서 C 쪽으로 당기는 방향이므로 인장이다.

• 15(인장)은 연직 성분 비율을 0.8로 잘못 잡은 값이다.
• 20(압축)은 크기는 맞지만 방향을 반대로 판단했다.
• 25(압축)은 크기와 방향이 모두 맞지 않는다.

C점의 최대 전단력은 20.25 kN이다.

C점 전단력 영향선은 C 바로 오른쪽에서 $+\dfrac{9}{12}=0.75$, 왼쪽에서 $-\dfrac{3}{12}=-0.25$이다.

최대 (+)전단력은 이동하중을 양(+)의 구간 CB에만 배치할 때 생긴다.
$V_{C,max}=6\times\dfrac{1}{2}\times9\times0.75=20.25\,\mathrm{kN}$

• 15.75 kN·24.75 kN은 양(+)의 영향선 면적 3.375와 맞지 않는 값이다.
• 27.00 kN은 지점 반력처럼 영향선 최댓값을 1로 본 값이다.

휨모멘트가 0이 되는 위치는 A로부터 $\dfrac{8L}{11}$이다.

두 경간이 같고 각 경간 중앙에 P가 작용하는 2경간 연속보의 중간지점 모멘트는 3연모멘트법으로 구한다.
$M_B=-\dfrac{3PL}{16},\quad R_A=\dfrac{P}{2}-\dfrac{3P}{16}=\dfrac{5P}{16}$

하중점과 B 사이($x>L/2$)의 휨모멘트를 0으로 둔다.
$\dfrac{5P}{16}x-P\left(x-\dfrac{L}{2}\right)=0 \;\Rightarrow\; x=\dfrac{8L}{11}$

• $\dfrac{7L}{11}$은 하중점 쪽으로 치우쳐 위 식을 만족하지 않는다.
• $\dfrac{9L}{11}$·$\dfrac{10L}{11}$은 중간지점 모멘트를 작게 잡은 경우의 위치로 3PL/16과 맞지 않는다.