26년 1회차

도플러 효과로 계산하면 자동차의 속력은 40 m/s이다.

음원이 접근할 때 관측 진동수는 $f'=f\dfrac{V}{V-v}$이다.
$540=480\times\dfrac{360}{360-v}$
$360-v=320\ \Rightarrow\ v=40\ \mathrm{m/s}$

• 20 m/s이면 $480\times\dfrac{360}{340}\approx508\ \mathrm{Hz}$로 540 Hz에 못 미친다.
• 30 m/s이면 $480\times\dfrac{360}{330}\approx524\ \mathrm{Hz}$로 540 Hz에 못 미친다.
• 60 m/s이면 $480\times\dfrac{360}{300}=576\ \mathrm{Hz}$로 540 Hz를 넘는다.

세 열원으로 만들 수 있는 카르노 효율은 1/3, 1/2, 2/3뿐이므로 $\dfrac{2}{5}$는 될 수 없다.

카르노 효율은 $e=1-\dfrac{T_L}{T_H}$로 두 열원의 온도비만으로 정해진다.

• 50 K와 100 K를 쓰면 $1-\dfrac{50}{100}=\dfrac{1}{2}$이다.
• 50 K와 150 K를 쓰면 $1-\dfrac{50}{150}=\dfrac{2}{3}$이다.
• 100 K와 150 K를 쓰면 $1-\dfrac{100}{150}=\dfrac{1}{3}$이다.

효율 $\dfrac{2}{5}$가 되려면 온도비가 $\dfrac{3}{5}$여야 하는데 그런 쌍은 없다.

필요한 열량을 전열기 일률로 나누면 걸리는 시간은 40 s이다.

열량 $Q=mc\Delta T=0.1\times1000\times80=8000\ \mathrm{J}$
시간 $t=\dfrac{Q}{P}=\dfrac{8000}{200}=40\ \mathrm{s}$

• 4 s는 질량을 10 g으로 잘못 환산했을 때의 값이다.
• 10 s는 온도 변화를 80 °C가 아닌 20 °C로 잡았을 때의 값이다.
• 20 s는 온도 변화를 절반인 40 °C로 잡았을 때의 값이다.

궤도 반지름은 질량 대 전하량 비에 비례하므로 $\dfrac{R_\alpha}{R_p}$는 2이다.

로런츠 힘이 구심력이 되어 $qvB=\dfrac{mv^2}{R}$, 곧 $R=\dfrac{mv}{qB}$이다.
$\dfrac{R_\alpha}{R_p}=\dfrac{4m/2e}{m/e}=2$

• 1/2은 두 반지름의 비를 뒤집은 값이다.
• 1은 질량비와 전하량비가 상쇄된다고 본 값이지만, 질량은 4배·전하량은 2배라 상쇄되지 않는다.
• 4는 전하량 차이를 무시하고 질량비만 반영한 값이다.

무늬 간격 $\Delta y=\dfrac{\lambda D}{d}$에 대입하면 파장 1/4배·슬릿 간격 2배·스크린 거리 1/2배인 경우만 간격이 유지되지 않는다.

이 경우 $\dfrac{(1/4)(1/2)}{2}=\dfrac{1}{16}$배로 간격이 줄어든다. 나머지는 모두 배율 곱이 1이다.

• 파장 2배·슬릿 간격 2배·거리 유지: $\dfrac{2\times1}{2}=1$로 유지된다.
• 파장 유지·슬릿 간격 1/2배·거리 1/2배: $\dfrac{1\times(1/2)}{1/2}=1$로 유지된다.
• 파장 1/2배·슬릿 간격 유지·거리 2배: $\dfrac{(1/2)\times2}{1}=1$로 유지된다.

도선이 받는 자기력은 0.5 N, xy평면에 들어가는 방향이다.

자기장 영역 안에 있는 도선 길이만 힘을 받으므로 $F=ILB=1\times 1\times 0.5=0.5\,\mathrm{N}$이다.

방향은 $\vec{F}=I\vec{L}\times\vec{B}$에서 $(+\hat{y})\times(+\hat{x})=-\hat{z}$이므로 평면에 들어가는 방향이다.

• 0.1 N, 나오는 방향: 크기가 $ILB=0.5\,\mathrm{N}$과 맞지 않고 방향도 반대다.
• 0.1 N, 들어가는 방향: 방향은 맞지만 크기가 $ILB=0.5\,\mathrm{N}$과 맞지 않는다.
• 0.5 N, 나오는 방향: 외적 순서를 거꾸로 잡아 방향이 반대로 나온 경우다.

빛의 세기가 증가하면 광전류가 증가한다.

빛의 세기는 단위 시간에 도달하는 광자 수에 비례하므로, 세기가 커지면 방출되는 광전자 수가 늘어 광전류가 커진다.

반면 광전자의 최대 운동에너지는 $K_{\mathrm{max}}=hf-W$로 진동수에만 의존한다.

• 최대 운동에너지가 진동수와 무관하다는 설명: 진동수가 클수록 최대 운동에너지가 커진다.
• 최대 운동에너지가 세기에 비례한다는 설명: 세기는 광전자 수만 바꾸고 최대 운동에너지는 바꾸지 않는다.
• 파장이 증가하면 광전류가 증가한다는 설명: 파장이 길어지면 광자 에너지가 줄어 문턱 진동수 아래에서는 광전자가 아예 방출되지 않는다.

드브로이 파장은 운동 에너지의 제곱근에 반비례하므로 에너지가 2배이면 파장은 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\lambda_0$가 된다.

비상대론적 운동량은 $p=\sqrt{2mK}$이고 $\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{\sqrt{2mK}}$이다.
$\lambda=\dfrac{\lambda_0}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\lambda_0$

• $\dfrac{1}{2}\lambda_0$은 에너지 2배를 운동량 2배로 착각한 값이다.
• $\dfrac{1}{4}\lambda_0$은 파장이 에너지의 제곱에 반비례한다고 본 값이다.
• $\dfrac{\sqrt{2}}{4}\lambda_0$은 운동량이 $2\sqrt{2}$배가 된다고 본 값이다.

영률의 정의로 계산하면 막대의 길이 변화는 $10^{-5}\ \mathrm{m}$이다.

양 끝에서 각각 10 N으로 당기면 막대의 장력은 10 N이다(20 N으로 합치지 않는다). 단면적은 $1\ \mathrm{cm^2}=10^{-4}\ \mathrm{m^2}$이다.

$\Delta L=\dfrac{FL}{AY}=\dfrac{10\times10}{10^{-4}\times10^{11}}=10^{-5}\ \mathrm{m}$

• $10^{-4}\ \mathrm{m}$는 10배 큰 힘(100 N)이 걸려야 나오는 값이다.
• $10^{-3}\ \mathrm{m}$는 100배 큰 힘(1000 N)이 걸려야 나오는 값이다.
• $10^{-2}\ \mathrm{m}$는 1000배 큰 힘(10000 N)이 걸려야 나오는 값이다.

닫힌 면을 통과하는 전기 선속은 $\dfrac{Q}{\epsilon_0}$이다.

가우스 법칙에서 선속은 닫힌 면 내부의 알짜 전하만으로 정해진다: $\Phi=\dfrac{q_{\mathrm{in}}}{\epsilon_0}$.

도체 안쪽 면에 $-Q$, 바깥 면에 $+Q$가 유도되지만 도체는 중성이므로 내부 알짜 전하는 Q이고, 도체 모양과 무관하다.

• 0: 도체가 차폐한다고 오해한 값으로, 바깥 면의 유도 전하 때문에 선속은 0이 아니다.
• $\dfrac{Q}{2\epsilon_0}$: 내부 전하를 절반으로 잡은 값으로 근거가 없다.
• $\dfrac{2Q}{\epsilon_0}$: 점전하와 바깥 면 유도 전하를 중복해 더한 값이다.

$Q_1:Q_2$는 1:1이다.

A, B, C의 $PV$가 모두 $4PV$로 같으므로 세 상태의 온도가 같다. 따라서 각 과정에서 내부 에너지 변화가 0이고 흡수한 열량은 기체가 한 일과 같다.

A→B: $Q_1=\dfrac{4P+2P}{2}\times V=3PV$
B→C: $Q_2=\dfrac{2P+P}{2}\times 2V=3PV$

• 1:2: B→C의 부피 변화만 보고 압력 감소를 반영하지 않은 비다.
• 2:1: 두 과정의 압력 차이만 비교한 비다.
• 4:1: 시작 압력 비만 쓴 값으로 그래프 아래 넓이와 다르다.

$F$의 최솟값은 $400(2-\sqrt{3})\,\mathrm{N}$이다.

비스듬히 위로 당기면 수직항력이 $N=mg-F\sin 30^\circ$로 줄어든다. 움직이기 시작하는 조건은 $F\cos 30^\circ=\mu_s N$이다.

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}F=2\left(100-\dfrac{F}{2}\right)$
$F\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1\right)=200$
$F=\dfrac{400}{2+\sqrt{3}}=400(2-\sqrt{3})$

• $200(2-\sqrt{3})$: 위 결과의 절반으로, 이 힘으로는 수평 성분이 최대 정지 마찰력에 미치지 못한다.
• $200(2+\sqrt{3})$: $\dfrac{400}{2+\sqrt{3}}$을 유리화하면 $2-\sqrt{3}$ 꼴이 되므로 나올 수 없다.
• $400(2+\sqrt{3})$: 같은 이유로 유리화 결과와 부호가 다르며, 수직항력 감소를 반영한 식에서 나오지 않는다.

일률을 광자 하나의 에너지로 나누면 초당 광자 수는 $\dfrac{P_0\lambda}{hc}$이다.

광자 1개의 에너지는 $E=hf=\dfrac{hc}{\lambda}$이다.
$N=\dfrac{P_0}{E}=\dfrac{P_0\lambda}{hc}$

• $\dfrac{P_0\lambda}{hc^2}$는 빛의 속도가 한 번 더 들어가 차원이 맞지 않는다.
• $\dfrac{hc}{P_0\lambda}$는 광자 수의 역수(광자 하나가 나오는 시간)이다.
• $\dfrac{hc^2}{P_0\lambda}$는 역수인 데다 빛의 속도까지 중복되어 차원이 맞지 않는다.

보강 간섭을 위한 최소 두께는 $\dfrac{\lambda}{4n}$이다.

A는 공기→막(굴절률 큰 매질) 경계에서 반사하므로 위상이 반파장 바뀌고, B는 막→공기 경계에서 반사하므로 위상 변화가 없다.

경로차 $2nd$에 반파장 차이가 더해지므로 보강 조건은 $2nd=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)\lambda$이고, $m=0$일 때 $d=\dfrac{\lambda}{4n}$이다.

• $\dfrac{\lambda}{2n}$: 반사 위상 변화를 무시한 경우의 보강 조건(이 막에서는 상쇄 조건)이다.
• $\dfrac{3\lambda}{2n}$: 위상 변화를 무시하고 더 큰 차수를 잡은 값이다.
• $\dfrac{3\lambda}{4n}$: 보강 조건은 맞지만 가장 작은 값이 아니다($m=1$).

최하점에서 장력은 $(3-2\cos\theta)mg$이다.

역학적 에너지 보존: A에서 O까지 높이 차 $L(1-\cos\theta)$이므로 $v^2=2gL(1-\cos\theta)$.

최하점의 원운동: $T-mg=\dfrac{mv^2}{L}$
$T=mg+2mg(1-\cos\theta)=(3-2\cos\theta)mg$

• $(1-\cos\theta)mg$: 중력 $mg$를 빼고 구심력 일부만 남긴 값이다.
• $(2-\cos\theta)mg$: 속력 제곱의 계수 2를 빠뜨린 값이다.
• $(2-2\cos\theta)mg$: 구심력만 쓰고 중력 mg를 더하지 않은 값이다.

외부 토크가 없으므로 각운동량 보존으로 구하면 $\omega=\dfrac{M}{M+2m}\omega_0$이다.

물체를 올린 뒤 관성 모멘트는 $I'=\dfrac{1}{2}MR^2+mR^2$로 커진다.
$\dfrac{1}{2}MR^2\omega_0=\left(\dfrac{1}{2}MR^2+mR^2\right)\omega$
$\omega=\dfrac{M}{M+2m}\omega_0$

• $\dfrac{1}{2}\omega_0$은 물체 질량이 원판 질량의 절반인 특수한 경우에만 맞는 값이다.
• $\dfrac{M}{M+m}\omega_0$은 점질량의 관성 모멘트를 원판처럼 $\dfrac{1}{2}mR^2$로 잘못 본 값이다.
• $\dfrac{M+m}{M}\omega_0$은 관성 모멘트가 커졌는데 각속도가 빨라지는 결과라 각운동량 보존에 어긋난다.

궤도 각운동량은 $L=\sqrt{l(l+1)}\,\hbar$이므로 $2\hbar$는 가질 수 없다.

주양자수가 5이면 궤도 양자수는 $l=0,1,2,3,4$이고, $l(l+1)=4$를 만족하는 정수 $l$은 없다.

• 0은 $l=0$일 때의 값이다.
• $\sqrt{2}\,\hbar$는 $l=1$일 때의 값이다.
• $2\sqrt{5}\,\hbar=\sqrt{20}\,\hbar$는 $l=4$일 때의 값이다.

구간별 시간을 더해 전체 거리로 나누면 평균 속력은 9 m/s이다.

등가속도 구간의 시간은 거리를 평균 속도(처음과 나중 속력의 평균)로 나눈다.
$t_1=\dfrac{d}{6},\ t_2=\dfrac{2d}{12}=\dfrac{d}{6},\ t_3=\dfrac{d}{9}$

$t=\dfrac{d}{6}+\dfrac{d}{6}+\dfrac{d}{9}=\dfrac{4d}{9}$
$\bar{v}=\dfrac{4d}{4d/9}=9\ \mathrm{m/s}$

• 6 m/s는 마지막 순간의 속력일 뿐 평균 속력이 아니다.
• 8 m/s는 감속 구간 시간도 $\dfrac{d}{6}$로 잘못 잡았을 때의 값이다.
• 12 m/s는 등속 구간의 속력으로, 가속·감속 구간이 더 느리므로 평균은 이보다 작다.

$\dfrac{L_1}{L_2}$는 3이다.

양 끝이 고정된 줄의 기본 진동: $\lambda=2L_1$, $f=\dfrac{3v_0}{2L_1}$.
한쪽만 열린 관의 기본 진동: $\lambda=4L_2$, $f=\dfrac{2v_0}{4L_2}=\dfrac{v_0}{2L_2}$.

두 진동수가 같으므로 $\dfrac{3}{L_1}=\dfrac{1}{L_2}$, 즉 $L_1=3L_2$이다. 핵심은 닫힌 관의 기본 파장이 4L이라는 점이다.

• $\dfrac{3}{2}$: 관을 양쪽이 열린 관($\lambda=2L$)으로 본 값이다.
• $\dfrac{2}{3}$: 관을 양쪽 열린 관으로 보고 비를 뒤집은 값이다.
• $\dfrac{1}{3}$: 비를 거꾸로 구한 값이다.

$t_2$는 $6t_1$이다.

충전 시 $V_C=V\left(1-e^{-t/RC}\right)$이므로 $\dfrac{V}{2}$가 되는 시간은 $t=RC\ln 2$로 시간 상수 RC에 비례한다.

$\dfrac{t_2}{t_1}=\dfrac{(2R)(3C)}{RC}=6$

• $\dfrac{1}{6}t_1$: 시간 상수에 반비례한다고 본 값이다.
• $\dfrac{2}{3}t_1$: $R$와 $C$의 비를 나누어 계산한 값이다.
• $\dfrac{3}{2}t_1$: $C$와 $R$의 비를 나누어 계산한 값이다.

반구면을 벗어나는 순간 속력은 $\sqrt{\dfrac{2Rg}{3}}$이다.

벗어나는 순간 수직항력이 0이므로 중력의 지름 성분이 구심력이 된다: $mg\cos\theta=\dfrac{mv^2}{R}$.

에너지 보존: $v^2=2gR(1-\cos\theta)$
두 식에서 $\cos\theta=\dfrac{2}{3}$, $v^2=\dfrac{2}{3}gR$

• $\dfrac{2}{3}\sqrt{Rg}$: $v^2=\dfrac{4}{9}gR$이 되어 이탈 조건과 에너지 보존을 함께 만족하지 않는다.
• $\sqrt{\dfrac{Rg}{2}}$: $v^2=\dfrac{1}{2}gR$이 되어 두 조건에서 얻은 $\dfrac{2}{3}gR$과 다르다.
• $\dfrac{1}{2}\sqrt{Rg}$: 에너지 보존과 원운동 조건 어느 것과도 맞지 않는다.

평균 가속도의 크기는 $\dfrac{3v^2}{\pi r}$이다.

속도 방향이 60° 돌았으므로 속도 변화량의 크기는 $|\Delta\vec{v}|=2v\sin 30^\circ=v$이다.

걸린 시간은 호의 길이를 속력으로 나눈 $t=\dfrac{\pi r/3}{v}$이므로 $\bar{a}=\dfrac{v}{\pi r/(3v)}=\dfrac{3v^2}{\pi r}$이다. 평균 가속도는 속도 변화량 ÷ 시간이다.

• 0: 속력이 일정해도 방향이 바뀌므로 속도 변화량은 0이 아니다.
• $\dfrac{v^2}{\pi r}$: 속도 변화량 $v$를 반원 이동 시간 $\dfrac{\pi r}{v}$로 나눈 값으로, 이동 시간을 잘못 잡았다.
• $\dfrac{2v^2}{\pi r}$: 속도 변화량 $v$와 이동 시간 $\dfrac{\pi r}{3v}$로 계산한 값과 맞지 않는다.

단진동의 진폭은 $\dfrac{m_1v}{\sqrt{k(m_1+m_2)}}$이다.

충돌 직후(운동량 보존): $V=\dfrac{m_1v}{m_1+m_2}$. 이때 용수철은 자연 길이이므로 이 속력이 단진동의 최대 속력이다.

$V=A\omega$, $\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m_1+m_2}}$이므로
$A=\dfrac{m_1v}{m_1+m_2}\sqrt{\dfrac{m_1+m_2}{k}}=\dfrac{m_1v}{\sqrt{k(m_1+m_2)}}$

• 분자가 $(m_1+m_2)v$이고 분모가 $\sqrt{k(m_1+m_2)}$인 값: 충돌 후 속력이 줄어드는 것을 반영하지 않았다.
• 분자가 $m_2v$인 값: 운동량을 정지해 있던 물체의 질량으로 잘못 썼다.
• 분모가 $\sqrt{km_2}$인 값: 붙은 두 물체 전체 질량 대신 한 물체 질량만 썼다.

광학계의 배율은 $\dfrac{2}{5}$이다.

수렴 렌즈: $\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{b_1}=\dfrac{1}{20}$에서 $b_1=-20\,\mathrm{cm}$(물체 쪽 허상), 배율 $m_1=\dfrac{20}{10}=2$.

이 허상은 발산 렌즈로부터 $20+20=40\,\mathrm{cm}$ 앞에 있다. $\dfrac{1}{40}+\dfrac{1}{b_2}=-\dfrac{1}{10}$에서 $b_2=-8\,\mathrm{cm}$, 배율 $m_2=\dfrac{8}{40}=\dfrac{1}{5}$.
전체 배율 $m=m_1m_2=\dfrac{2}{5}$이다. 핵심은 첫 상이 둘째 렌즈의 물체가 된다는 점이다.

• $\dfrac{3}{4}$: 두 렌즈의 배율 $2$와 $\dfrac{1}{5}$의 곱과 맞지 않는다.
• $\dfrac{4}{3}$: 확대 배율이 나오려면 발산 렌즈의 축소 효과를 빠뜨려야 하므로 배율 곱과 다르다.
• $\dfrac{5}{2}$: 전체 배율의 역수다.

입자의 속력은 x = 5 m에서 최대이다.

전하가 $-1\,\mathrm{C}$이므로 퍼텐셜 에너지는 $U=qV=-V$이다. 전위가 가장 높은 $x=5\,\mathrm{m}$($V=5\,\mathrm{V}$)에서 $U=-5\,\mathrm{J}$로 최소이므로 운동에너지가 최대다.

• $x=15$ m에서 전기력이 $-x$ 방향이라는 설명: 기울기가 $+1\,\mathrm{V/m}$이므로 $E=-1\,\mathrm{V/m}$, 힘 $F=qE=+1\,\mathrm{N}$으로 $+x$ 방향이다.
• 전기력이 $x=3$ m에서 더 크다는 설명: 기울기 크기가 $x=3$ m에서 1, $x=8$ m에서 3이므로 $x=8$ m에서 더 크다.
• 6 J로 출발하면 $x=20$ m에 도달한다는 설명: $x=10$ m에서 $U=10\,\mathrm{J}$로 총에너지 6 J보다 커서 넘지 못한다.