25년 1회차

미끄러짐 직전 최대 수평력은 15 kN이다.

미끄러지기 직전에는 수평력이 최대 정지마찰력과 같다. 수직 평형에서 수직반력 $N=W=30\,\mathrm{kN}$이다.
$F=\mu N=0.5\times 30=15\,\mathrm{kN}$

• 10 kN: 마찰계수를 1/3로 본 값으로 조건과 맞지 않는다.
• 20 kN: 최대 정지마찰력 15 kN을 넘으므로 이미 미끄러진다.
• 30 kN: 마찰계수를 1로 본 값, 즉 무게 전체를 마찰력으로 잡은 오류이다.

강봉의 길이 변형량은 0.6 mm이다.

온도 변화에 의한 자유 열팽창량은 열팽창계수·온도변화·원래 길이의 곱이다.
$\delta = \alpha \, \Delta T \, L$
$\delta = (1.0 \times 10^{-5}) \times 20 \times 3000\,\mathrm{mm}$
$\delta = 0.6\,\mathrm{mm}$

길이를 mm로 환산(3 m = 3000 mm)해야 단위가 맞는다.

• 0.2 mm는 길이 3 m를 1 m로 계산한 값이다.
• 0.4 mm는 길이 2 m에 해당하는 값으로, 계산 결과보다 작다.
• 0.8 mm는 길이 4 m에 해당하는 값으로, 계산 결과보다 크다.

남은 단면의 도심 높이는 $\dfrac{5}{12}\mathrm{D}$이다.

큰 원(면적 $A=\dfrac{\pi D^2}{4}$, 도심 $\dfrac{D}{2}$)에서 작은 원(면적 $\dfrac{A}{4}$, 도심 $\dfrac{3D}{4}$)을 빼는 음의 면적법을 쓴다. 작은 원은 큰 원의 위쪽 끝에 접해 있다.

$y_0=\dfrac{A\cdot\dfrac{D}{2}-\dfrac{A}{4}\cdot\dfrac{3D}{4}}{A-\dfrac{A}{4}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{16}}{\dfrac{3}{4}}D=\dfrac{5}{12}D$

• $\dfrac{1}{3}D$: 위 음의 면적법 계산 결과와 맞지 않는다.
• $\dfrac{3}{8}D$: 구멍 면적과 도심을 바르게 대입한 결과와 맞지 않는다.
• $\dfrac{5}{11}D$: 분자는 같아도 남은 면적 $\dfrac{3}{4}A$로 나눈 값과 맞지 않는다.

A점에 대한 모멘트 크기는 32 kN·m이다.

P의 작용선은 (0, 12)와 (9, 0)을 지나므로 기울기 방향이 $(-3,\,4)$, 길이 5이다. 따라서 분력은 $P_x=-3\,\mathrm{kN}$, $P_y=4\,\mathrm{kN}$이다.

작용점 B(6, 4)와 A(−2, 4)의 위치 차는 $(8,\,0)$이다.
$M_A=8\times 4-0\times(-3)=32\,\mathrm{kN\cdot m}$

• 35: 수평거리만 다르게 잡은 값으로 위치 차와 맞지 않는다.
• 38: 분력 크기를 바꿔 대입한 경우와도 맞지 않는다.
• 40: 힘 전체(5 kN)에 수평거리 8 m를 곱한 값으로, 작용선까지의 수직거리를 쓰지 않은 오류이다.

부재 BC의 축력 크기는 $3\sqrt{3}\,\mathrm{kN}$이다.

C점의 연직하중 6 kN과 부재 BC가 이루는 각은 $30^{\circ}$이므로, 하중의 부재축 방향 성분이 축력이 된다.
$N=6\cos 30^{\circ}=6\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\,\mathrm{kN}$

• $2\sqrt{3}$: 계수를 잘못 잡은 값이다.
• 3: 부재축 직각 성분 $6\sin 30^{\circ}$으로 전단력에 해당한다.
• 4: 각도 성분과 무관한 값이다.

C점 휨모멘트가 0이 되는 길이는 $\dfrac{L}{6}$이다.

C점 왼쪽에는 A의 반력만 있으므로 $M_C=R_A\cdot\dfrac{L}{2}$이고, $R_A=0$이어야 한다.

B점 모멘트 평형(A 상향 반력 +):
$R_A L-P\cdot\dfrac{L}{2}+3P\cdot x=0$
$R_A=0\;\Rightarrow\;x=\dfrac{L}{6}$

• $\dfrac{L}{4}$: A 반력이 음이 되어 C점 모멘트가 0이 아니다.
• $\dfrac{L}{3}$: 같은 이유로 C점에 부모멘트가 남는다.
• $\dfrac{L}{2}$: 내민 하중의 모멘트가 더 커져 성립하지 않는다.

$\alpha$는 $\dfrac{3}{4}$이다.

단순보 등분포하중의 최대 휨모멘트는 중앙에서 $M_{max}=\dfrac{wL^2}{8}$, 직사각형 단면계수는 $Z=\dfrac{bh^2}{6}$이다.

$\sigma_{max}=\dfrac{M_{max}}{Z}=\dfrac{wL^2/8}{bh^2/6}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{wL^2}{bh^2}$

• $\dfrac{1}{3}$: 모멘트나 단면계수를 잘못 대입한 값이다.
• $\dfrac{1}{2}$: 단면계수를 $\dfrac{bh^2}{4}$(소성단면계수)로 쓴 값이다.
• $\dfrac{2}{3}$: 계수 조합이 틀린 값이다.

두 응력의 비는 $\dfrac{h}{2L}$이다.

최대 전단력은 $V=\dfrac{P}{2}$, 최대 휨모멘트는 $M=\dfrac{PL}{4}$이다.
직사각형 최대전단응력: $\tau_{max}=\dfrac{3V}{2bh}=\dfrac{3P}{4bh}$
최대휨응력: $\sigma_{max}=\dfrac{6M}{bh^2}=\dfrac{3PL}{2bh^2}$

$\dfrac{\tau_{max}}{\sigma_{max}}=\dfrac{3P/4bh}{3PL/2bh^2}=\dfrac{h}{2L}$

• $\dfrac{h}{3L}$: 전단응력 계수 1.5를 빠뜨리고 평균전단응력 $\dfrac{V}{bh}$로 계산한 값이다.
• $\dfrac{L}{4h}$: h와 L의 위치가 뒤집힌 형태로, 보가 길수록 휨응력이 커져 비가 작아져야 한다는 관계와 반대이다.
• $\dfrac{h}{L}$: 계수 1/2를 빠뜨린 값이다.

부재 BC의 부재력은 0이다.

절점 C에는 수평 부재 BC와 연직 부재 CD 두 개만 모이고 외력이 없다. 서로 다른 방향의 두 부재만 있는 무하중 절점에서는 두 부재력이 모두 0이다.
$\Sigma F_x=0:\;F_{BC}=0,\quad \Sigma F_y=0:\;F_{CD}=0$

• 20 kN: B점 연직하중을 BC가 받는다고 본 오류이다.
• 40 kN: B점 수평하중을 BC가 전달한다고 본 오류이다.
• 60 kN: 두 하중을 합한 값으로 근거가 없다.

$\alpha$는 1.5이다.

자유단 하중 P는 두 구간에 모두 그대로 축력으로 전달되므로 구간별 신장량을 합한다.
$\delta_D=\dfrac{PL}{E(2A)}+\dfrac{PL}{EA}=0.5\dfrac{PL}{EA}+1.0\dfrac{PL}{EA}=1.5\dfrac{PL}{EA}$

• 0.5: 굵은 구간 신장량만 계산한 값이다.
• 1.0: 가는 구간 신장량만 계산한 값이다.
• 2.0: 두 구간을 모두 단면적 A로 본 값이다.

지점 C의 휨모멘트 크기는 4 kN·m이다.

C점 오른쪽의 내민 구간 CD만 보면 바로 계산된다. 등분포하중 합력 $2\times 2=4\,\mathrm{kN}$이 C에서 1 m 거리에 작용한다.
$|M_C|=4\times 1=4\,\mathrm{kN\cdot m}$

내부힌지 B에 작용하는 8 kN은 힌지에서 모멘트가 0이므로 BC 구간 모멘트 평형에 영향을 주지 않고 캔틸레버 AB가 받는다.

• 2: 합력의 팔길이를 0.5 m로 잡은 오류이다.
• 6: 힌지 하중의 영향을 일부 더한 오류이다.
• 8: 내민 구간 하중 합력에 팔길이 2 m를 곱한 오류이다.

유효세장비가 100이 되려면 한 변의 길이는 $10\sqrt{3}\,\mathrm{cm}$이다.

유효세장비는 유효길이를 단면2차반지름으로 나눈 값이다.
$\lambda = \dfrac{KL}{r} = 100$
$r = \dfrac{500\,\mathrm{cm}}{100} = 5\,\mathrm{cm}$

정사각형 단면의 단면2차반지름을 한 변으로 나타내면 다음과 같다.
$r = \sqrt{\dfrac{I}{A}} = \sqrt{\dfrac{b^4/12}{b^2}} = \dfrac{b}{2\sqrt{3}}$
$b = 2\sqrt{3} \times 5 = 10\sqrt{3}\,\mathrm{cm}$

• $5\sqrt{5}\,\mathrm{cm}$는 필요한 크기보다 작아 단면2차반지름이 약 3.2 cm가 되고 세장비가 100보다 커진다.
• $15\sqrt{5}\,\mathrm{cm}$는 필요한 크기보다 커서 세장비가 100보다 작아진다.
• $20\sqrt{3}\,\mathrm{cm}$는 단면2차반지름이 10 cm가 되어 세장비가 50이 된다.

이 프레임의 부정정 차수는 5이다.

절점·부재 공식 $N=r+m+s-2j$를 쓴다. 고정지점 3, 힌지지점 2로 $r=5$, 부재 $m=8$, 절점 $j=7$이다. 강절점은 양 기둥 중간 절점(3부재)에서 각 2, 기둥 상단(2부재)에서 각 1로 $s=6$이며, 상부 중앙의 내부힌지는 0이다.
$N=5+8+6-2\times 7=5$

검산: 외적 $5-3=2$, 닫힌 고리 2개 $+6$, 4부재 힌지 해제 $-3$으로 역시 5이다.

• 3: 지점 반력이나 강절점 수를 적게 센 값으로 판별식 결과와 맞지 않는다.
• 4: 힌지 해제 수를 4부재 연결에 맞지 않게 셈한 값이다.
• 6: 내부힌지 해제를 2로만 셈한 값이다.

OC 부재의 분배율은 $\dfrac{2}{7}$이다.

세 부재 모두 길이가 L이고 먼 끝이 고정이므로 강비는 휨강성에 비례한다(EI : 4EI : 2EI = 1 : 4 : 2).

$DF_{OC}=\dfrac{2}{1+4+2}=\dfrac{2}{7}$

• $\dfrac{1}{7}$: OA 부재의 분배율이다.
• $\dfrac{1}{3}$: 세 부재에 똑같이 나눈 값이다.
• $\dfrac{2}{3}$: 근거 없는 값이며, OB 부재의 분배율은 $\dfrac{4}{7}$이다.

직경 감소량은 $\dfrac{4P\mu}{\pi d E}$이므로 $\alpha = 4$이다.

축방향 변형률에 푸아송비를 곱하면 횡방향(직경 방향) 변형률이 된다.
$\varepsilon = \dfrac{P}{AE} = \dfrac{4P}{\pi d^2 E}$
$\varepsilon' = \mu \, \varepsilon = \dfrac{4P\mu}{\pi d^2 E}$

직경 감소량은 횡방향 변형률에 원래 직경을 곱한 값이다.
$\Delta d = \varepsilon' \, d = \dfrac{4P\mu}{\pi d E}$

• $\alpha = 1$은 원형 단면적 $\pi d^2/4$의 분모 4를 빠뜨린 값이다.
• $\alpha = 2$는 실제 직경 감소량의 절반에 해당하여 계산 결과와 다르다.
• $\alpha = 3$은 원형 단면적에서 생기는 계수 4와 맞지 않는다.

지점 D의 휨모멘트 크기는 30 kN·m이다.

AC 구간은 롤러 A와 내부힌지 C로 지지되는 단순보로 본다. 10 kN이 중앙(A에서 2 m)에 있으므로 $R_A=V_C=5\,\mathrm{kN}$이다.

힌지력 5 kN이 캔틸레버 CD 끝에 하중으로 전달된다.
$|M_D|=5\times 6=30\,\mathrm{kN\cdot m}$

• 10: 힌지력에 팔길이 2 m를 곱한 값이다.
• 20: 팔길이 4 m를 쓴 오류이다.
• 40: 10 kN 전체가 힌지로 넘어간다고 보고 4 m를 곱한 경우 등으로 근거가 없다.

옳은 휨모멘트도는 오른쪽 내민 구간에서 일정하고, 힌지에서 0을 지나며 왼쪽 경간까지 모멘트가 생기고 부호가 반대인 도이다.

자유단 모멘트 M 때문에 오른쪽 롤러부터 자유단까지는 일정한 모멘트이다. 힌지에서는 모멘트가 0이고, 하중이 없는 구간이므로 오른쪽 롤러와 힌지 사이는 직선이다.

오른쪽 부분 평형에서 힌지에 전단력이 생기고, 이것이 왼쪽 내민보 끝에 하중으로 전달된다. 따라서 힌지~가운데 롤러~왼쪽 지점 구간도 직선으로 변하며, 힌지 양쪽은 한 직선으로 이어져 부호가 바뀐다.

• 왼쪽 부분 모멘트가 0인 도: 힌지 전단력이 왼쪽 부분에 전달되는 것을 무시했다.
• 오른쪽 롤러에서 0이고 힌지~롤러 사이에 꺾임이 있는 도: 하중 없는 구간에 꺾임이 생길 수 없고, 롤러~자유단 구간이 일정한 모멘트가 아니다.
• 자유단에서 0으로 줄어드는 도: 자유단에 모멘트 M이 작용하므로 끝단 값이 M이어야 한다.

지점 A의 수평반력 크기는 10 kN이다.

B는 롤러이므로 수평반력이 없고, 수평력은 모두 힌지 A가 받는다.

오른쪽 등분포 수평하중 합력: $2\times 5=10\,\mathrm{kN}$(왼쪽)
$\Sigma F_x=0:\;H_A=10\,\mathrm{kN}$(오른쪽)

• 5: 연직하중 5 kN을 수평반력으로 혼동한 값이다.
• 15: 연직하중과 수평하중을 더한 값이다.
• 20: 분포하중 높이를 두 배로 잡은 값이다.

두 전단응력의 비는 2이다.

비틀림 전단응력은 $\tau=\dfrac{T\rho}{J}$로 반지름에 비례한다. 최대는 바깥면($\rho=10\,\mathrm{mm}$), 최소는 안쪽면($\rho=5\,\mathrm{mm}$)에서 생긴다.

$\dfrac{\tau_{max}}{\tau_{min}}=\dfrac{10}{5}=2$

• 1: 단면 전체에 응력이 균일하다고 본 오류이다.
• 3: 반지름 비와 무관한 값이다.
• 4: 응력이 반지름 제곱에 비례한다고 본 오류이다.

최대 인장변형률은 $\dfrac{d}{2R+d}$이다.

강봉의 중립축은 봉의 중심이므로 곡률반지름은 $\rho=R+\dfrac{d}{2}$이고, 바깥면까지 거리는 $y=\dfrac{d}{2}$이다.

$\varepsilon_{max}=\dfrac{y}{\rho}=\dfrac{d/2}{R+d/2}=\dfrac{d}{2R+d}$

• $\dfrac{2d}{R}$: 연단거리와 곡률반지름을 모두 잘못 잡은 값이다.
• $\dfrac{d}{2R}$: 곡률반지름을 드럼 반지름 R로만 본 근사값이다.
• $\dfrac{2d}{R+2d}$: $\varepsilon=\dfrac{y}{\rho}$에 연단거리와 곡률반지름을 바르게 대입한 결과와 맞지 않는다.