24년 1회차

평균전력은 직류분 전력과 같은 주파수 교류분 전력의 합으로 $325\ \mathrm{W}$이다.

직류분: $P_0=V_0I_0=10\times30=300\ \mathrm{W}$
교류분(최댓값 기준): $P_1=\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\theta=\dfrac{5\times20}{2}\cos(30^\circ-(-30^\circ))=50\times0.5=25\ \mathrm{W}$

합계: $P=P_0+P_1=300+25=325\ \mathrm{W}$

• 300 W는 교류분 전력을 빠뜨린 값이다.
• 400 W는 교류분에 1/2과 역률 $\cos60^\circ$를 모두 빼먹고 $5\times20$을 더한 값이다.
• 365 W는 직류분과 교류분 전력을 올바르게 합해서는 나오지 않는 값이다.

종단전압은 $V_0=2.5\ \mathrm{V}$이다.

오른쪽 끝의 $5+5=10\ \mathrm{\Omega}$이 세 번째 $10\ \mathrm{\Omega}$과 병렬이면 $5\ \mathrm{\Omega}$, 직렬 $5\ \mathrm{\Omega}$을 더하면 $10\ \mathrm{\Omega}$이다. 전원에서 보면 $10\ \mathrm{\Omega}$ 세 개가 병렬이므로 $R=\dfrac{10}{3}\ \mathrm{\Omega}$이다.

전원 양단 전압 $V_1=3\times\dfrac{10}{3}=10\ \mathrm{V}$
오른쪽 가지 전류 $\dfrac{10}{10}=1\ \mathrm{A}$, 세 번째 마디 전압 $10-1\times5=5\ \mathrm{V}$
전압 분배로 $V_0=5\times\dfrac{5}{5+5}=2.5\ \mathrm{V}$

• 3.0 V: 위 합성저항·전압 분배 계산 결과와 다르다.
• 3.5 V: 위 합성저항·전압 분배 계산 결과와 다르다.
• 4.0 V: 위 합성저항·전압 분배 계산 결과와 다르다.

전류는 전하량의 시간 미분이므로 $t=0$에서 $30\ \mathrm{A}$이다.

곱의 미분: $i(t)=\dfrac{dq}{dt}=30e^{0.1t}+30t\times0.1e^{0.1t}=(30+3t)e^{0.1t}$
대입: $i(0)=(30+0)\times1=30\ \mathrm{A}$

• 0 A는 전하량 자체 $q(0)=0$을 전류로 착각한 값이다.
• 10 A, 20 A는 미분 결과 어디에서도 나오지 않는 값이다.

필요한 일은 전하량과 전위차의 곱으로 크기 $0.9\times10^{-6}\ \mathrm{J}$이다.

경로는 $x$축 방향뿐이므로 $E_x=3$만 기여한다.
$W=-q\int_{0}^{-3}E_x\,dx=-q\times3\times(-3)=9q$

대입: $W=9\times0.1\times10^{-6}=0.9\times10^{-6}\ \mathrm{J}$

• $0.3\times10^{-6}\ \mathrm{J}$은 이동거리 3을 빠뜨리고 전계 성분만 곱한 값이다.
• $0.6\times10^{-6}\ \mathrm{J}$은 이동 방향과 무관한 $y$ 성분을 잘못 쓴 값이다.
• $1.2\times10^{-6}\ \mathrm{J}$은 전계와 변위의 내적 계산에서 나오지 않는 값이다.

같은 방향 전류일 때 단위길이당 힘이 $10^{-7}\ \mathrm{N/m}$라는 서술이 틀렸다. 실제 크기는 $2\times10^{-7}\ \mathrm{N/m}$이다.

$F=\dfrac{\mu_0 I_A I_B}{2\pi d}=\dfrac{4\pi\times10^{-7}\times1\times1}{2\pi\times1}$
$F=2\times10^{-7}\ \mathrm{N/m}$

• 같은 방향($+z$)으로 흐르면 두 도선은 흡인력을 받으므로 옳다.
• 반대 방향($-z$)이면 두 도선이 만드는 자계가 사이 영역에서 같은 방향으로 겹쳐 자속이 증가하므로 옳다.
• 사이 영역에서 도선 A($+z$)의 자계는 $\hat{z}\times\hat{y}=-\hat{x}$, 도선 B($-z$)의 자계도 $(-\hat{z})\times(-\hat{y})=-\hat{x}$이므로 자속 방향이 $-x$라는 서술은 옳다.

자성체 내부 자속은 $6\times10^{-3}\ \mathrm{Wb}$이다.

자기회로의 옴의 법칙에서 기자력 ÷ 자기저항이 자속이다.
$\Phi=\dfrac{NI}{R_m}=\dfrac{500\times0.3}{0.25\times10^{5}}$
$\Phi=\dfrac{150}{25000}=6\times10^{-3}\ \mathrm{Wb}$

• $3\times10^{-3}$: 기자력을 절반으로 잡은 값이다.
• $3\times10^{-4}$: 기자력도 절반으로 잡고 자릿수도 한 자리 틀린 값이다.
• $6\times10^{-4}$: 자기저항 지수를 잘못 처리해 자릿수가 한 자리 틀린 값이다.

$A$를 기준으로 $i(t)=I_m\sin(\omega t+\theta)$라는 서술이 틀렸다. 전류는 전압보다 $\theta$만큼 늦으므로 $i(t)=I_m\sin(\omega t-\theta)$이다.

그래프에서 전압 $v(t)$는 $A$에서 0을 지나 상승하고, 전류 $i(t)$는 그보다 $\theta$ 뒤에 0을 지난다. 즉 전류가 지상이다.

• 전류가 전압보다 늦으므로 유도성 부하라는 서술은 옳다.
• 두 정현파의 주파수가 같으므로 위상차가 시간과 무관하게 $\theta$로 일정하다는 서술은 옳다.
• 저항을 직렬로 더하면 $\theta=\tan^{-1}\dfrac{X}{R}$에서 $R$이 커져 위상차가 감소한다는 서술은 옳다.

부하 전류는 $20\sqrt{2}\cos(120\pi t-36.9^\circ)\ \mathrm{A}$이다.

그림에서 $Z=4+j3=5\angle36.9^\circ\ \mathrm{\Omega}$이다.
$I=\dfrac{100\angle0^\circ}{5\angle36.9^\circ}=20\angle-36.9^\circ\ \mathrm{A}$ (실횻값)
최댓값 $20\sqrt{2}\ \mathrm{A}$, 각주파수 $\omega=2\pi\times60=120\pi\ \mathrm{rad/s}$

• $20\sin(60\pi t-36.9^\circ)$: 실횻값을 최댓값으로 쓰고 각주파수도 절반으로 잘못 잡았다.
• $20\sqrt{2}\sin(60\pi t+53.1^\circ)$: $\sin(x+53.1^\circ)=\cos(x-36.9^\circ)$라 위상은 같지만 각주파수를 $60\pi$로 절반만 잡았다.
• $20\cos(120\pi t+53.1^\circ)$: $\sqrt{2}$가 빠졌고 위상도 지상 $36.9^\circ$와 맞지 않는다.

옳은 설명은 유효전력이 실횻값의 곱에 역률을 곱한 값, 즉 $V_{eff}I_{eff}\cos(\theta-\phi)$라는 것이다.

실횻값 페이저로 쓰면 복소전력은 $S=VI^*=V_{eff}I_{eff}\angle(\theta-\phi)$이고, 실수부가 유효전력, 허수부가 무효전력이다.

• 복소전력에 1/2을 붙인 설명은 최댓값 페이저일 때의 식이므로 실횻값 기준에서는 틀리다.
• 피상전력에 1/2을 붙인 설명도 같은 이유로 틀리며, 실횻값 기준 피상전력은 $V_{eff}I_{eff}$이다.
• 무효전력의 단위는 VA가 아니라 VAR이다(VA는 피상전력 단위).

옳지 않은 설명은 임피던스를 페이저로 보고 시간영역으로 변환할 수 있다는 것이다.

임피던스는 페이저 전압과 페이저 전류의 비인 복소수일 뿐, 시간에 따라 변하는 정현파에 대응하는 페이저가 아니다. 따라서 $e^{j\omega t}$를 곱해 시간 함수로 되돌리는 대상이 아니다.

• 커패시터의 임피던스 $\dfrac{1}{j\omega C}=-\dfrac{j}{\omega C}$라는 설명은 옳다.
• 임피던스가 옴 단위를 쓰는 복소량이라는 설명은 옳다.
• 임피던스를 주파수 영역에서 $\mathrm{Z}=\dfrac{\dot{\mathrm{V}}}{\dot{\mathrm{I}}}$로 정의한다는 설명은 옳다.

전류는 $I=0.5\ \mathrm{A}$이다.

가운데 위쪽 마디 전압을 $V$로 두면, 전류원과 직렬인 왼쪽 가지에서는 $3\ \mathrm{A}$가 그대로 마디로 들어온다. 마디 해석(KCL):
$3=\dfrac{V}{10}+\dfrac{V-20}{10}$
$30=2V-20\ \Rightarrow\ V=25\ \mathrm{V}$
$I=\dfrac{25-20}{10}=0.5\ \mathrm{A}$

• $-1$: 마디 전압이 $10\ \mathrm{V}$일 때의 값으로, KCL을 만족하지 않는다.
• $-0.5$: 크기는 같으나 전류 방향을 반대로 본 값이다.
• $1$: 마디 전압이 $30\ \mathrm{V}$일 때의 값으로, KCL을 만족하지 않는다.

상전류가 $1\ \mathrm{A}$이므로 상당 임피던스 크기는 $500\ \mathrm{\Omega}$이다.

3상 전체 전력: $P=3V_pI_p\cos\theta$
대입: $1200=3\times500\times I_p\times0.8=1200I_p$
결과: $I_p=1\ \mathrm{A}$

임피던스: $|Z|=\dfrac{V_p}{I_p}=\dfrac{500}{1}=500\ \mathrm{\Omega}$

• $100\ \mathrm{\Omega}$, $300\ \mathrm{\Omega}$은 상전압 500 V에서 상전류가 각각 5 A, 약 1.67 A가 되어 소비전력이 1,200 W를 크게 넘는다.
• $700\ \mathrm{\Omega}$은 상전류가 약 0.71 A로 소비전력이 1,200 W에 못 미친다.

전류밀도는 자계의 회전(curl)이므로 점 P에서 크기 $5\ \mathrm{A/m^2}$이다.

앙페르 법칙의 미분형: $\vec{J}=\nabla\times\vec{H}$, $H_x=xyz,\ H_y=H_z=0$
$\nabla\times\vec{H}=\dfrac{\partial H_x}{\partial z}\hat{a}_y-\dfrac{\partial H_x}{\partial y}\hat{a}_z=xy\,\hat{a}_y-xz\,\hat{a}_z$

P(1, 3, 4) 대입: $\vec{J}=3\hat{a}_y-4\hat{a}_z$
크기: $|\vec{J}|=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{A/m^2}$

• 3과 4는 각각 한 성분만 취한 값이다.
• 6은 위 계산에서 나오지 않는 값이다.

등가 직렬회로는 $R=5\ \mathrm{\Omega}$, $X=5\ \mathrm{\Omega}$이다.

병렬 합성 임피던스:
$Z=\dfrac{10\times j10}{10+j10}=\dfrac{j100(10-j10)}{(10+j10)(10-j10)}$
$Z=\dfrac{1000+j1000}{200}=5+j5\ \mathrm{\Omega}$

• $R=5,\ X=-5$: 병렬 소자가 유도성($+j10$)이므로 리액턴스 부호가 음이 될 수 없다.
• $R=10,\ X=10$: 병렬이 아닌 직렬로 그대로 옮긴 값이다.
• $R=10,\ X=-10$: 직렬로 옮긴 데다 부호까지 틀렸다.

삽입된 유전체의 비유전율은 $\epsilon_r=4$이다.

극판 길이 절반씩 진공과 유전체가 나란히 놓이므로 두 커패시터의 병렬 연결이다.
$C=\dfrac{C_0}{2}+\epsilon_r\dfrac{C_0}{2}=\dfrac{10}{2}(1+\epsilon_r)=25$
$1+\epsilon_r=5\ \Rightarrow\ \epsilon_r=4$

• $\epsilon_r=1$: 진공과 같아 정전용량이 변하지 않는다.
• $\epsilon_r=2$: $C=15\ \mu\mathrm{F}$가 되어 맞지 않는다.
• $\epsilon_r=3$: $C=20\ \mu\mathrm{F}$가 되어 맞지 않는다.

부족제동이 되려면 $R\lt 10\ \mathrm{\Omega}$이어야 하므로 $R=5\ \mathrm{\Omega}$이다.

스위치가 $b$로 가면 전원이 분리되고 $R$, $L=0.1\ \mathrm{mH}$, $C=4\ \mu\mathrm{F}$의 직렬 루프가 충전된 커패시터로 방전한다. 특성방정식 $s^2+\dfrac{R}{L}s+\dfrac{1}{LC}=0$이 복소근을 가지는 부족제동 조건은 다음과 같다.
$R\lt 2\sqrt{\dfrac{L}{C}}=2\sqrt{\dfrac{0.1\times10^{-3}}{4\times10^{-6}}}=2\sqrt{25}=10\ \mathrm{\Omega}$

• $R=10\ \mathrm{\Omega}$: 판별식이 0인 임계제동이다.
• $R=15\ \mathrm{\Omega}$: 조건값보다 커서 과제동이다.
• $R=20\ \mathrm{\Omega}$: 조건값보다 커서 과제동이다.

필요한 저항은 $R=4\ \mathrm{\Omega}$이다.

Δ의 세 변(상단 마디–$b$ $10\ \mathrm{\Omega}$, 상단 마디–$c$ $10\ \mathrm{\Omega}$, $b$–$c$ $30\ \mathrm{\Omega}$)을 Y로 변환한다(합 $50\ \mathrm{\Omega}$).
상단 마디 쪽: $\dfrac{10\times10}{50}=2\ \mathrm{\Omega}$
$b$쪽: $\dfrac{10\times30}{50}=6\ \mathrm{\Omega}$, $c$쪽: $\dfrac{10\times30}{50}=6\ \mathrm{\Omega}$

단자 $a$의 상은 $R$과 직렬이므로 평형 조건 $2+R=6$에서 $R=4\ \mathrm{\Omega}$이다.

• $R=2\ \mathrm{\Omega}$: $a$상이 $4\ \mathrm{\Omega}$로 다른 상보다 작아 불평형이다.
• $R=6\ \mathrm{\Omega}$: Y 상저항 값 자체를 $R$로 착각한 것으로 $a$상이 $8\ \mathrm{\Omega}$가 된다.
• $R=8\ \mathrm{\Omega}$: $a$상이 $10\ \mathrm{\Omega}$로 불평형이다.

초기전압은 $V_c=8\ \mathrm{V}$, 시정수는 $\tau=5\ \mathrm{ms}$이다.

스위치가 닫혀 오래 지나면 커패시터는 개방으로 보고 $10\ \mathrm{\Omega}$에 전류가 흐르지 않으므로, $V_c$는 $40\ \mathrm{\Omega}$ 양단 전압과 같다.
$V_c=12\times\dfrac{40}{20+40}=8\ \mathrm{V}$

스위치가 열리면 커패시터는 $10\ \mathrm{\Omega}$와 $40\ \mathrm{\Omega}$의 직렬 경로로 방전한다.
$\tau=(10+40)\times100\times10^{-6}=5\times10^{-3}\ \mathrm{s}=5\ \mathrm{ms}$

• $V_c=6\ \mathrm{V},\ \tau=5\ \mathrm{ms}$: 초기전압을 전원 전압의 절반으로 잘못 분배했다.
• $V_c=6\ \mathrm{V},\ \tau=8\ \mathrm{ms}$: 초기전압과 시정수가 모두 틀렸다.
• $V_c=8\ \mathrm{V},\ \tau=6\ \mathrm{ms}$: 개방 후 방전 경로의 저항을 잘못 잡았다.

△결선은 상전압 = 선간전압이므로 상전류 7 A, 전체 무효전력 $1470\ \mathrm{VAR}$이다.

상 임피던스 크기: $|Z|=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2}\ \Omega$
상전류: $I_p=\dfrac{70\sqrt{2}}{10\sqrt{2}}=7\ \mathrm{A}$

전체 무효전력: $Q=3I_p^2X=3\times7^2\times10=1470\ \mathrm{VAR}$

• 490 VAR은 한 상의 무효전력만 구한 값이다.
• 1,600 VAR은 위 계산에서 나오지 않는 값이다.
• 2,546 VAR은 전체 무효전력에 $\sqrt{3}$을 한 번 더 곱한 값($1470\sqrt{3}$)이다.

종속전류원 양단 전압은 $V_0=-50\ \mathrm{V}$이다.

모든 소자가 병렬이므로 위쪽 마디 전압이 $V_0$이고 $i_0=\dfrac{V_0}{5}$이다. 위쪽 마디에서 KCL(들어오는 전류 = 나가는 전류):
$10+3i_0=i_0+\dfrac{V_0}{5}$
$10+\dfrac{3V_0}{5}=\dfrac{2V_0}{5}\ \Rightarrow\ V_0=-50\ \mathrm{V}$

• $-30\ \mathrm{V}$: KCL을 만족하지 않는다.
• $30\ \mathrm{V}$: 부호와 크기가 모두 맞지 않는다.
• $50\ \mathrm{V}$: 크기는 같으나 부호가 반대로, KCL을 만족하지 않는다.