24년 1회차

지점 B의 수평반력은 $\dfrac{40}{3}\,\mathrm{kN}$, 왼쪽(←)이다.

그림에서 A는 힌지(높이 0), B는 수평반력만 받는 롤러로 높이 $15\,\mathrm{m}$에 있다. 10 kN은 A에서 $10\,\mathrm{m}$ 높이에서 오른쪽으로, 20 kN은 A에서 수평거리 $5\,\mathrm{m}$ 위치에서 아래로 작용한다.

A점 모멘트 평형(시계방향 +, B의 수평반력을 오른쪽 가정):
$\Sigma M_A = 10\times 10 + 20\times 5 + H_B\times 15 = 0$
$H_B = -\dfrac{200}{15} = -\dfrac{40}{3}\,\mathrm{kN}$

• 부호가 음수이므로 가정과 반대인 왼쪽 방향이며, 오른쪽 방향으로 고른 값은 방향이 틀린다.
• $\dfrac{10}{3}$은 A점 모멘트 평형식을 만족하지 않아 크기가 틀린다.

직사각형 단면의 형상계수는 1.5이다.

형상계수는 소성단면계수 Z와 탄성단면계수 S의 비이다.
$S=\dfrac{bh^{2}}{6},\quad Z=\dfrac{bh^{2}}{4}$
$f=\dfrac{Z}{S}=\dfrac{bh^{2}/4}{bh^{2}/6}=1.5$

• 0.5: 형상계수는 소성모멘트가 항복모멘트보다 크므로 항상 1 이상이어서 성립할 수 없다.
• 1.0: 단면 전체가 연단에서 한꺼번에 항복하는 이상적인 경우의 값으로, 직사각형에는 해당하지 않는다.
• 2.0: 마름모(정사각형을 45° 돌린) 단면 등에서 나오는 값이다.

부재의 전단탄성계수는 $20\,\mathrm{GPa}$이다.

단면적(π=3, 지름 $40\,\mathrm{mm}$): $A=\dfrac{3\times 40^{2}}{4}=1200\,\mathrm{mm^2}$
응력: $\sigma=\dfrac{300\times 10^{3}}{1200}=250\,\mathrm{MPa}$
변형률: $\varepsilon=\dfrac{5}{1000}=0.005$
탄성계수: $E=\dfrac{250}{0.005}=50000\,\mathrm{MPa}=50\,\mathrm{GPa}$

탄성계수와 전단탄성계수의 관계: $G=\dfrac{E}{2(1+\nu)}=\dfrac{50}{2\times 1.25}=20\,\mathrm{GPa}$

• 40: 분모의 2를 빠뜨려 $\dfrac{E}{1+\nu}$로 계산한 값이다.
• 10: 위 관계식으로 얻은 값의 절반으로, 맞지 않는다.
• 30: 위 관계식으로 얻은 값과 맞지 않는다.

면적이 같고 높이 비가 1 : 2인 두 직사각형의 단면계수 비는 1 : 4가 아니라 1 : 2이므로 이 설명이 옳지 않다.

직사각형 단면계수는 $S=\dfrac{bh^2}{6}=\dfrac{A\,h}{6}$이다.
면적 $A$가 같으면 단면계수는 높이 $h$에 비례하므로 $S_1:S_2=h_1:h_2=1:2$이다.

• 원형단면: $S=\dfrac{\pi r^3}{4}$로 반지름의 세제곱에 비례하므로, 반지름이 2배면 $2^3=8$배가 된다(옳음).
• 직사각형 폭 증가: $S=\dfrac{bh^2}{6}$는 폭 $b$에 1차 비례하므로 폭이 2배면 단면계수도 2배다(옳음).
• 항복모멘트: 최외단 응력이 항복응력에 도달할 때의 모멘트로 $M_y=\sigma_y S$이다(옳음).

수직부재 CD의 부재력은 P(압축력)이다.

지점반력: B 기준 모멘트 $R_A\times 4a = P\times 3a + P\times 2a$ 이므로 $R_A=\dfrac{5P}{4}$, $R_B=\dfrac{3P}{4}$이고, A가 롤러라 B의 수평반력은 0이다.

절점 B: 수평성분을 가진 부재는 경사 하현재뿐이므로 하현재 DB의 부재력은 0이고, 오른쪽 끝 수직재가 $\dfrac{3P}{4}$(압축)를 받는다. 오른쪽 위 절점에서 이 힘은 사재(D에서 올라오는 부재)의 연직성분 $\dfrac{3P}{4}$(인장)로 평형된다.

절점 D: 사재의 수평성분을 D 왼쪽 경사 하현재가 받아야 하며, 하현재 기울기(전체 높이를 수평거리 4a로 나눈 값)로 환산하면 그 연직성분은 $\dfrac{P}{4}$(위쪽)이다. 연직 평형 $\dfrac{3P}{4}+\dfrac{P}{4}+F_{CD}=0$ 에서 $F_{CD}=-P$, 즉 압축이다.

• 인장력으로 고른 값은 절점 D를 위로 당기는 두 힘(사재·하현재)을 CD가 아래로 밀어 받쳐야 한다는 점과 반대이다.
• 2P(인장력): 크기와 방향이 모두 절점 D의 평형과 맞지 않는다.
• 2P(압축력): 하중 두 개를 단순히 합한 크기로, 반력 분배와 절점 평형을 반영하지 않았다.

거리 $x$는 $2\,\mathrm{m}$이다.

세 힘은 모두 위 방향 평행력이고 합력 R은 P(2)에서 오른쪽으로 $x$, P(3)에서 왼쪽으로 $3\,\mathrm{m}$ 떨어진 위치에 있다.

합력 크기: $P_2 = 20-2-10 = 8\,\mathrm{kN}$

바리뇽 정리(P(1) 작용점 기준):
$20(5+x)=8\times 5+10(5+x+3)$
$100+20x=120+10x$ 에서 $x=2\,\mathrm{m}$

• 3: 대입하면 좌변 160, 우변 150으로 모멘트 식을 만족하지 않는다.
• 4: 대입하면 좌변 180, 우변 160으로 모멘트 식을 만족하지 않는다.
• 5: 대입하면 좌변 200, 우변 170으로 모멘트 식을 만족하지 않는다.

강봉 AD의 총 변형량은 $5\,\mathrm{mm}$(신장)이다.

구간별 축력(인장 +): AB $50\,\mathrm{kN}$, BC $50-10=40\,\mathrm{kN}$, CD $70\,\mathrm{kN}$(오른쪽에서 보면 BC도 $70-30=40$으로 확인된다).

총 변형량: $\delta=\dfrac{\Sigma N L}{EA}=\dfrac{(50\times 1+40\times 2+70\times 1)\times 10^{6}}{200\times 10^{3}\times 200}$
$=\dfrac{200\times 10^{6}}{40\times 10^{6}}=5\,\mathrm{mm}$

• 2: 구간별 축력과 길이의 곱의 합 $200\,\mathrm{kN\cdot m}$로 얻는 값보다 작다.
• 7: 구간별 축력과 길이의 곱의 합으로 얻는 값과 맞지 않는다.
• 12: 구간별 축력을 반영한 신장량보다 훨씬 크며, 어떤 구간 조합으로도 나오지 않는다.

축방향 변형률과 횡방향 변형률을 구해 비를 취하면 포아송비는 0.1이다.

축방향 변형률: $\varepsilon_a=\dfrac{\Delta L}{L}=\dfrac{0.1}{500}=2\times10^{-4}$
횡방향 변형률: $\varepsilon_l=\dfrac{\Delta d}{d}=\dfrac{0.001}{50}=2\times10^{-5}$

포아송비: $\nu=\dfrac{\varepsilon_l}{\varepsilon_a}=\dfrac{2\times10^{-5}}{2\times10^{-4}}=0.1$

• 0.2: 횡방향 변형률이 $4\times10^{-5}$, 즉 지름 변화가 $0.002\,\mathrm{mm}$여야 나오는 값이다.
• 0.3: 지름 변화가 $0.003\,\mathrm{mm}$일 때의 값으로 주어진 조건과 맞지 않는다.
• 0.4: 지름 변화가 $0.004\,\mathrm{mm}$일 때의 값으로 주어진 조건과 맞지 않는다.

양단 고정보에 등분포하중이 작용하면 전단력 선도는 A단 양(+)에서 B단 음(−)으로 일정하게 감소하며 중앙에서 0이 되는 직선이다.

대칭이므로 양단 연직반력은 각각 $\dfrac{wL}{2}$이고, 고정단 모멘트는 서로 같아 전단력에 영향을 주지 않는다.
$V(x)=\dfrac{wL}{2}-wx$ 이므로 기울기가 −w인 1차 직선이다.

• 포물선 모양 선도: 등분포하중에서의 휨모멘트 선도 모양으로, 전단력 선도가 아니다.
• 중앙에서 꺾이는 V자 선도: 중앙 집중하중을 받는 보의 휨모멘트 선도 모양이다.
• 중앙에서 계단식으로 부호가 바뀌는 직사각형 선도: 중앙 집중하중을 받는 보의 전단력 선도이다.

O점에 대한 합 모멘트의 크기는 Pr이다.

A점과 B점의 힘은 각각 OA, OB 연장선 방향, 즉 반지름 방향으로 작용하므로 작용선이 O를 지나 모멘트가 0이다.

C점(O 바로 아래)의 힘은 연직선과 $30^{\circ}$를 이루므로 반지름에 수직인 수평성분만 모멘트를 만든다.
$M_O = 2P\sin 30^{\circ}\times r = Pr$

• $\sqrt{3}Pr$: C점 힘에서 반지름 방향 성분($2P\cos 30^{\circ}$)을 팔길이에 곱한 오산이다.
• $0.5Pr$: 힘 크기 2P를 P로 잘못 본 값이다.
• $(2+\sqrt{3})Pr$: A·B점 힘은 작용선이 O를 지나 모멘트가 없으므로 이렇게 큰 값은 나올 수 없다.

C점 휨모멘트가 0이 되는 하중은 $P=wL$이다.

양 끝 수평하중 P는 같은 높이에서 크기가 같고 방향이 반대이므로 서로 상쇄되어 연직반력에 영향이 없다. 대칭이므로 $R_A=R_B=\dfrac{w\times 2L}{2}=wL$이다.

C점 왼쪽 자유물체: 수평하중 P는 보 축선에서 $\dfrac{L}{2}$ 위에서 바깥쪽으로 작용해 C점에 부(−)모멘트를 만든다.
$M_C = wL\times L - wL\times\dfrac{L}{2} - P\times\dfrac{L}{2}=0$
$P = wL$

• $\dfrac{1}{8}wL$: 위 식에 대입하면 C점에 정(+)모멘트가 남아 0이 되지 않는다.
• $\dfrac{1}{4}wL$: 마찬가지로 C점에 정(+)모멘트가 남는다.
• $\dfrac{1}{2}wL$: P의 팔길이를 $\dfrac{L}{2}$가 아닌 L로 본 값이다.

강체 보가 수평을 유지하려면 $x=0.6a$이다.

수평 유지 조건은 두 케이블의 신장량이 같은 것이다(재료·단면적 동일). 케이블 AB 길이 $3L$, CD 길이 $2L$이므로
$\dfrac{T_B\times 3L}{EA}=\dfrac{T_C\times 2L}{EA}$ 에서 $T_B:T_C=2:3$

연직 평형 $T_B+T_C=5P$ 에서 $T_B=2P,\ T_C=3P$
B점 모멘트 평형: $5P\times x = 3P\times a$ 이므로 $x=0.6a$

• $0.4a$: 케이블 장력 비를 길이 비 그대로(긴 케이블에 큰 장력) 거꾸로 적용한 값이다.
• $0.5a$: 두 케이블 길이가 같다고 보아 장력을 같게 놓은 값이다.
• $0.7a$: 장력 비 2 : 3에서 나오는 모멘트 평형식을 만족하지 않는다.

지점 A의 최대 반력은 $10.4\,\mathrm{kN}$이다.

A점 반력의 영향선은 A에서 1, B에서 0인 직선 $1-\dfrac{x}{10}$이다. 연행하중은 왼쪽 4 kN, 오른쪽 8 kN이 $2\,\mathrm{m}$ 간격이다.

4 kN을 A 위에 두면 8 kN은 A에서 $2\,\mathrm{m}$에 놓인다.
$R_A=4\times 1+8\times 0.8=10.4\,\mathrm{kN}$
8 kN을 A 위에 두면 4 kN은 보 밖으로 나가 $R_A=8\,\mathrm{kN}$에 그치므로 앞의 배치가 최대이다.

• 11.2: 8 kN을 A 위에 두고 4 kN이 보 안쪽에 오도록 하중 순서를 뒤집은 값으로, 연행하중의 배열과 맞지 않는다.
• 10.0: 어느 배치에서도 영향선 계산으로 나오는 최댓값이 아니다.
• 12.4: 두 하중 합(12 kN)보다 클 수 없는 반력으로 성립하지 않는다.

b의 최솟값은 $0.05\,\mathrm{m}$이다.

B가 내부 힌지이므로 AB는 A와 힌지 B로 지지된 단순보처럼 거동한다. 10 kN이 AB 중앙에 있으므로 힌지 전달력은 $5\,\mathrm{kN}$이고, 힌지 바로 오른쪽 x−x′ 단면의 전단력도 $V=5\,\mathrm{kN}$이다.

직사각형 단면 최대 전단응력: $\tau_{max}=\dfrac{3}{2}\dfrac{V}{bh}=\dfrac{1.5\times 5}{b\times 0.5}\le 300\,\mathrm{kN/m^2}$
$b\ge\dfrac{7.5}{150}=0.05\,\mathrm{m}$

• 0.5: 같은 식에서 전단력을 50 kN으로 잡아야 나오는 값이다.
• 0.15: 전단력을 15 kN으로 잡아야 나오는 값으로, 힌지 전달력과 맞지 않는다.
• 0.015: 전단력을 1.5 kN으로 잡아야 나오는 값으로, 허용전단응력을 넘는다.

보에 발생하는 축력은 $400\,\mathrm{kN}$(압축력)이다.

양단이 고정되어 늘어나지 못하므로 열팽창이 그대로 압축 변형으로 구속된다. 축력은 길이 L과 무관하다.
$P=EA\alpha\Delta T$
$=2.0\times 10^{5}\times 5000\times 2.0\times 10^{-5}\times 20$
$=400000\,\mathrm{N}=400\,\mathrm{kN}$

• 400(인장력): 온도 상승 시 늘어나려는 보를 지점이 밀어 막으므로 인장이 아니라 압축이 생긴다.
• 200(압축력): 방향은 맞지만 온도변화나 열팽창계수를 절반으로 반영한 크기이다.
• 200(인장력): 크기와 방향이 모두 맞지 않는다.

B점의 수직처짐은 $9\,\mathrm{mm}$이다.

외팔보 끝의 강성과 스프링이 B점에서 같은 처짐을 가지므로 병렬 스프링으로 본다.
보의 강성: $k_b=\dfrac{3EI}{L^{3}}=\dfrac{3\times 100}{27}=\dfrac{100}{9}\,\mathrm{kN/m}$
합성 강성: $k=\dfrac{100}{9}+100=\dfrac{1000}{9}\,\mathrm{kN/m}$

$\delta=\dfrac{1}{1000/9}=0.009\,\mathrm{m}=9\,\mathrm{mm}$

• 10: 스프링만 하중을 받는다고 본 값이다.
• 90: 스프링 없이 외팔보만으로 계산한 값이다.
• 100: 보와 스프링을 직렬로 보아 두 처짐(90과 10)을 더한 값이다.

B점의 비틀림각은 $\dfrac{2}{3}\dfrac{TL}{GJ}$이다.

B점의 비틀림각은 AB와 BC 구간에서 같으므로 두 구간은 병렬 비틀림 스프링이다.
$k_{AB}=\dfrac{GJ}{L},\quad k_{BC}=\dfrac{GJ}{2L}$
$\phi_B=\dfrac{T}{k_{AB}+k_{BC}}=\dfrac{T}{\dfrac{3GJ}{2L}}=\dfrac{2}{3}\dfrac{TL}{GJ}$

• $\dfrac{TL}{GJ}$: AB 구간이 T 전부를 받는다고 본 값이다.
• $\dfrac{1}{2}\dfrac{TL}{GJ}$: 두 구간 강성을 같다고 보아 T를 반씩 나눈 값이다.
• $\dfrac{3}{4}\dfrac{TL}{GJ}$: 두 구간 강성의 합으로 얻는 값과 맞지 않는다.

세 장주의 좌굴하중 비는 1 : 4 : 9이다.

세 장주 모두 하단 힌지·상단 수평 구속이며, 중간 수평 구속점이 각각 0개·1개·2개이다. 구속점 사이가 양단 힌지 구간처럼 좌굴하므로 유효좌굴길이는 L, $\dfrac{L}{2}$, $\dfrac{L}{3}$이다.

$P_{cr}=\dfrac{\pi^{2}EI}{(KL)^{2}}$ 이므로 $P_{(a)}:P_{(b)}:P_{(c)}=1:2^{2}:3^{2}=1:4:9$

• 1 : 2 : 3: 좌굴하중이 길이에 반비례한다고 본 값으로, 실제로는 길이의 제곱에 반비례한다.
• 3 : 2 : 1: 구속점이 많을수록 좌굴하중이 작아진다고 거꾸로 보고, 길이에 반비례로 둔 값이다.
• 9 : 4 : 1: 길이의 제곱 관계는 맞지만 순서를 거꾸로 본 값이다.

탄성재료라도 응력-변형률 선도가 항상 직선인 것은 아니므로, 모든 탄성재료가 직선이라는 설명이 옳지 않다.

탄성은 하중을 제거하면 원래 상태로 돌아가는 성질일 뿐이며, 고무처럼 비선형 탄성을 보이는 재료도 있다. 직선 관계(훅의 법칙)는 선형 탄성재료에만 해당한다.

• 탄성계수와 응력의 단위: $E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon}$에서 변형률이 무차원이므로 두 단위는 같다(예: $\mathrm{MPa}$)(옳음).
• 연성재료: 항복 후 소성변형과 변형경화를 거쳐 파단에 이르므로 항복과 동시에 파괴되지 않는다(옳음).
• 소성구간 제하: 탄성 기울기를 따라 되돌아오며 소성변형분이 영구변형으로 남는다(옳음).

자유단의 처짐은 $\dfrac{Pa^{2}}{6EI}(2a+3b)$이다.

하중점(고정단에서 a)의 처짐과 처짐각:
$\delta_P=\dfrac{Pa^{3}}{3EI},\quad \theta_P=\dfrac{Pa^{2}}{2EI}$

하중점 바깥 구간 b는 모멘트가 없어 직선으로 기울어지므로
$\delta=\dfrac{Pa^{3}}{3EI}+\dfrac{Pa^{2}}{2EI}\times b=\dfrac{Pa^{2}}{6EI}(2a+3b)$

• $\dfrac{Pa^{2}}{6EI}(3a+2b)$: 처짐 계수와 처짐각 계수를 서로 바꿔 쓴 값이다.
• $\dfrac{Pa^{2}}{3EI}(a+2b)$: b 항의 계수가 $\dfrac{2Pa^{2}}{3EI}$로 처짐각 $\dfrac{Pa^{2}}{2EI}$와 다르다.
• $\dfrac{Pa^{2}}{3EI}(2a+b)$: b=0이면 $\dfrac{2Pa^{3}}{3EI}$가 되어 하중점 처짐 $\dfrac{Pa^{3}}{3EI}$와 맞지 않는다.