26년 1회차

옳은 설명은 사분위수범위가 2보다 크다는 것과 2 이상 5 이하 구간에 자료의 50 % 이상이 있다는 것이다.

그림에서 제1사분위수는 2와 3 사이(약 2.5), 중앙값은 4, 제3사분위수는 5이다. 상자 안(제1사분위수~제3사분위수)에는 자료의 50 %가 들어 있다.

• 사분위수범위: $Q_3-Q_1 \approx 5-2.5=2.5$로 2보다 크므로 옳다.
• 2 이상 5 이하 구간: 제1사분위수가 2보다 크고 제3사분위수가 5이므로 이 구간은 상자 전체를 포함해 자료의 50 % 이상을 담는다. 옳다.
• 평균이 4라는 설명: 상자 안의 선 4는 중앙값이며, 상자그림은 다섯 수치 요약만 보여 주므로 평균이 4라고 단정할 수 없다. 옳지 않다.

옳지 않은 것은 중앙값이 제3사분위수에 더 가깝다는 설명이다. 이 자료는 오른쪽 꼬리가 긴 분포여서 중앙값은 제1사분위수 쪽에 몰려 있다.

계급별 도수는 26, 7, 5, 4, 4, 2, 2로 총 50개이다. 제1사분위수(순위 13)와 중앙값(순위 25·26)은 모두 10~20 계급에 있고, 제3사분위수(순위 약 38)는 누적도수가 33에서 38로 넘어가는 30~40 계급에 있다.
따라서 중앙값과 제1사분위수의 차는 10 미만, 제3사분위수와 중앙값의 차는 10 초과이다.

• 평균이 중앙값보다 크다: 큰 값 쪽으로 꼬리가 길어 평균이 오른쪽으로 끌려가므로 옳다.
• 범위가 50 이상: 최솟값은 20 미만, 최댓값은 70 이상이므로 범위는 50을 넘어 옳다.
• 왜도가 양수: 오른쪽으로 꼬리가 긴 양의 비대칭 분포이므로 옳다.

독립인 두 사건에서 $P(A\cup B^{C})=\dfrac{5}{6}$이다.

$A$와 $B$가 독립이면 $A$와 $B^{C}$도 독립이므로 $P(A\cap B^{C})=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$이다.

합사건 공식에 대입하면
$P(A\cup B^{C})=P(A)+P(B^{C})-P(A\cap B^{C})$
$=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}$

여사건으로 확인하면 $1-P(A^{C}\cap B)=1-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}$로 같다.

상관계수는 양의 선형변환에 불변이므로 $X$와 $Y$의 공분산은 6이다.

$Z=5X+2$, $W=6Y+5$에서 기울기 5와 6이 모두 양수이므로 $Corr(X,Y)=Corr(Z,W)=0.4$이다. 상수항(2, 5)은 상관계수에 영향을 주지 않는다.

공분산 = 상관계수 × 두 표준편차
$Cov(X,Y)=0.4\times\sqrt{9}\times\sqrt{25}$
$=0.4\times3\times5=6$

회귀제곱합 20, 총제곱합 80이므로 결정계수는 $\dfrac{1}{4}$이다.

빈칸은 평균제곱 → 제곱합 순으로 채운다.
$MSE=\dfrac{MSR}{F}=\dfrac{20}{10}=2$
$SSR=20\times1=20$, $SSE=2\times30=60$
$SST=20+60=80$

결정계수
$R^2=\dfrac{SSR}{SST}=\dfrac{20}{80}=\dfrac{1}{4}$

분모에 잔차제곱합을 넣어 $\dfrac{SSR}{SSE}=\dfrac{1}{3}$로 계산하지 않도록 주의한다.

균일 기대도수와 비교한 적합도 검정통계량은 $\dfrac{10}{3}$이다.

귀무가설(선호도 차이 없음) 아래 각 종류의 기대도수는 $\dfrac{60}{4}=15$이다.

카이제곱 검정통계량
$\chi^2=\sum\dfrac{(O-E)^2}{E}$
$=\dfrac{(20-15)^2+0^2+(10-15)^2+0^2}{15}$
$=\dfrac{50}{15}=\dfrac{10}{3}$

(가)는 회귀분석, (나)는 분산분석이 알맞다.

(가)는 풍속(독립변수)이 미세먼지 농도(종속변수)에 미치는 선형 영향을 추정하는 것이므로 회귀분석이다. (나)는 네 집단(사계절)의 평균 차이를 동시에 검정하므로 일원배치 분산분석이다.

• 상관분석: 두 변수의 선형 연관 정도만 측정할 뿐 한 변수가 다른 변수에 미치는 영향(방향성 있는 관계식)은 추정하지 않는다.
• 적합도검정: 범주형 자료의 관측도수가 가정한 분포에 맞는지 보는 검정으로, 연속형 평균 비교에는 쓰지 않는다.
• $t$-검정: 두 집단 평균 비교나 단일 모수 검정에 쓰이며, 영향 관계의 분석 방법이 아니다.

$N$은 이항분포 $B\!\left(10,\dfrac{1}{2}\right)$를 따르므로 $E(N)+Var(N)=\dfrac{15}{2}$이다.

$c=10!$로 두면 $P(N=k)=\dbinom{10}{k}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{10}$이 되어 확률의 합이 1이 된다. 따라서 이항분포 $B\!\left(10,\dfrac{1}{2}\right)$이다.

$E(N)=np=10\times\dfrac{1}{2}=5$
$Var(N)=np(1-p)=10\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$
$E(N)+Var(N)=5+\dfrac{5}{2}=\dfrac{15}{2}$

증가 여부를 보는 단측검정이므로 유의확률은 $P(Z\ge1.6)$이다.

가설은 $H_0:\mu=5$ 대 $H_1:\mu\gt 5$(우측검정)이다. 표본 크기 64가 충분히 커서 표준정규분포로 근사한다.

검정통계량
$Z=\dfrac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\dfrac{5.2-5}{1/\sqrt{64}}$
$=\dfrac{0.2}{0.125}=1.6$

• $2\times P(Z\ge1.6)$: 양측검정의 유의확률로, 증가 여부를 보는 단측 가설에는 맞지 않는다.
• $P(Z\ge1)$: 검정통계량 값이 1이 아니라 1.6이다.
• $2\times P(Z\ge1)$: 통계량 값과 검정 방향이 모두 맞지 않는다.

빈칸 확률을 구하면 $E(X)=1$이므로 $Var(X)=\dfrac{1}{2}$이다.

$P(X=1)=a$, $P(X=2)=b$라 하면
$a+b=\dfrac{3}{4}$, $E(X^2)=a+4b=\dfrac{3}{2}$
두 식을 빼면 $3b=\dfrac{3}{4}$이므로 $b=\dfrac{1}{4}$, $a=\dfrac{1}{2}$

$E(X)=1\times\dfrac{1}{2}+2\times\dfrac{1}{4}=1$
분산 공식 $Var(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2=\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{1}{2}$

임계값 7.81보다 작으므로 두 교수법의 효과에 차이가 없다.

두 모집단(교수법)의 등급 분포가 같은지 보는 동질성 검정이며, 자유도는 $(2-1)(4-1)=3$이다. 따라서 기각역의 경계는 $\chi^2_{0.05}(3)=7.81$이다.

검정통계량 $2.25\lt 7.81$이므로 귀무가설을 기각하지 못하고, 두 교수법의 효과에 차이가 있다고 할 수 없다.

• 14.07: 자유도를 $2\times4-1=7$로 잘못 잡은 임계값이다.
• 차이가 있다: 검정통계량이 임계값보다 작아 귀무가설을 기각하지 못하므로 결론이 반대다.

ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

• ㄱ: 독립이므로 $E(X^2Y^2)=E(X^2)E(Y^2)=1\times1=1$이다.
• ㄴ: 독립이면 공분산은 0이다.
• ㄷ: $3X-4Y\sim N(0,\,9+16)=N(0,25)$로 표준편차가 5이다.

표준화하면
$P(-3\le3X-4Y\le5)=P(-0.6\le Z\le1)$
$=P(Z\le1)-P(Z\ge0.6)=0.8413-0.2743=0.5670$

표준오차 기준으로 풀면 $n$의 최솟값은 400이다.

$\overline{X}\sim N\!\left(\mu,\dfrac{4}{n}\right)$이므로
$P(|\overline{X}-\mu|\le0.2)=P\!\left(|Z|\le\dfrac{0.2\sqrt{n}}{2}\right)$

조건 $\dfrac{0.2\sqrt{n}}{2}\ge2$
$\sqrt{n}\ge20$
$n\ge400$

평균제곱오차($MSE$)가 커지면 기울기 신뢰구간의 폭이 넓어진다.

기울기의 신뢰구간은 $\hat{\beta}_1\pm t_{\alpha/2}(n-2)\sqrt{\dfrac{MSE}{S_{xx}}}$이다. 폭은 $2t_{\alpha/2}(n-2)\sqrt{MSE/S_{xx}}$로, $MSE$에 비례해 커진다.

• 기울기 추정값이 커질 때: 추정값은 구간의 중심만 옮길 뿐 폭에는 들어가지 않는다.
• $\alpha$가 커질 때: 신뢰수준이 낮아져 $t_{\alpha/2}$가 작아지므로 폭이 좁아진다.
• 독립변수의 편차제곱합($S_{xx}$)이 커질 때: 분모가 커져 표준오차가 줄어 폭이 좁아진다.

(라)는 유의확률이므로 $X$가 (다) 이상일 확률이어야 하며, (다)보다 작을 확률이라는 설명이 옳지 않다.

분산분석의 $F$검정은 처리 효과가 클수록 $F$값이 커지는 우측검정이다. 따라서 유의확률은 관측된 $F$값 이상이 나올 확률이다.

• 처리 수 3일 때 (가): 처리 자유도는 $3-1=2$로 옳다.
• 자료 수 25, 처리 수 3일 때 (나): 오차 자유도는 $25-3=22$로 옳다.
• (다): $F=\dfrac{MSA}{MSE}$이고 평균제곱 = 제곱합/자유도이므로 SSA×(나)를 SSE×(가)로 나눈 값과 같아 옳다.

제1종 오류를 범할 확률은 0.1, $\mu=\mu_1$에서 제2종 오류를 범할 확률은 0.2이다.

제1종 오류는 귀무가설이 참일 때 기각하는 것이므로 $\gamma(\mu_0)$이고, 그림에서 $\gamma(\mu_0)=0.1$이다.

제2종 오류는 대립가설이 참일 때 귀무가설을 기각하지 못하는 것이므로 $1-\gamma(\mu_1)$이다.
$1-\gamma(\mu_1)=1-0.8=0.2$

• 제1종 0.1, 제2종 0.8인 조합: 0.8은 $\mu_1$에서의 검정력이지 오류 확률이 아니다.
• 제1종 0.2, 제2종 0.1인 조합: 귀무가설 하의 기각확률 0.1과 제2종 오류 0.2를 뒤바꾼 것이다.
• 제1종 0.2, 제2종 0.9인 조합: 제1종 오류는 0.1이고, 0.9는 $\mu_0$에서의 비기각 확률 $1-0.1$이지 대립가설 하의 제2종 오류가 아니다.

$F=10.5\gt F_{0.01}(2,9)=8.02$이므로 유의확률은 $(0,\,0.01)$에 포함된다.

제곱합과 자유도는 다음과 같다.
$SST=180$, $SSE=54$, $SSR=180-54=126$
회귀 자유도 2, 잔차 자유도 $12-2-1=9$

검정통계량
$F=\dfrac{SSR/2}{SSE/9}=\dfrac{63}{6}=10.5$

• $(0.01,\,0.05)$: $F$값이 4.26과 8.02 사이일 때의 구간이다.
• $(0.05,\,0.1)$: $F$값이 3.01과 4.26 사이일 때의 구간이다.
• $(0.1,\,1)$: $F$값이 3.01보다 작을 때의 구간이다.

교호작용의 $p$값 0.215가 0.05보다 크므로 교호작용은 유의수준 5 %에서 유의하지 않다.

자유도는 제곱합/평균제곱으로 구한다. 인자 $A$는 $310.08/310.08=1$, 인자 $B$는 $42/21=2$이므로 수준수는 $a=2$, $b=3$이다. 전체 자료 수가 $11+1=12$이므로 반복수는 $\dfrac{12}{2\times3}=2$이다.

• 인자 $A$의 수준수 3: 자유도가 1이므로 수준수는 2이다.
• 인자 $B$의 자유도 3: $42.00/21.00=2$이다.
• 반복수 4: 수준조합 6개에 자료 12개이므로 반복수는 2이다.

모평균이 구간 (90, 110)에 포함될 확률이 0.95라는 해석이 옳지 않다.

모평균 $\mu$는 고정된 상수이므로 이미 계산된 구간에 포함되거나 포함되지 않거나 둘 중 하나다. 95 %는 같은 방법으로 구간을 반복해 만들 때 그중 약 95 %가 $\mu$를 포함한다는 방법의 신뢰도를 뜻한다.

• 표본평균 100: 신뢰구간의 중심 $\dfrac{90+110}{2}=100$이므로 옳다.
• 오차한계 10: 구간 반폭 $\dfrac{110-90}{2}=10$이므로 옳다.
• 98에 대한 양측검정: 98이 95 % 신뢰구간 안에 있으므로 유의수준 5 %에서 귀무가설을 기각하지 못해 옳다.

$X$, $Y$가 0 또는 1만 가지므로 $X^2=X$, $Y^2=Y$이고, $Cov(X^2,Y^2)=-\dfrac{1}{64}$이다.

주변확률: $P(X=1)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{5}{8}$, $P(Y=1)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{5}{8}$
$E(XY)=P(X=1,Y=1)=\dfrac{3}{8}$

공분산 공식
$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$
$=\dfrac{3}{8}-\dfrac{25}{64}=\dfrac{24}{64}-\dfrac{25}{64}=-\dfrac{1}{64}$