26년 1회차

이상적인 전압원은 내부저항이 0, 이상적인 전류원은 내부저항이 무한대이다.

전압원은 내부저항이 0이어야 부하전류가 변해도 내부 전압강하가 없어 단자전압이 일정하다. 전류원은 내부저항이 무한대여야 내부로 분류되는 전류가 없어 부하에 관계없이 전류가 일정하다.

• 두 전원 모두 내부저항이 0이라는 설명: 전류원의 내부저항이 0이면 전류가 모두 내부로 흘러 전류원 역할을 못 한다.
• 두 전원 모두 내부저항이 무한대라는 설명: 전압원의 내부저항이 무한대이면 전류를 공급할 수 없다.
• 전압원 무한대·전류원 0이라는 설명: 두 전원의 조건이 서로 뒤바뀌었다.

주파수가 3배가 되면 리액턴스 비는 9배가 되어 $\dfrac{X_{L1}}{X_{C1}}=18$이다.

$X_L=\omega L$은 주파수에 비례하고, $X_C=\dfrac{1}{\omega C}$는 주파수에 반비례한다.

$X_{L1}=3X_L,\ X_{C1}=\dfrac{X_C}{3}$
$\dfrac{X_{L1}}{X_{C1}}=9\cdot\dfrac{X_L}{X_C}=9\times 2=18$

• 값 3: 주파수 배수 3만 남기고 원래 비 2와 용량성 리액턴스 감소를 모두 빠뜨린 값이다.
• 값 6: 원래 비 2에 유도성 리액턴스 증가(3배)만 곱하고 용량성 리액턴스 감소를 빠뜨린 값이다.
• 값 9: 원래 리액턴스 비 2를 곱하지 않은 값이다.

마디 해석으로 구하면 30 Ω에 흐르는 전류는 $I=3\,\mathrm{A}$이다.

아래 마디를 기준(0 V)으로 위 마디 전압을 $V$라 하면 KCL은 $\dfrac{40-V}{10}+8=\dfrac{V}{30}$이다.
양변에 30을 곱하면 $120-3V+240=V$, 즉 $V=90\,\mathrm{V}$이다.
따라서 $I=\dfrac{90}{30}=3\,\mathrm{A}$이다.

중첩의 원리로 보아도 전압원 단독 $\dfrac{40}{40}=1\,\mathrm{A}$, 전류원 단독 $8\times\dfrac{10}{40}=2\,\mathrm{A}$로 합이 같다.

• $1\,\mathrm{A}$: 전압원의 기여분만 구하고 8 A 전류원을 빠뜨린 값이다.
• $2\,\mathrm{A}$: 전류원의 기여분만 구하고 40 V 전압원을 빠뜨린 값이다.
• $4\,\mathrm{A}$: 두 기여분의 합 3 A와 맞지 않는다.

원형 루프 중심의 자속밀도는 $B=\dfrac{\mu_0 I}{2a}$이므로 $\dfrac{\mu_0}{2}$이다.

비오-사바르 법칙에서 루프의 모든 전류요소가 중심까지 거리 $a$이고 방향이 수직이라 기여분이 그대로 합해진다.

$B=\dfrac{\mu_0\times 1}{2\times 1}=\dfrac{\mu_0}{2}\ \mathrm{Wb/m^2}$

• $\dfrac{\mu_0}{4}$: 분모를 $4a$로 잡은 값으로, 반원 루프 중심의 자속밀도에 해당한다.
• $\mu_0$, $2\mu_0$: 분모의 2를 빠뜨리거나 곱한 값이다.

무한 직선 도선 주위 자계는 $H=\dfrac{I}{2\pi r}$이므로 $\dfrac{1}{\pi}\ \mathrm{A/m}$이다.

암페어 주회 법칙에서 반지름 $r$인 원 경로를 따라 $H\cdot 2\pi r=I$가 성립한다.

$H=\dfrac{4}{2\pi\times 2}=\dfrac{1}{\pi}\ \mathrm{A/m}$

• $\dfrac{1}{2\pi}$: 전류 또는 거리를 2배로 잘못 대입한 값이다.
• $\pi$, $2\pi$: $\pi$가 분자에 있어 원주 길이 $2\pi r$로 나누는 공식 형태와 맞지 않는다.

부하에서 본 전원 측 임피던스의 켤레복소수가 최대전력 조건이므로 부하는 $2-j2\ \mathrm{\Omega}$이다.

전원 내부 임피던스와 선로가 직렬이므로 부하 단자에서 본 테브난 임피던스는 둘의 합이다.

$Z_{th}=(0.5+j1.5)+(1.5+j0.5)=2+j2\ \mathrm{\Omega}$
$Z_L=Z_{th}^{*}=2-j2\ \mathrm{\Omega}$

• $2-j0.5$: 선로 리액턴스만 상쇄해 전원 내부 리액턴스가 남는다.
• $2+j0.5$, $2+j2$: 리액턴스 부호가 같아 상쇄되지 않고 오히려 전체 리액턴스가 커진다.

저항이 일정할 때 리액턴스가 커지면 임피던스가 커져 전류가 줄므로 유효전력은 감소한다. 따라서 리액턴스 증가로 유효전력이 증가한다는 설명이 옳지 않다.

상당 유효전력은 $P=I^2R=\dfrac{V^2R}{R^2+X^2}$이므로 $X$가 커질수록 작아진다.

• 유효전력은 저항에서 소비되는 전력: 리액턴스는 에너지를 저장·방출할 뿐 평균전력을 소비하지 않으므로 옳다.
• 선간전압이 증가하면 유효전력 증가: 같은 부하에서 $P\propto V^2$이므로 옳다.
• 3상 유효전력은 등가 단상회로의 3배: 평형 3상은 세 상의 전력이 같으므로 옳다.

−3 μC에 작용하는 두 힘의 크기가 같고 사잇각이 120°이므로 합력의 크기는 $\dfrac{6\times10^{-12}}{4\pi\varepsilon_0}\,\mathrm{N}$이다.

쿨롱 법칙 $F=\dfrac{Q_1Q_2}{4\pi\varepsilon_0r^2}$에서 −2 μC와의 힘은 $\dfrac{(2\times10^{-6})(3\times10^{-6})}{4\pi\varepsilon_0\cdot1^2}=\dfrac{6\times10^{-12}}{4\pi\varepsilon_0}$(척력)이고, 2 μC와의 힘도 같은 크기(인력)이다.

척력은 위 꼭짓점에서 멀어지는 방향, 인력은 오른쪽 아래 꼭짓점을 향하는 방향이라 두 힘의 사잇각은 120°이다. 크기가 같은 두 벡터의 사잇각이 120°이면 합력의 크기는 한 힘의 크기와 같다.

• $\dfrac{6\sqrt{3}\times10^{-12}}{4\pi\varepsilon_0}$: 두 힘의 사잇각을 60°로 잘못 잡았을 때의 합력이다.
• $\dfrac{2\times10^{-6}}{4\pi\varepsilon_0}$: 전하의 곱 $\mu\mathrm{C}\times\mu\mathrm{C}=10^{-12}$의 차수를 반영하지 않은 값이다.
• $\dfrac{2\sqrt{3}\times10^{-6}}{4\pi\varepsilon_0}$: 차수와 벡터 합성의 사잇각이 모두 맞지 않는다.

두 유전체가 같은 극판 간격 $d$로 나란히 채워져 있으므로 병렬 연결이고, 합성 정전용량은 $\dfrac{9}{8}\dfrac{\varepsilon_1A_1}{d}$이다.

$C=C_1+C_2=\dfrac{\varepsilon_1A_1}{d}+\dfrac{\varepsilon_2A_2}{d}$이다.
$\varepsilon_1A_1=(4\varepsilon_2)(2A_2)=8\varepsilon_2A_2$이므로 $C=\dfrac{9\varepsilon_2A_2}{d}=\dfrac{9}{8}\dfrac{\varepsilon_1A_1}{d}$이다.

• $9\dfrac{\varepsilon_1A_1}{d}$: $\varepsilon_2A_2$ 기준의 계수 9를 $\varepsilon_1A_1$ 기준에 그대로 붙인 값이다.
• $\dfrac{1}{9}\dfrac{\varepsilon_2A_2}{d}$: 계수의 역수를 취한 값이다.
• $\dfrac{8}{9}\dfrac{\varepsilon_2A_2}{d}$: 두 커패시터를 직렬로 보고 $\dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}$로 계산한 값이다.

한 주기(2 s) 동안 제곱의 평균을 구하면 실횻값은 $\sqrt{2}\,\mathrm{A}$이다.

실횻값은 $I=\sqrt{\dfrac{1}{T}\int_0^T i^2\,dt}$이다.
$\int_0^1(3t)^2dt=3$, $\int_1^2(-1)^2dt=1$
따라서 $I=\sqrt{\dfrac{3+1}{2}}=\sqrt{2}\,\mathrm{A}$이다.

• $1\,\mathrm{A}$: 음의 구간(−1 A)만의 실횻값으로, 상승 구간의 기여를 빠뜨린 값이다.
• $\sqrt{3}\,\mathrm{A}$: 상승 구간(0~1 s)만의 실횻값을 전체 주기 값으로 착각한 것이다.
• $2\,\mathrm{A}$: 주기를 1 s로 잡아 $\sqrt{4}$로 계산한 값이다.

두 코일이 병렬이고 극성 점이 같은 쪽 단자에 있으므로 가동 결합 병렬이며, $L_{eq}=\dfrac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2-2M}$이다.

공통 전압 $v$에 대해 $v=L_1\dfrac{di_1}{dt}+M\dfrac{di_2}{dt}=M\dfrac{di_1}{dt}+L_2\dfrac{di_2}{dt}$이다.
이를 풀면 $\dfrac{di_1}{dt}=\dfrac{(L_2-M)v}{L_1L_2-M^2}$, $\dfrac{di_2}{dt}=\dfrac{(L_1-M)v}{L_1L_2-M^2}$이다.

두 식을 더하면 $\dfrac{di}{dt}=\dfrac{(L_1+L_2-2M)v}{L_1L_2-M^2}$이므로 $L_{eq}=\dfrac{v}{di/dt}$가 위 식이 된다.

• 분모가 $L_1+L_2+2M$이고 분자가 $L_1L_2-M^2$인 식: 극성 점이 반대쪽인 차동 결합 병렬의 결과이다.
• 분자가 $L_1L_2+M^2$이고 분모가 $L_1+L_2-2M$인 식: 연립방정식의 행렬식은 $L_1L_2-M^2$이므로 분자 부호가 틀렸다.
• 분자가 $L_1L_2+M^2$이고 분모가 $L_1+L_2+2M$인 식: 분자와 분모의 부호가 모두 맞지 않는다.

회로가 대칭이어서 4 Ω 양 끝의 전위가 같으므로 4 Ω에는 전류가 흐르지 않고, 등가저항은 $5\,\mathrm{\Omega}$이다.

단자 a에서 왼쪽 위 마디와 가운데 마디까지 각각 8 Ω이고, 두 마디에서 단자 b까지 각각 2 Ω이다. 두 마디는 a·b에 대해 같은 조건이므로 평형 브리지가 되어 그 사이의 4 Ω을 제거할 수 있다.

남는 것은 $8+2=10\,\mathrm{\Omega}$ 경로 두 개의 병렬이므로 $R_{ab}=\dfrac{10}{2}=5\,\mathrm{\Omega}$이다.

• $10\,\mathrm{\Omega}$: 한 경로만 보고 두 경로의 병렬을 반영하지 않은 값이다.
• $1\,\mathrm{\Omega}$: 두 2 Ω의 병렬값만 계산하고 8 Ω 저항들을 빠뜨린 값이다.
• $2\,\mathrm{\Omega}$: 10 Ω 경로 두 개의 병렬이므로 5 Ω보다 작아질 수 없다.

직류 조건에서 $R=2\ \mathrm{\Omega}$, 교류 조건에서 $X_C=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\ \mathrm{\Omega}$이다.

직류 정상상태에서 커패시터는 개방되므로 전류는 저항으로만 흐른다.
$R=\dfrac{10}{5}=2\ \mathrm{\Omega}$

교류에서 저항 전류는 $5\ \mathrm{A}$이고 커패시터 전류와 90° 위상차가 있다.
$15=\sqrt{5^2+I_C^2}\ \Rightarrow\ I_C=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\ \mathrm{A}$
$X_C=\dfrac{10}{10\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\ \mathrm{\Omega}$

• 저항이 $\sqrt{2}$인 조합: 직류전류 $5\ \mathrm{A}$와 맞지 않는다.
• $X_C=\dfrac{1}{2}$인 조합: 커패시터 전류가 $20\ \mathrm{A}$여야 나오는 값으로, 직각 합성 관계에서 구한 $I_C=10\sqrt{2}\ \mathrm{A}$와 맞지 않는다.

독립 전압원을 단락하고 단자에 시험 전원을 걸어 구하면 $R_{\mathrm{Th}}=10\,\mathrm{\Omega}$이다.

단자 a−b에 전압 $v_x$를 걸고 a로 들어가는 전류를 $i$, 가운데 마디 전압을 $v_n$이라 하자. 4 V 전원을 단락하면 2 Ω은 가운데 마디와 b 사이에 놓인다.
가운데 마디 KCL: $i+\dfrac{v_x}{4}=\dfrac{v_n}{2}$, 즉 $v_n=2i+\dfrac{v_x}{2}$

3 Ω에서 $i=\dfrac{v_x-v_n}{3}$이므로 $3i=\dfrac{v_x}{2}-2i$, $5i=\dfrac{v_x}{2}$
따라서 $R_{\mathrm{Th}}=\dfrac{v_x}{i}=10\,\mathrm{\Omega}$이다.

• $5\,\mathrm{\Omega}$: 종속 전류원을 개방으로 보고 $2+3$만 더한 값이다. 종속전원은 제어 변수가 살아 있으므로 제거하면 안 된다.
• $15\,\mathrm{\Omega}$: 위 관계식 $5i=\dfrac{v_x}{2}$에서 나오는 비와 맞지 않는다.
• $20\,\mathrm{\Omega}$: 종속전원 효과로 저항이 커지기는 하지만 두 배인 10 Ω에 그친다.

병렬 RLC 회로의 대역폭은 $BW=\dfrac{1}{RC}\,\mathrm{rad/s}$이므로, 대역폭을 $\dfrac{R}{L}$로 쓴 설명이 옳지 않다.

$\dfrac{R}{L}$은 직렬 RLC 회로의 대역폭이다. 병렬 회로는 선택도 $Q=\omega_0RC$이고 $BW=\dfrac{\omega_0}{Q}=\dfrac{1}{RC}$이다.

• $\omega L>\dfrac{1}{\omega C}$이면 용량성 회로: 옳다. 이때 $\omega C>\dfrac{1}{\omega L}$이어서 커패시터 전류가 인덕터 전류보다 크므로 전체 전류가 전압보다 앞선다.
• 공진주파수 $f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$: 옳다. 서셉턴스 $\omega C-\dfrac{1}{\omega L}=0$에서 얻는다.
• 병렬공진 시 $I_R=I$: 옳다. 공진에서 $I_L+I_C=0$이므로 전원 전류가 모두 저항으로 흐른다.

임피던스 크기가 5 Ω이므로 전류 실횻값은 $I=20\,\mathrm{A}$, 저항의 평균전력은 $P=1200\,\mathrm{W}$이다.

$X_L=\omega L=50\times0.08=4\,\mathrm{\Omega}$, $|Z|=\sqrt{3^2+4^2}=5\,\mathrm{\Omega}$
전원 실횻값 $V=\dfrac{100\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=100\,\mathrm{V}$이므로 $I=\dfrac{100}{5}=20\,\mathrm{A}$

$P=I^2R=20^2\times3=1200\,\mathrm{W}$이다.

• 전류 20 A·전력 2,400 W: 전력 계산에 최댓값 전류 $20\sqrt{2}\,\mathrm{A}$를 대입한 값이다.
• 전류 $20\sqrt{2}\,\mathrm{A}$·전력 1,200 W: 전류를 최댓값으로 적은 것으로, 실횻값은 $\sqrt{2}$로 나눈 값이다.
• 전류 $20\sqrt{2}\,\mathrm{A}$·전력 2,400 W: 전류와 전력을 모두 최댓값 기준으로 계산한 값이다.

두 결선이 같은 무효전력을 공급해야 하므로 $\dfrac{C_\Delta}{C_{\mathrm{Y}}}=\dfrac{1}{3}$이다.

선간전압을 $V_l$이라 하면 Δ결선 커패시터 하나에는 $V_l$이 걸려 $Q_\Delta=3\omega C_\Delta V_l^2$이다.
Y결선 커패시터 하나에는 상전압 $\dfrac{V_l}{\sqrt{3}}$이 걸려 $Q_{\mathrm{Y}}=3\omega C_{\mathrm{Y}}\left(\dfrac{V_l}{\sqrt{3}}\right)^2=\omega C_{\mathrm{Y}}V_l^2$이다.

동일한 역률 개선은 $Q_\Delta=Q_{\mathrm{Y}}$이므로 $3C_\Delta=C_{\mathrm{Y}}$이다. 즉 Δ결선이 같은 효과를 1/3의 용량으로 낸다.

• $3$: 비를 거꾸로($C_{\mathrm{Y}}/C_\Delta$) 구한 값이다.
• $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$: 전압비 $\sqrt{3}$만 반영하고 무효전력이 전압의 제곱에 비례함을 빠뜨린 값이다.
• $\sqrt{3}$: 전압의 제곱 관계를 빠뜨린 데다 비까지 거꾸로 잡은 값이다.

Δ부하를 Y로 변환해 한 상 등가회로로 풀면 Δ 상전류는 $I=55\,\mathrm{A}$이다.

Δ의 1 Ω을 Y로 바꾸면 상당 $\dfrac{1}{3}\,\mathrm{\Omega}$이고, 선로저항 1 Ω과 직렬이므로 상당 임피던스는 $1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}\,\mathrm{\Omega}$이다.

상전압이 $\dfrac{220}{\sqrt{3}}\,\mathrm{V}$이므로 선전류 $I_l=\dfrac{220/\sqrt{3}}{4/3}=55\sqrt{3}\,\mathrm{A}$
Δ결선의 상전류는 선전류의 1/√3이므로 $I=\dfrac{55\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=55\,\mathrm{A}$이다.

• 선로저항 1 Ω을 무시하면 Δ 각 상에 220 V가 그대로 걸려 220 A가 되므로 선로 전압강하를 반드시 넣어야 한다.
• Y 등가회로의 선전류 $55\sqrt{3}\,\mathrm{A}$를 그대로 답하면 Δ 내부 상전류가 아니라 선전류를 구한 것이 된다.

스위치 개방 후 인덕터는 두 4 Ω 저항과 직렬로 방전하므로 $v_L(t)=-16e^{-4t}\,\mathrm{V}$이다.

$t\lt 0$: 스위치가 닫혀 8 V 전원이 위 마디에 직접 걸리고, 정상상태의 인덕터는 단락이므로 $i_L(0^-)=\dfrac{8}{4}=2\,\mathrm{A}$이다. 인덕터 전류는 연속이므로 $i_L(0^+)=2\,\mathrm{A}$이다.

$t\gt 0$: 전원이 분리되어 인덕터와 두 4 Ω의 직렬 루프가 되므로 $R=8\,\mathrm{\Omega}$, 시정수 $\tau=\dfrac{L}{R}=\dfrac{2}{8}=0.25\,\mathrm{s}$이다.
$i_L(t)=2e^{-4t}\,\mathrm{A}$, $v_L=L\dfrac{di_L}{dt}=2\times(-8e^{-4t})=-16e^{-4t}\,\mathrm{V}$이다.

• $-8e^{-4t}$: 감쇠 지수는 맞으나 초기 전압 $-Ri_L(0^+)$에서 저항을 4 Ω 하나만 넣은 값이다.
• $-8e^{-2t}$: 방전 경로 저항을 4 Ω 하나로 보아 시정수와 진폭이 모두 달라진 값이다.
• $-16e^{-2t}$: 진폭은 맞으나 시정수를 0.25 s가 아닌 0.5 s로 잡은 값이다.

$t\lt 0$에는 전압원이 0 V(단락)이고 $t\to\infty$에는 20 V이므로, $v_C(0)=50\,\mathrm{V}$, $v_C(\infty)=60\,\mathrm{V}$이다.

$t=0$: 그 직전 정상상태에서 커패시터는 개방, 전압원은 단락이다. 1 mA가 100 kΩ과 $20+80=100\,\mathrm{k\Omega}$의 병렬(50 kΩ)로 흐르므로 $v_C(0^-)=1\,\mathrm{mA}\times50\,\mathrm{k\Omega}=50\,\mathrm{V}$이고, 커패시터 전압의 연속성으로 $v_C(0)=50\,\mathrm{V}$이다.

$t\to\infty$: 커패시터 마디 KCL $\dfrac{20-v}{100\,\mathrm{k}}+1\,\mathrm{m}=\dfrac{v}{100\,\mathrm{k}}$
양변에 100 k를 곱하면 $20-v+100=v$, 즉 $v_C(\infty)=60\,\mathrm{V}$이다.

• 초깃값 10 V·최종값 50 V: 초깃값에서는 전류원을, 최종값에서는 전압원을 각각 빠뜨린 값이다.
• 초깃값 10 V·최종값 60 V: 초깃값을 전압원 단독 분압 $20\times\dfrac{100}{200}=10\,\mathrm{V}$로 잡았으나, $t\lt 0$에서 전압원은 0 V이고 전류원만 작용한다.
• 초깃값 50 V·최종값 50 V: 최종값에서 전압원의 기여 10 V를 빠뜨린 값이다.