26년 1회차

저장 자기에너지는 9 J이다.

인덕터 에너지 공식은 $W=\dfrac{1}{2}LI^2$이다.
대입하면 $W=\dfrac{1}{2}\times 2\times 3^2=9\,\mathrm{J}$이다.

• 3 J은 전류값만 취한 것으로, 에너지가 인덕턴스와 전류 제곱에 비례한다는 관계를 반영하지 않았다.
• 6 J은 $LI$로 계산해 전류를 제곱하지 않은 값이다.
• 12 J은 공식 $\dfrac{1}{2}LI^2$에 값을 넣어 나오지 않는 값으로, 계산 결과보다 크다.

1차에서 본 임피던스는 100 Ω이다.

이상 변압기는 권수비 $a=\dfrac{N_1}{N_2}=\dfrac{100}{200}=\dfrac{1}{2}$이고, 임피던스는 권수비의 제곱으로 변환된다.
$Z_1=a^2Z_2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\times 400=100\,\mathrm{\Omega}$

• 200 Ω은 권수비를 제곱하지 않고 한 번만 곱한 값이다.
• 300 Ω은 권수비 관계로 나올 수 없는 값이다.
• 600 Ω은 부하보다 큰 값인데, 권수가 적은 1차에서 보면 임피던스는 부하보다 작아진다.

자기저항은 투자율·단면적에 반비례하고 길이에 비례한다.

자기저항은 $R_m=\dfrac{l}{\mu S}$로, 전기저항 $R=\dfrac{l}{\sigma S}$와 같은 꼴이다. 자로가 길수록 커지고, 투자율이 크거나 단면적이 넓을수록 작아진다.

• 투자율에 비례한다고 한 조합은 분모에 있는 투자율을 분자로 본 것이다.
• 단면적에 비례한다고 한 조합은 넓은 자로일수록 자속이 잘 통한다는 점과 반대이다.
• 길이에 반비례한다고 한 조합은 자로가 길수록 저항이 커지는 관계와 반대이다.

전류의 방향을 반대로 흘리는 것은 자계의 방향만 바꿀 뿐 크기를 키우지 못하므로 옳지 않은 방법이다.

토로이드 내부 자계의 세기는 앙페르 법칙으로 구한다.
$H=\dfrac{NI}{2\pi r}\ \mathrm{[AT/m]}$
즉 자계는 권선수와 전류에 비례하고 반지름에 반비례한다.

• 전류를 증가시키면 $NI$가 커지므로 자계가 증가한다.
• 반지름을 작게 하면 분모 $2\pi r$가 작아지므로 자계가 증가한다.
• 코일 권선수를 많게 하면 $NI$가 커지므로 자계가 증가한다.

결합계수는 0.7이다.

결합계수 정의는 $k=\dfrac{M}{\sqrt{L_1L_2}}$이다.
$\sqrt{L_1L_2}=\sqrt{4\times 9}=6\,\mathrm{mH}$
$k=\dfrac{4.2}{6}=0.7$

• 0.3·0.5는 기하평균 6 mH로 나누는 정의를 따르지 않은 값이다.
• 0.9는 정의식 계산 결과보다 커서 결합이 실제보다 강한 것으로 본 값이다.

서셉턴스는 −0.04 S이다.

어드미턴스 $Y=\dfrac{1}{Z}=G+jB$에서 허수부가 서셉턴스이다.
$Y=\dfrac{1}{10+j5}=\dfrac{10-j5}{10^2+5^2}=\dfrac{10-j5}{125}$
$Y=0.08-j0.04\,\mathrm{S}$

• +0.04는 크기는 맞지만 유도성 임피던스의 역수에서 허수부가 음(−)으로 바뀌는 점을 빠뜨린 값이다.
• −0.2와 0.2는 리액턴스 5 Ω의 역수 $\dfrac{1}{5}$만 취한 값으로, 저항분을 무시해 틀렸다.

옳지 않은 것은 전압원+직렬저항을 전류원+병렬저항으로 바꿀 수 없다는 설명이다.

전원 변환에 의해 전압원 $V$와 직렬저항 $R$은 전류원 $\dfrac{V}{R}$와 병렬저항 $R$로 등가 대체할 수 있다.

• 평형 3상 회로의 Y결선과 Δ결선은 상호 변환이 가능하므로 옳다.
• 중첩의 원리는 여러 전원이 있는 선형회로에 적용되므로 옳다.
• 선형회로는 테브난 또는 노턴 등가회로로 변환할 수 있으므로 옳다.

등가 Y결선 상임피던스는 5+j1 Ω이다.

평형 부하에서 $Z_Y=\dfrac{Z_\Delta}{3}$이다.
$Z_Y=\dfrac{15+j3}{3}=5+j1\,\mathrm{\Omega}$

• 45+j9는 3으로 나누지 않고 곱한 값으로, Y→Δ 변환 방향이다.
• 실수부·허수부를 모두 $\sqrt{3}$으로 나눈 값은 전압·전류의 $\sqrt{3}$ 관계를 임피던스에 잘못 적용한 것이다.
• $\sqrt{3}$을 곱한 값 역시 임피던스 변환 비율 3과 맞지 않는다.

고장 후/고장 전 출력비는 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$(약 0.577)이다.

변압기 1대 용량을 $P$라 하면 Δ−Δ 출력은 $3P$, V−V 출력은 $\sqrt{3}P$이다.
$\dfrac{\sqrt{3}P}{3P}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

• $\dfrac{2}{3}$는 남은 대수 비율만 본 값으로, V결선의 출력 감소를 반영하지 않았다.
• $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$는 V결선의 이용률(설비 2대 대비 출력)이다.
• $\dfrac{1}{2}$은 두 결선의 출력 관계로 나오지 않는 값이다.

푸리에 급수 성분이 아닌 것은 삼각파이다.

비정현 주기파는 직류분 + 기본파 + 고조파(정현파들의 합)로 전개된다. 삼각파는 오히려 이렇게 분해되는 대상인 비정현파이다.

• 직류는 평균값에 해당하는 상수항으로 구성 성분이다.
• 기본파는 원래 주기와 같은 주파수의 정현파 성분이다.
• 고조파는 기본파의 정수배 주파수 정현파 성분이다.

루프 전류를 구하면 $V_o=40\ \mathrm{V}$, $V_x=-20\ \mathrm{V}$이다.

시계 방향 전류를 $i$라 하면 표시된 극성에 따라 $V_o=10\,\mathrm{k\Omega}\cdot i$, $V_x=-5\,\mathrm{k\Omega}\cdot i$이다(전류가 $V_x$의 − 단자에서 + 단자 쪽으로 흐름).

KVL을 세우면
$20=V_o+2V_x-V_x=V_o+V_x$
$20=10i-5i=5i\ (\mathrm{k\Omega})$이므로 $i=4\ \mathrm{mA}$

따라서 $V_o=10\times4=40\ \mathrm{V}$, $V_x=-5\times4=-20\ \mathrm{V}$이다. 종속전원 전압은 $2V_x=-40\ \mathrm{V}$로 부호가 음이라는 점에 유의한다.

부하 전류는 $I_L=2\ \mathrm{A}$, 소비 전력은 $P_L=12\ \mathrm{W}$이다.

오른쪽 가지 저항은 $9+3=12\ \mathrm{\Omega}$이고, 이것이 $12\ \mathrm{\Omega}$과 병렬이므로 $12\parallel12=6\ \mathrm{\Omega}$이다.
전체 저항 $R=6+6=12\ \mathrm{\Omega}$, 전원 전류 $I=\dfrac{48}{12}=4\ \mathrm{A}$

두 병렬 가지의 저항이 같으므로 전류가 반씩 나뉘어 $I_L=2\ \mathrm{A}$이다.
$P_L=I_L^2R_L=2^2\times3=12\ \mathrm{W}$

옳은 것은 $\mu_r=\dfrac{\mu}{\mu_0}$라는 설명이다.

비투자율은 자성체 투자율을 진공 투자율로 나눈 재료 고유의 상수로, 외부 자계·자속밀도·기자력에 따라 정의되지 않는다.

• 자계의 세기에 비례한다는 설명은 물질 상수를 외부 조건의 함수로 본 것이다.
• 자속밀도에 반비례한다는 설명은 $B=\mu H$에서 오히려 $B$가 투자율에 비례하는 관계와 어긋난다.
• 기자력에 비례한다는 설명도 회로 조건으로 재료 상수를 정의할 수 없어 틀렸다.

점전하가 받는 힘은 $\dfrac{4}{3\pi\varepsilon_0}$이다.

무한 직선전하의 전계는 가우스 법칙으로 $E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$이다.
$E=\dfrac{4}{2\pi\varepsilon_0\times 3}=\dfrac{2}{3\pi\varepsilon_0}$
$F=qE=2\times\dfrac{2}{3\pi\varepsilon_0}=\dfrac{4}{3\pi\varepsilon_0}$

• $\dfrac{2}{3\pi\varepsilon_0}$는 전계만 구하고 전하량 2 C를 곱하지 않은 값이다.
• $\dfrac{1}{9\pi\varepsilon_0}$와 $\dfrac{2}{9\pi\varepsilon_0}$는 거리를 제곱으로 다루는 등 점전하식처럼 계산한 경우의 값으로, 직선전하 전계는 거리에 1차로 반비례한다.

각 소자 전류는 저항 3배, 인덕터 1배(변화 없음), 커패시터 9배가 된다.

병렬회로이므로 세 소자 모두 전원 전압 $V$가 걸리며, 전류는 각 소자의 임피던스로 정해진다.
$I_R=\dfrac{V}{R},\quad I_L=\dfrac{V}{\omega L},\quad I_C=\omega CV$

• 저항은 주파수와 무관하므로 전압 3배에 따라 $I_R$도 3배이다.
• 유도 리액턴스 $\omega L$이 3배가 되므로 $I_L=\dfrac{3V}{3\omega L}$로 1배이다.
• 용량 서셉턴스 $\omega C$가 3배이고 전압도 3배이므로 $I_C$는 9배이다.

상호인덕턴스는 $M\le\sqrt{L_1L_2}$를 만족하므로, $M$이 $\sqrt{L_1L_2}$보다 크다는 설명은 옳지 않다.

결합계수 $k=\dfrac{M}{\sqrt{L_1L_2}}$는 $0\le k\le1$의 범위를 가지므로 $M$은 $\sqrt{L_1L_2}$를 넘을 수 없다.

그림에서 $i_1$과 $i_2$가 모두 점 표시 단자로 유입되므로 두 코일의 자속이 서로 더해져 상호 유도 항의 부호가 +가 된다.

• 1차 전압 $v_1=L_1\dfrac{di_1}{dt}+M\dfrac{di_2}{dt}$는 가동 결합이므로 성립한다.
• 2차 전압 $v_2=M\dfrac{di_1}{dt}+L_2\dfrac{di_2}{dt}$도 같은 이유로 성립한다.
• 쇄교자속 $\lambda_1=L_1i_1+Mi_2$, $\lambda_2=Mi_1+L_2i_2$는 자기·상호 자속의 합으로 성립하며, 이를 미분한 것이 위의 전압식이다.

주어진 조건에서 인덕턴스는 $L=3\ \mathrm{H}$이므로, 4 H라는 설명이 옳지 않다.

RL 직렬회로의 스위치 투입 전류는 다음과 같다.
$i(t)=\dfrac{E}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right),\quad \tau=\dfrac{L}{R}$

$i(4)=2(1-e^{-2})$와 비교하면 $\dfrac{3}{R}=2$, $\dfrac{4}{\tau}=2$이다.
$R=1.5\ \mathrm{\Omega},\quad \tau=2\ \mathrm{s},\quad L=\tau R=2\times1.5=3\ \mathrm{H}$

• 저항이 1.5 Ω이라는 설명은 최종값 $3/R=2$에서 성립한다.
• 시정수가 2 s라는 설명은 지수 $4/\tau=2$에서 성립한다.
• 인덕터 전류가 순간적으로 변할 수 없다는 것은 인덕터 전류의 연속성으로 옳은 설명이다.

초마디 해석으로 구하면 $V_o=14\ \mathrm{V}$이다.

아래 도선을 기준으로 하면 가운데 마디 전압은 $12\ \mathrm{V}$이다. 왼쪽 마디 $V_o$와 오른쪽 마디 $V_r$ 사이에 6 V 전원이 있어 $V_r=V_o-6$이므로 두 마디를 초마디로 묶는다.

초마디에서 나가는 전류의 합 = 전류원 유입 전류(단위 $\mathrm{k\Omega}$, $\mathrm{mA}$)
$\dfrac{V_o}{2}+\dfrac{V_o-12}{2}+\dfrac{(V_o-6)-12}{2}=6$
$3V_o-30=12$이므로 $V_o=14\ \mathrm{V}$

필요한 커패시터 용량은 42 kVAR이다.

개선 전: $P=120\times 0.6=72\,\mathrm{kW}$, $Q_1=120\times 0.8=96\,\mathrm{kVAR}$
개선 후(유효전력 일정): $Q_2=P\tan\theta_2=72\times\dfrac{0.6}{0.8}=54\,\mathrm{kVAR}$
$Q_C=Q_1-Q_2=96-54=42\,\mathrm{kVAR}$

• 48 kVAR은 개선 전 무효전력의 절반으로, 개선 후 무효전력을 구해 빼는 과정이 없다.
• 70 kVAR은 무효전력 차이 관계로 나오지 않는 값이다.
• 96 kVAR은 개선 전 무효전력 전체로, 역률 1로 만들 때의 용량이다.

커패시터가 10 Ω으로 방전하므로 $i(t)=2e^{-t}\ \mathrm{A}$이다.

스위치가 A에 오래 있었으므로 커패시터는 개방 상태이며, 10 Ω 양단 전압으로 충전되어 있다.
$v_C(0^-)=32\times\dfrac{10}{6+10}=20\ \mathrm{V}$

B로 옮기면 커패시터 전압이 연속이므로 $v_C(0^+)=20\ \mathrm{V}$이고, 오른쪽 10 Ω만으로 방전한다.
$\tau=RC=10\times0.1=1\ \mathrm{s}$
$i(t)=\dfrac{20}{10}e^{-t/1}=2e^{-t}\ \mathrm{A}$

초깃값은 방전 직전 충전 전압, 감쇠 속도는 방전 경로의 시정수로 결정된다.