13년 1회차

후크의 법칙은 비례한도 이내에서 응력과 변형률이 비례한다는 법칙이다.

비례상수가 탄성계수이며 $\sigma = E\varepsilon$ 로 쓴다. 변형량으로 바꾸면 $\delta = \dfrac{PL}{AE}$ 이다.

• 탄성계수가 모든 재료에서 같다는 설명: 탄성계수는 재료마다 고유한 값이므로 틀리다.
• 변형량과 단면적이 비례한다는 설명: 변형량은 단면적에 반비례하므로 틀리다.
• 변형량과 탄성계수가 비례한다는 설명: 변형량은 탄성계수에 반비례하므로 틀리다.

던커레이 공식은 위험속도 제곱의 역수를 더하는 식, 즉 $\dfrac{1}{N_c^2}=\dfrac{1}{N_0^2}+\dfrac{1}{N_1^2}+\dfrac{1}{N_2^2}$ 이다.

위험속도의 제곱은 계의 강성/질량에 비례하므로, 여러 질량이 함께 있을 때는 각 질량이 단독일 때의 역수 제곱을 합산해 전체 위험속도를 근사한다. 따라서 합성 위험속도는 어느 단독 위험속도보다도 낮아진다.

• 위험속도를 단순히 더하는 식: 합성 위험속도가 단독값보다 커지므로 물리적으로 맞지 않는다.
• 위험속도의 제곱을 더하는 식: 역시 합성값이 커지는 방향이라 던커레이 식이 아니다.
• 위험속도의 역수(1제곱)를 더하는 식: 제곱이 빠져 있어 던커레이 식과 다르다.

유체를 한 방향으로만 흐르게 하고 역류를 막는 밸브는 체크 밸브이다.

체크 밸브는 유체 압력으로 열리고, 흐름이 반대로 되면 밸브체가 자중이나 역압으로 닫혀 역류를 방지한다.

• 슬루스 밸브: 게이트를 유로에 수직으로 올리고 내려 개폐하는 밸브로, 완전 개방 시 유동 저항이 작다.
• 스톱 밸브: 밸브 디스크가 밸브 시트에 수직으로 움직여 유량을 개폐·조절하는 밸브이다.
• 안전 밸브: 압력이 설정값을 넘으면 자동으로 열려 압력을 방출하는 밸브이다.

훅 조인트라 불리며 교차하는 두 축을 잇는 커플링은 유니버설 커플링이다.

유니버설 커플링은 두 축의 중심선이 같은 평면에서 일정 각도(대략 30° 이내)로 교차할 때 동력을 전달하며, 자동차 추진축·공작 기계·압연 롤러 전동축에 쓰인다.

• 올덤 커플링: 두 축이 평행하고 중심선이 약간 어긋난 경우에 쓰며 교차축용이 아니다.
• 슬리브 커플링: 동일 직선상의 두 축을 원통(슬리브)으로 잇는 고정 커플링이다.
• 플랜지 커플링: 동일 직선상의 두 축 끝 플랜지를 볼트로 체결하는 고정 커플링이다.

판효율 식에서 피치는 50 mm이다.

리벳 이음의 판효율은 구멍으로 줄어든 판 단면의 비율이다.
$\eta_t = \dfrac{p-d}{p}$

값을 대입한다.
$0.6 = \dfrac{p-20}{p}$
$0.4p = 20$
$p = 50\,\mathrm{mm}$

판효율 조건만으로 피치가 정해지므로 하중·판 두께·줄 수는 이 계산에 쓰이지 않는다. 피치를 판효율 정의에서 바로 구하는 것이 핵심이다.

필릿 용접부의 최대 전단응력은 $\tau=\sqrt{2}\,\dfrac{P}{HL}$ 이다.

다리 길이가 $H$ 인 필릿 용접의 파단면은 목두께 $t=H\cos 45^\circ=\dfrac{H}{\sqrt{2}}$ 인 면이다.
전단면적 $A=tL=\dfrac{HL}{\sqrt{2}}$ 이므로 $\tau=\dfrac{P}{A}=\dfrac{\sqrt{2}P}{HL}$ 이다.

• 목두께 대신 다리 길이 H 로 면적을 잡은 값은 $\dfrac{P}{HL}$ 로, 응력을 과소평가한다.
• $2\dfrac{P}{HL}$: 목두께를 $\dfrac{H}{2}$ 로 잘못 잡아 전단면적을 과소평가한 값이다.
• $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\dfrac{P}{HL}$: 목두께 $\dfrac{H}{\sqrt{2}}$ 로는 나오지 않는 계수이다.

인장측 장력은 150 kgf이다.

유효장력은 인장측과 이완측 장력의 차이다.
$T_e = T_t - T_s$

인장측이 이완측의 3배이므로 대입한다.
$T_t = 3T_s \;\Rightarrow\; T_e = 2T_s = 100$
$T_s = 50\,\mathrm{kgf}$

따라서 $T_t = 3 \times 50 = 150\,\mathrm{kgf}$ 이다. 이완측 장력 값을 답으로 고르지 않도록 인장측을 구하는 점에 주의한다.

제동 토크는 $18\,000\,\mathrm{N\cdot mm}$ 이다.

드럼이 우회전하면 블록 접촉면에서 마찰력 $\mu N$ 이 위쪽으로 작용한다. 레버 하단 힌지에 대한 모멘트 평형은 다음과 같다.
$F l_1=N l_2+\mu N l_3$

$N=\dfrac{F l_1}{l_2+\mu l_3}=\dfrac{200\times 500}{190+0.2\times 50}=500\,\mathrm{N}$
$T=\mu N\dfrac{D}{2}=0.2\times 500\times 180=18\,000\,\mathrm{N\cdot mm}$

• $20\,000$: 마찰력 방향을 반대로(좌회전) 잡아 $N=\dfrac{F l_1}{l_2-\mu l_3}$ 로 계산한 값이다.
• $9\,000$: 토크 팔 길이를 반지름 180 mm 가 아닌 그 절반(90 mm)으로 잡은 값이다.
• $10\,000$: 위 모멘트 평형식과 토크 식으로는 나오지 않는 값이다.

허용 비틀림 모멘트는 8.5T가 된다.

중공축의 비틀림 모멘트는 극단면계수에 비례한다.
$T = \tau \dfrac{\pi (d_2^4 - d_1^4)}{16 d_2}$

내경 $d_1$ 을 고정하고 외경을 $2d_1$, $4d_1$ 로 하면 다음과 같다.
$\dfrac{d_2^4 - d_1^4}{d_2} = \dfrac{16-1}{2}d_1^3 = 7.5\,d_1^3$
$\dfrac{d_2^4 - d_1^4}{d_2} = \dfrac{256-1}{4}d_1^3 = 63.75\,d_1^3$

허용응력이 같으므로 비를 취한다.
$\dfrac{63.75}{7.5} = 8.5$ 이므로 8.5T이다.

처짐량은 0.5배가 된다.

원통형 코일스프링의 처짐은 다음과 같다.
$\delta = \dfrac{8PD^3 n}{G d^4}$

평균지름 $D$ 와 소선 지름 $d$ 를 모두 2배로 하면 대입한다.
$\dfrac{2^3}{2^4} = \dfrac{8}{16} = 0.5$

처짐은 평균지름의 세제곱에 비례하고 소선 지름의 네제곱에 반비례하므로 처짐이 절반으로 줄어든다.

볼트의 최소 바깥지름은 $d=\sqrt{\dfrac{2W}{\sigma_a}}$ 이다.

축방향 인장하중은 골지름 단면이 받으므로 $W=\sigma_a\dfrac{\pi d_1^2}{4}$ 이다.
$d_1=0.8d$ 를 대입하면 $W=\sigma_a\dfrac{\pi(0.64d^2)}{4}\approx 0.5\,\sigma_a d^2$ 이다.
따라서 $d\approx\sqrt{\dfrac{2W}{\sigma_a}}$ 이다.

• $\sqrt{\dfrac{W}{2\sigma_a}}$: 계수가 역수로 뒤집혀 지름을 과소평가한다.
• $\sqrt{\dfrac{3W}{\sigma_a}}$: 계수 0.5 에서 나오지 않는 값이다.
• $2\sqrt{\dfrac{W}{\sigma_a}}$: 근호 안 계수로 보면 4 에 해당해 과대평가이다.

M 30 × 3 은 바깥지름 30 mm, 피치 3 mm 인 미터 가는 나사이다.

미터나사 호칭의 M 뒤 숫자는 바깥지름(호칭지름)이다. 미터 보통 나사는 지름마다 피치가 하나로 정해져 피치를 생략하고, 미터 가는 나사는 피치를 「× 피치」로 덧붙여 표시한다.

• 보통 나사·유효지름·산수로 본 설명: 호칭 숫자는 유효지름이 아니고, 뒤의 숫자는 산수가 아니라 피치이다.
• 가는 나사·바깥지름·산수로 본 설명: 뒤의 숫자는 산수가 아니라 피치이다.
• 보통 나사·유효지름·피치로 본 설명: 피치를 따로 표시했으므로 가는 나사이고, 호칭 숫자는 바깥지름이다.

나사면의 마찰력은 $\dfrac{\mu Q}{\cos\beta}$ 이다.

삼각나사는 나사면이 축방향에 대해 반각 $\beta$ 만큼 기울어 있어, 축방향 하중 $Q$ 를 받칠 때 나사면에 수직한 힘이 커진다.
$N = \dfrac{Q}{\cos\beta}$

마찰력은 수직력에 마찰계수를 곱한 값이다.
$F = \mu N = \dfrac{\mu}{\cos\beta}Q = \mu' Q$

여기서 $\mu' = \dfrac{\mu}{\cos\beta}$ 를 상당 마찰계수라 하며, 삼각나사가 사각나사보다 마찰이 커서 체결용에 쓰이는 이유가 된다.

작은 기어와 큰 기어의 이끝원 지름은 각각 128 mm, 488 mm 이다.

중심거리 $C=\dfrac{m(z_1+z_2)}{2}$ 에서 $300=\dfrac{m(30+120)}{2}$ 이므로 모듈 $m=4$ 이다.
표준 기어 이끝원 지름 $D_o=m(z+2)$: $4\times 32=128\,\mathrm{mm}$, $4\times 122=488\,\mathrm{mm}$

• 120, 480: 피치원 지름 $mz$ 로, 이끝 높이를 더하지 않은 값이다.
• 128, 480: 작은 기어에만 이끝 높이 $2m$ 를 더하고 큰 기어는 피치원 지름을 쓴 값이다.
• 120, 488: 큰 기어에만 이끝 높이 $2m$ 를 더하고 작은 기어는 피치원 지름을 쓴 값이다.

축방향 응력은 원주방향 응력의 0.5배이다.

얇은 원통의 두 응력은 다음과 같다.
$\sigma_\theta = \dfrac{pr}{t}$
$\sigma_z = \dfrac{pr}{2t}$

비를 취하면 $\dfrac{\sigma_z}{\sigma_\theta} = \dfrac{1}{2}$ 이다. 원주방향 응력이 2배 크므로 원통 용기는 축방향으로 갈라지는 파손이 먼저 일어난다.

체인의 평균 속도는 2 m/s이다.

체인 속도는 피치·잇수·회전수로 구한다.
$v = \dfrac{pzN}{60\,000}$

값을 대입한다.
$v = \dfrac{24 \times 25 \times 200}{60\,000}$
$v = \dfrac{120\,000}{60\,000} = 2\,\mathrm{m/s}$

체인의 전체 링크 수는 속도와 무관하며 체인 길이 계산에만 쓰인다.

키의 전단응력은 0.1 $kgf/mm^{2}$이다.

동력 $H\,[\mathrm{kW}]$ 로부터 공학단위 토크를 구한다.
$T = 974\,000\dfrac{H}{N}\,\mathrm{kgf\cdot mm}$
$T = 974\,000 \times \dfrac{2}{487} = 4\,000\,\mathrm{kgf\cdot mm}$

축 표면에서 키에 걸리는 접선력을 구한다.
$W = \dfrac{2T}{d} = \dfrac{2 \times 4\,000}{100} = 80\,\mathrm{kgf}$

전단 면적은 키의 폭 × 길이이다.
$\tau = \dfrac{W}{bl} = \dfrac{80}{10 \times 80} = 0.1\,\mathrm{kgf/mm^2}$

종동차 C 의 회전수는 350 rpm 이다.

중간차 B 는 회전 방향만 바꾸는 아이들러여서 속도비에 영향이 없다. 미끄럼이 없으면 접촉점 원주속도가 모두 같으므로 $N_A D_A=N_C D_C$ 이다.
$N_C=\dfrac{700\times 120}{240}=350\,\mathrm{rpm}$

• 270: 원주속도가 같다는 조건으로는 나오지 않는 값이다.
• 700: 원동차와 같은 회전수로, 지름비를 반영하지 않았다.
• 1,400: 지름비를 거꾸로 적용해 증속으로 계산한 값이다.

기본 동정격하중은 600 kgf이다.

볼베어링의 수명식은 다음과 같다.
$L = \left(\dfrac{C}{P}\right)^3 \times 10^6\,\mathrm{rev}$

요구 수명을 회전수로 바꾼다.
$L = 60 \times 450 \times 1\,000 = 27 \times 10^6\,\mathrm{rev}$

대입해 정격하중을 구한다.
$\left(\dfrac{C}{P}\right)^3 = 27 \;\Rightarrow\; \dfrac{C}{P} = 3$
$C = 3 \times 1 \times 200 = 600\,\mathrm{kgf}$ 이며, 볼베어링의 수명지수 3을 쓰는 것이 핵심이다.

헬리컬기어의 상당 평기어 잇수는 $\dfrac{Z}{\cos^3\beta}$ 이다.

헬리컬기어를 치직각 단면으로 자르면 피치원이 타원이 되며, 그 이 끝부분의 곡률반지름으로 만든 가상의 평기어가 상당 평기어이다.

타원의 곡률반지름은 $\dfrac{R}{\cos^2\beta}$ 이고 치직각 모듈은 $m_n = m_s\cos\beta$ 이므로, 상당 잇수는 나선각의 코사인 세제곱으로 나눈 값이 된다.
$Z_e = \dfrac{Z}{\cos^3\beta}$