09년 1회차

지점 A의 휨모멘트 크기는 2 kN·m이다.

A에 대한 모멘트를 반시계 방향 +로 합한다. 경사 하중 20 kN은 4:3 비율이므로 수평성분 16 kN, 수직성분 12 kN이며 수직성분은 기둥 축선을 지나 모멘트가 없다.

높이 4 m의 좌향 10 kN: $+10\times4=+40\ \mathrm{kN\cdot m}$
높이 2 m의 우향 수평성분 16 kN: $-16\times2=-32\ \mathrm{kN\cdot m}$
상단의 시계방향 우력: $-10\ \mathrm{kN\cdot m}$

합계는 $40-32-10=-2\ \mathrm{kN\cdot m}$이므로 고정단 모멘트의 크기는 2이다.

• 4는 세 모멘트의 합 −2와 크기가 다르다.
• 8은 상단 우력을 빠뜨린 값이다.
• 10은 상단 우력 하나의 크기일 뿐, 두 집중하중의 모멘트가 빠졌다.

옳지 않은 것은 단면 1차 모멘트가 도심축에 대하여 최대라는 설명이다.

도심은 단면 1차 모멘트가 0이 되는 점으로 정의된다. 따라서 도심을 지나는 축에 대한 단면 1차 모멘트는 항상 0이며, 최대가 아니다.

• 단면 1차 모멘트 $Q_x=\sum a_i y_i,\ Q_y=\sum a_i x_i$는 면적×거리의 합이므로 단위가 $\mathrm{mm^3},\ \mathrm{m^3}$이다 — 옳은 설명.
• 단면 2차 모멘트 $I_x=\sum a_i y_i^2,\ I_y=\sum a_i x_i^2$는 거리를 제곱하므로 항상 양수이고 단위는 $\mathrm{mm^4},\ \mathrm{m^4}$이다 — 옳은 설명.
• 단면계수 $Z=\dfrac{I}{y_{max}}$는 도심축 단면 2차 모멘트를 연단거리로 나눈 값으로 단위가 $\mathrm{mm^3},\ \mathrm{m^3}$이다 — 옳은 설명.

평형에 필요한 모멘트는 6√3 kN·m (반시계방향)이다.

세 힘은 크기가 1로 같고 서로 120°씩 방향이 달라 합력이 0이다. 따라서 구조체에는 우력만 남고, 이를 상쇄하는 모멘트가 필요하다.

좌하단 꼭짓점을 원점으로 하면 꼭짓점 좌표는 우하단 (6, 0), 상단 $(3,\ 3\sqrt{3})$이다(반시계 +).
상단의 수평 우향 힘: $-3\sqrt{3}\times1=-3\sqrt{3}$
우하단의 좌하향 힘(수직성분 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$): $-6\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-3\sqrt{3}$
좌하단의 힘은 원점을 지나 0

합은 $-6\sqrt{3}\ \mathrm{kN\cdot m}$(시계방향)이므로 같은 크기의 반시계방향 모멘트를 가해야 한다.

• 3(시계방향)은 크기와 방향이 모두 맞지 않는다.
• 4√3(반시계방향)은 방향은 맞지만 크기가 6√3에 못 미친다.
• 6(반시계방향)은 방향은 맞지만 팔 길이에 들어가는 $\sqrt{3}$가 빠진 크기다.

옳지 않은 것은 3차원 공간에서 한 물체의 평형조건이 4개라는 설명이다.

3차원 강체는 세 방향 힘의 합과 세 축에 대한 모멘트의 합이 모두 0이어야 하므로 평형조건은 6개이다.

$\sum F_x=\sum F_y=\sum F_z=0,\quad \sum M_x=\sum M_y=\sum M_z=0$

• 2차원 평면의 한 점(공점력계): 모멘트 조건이 자동 만족되어 $\sum F_x=\sum F_y=0$의 2개 — 옳은 설명.
• 3차원 공간의 한 점: 힘의 합 조건 $\sum F_x=\sum F_y=\sum F_z=0$의 3개 — 옳은 설명.
• 2차원 평면의 한 물체: $\sum F_x=\sum F_y=\sum M=0$의 3개 — 옳은 설명.

강봉의 탄성계수는 2.0×$10^{5}$ MPa이다.

축하중 신장량 공식 $\delta=\dfrac{PL}{EA}$을 E에 대해 정리한다.

$E=\dfrac{PL}{A\delta}=\dfrac{60000\times200}{(20\times20)\times0.15}$
$=\dfrac{12000000}{60}=200000\ \mathrm{MPa}$

• 2.0×$10^{4}$ 는 계산값보다 10배 작다.
• 8.0×$10^{5}$ 는 단면적 400 mm²를 바르게 넣으면 나오지 않는 값이다.
• 8.0×$10^{4}$ 도 같은 대입에서 나오지 않으며, 강재 탄성계수 수준(약 2×$10^{5}$ MPa)과도 맞지 않는다.

옳지 않은 것은 부재 강성이 달라지면 반력이 달라진다는 설명이다.

외적 정정 구조물은 미지 반력 수와 평형 방정식 수가 같아 평형 방정식만으로 반력이 결정된다. 따라서 반력은 하중과 기하 형상에만 의존하고 부재 강성과는 무관하다.

• 미지 반력의 개수와 평형 방정식의 개수가 같다는 것은 외적 정정의 정의 그대로다 — 옳은 설명.
• 온도 변화가 있어도 구조물이 자유롭게 변형할 수 있어 추가 반력이 생기지 않는다 — 옳은 설명.
• 제작오차가 있어도 여분 구속이 없어 강제 변형이 생기지 않으므로 추가 반력이 없다 — 옳은 설명.

BC부재에 응력이 생기지 않으려면 4T만큼 온도를 낮춰야 한다.

두 봉은 양단 고정 사이에 직렬로 놓여 같은 축력을 받는다. BC에 응력이 없으려면 축력이 0이어야 하고, 그러면 전체 길이 변화가 0이어야 한다.

AB의 열팽창: $2\alpha\times2l\times T=4\alpha lT$
BC의 열변형: $\alpha\times l\times\Delta T$
$4\alpha lT+\alpha l\Delta T=0\ \Rightarrow\ \Delta T=-4T$

• 2T 하강이면 BC 수축량이 $2\alpha lT$로 AB 팽창량 $4\alpha lT$의 절반밖에 상쇄하지 못한다.
• 2T 상승과 4T 상승은 BC가 늘어나야 한다고 본 것으로, 이미 AB가 늘어나 BC는 줄어들어야 한다.

지점 C의 수직반력이 0이 되려면 W/P = 1/3이어야 한다.

먼저 내부 힌지 D의 오른쪽 부분 DEF를 떼어 본다. D에 대한 모멘트 평형에서 $R_E\times l=W\times2l$이므로 $R_E=2W$이고, 수직 평형에서 D의 전단력은 $2W-W=W$이다. 즉 DEF가 왼쪽 보를 D에서 위로 W만큼 들어 올린다.

왼쪽 부분 ABCD에서 B에 대한 모멘트(반시계 +)를 잡고 $R_C=0$을 넣는다.
$-P\times l+W\times3l=0\ \Rightarrow\ \dfrac{W}{P}=\dfrac{1}{3}$

• 1/2이면 W의 모멘트 $1.5Pl$가 P의 모멘트 $Pl$보다 커서 C에 반력이 생긴다.
• 3은 구한 비율을 거꾸로 뒤집은 값이다.
• 1이면 W의 모멘트 $3Pl$가 P의 모멘트를 크게 넘어 C에 반력이 생긴다.

옳지 않은 것은 휨모멘트가 작용하면 전단응력은 발생하지 않는다는 설명이다.

휨모멘트가 단면에 직접 만드는 것은 수직한 휨응력이지만, 실제 보에서는 휨모멘트가 변하는 구간마다 전단력 $V=\dfrac{dM}{dx}$가 함께 작용해 전단응력이 생긴다. 또한 단면에 경사진 면에서 보면 휨응력만으로도 전단응력 성분이 나타나므로, 전단응력이 생기지 않는다고 단정할 수 없다.

• 속력과 방향이 모두 일정한 직선 등속 운동은 속도 변화가 없으므로 가속도가 0이다 — 옳은 설명.
• 속력이 일정해도 곡선 운동은 속도의 방향이 계속 바뀌므로 구심가속도가 존재한다 — 옳은 설명.
• 정지 유체의 압력은 전단력을 전달하지 못하므로 잠긴 물체 표면에 항상 수직으로 작용한다 — 옳은 설명.

AB부재력은 6 kN(인장)이다.

하중점 C에서 절점법을 쓴다. CD 경사부재는 수평 3 m, 수직 4 m이므로 길이 비가 3:4:5이다.

수직 평형: $F_{CD}\times\dfrac{4}{5}=8\ \Rightarrow\ F_{CD}=10\ \mathrm{kN}$(압축)
수평 평형: $F_{BC}=10\times\dfrac{3}{5}=6\ \mathrm{kN}$(인장)

절점 B에는 수평부재 AB, BC와 수직부재 BD만 있으므로 수평 평형에서 AB = BC = 6 kN 인장이고 BD는 0부재이다.

• 4(압축)는 3:4:5 비율로 분해한 크기 6과 다르다.
• 4(인장)도 같은 이유로 크기가 맞지 않는다.
• 6(압축)은 크기는 맞으나 C 쪽으로 당겨지는 상현재가 인장임을 놓친 것이다.

이 라멘의 부정정 차수는 9차이다.

지점 반력 수는 고정단 3개(각 3), 힌지 지점 2개(각 2)이므로 $r=3+3+3+2+2=13$이다. 보와 기둥은 지반을 빼면 닫힌 고리가 없는 하나의 강절 구조이고, 보 안에 내부 힌지 1개가 있어 조건식이 1개 늘어난다.

$n=r-3-1=13-3-1=9$

• 7차는 반력 13개와 내부 힌지 1개를 바르게 세면 나오지 않는 값이다.
• 8차도 힌지 지점의 반력을 2개로 세면 나오지 않는다.
• 10차는 내부 힌지에 의한 조건식을 빠뜨린 값이다.

지점 A의 반력은 수평 0 kN, 수직 2 kN, 휨모멘트 9 kN·m이다.

수평 평형: 좌측 4 kN(우향)과 D점 4 kN(좌향)이 상쇄되어 $H_A=0$이다.
수직 평형: E점의 2 kN만 있으므로 $R_A=2\ \mathrm{kN}$(상향)이다.

A에 대한 모멘트(반시계 +):
높이 2 m의 우향 4 kN: $-8$, 높이 2 m의 좌향 4 kN: $+8$
A에서 수평 2 m 떨어진 하향 2 kN: $-4$, B점 시계방향 우력: $-5$
합계 $-9\ \mathrm{kN\cdot m}$이므로 고정단 모멘트는 9 kN·m이다.

• 수평반력이 2인 조합들은 크기가 같고 방향이 반대인 두 수평력이 상쇄됨을 놓친 것이다.
• 휨모멘트 5인 조합은 우력만 반영하고 연직하중의 모멘트를 빠뜨린 값이다.

틀린 설명은 반력의 크기가 모멘트 하중 위치에 따라 달라진다는 것이다.

지점 B에 대한 모멘트 평형에서 $R_A\times l=M$이므로 $R_A=R_B=\dfrac{M}{l}$(방향 반대)이다. 반력은 a, b와 무관하게 보 길이 l로만 정해진다.

• 보 위에 연직하중이 없으므로 전단력은 전 구간에서 $\dfrac{M}{l}$로 일정하다.
• 휨모멘트는 C 왼쪽에서 $-\dfrac{Ma}{l}$, 오른쪽에서 $+\dfrac{Mb}{l}$로 C에서 M만큼 뛰며 부호가 바뀐다.
• 수평하중이 없으므로 축방향력은 위치와 관계없이 0이다.

하단의 최대 압축응력은 2.5 MPa이다.

하중점 A는 200 mm 변 방향으로 단면 끝에서 50 mm 안쪽에 있으므로 도심에서의 편심은 $e=100-50=50\ \mathrm{mm}$이다(120 mm 방향은 중심선 위).

축응력: $\dfrac{P}{A}=\dfrac{24000}{200\times120}=1.0\ \mathrm{MPa}$
단면계수: $Z=\dfrac{120\times200^2}{6}=800000\ \mathrm{mm^3}$
휨응력: $\dfrac{Pe}{Z}=\dfrac{24000\times50}{800000}=1.5\ \mathrm{MPa}$

최대 압축응력은 두 값의 합 $1.0+1.5=2.5\ \mathrm{MPa}$이다.

• 1.5는 휨응력만 취한 값이다.
• 1.75는 축응력과 휨응력의 합 2.5보다 작다.
• 2.0도 두 응력의 합과 맞지 않는다.

AB 구간의 휨모멘트식은 M = −$2.5x^{2}$ + 85x이다.

지점 A 반력부터 구한다(C에 대한 모멘트).
$R_A=\dfrac{100\times6+5\times10\times5}{10}=\dfrac{850}{10}=85\ \mathrm{kN}$

A에서 x만큼 떨어진 단면(0 ≤ x ≤ 4)에서 왼쪽 자유물체를 보면
$M(x)=85x-5x\times\dfrac{x}{2}=85x-2.5x^2$

• $2.5x^{2}$ 앞 부호가 +인 식은 등분포하중의 모멘트가 반력 모멘트를 줄인다는 점을 반대로 쓴 것이다.
• 45x가 들어간 식은 지점 A 반력 85 kN과 맞지 않는다.

B점의 처짐각은 $\dfrac{3Pl^2}{8EI}$이다.

캔틸레버에서 고정단으로부터 거리 c인 점에 집중하중 Q가 작용하면 그 점 이후의 처짐각은 $\dfrac{Qc^2}{2EI}$로 일정하다. 두 하중을 중첩한다.

중앙의 P: $\dfrac{P(l/2)^2}{2EI}=\dfrac{Pl^2}{8EI}$
자유단의 P/2: $\dfrac{(P/2)l^2}{2EI}=\dfrac{Pl^2}{4EI}$
합: $\dfrac{Pl^2}{8EI}+\dfrac{2Pl^2}{8EI}=\dfrac{3Pl^2}{8EI}$

• $\dfrac{3Pl^2}{16EI}$은 처짐각 공식의 분모 2를 중복 적용한 값이다.
• $\dfrac{5Pl^2}{24EI}$는 중첩 결과 $\dfrac{9Pl^2}{24EI}$보다 작다.
• $\dfrac{5Pl^2}{27EI}$는 분모 27이 하중 위치 l/2에서 나올 수 없는 값이다.

전단력이 0인 구간의 길이는 l − 2a, 최대 휨모멘트는 Pa이다.

하중이 대칭이므로 두 반력은 각각 P이다. 왼쪽 하중점을 지나면 전단력이 $P-P=0$이 되어 두 하중 사이 구간 $l-2a$에서 0이다.

전단력이 0인 구간의 휨모멘트가 최대이며 $M_{max}=P\times a=Pa$로 일정하다.

• 구간 길이를 2a로 본 조합은 하중 바깥 구간과 혼동한 것이다.
• 최대 휨모멘트를 $P(l-2a)$로 본 조합은 팔 길이를 지점–하중 거리 a가 아닌 하중 사이 거리로 잘못 잡은 것이다.

틀린 설명은 최대 휨인장응력이 C점에서 발생한다는 것이다.

C점은 보 중앙의 하연이다. 집중하중 P가 오른쪽 지점에서 l/4 지점에 있으므로 왼쪽 반력은 $R=\dfrac{Wl}{2}+\dfrac{P}{4}$(W는 등분포하중 세기)이고, 전단력이 0인 위치는 $x=\dfrac{l}{2}+\dfrac{P}{4W}$로 중앙보다 오른쪽이다. 따라서 최대 휨모멘트와 최대 휨인장응력은 중앙 단면에서 생기지 않는다.

• E점은 단면의 중립축 위에 있으므로 휨모멘트 크기와 관계없이 휨응력이 0이다.
• B점은 중앙 단면의 중립축이라 휨응력은 0이고, 중앙 단면의 전단력 $\dfrac{P}{4}$에 의한 전단응력만 생긴다.
• A점은 정모멘트를 받는 단면의 상연이므로 휨압축응력이 생긴다.

지점 B의 수직반력은 32.5 kN이다.

하중을 합력으로 바꾼다. AB 구간 등분포 10 kN/m×2 m = 20 kN(A에서 1 m), CD 구간 삼각형 분포 $\dfrac{1}{2}\times10\times3=15\ \mathrm{kN}$(D에서 1 m 왼쪽), E점 집중하중 20 kN(D에서 2 m 오른쪽)이다.

지점 D에 대한 모멘트(반시계 +):
$-6R_B+20\times7+15\times1-20\times2-10+50+40=0$
$6R_B=195\ \Rightarrow\ R_B=32.5\ \mathrm{kN}$

A점 10 kN·m는 시계방향, C점 50 kN·m와 D점 40 kN·m는 반시계방향으로 우력 방향을 그대로 반영했다.

• 30.0은 모멘트 평형식 $6R_B=195$를 만족하지 않는다.
• 35.0도 같은 식을 만족하지 않는다.
• 37.5는 삼각형 분포하중의 합력 15 kN 작용점(D에서 1 m)을 바르게 넣으면 나오지 않는다.