14년 1회차

옳지 않은 것은 에너지의 차원을 $[\mathrm{M T^{-1} L^{-2}}]$로 적은 서술이다.

에너지는 힘×거리이고 힘의 차원이 $[\mathrm{M L T^{-2}}]$이므로 에너지는 $[\mathrm{M L^{2} T^{-2}}]$이다.

• 응력은 힘/면적이므로 $[\mathrm{M L T^{-2}}]/[\mathrm{L^{2}}]=[\mathrm{M T^{-2} L^{-1}}]$로 옳다.
• 전단력은 힘이므로 $[\mathrm{M T^{-2} L}]$로 옳다.
• 휨모멘트는 힘×거리이므로 에너지와 같은 $[\mathrm{M T^{-2} L^{2}}]$로 옳다.

두 스프링의 처짐이 같으려면 k$_1$/k$_2$ = 0.5이어야 한다.

지점 B에 대한 모멘트 평형으로 반력을 구한다(전체 길이 3L, 하중은 A에서 2L).
$R_A=\dfrac{P\cdot L}{3L}=\dfrac{P}{3},\quad R_B=\dfrac{2P}{3}$

스프링 처짐 $\delta=\dfrac{R}{k}$가 같아야 하므로 $\dfrac{R_A}{k_1}=\dfrac{R_B}{k_2}$에서
$\dfrac{k_1}{k_2}=\dfrac{R_A}{R_B}=\dfrac{P/3}{2P/3}=0.5$

• 1.0은 두 반력이 같을 때(하중이 중앙)의 값이다.
• 1.5는 반력비와 무관한 값이다.
• 2.0은 반력비를 거꾸로 뒤집은 $R_B/R_A$이다.

온도 상승으로 늘어난 길이를 압축력으로 되돌려야 하므로 필요한 하중은 40 kN이다.

열변형률과 하중에 의한 변형률이 같아야 하므로 $\dfrac{P}{EA}=\alpha\Delta T$, 즉 $P=EA\alpha\Delta T$이다.

$P=(200\times10^{9}\,\mathrm{Pa})(0.001\,\mathrm{m^2})(1.0\times10^{-5}/^{\circ}\mathrm{C})(20\,^{\circ}\mathrm{C})$
$P=4.0\times10^{4}\,\mathrm{N}=40\,\mathrm{kN}$

봉의 길이와 무관하게 변형률만으로 결정되며, 하단에서 위로 밀어 올리는 압축력이 된다.

최대 주응력은 7 MPa, 최대 전단응력은 3 MPa이다.

그림에서 $\sigma_x=6,\ \sigma_y=2,\ \tau_{xy}=\sqrt{5}\ \mathrm{MPa}$이다. 모어원의 중심과 반지름은
$C=\dfrac{6+2}{2}=4\ \mathrm{MPa}$
$R=\sqrt{\left(\dfrac{6-2}{2}\right)^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{4+5}=3\ \mathrm{MPa}$

따라서 $\sigma_{max}=C+R=7\ \mathrm{MPa}$, $\tau_{max}=R=3\ \mathrm{MPa}$이다.

• 최대 주응력 5는 중심 4에 반지름 3을 더한 값보다 작다.
• 최대 전단응력 3/2는 모어원 반지름의 절반으로, 최대 전단응력은 반지름 자체다.

필요한 거리는 y = d/4이다.

평행축 정리 $I_x=I_X+Ay^2$에서 $I_x=2I_X$이려면 $Ay^2=I_X$이어야 한다.

$y^2=\dfrac{I_X}{A}=\dfrac{\pi d^4/64}{\pi d^2/4}=\dfrac{d^2}{16}$
$y=\dfrac{d}{4}$ — 즉 y는 회전반경과 같다.

• d/2는 원의 반지름으로, 이때 $I_x=5I_X$가 된다.
• d/3은 $Ay^2$가 $I_X$와 같아지지 않는다.
• d/8은 거리가 너무 작아 $I_x$가 $1.25I_X$에 그친다.

B점 반력의 영향선은 A에서 0으로 시작해 내부힌지 D에서 최대가 되고, B를 지나 C에서 0이 되는 꺾인 직선이다.

뮐러-브레슬라우 원리로 B를 단위량만큼 들어 올린다. 부재 DBC는 C점을 회전중심으로 직선 회전하므로 B의 세로좌표는 1, C에서 더 먼 D에서는 1보다 커진다.

부재 AD는 A(0)와 D를 잇는 직선으로 따라 올라간다. 따라서 D에서 꺾이며 최댓값을 갖는 삼각형 모양이다.

• B에서 최대가 되는 모양은 D를 힌지가 아닌 연속점으로 본 것이다.
• A~D 구간이 0인 모양은 B 반력이 AD 구간 하중의 영향을 받지 않는다고 본 것으로, AD는 D를 통해 DBC에 얹혀 있다.
• B에서 부호가 바뀌는 불연속 모양은 전단력 영향선의 형태다.

B점 부모멘트의 최대 절댓값은 9 kN·m이다.

B점 휨모멘트 영향선은 내민 부분 DB(길이 2 m)에서 B로부터의 거리만큼 음수이고, D에서 −2가 된다. 매달린보 AD에 놓인 하중은 D의 반력 $x/4$(x는 A로부터 거리)로 전달되므로 세로좌표는 $-2\cdot\dfrac{x}{4}$로 A에서 0이 된다. BC 구간의 하중은 B점 모멘트를 만들지 않는다.

큰 하중 4 kN을 D에 두면 2 kN은 3 m 왼쪽(A에서 1 m)에 놓인다.
$|M_B|=4\times2+2\times\dfrac{2\times1}{4}=8+1=9\ \mathrm{kN\cdot m}$

• 2 kN을 D에 두면 4 kN은 BC 구간으로 넘어가 $2\times2=4$에 그친다.
• 8은 4 kN 하나만 고려하고 2 kN의 기여를 빠뜨린 값이다.
• 7, 10은 영향선 세로좌표 조합으로 나오지 않는 값이다.

BE 구간에서 휨모멘트 기울기가 0인 점의 모멘트 크기는 1 kN·m이다.

등분포하중 합력 8 kN(B에서 2 m)에 대해 $\Sigma M_A=0$: $8D_y=8\times2\Rightarrow D_y=2,\ A_y=6\ \mathrm{kN}$
힌지 E에서 우측 부분 $M_E=0$: $2\times4=H\times4\Rightarrow H=2\ \mathrm{kN}$(양 지점 수평반력, 안쪽 방향)

B에서 x만큼 떨어진 BE 단면의 모멘트는 최댓값에서 기울기가 0이다.
$M(x)=6x-2\times4-\dfrac{2x^2}{2}=6x-8-x^2$
$\dfrac{dM}{dx}=6-2x=0\Rightarrow x=3\ \mathrm{m}$, $M(3)=18-8-9=1\ \mathrm{kN\cdot m}$

• 2는 $6x-8-x^2$의 극값과 다르다.
• 9는 수평반력에 의한 모멘트 8을 빠뜨린 값이다.
• 17은 수평반력의 모멘트를 반대 부호로 더한 값이다.

단면계수비는 $S_1/S_2=\dfrac{2\sqrt{\pi}}{3}$이다.

면적이 같으므로 $a^2=\dfrac{\pi d^2}{4}\Rightarrow a=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}d$

$S_1=\dfrac{a^3}{6}=\dfrac{\pi\sqrt{\pi}}{48}d^3,\quad S_2=\dfrac{\pi d^3}{32}$
$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{\pi\sqrt{\pi}/48}{\pi/32}=\dfrac{32\sqrt{\pi}}{48}=\dfrac{2\sqrt{\pi}}{3}$ — 같은 면적이면 정사각형이 원보다 단면계수가 크다.

• 3/4√π는 1보다 작아, 정사각형 단면계수가 더 크다는 결과와 어긋난다.
• 4√π/3은 구한 값의 2배다.
• 3/2√π는 비를 뒤집은 $S_2/S_1$이다.

D점 처짐은 22.5 mm이다.

하중이 내부힌지 D에 바로 작용하므로 매달린 부재 DC는 힘을 받지 않고, 하중은 전부 내민보 ABD의 끝에 걸린다(지간 $L=6\ \mathrm{m}$, 내민길이 $a=1.5\ \mathrm{m}$).

$EI=200\times10^{6}\ \mathrm{kN/m^2}\times25\times10^{-6}\ \mathrm{m^4}=5000\ \mathrm{kN\cdot m^2}$
$\delta_D=\dfrac{Pa^2(L+a)}{3EI}=\dfrac{20\times1.5^2\times7.5}{3\times5000}=0.0225\ \mathrm{m}=22.5\ \mathrm{mm}$

• 10.8은 내민끝 처짐 공식에 값을 대입한 결과보다 작다.
• 27.0은 $L+a$ 자리에 보 전체 길이 9 m를 넣은 값이다.
• 108.0은 내민길이를 B~C 전체 3 m로 잘못 본 값이다.

A, B의 높이 차이는 2.0 m이다.

하중 P가 스프링 k$_2$ 바로 위(D)에 작용하므로 C에 대한 모멘트 평형에서
$F_2\times2=P\times2\Rightarrow F_2=1\ \mathrm{kN},\ F_1=0$

강체이므로 직선으로 회전한다. 처짐은 C에서 0, D에서 $\dfrac{1}{1}=1\ \mathrm{m}$이므로 강체의 기울기는 $\dfrac{1}{2}$이다.
A(C에서 왼쪽 1 m)는 0.5 m 올라가고, B(C에서 오른쪽 3 m)는 1.5 m 내려간다.
$\Delta=0.5+1.5=2.0\ \mathrm{m}$

• 0.5는 A의 상승량만 본 값이다.
• 1.0은 D의 처짐만 본 값이다.
• 1.5는 B의 하강량만 본 값으로, A가 반대로 올라가는 것을 빠뜨렸다.

합력은 10 kN(↓)이고 작용점은 원점 O의 우측 3 m이다.

하향을 +로 하면 $R=30-60+40=10\ \mathrm{kN}$(↓)이다.

원점 O에 대한 모멘트(반시계 +): 30 kN(좌측 9 m) $+270$, 60 kN 상향(좌측 5 m) $-300$, 40 kN은 O를 지나 0.
합 $-30\ \mathrm{kN\cdot m}$(시계)이므로 하향 10 kN이 O의 우측 $x_0=\dfrac{30}{10}=3\ \mathrm{m}$에 있어야 같은 모멘트가 된다.

• 원점의 좌측 3 m는 모멘트 부호를 반대로 본 것이다.
• 상향(↑) 10 kN은 합력의 방향을 잘못 잡은 것이다 — 하향 하중 합 70이 상향 60보다 크다.

옳지 않은 것은 같은 면적이면 원형단면이 정삼각형단면보다 임계하중이 크다는 서술이다.

오일러 하중 $P_{cr}=\dfrac{\pi^2 EI}{(KL)^2}$는 단면2차모멘트에 비례한다. 면적 $A$가 같을 때 원형은 $I=\dfrac{A^2}{4\pi}\approx0.080A^2$, 정삼각형은 $I=\dfrac{\sqrt{3}A^2}{18}\approx0.096A^2$로 정삼각형이 더 커서 임계하중도 정삼각형이 크다.

• 단면2차모멘트가 클수록 임계하중이 크다는 것은 공식상 비례 관계이므로 옳다.
• 좌굴 길이가 길수록 임계하중이 작다는 것은 $(KL)^2$에 반비례하므로 옳다.
• 임계하중 상태의 기둥은 중립평형으로, 안정도 불안정도 아닌 경계 상태이므로 옳다.

부정정 차수가 가장 높은 것은 지점이 고정단이고 두 사재가 정점 힌지에 연결된 라멘(4차)이다.

판별식 $N=r+m+S-2K$(r: 반력 수, m: 부재 수, S: 강절점 수, K: 절점 수)로 각 구조물을 센다.

• 왼쪽 벽에 힌지 2개로 지지된 트러스: $N=4+21+0-2\times11=3$차
• X형 사재를 둔 2층 트러스(힌지 지점 2개): $N=4+10+0-2\times6=2$차
• 양단 고정보 중간의 내부힌지: $N=6+2+0-2\times3=2$차
• 고정지점 라멘과 두 사재: $N=6+6+2-2\times5=4$차

마지막 라멘은 빗금만 그려진 고정지점이고 모서리 두 곳이 강절점이다. 양단 고정 라멘(3차)이 정점 힌지로 1차 줄어 2차가 되고, 양단 핀인 사재 2개가 1차씩 더해 4차가 된다.

최대 전단응력은 7.5 MPa이다.

전체 하중 $20\times6=120\ \mathrm{kN}$(A에서 3 m)에 대해 $\Sigma M_A=0$: $4R_B=120\times3\Rightarrow R_B=90,\ R_A=30\ \mathrm{kN}$
전단력은 A에서 30, B 바로 왼쪽 $30-80=-50$, B 바로 오른쪽 $+40$이므로 최대 전단력은 50 kN이다.

직사각형 단면의 최대 전단응력은 평균의 1.5배이다.
$\tau_{max}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{V}{A}=1.5\times\dfrac{50\times10^3}{100\times100}=7.5\ \mathrm{MPa}$

• 6.5는 최대 전단력 위치를 잘못 잡은 값이다.
• 8.5, 9.5는 전단력 50 kN과 단면 100×100으로 나오지 않는 값이다.

절대최대휨모멘트는 36.5 kN·m이다.

합력 $R=8+10+2=20\ \mathrm{kN}$, 8 kN으로부터 위치 $\dfrac{10\times3+2\times5}{20}=2\ \mathrm{m}$이다. 가장 큰 하중 10 kN과 합력 사이 거리는 1 m이다.

합력과 10 kN의 중점을 보 중앙에 두면 10 kN은 A에서 5.5 m, 합력은 4.5 m에 놓인다.
$R_A=\dfrac{20\times(10-4.5)}{10}=11\ \mathrm{kN}$
$M_{max}=11\times5.5-8\times3=60.5-24=36.5\ \mathrm{kN\cdot m}$

• 10 kN을 보 중앙에 두기만 하면 $12\times5-8\times3=36$으로 절대최대값에 못 미친다.
• 32.0, 34.5는 최대가 되는 배치의 모멘트보다 작다.
• 38.0은 어떤 하중 위치에서도 도달하지 않는 값이다.

부재 AD의 부재력은 25 kN(인장)이다.

A에 대한 모멘트 평형(반시계 +)으로 C의 연직반력을 구한다.
$6C_y-60\times4-40\times3=0\Rightarrow C_y=60\ \mathrm{kN}$(↑)
$A_y=40-60=-20\ \mathrm{kN}$, 즉 A는 아래로 20 kN

절점 A에서 AB는 수평이므로 연직 평형은 AD만으로 이뤄진다($\sin\theta=4/5$).
$F_{AD}\times\dfrac{4}{5}=20\Rightarrow F_{AD}=25\ \mathrm{kN}$

• 15는 연직성분 20에 $3/5$를 곱하는 등 방향 성분을 바꿔 쓴 값이다.
• 40은 B점 하중을 그대로 옮긴 값으로, 수직재 BD의 부재력이다.
• 75는 수평하중의 모멘트 방향을 반대로 잡아 A 반력을 60 kN으로 본 값이다.

B 쪽은 작은 부모멘트 뒤 힌지 E 앞에서 약간의 정모멘트가 나타나고, C 쪽은 훨씬 큰 부모멘트가 생기는 비대칭 선도가 맞다.

전체 분포하중 40 kN, 수평하중 5 kN(높이 10 m)에 대해 $\Sigma M_A=0$: $10D_y-40\times5-5\times10=0\Rightarrow D_y=25,\ A_y=15\ \mathrm{kN}$
힌지 E 우측 $M_E=0$: $25\times5-20\times2.5=10D_x\Rightarrow D_x=7.5\ \mathrm{kN}$, 따라서 $A_x=2.5\ \mathrm{kN}$

절점 모멘트: $M_B=-2.5\times10=-25$, $M_C=-7.5\times10=-75\ \mathrm{kN\cdot m}$
BE 구간 $M(x)=-25+15x-2x^2$은 $x=3.75$에서 $+3.1$로 양수가 된 뒤 E에서 0, EC 구간은 곧바로 음수로 내려가 C에서 −75가 된다.

• 양쪽이 모두 부모멘트만으로 E에서 0이 되는 선도는 BE 구간의 정모멘트 구간을 빠뜨렸다.
• 좌우 대칭인 선도는 수평하중 5 kN에 의한 비대칭을 무시했다.
• 보 위쪽 양 끝이 정모멘트인 선도는 절점 B, C의 모멘트 부호를 반대로 그렸다.

B에서 3→2로, D에서 −2→−3으로 뛰고 DE 구간에서 −3에서 0까지 직선으로 줄어드는 전단력선도가 맞다.

전단력은 휨모멘트선도의 기울기다($V=dM/dx$). AB는 직선이므로 $V=\dfrac{12}{4}=3\ \mathrm{kN}$이다. BC·CD는 C에서 꼭짓점(16)을 갖는 포물선이므로 $M=16-k(x-8)^2$에서 $12=16-16k\Rightarrow k=\dfrac{1}{4}$, B 우측 $V=2k\times4=2$, D 좌측 $V=-2$이다.

DE 구간은 모멘트가 12에서 0으로 줄어야 하므로 전단력선도 면적이 −12여야 한다. D 우측 −3에서 E의 0까지 직선이면 $-\dfrac{3\times8}{2}=-12$로 맞는다.

• B에서 뛰지 않고 2로 시작하는 선도는 AB 면적이 8이 되어 B의 모멘트 12를 만들지 못한다.
• DE에서 −3에서 −2로 변하는 선도는 면적이 $-20$이 되어 E의 모멘트가 0이 되지 않는다.
• DE에서 −2로 일정한 선도는 면적이 $-16$으로 역시 맞지 않는다.