15년 1회차

회전체의 부피는 $\pi R^{2}H/3$이다.

파푸스 정리에 따라 부피는 단면적에 도심이 회전하며 그리는 원둘레를 곱한 값이다. 직각삼각형의 도심은 y축에서 $\bar{x}=\dfrac{R}{3}$, 면적은 $A=\dfrac{RH}{2}$이다.

$V=2\pi\bar{x}A=2\pi\times\dfrac{R}{3}\times\dfrac{RH}{2}=\dfrac{\pi R^2H}{3}$
이는 밑면 반지름 R, 높이 H인 원뿔의 부피와 같다.

• $\pi R^{2}H/6$은 도심 거리나 면적 중 하나를 절반으로 잘못 잡은 값이다.
• $\pi R^{2}H/4$는 도심 거리를 R/3이 아닌 다른 값으로 둔 결과다.
• $\pi R^{2}H/2$는 원뿔이 아닌 원기둥 부피의 절반으로, 도심 위치를 반영하지 못했다.

고정지점 A의 모멘트 반력 크기는 32.5 kN·m이다.

풍압은 표지판(폭 2 m, 높이 1 m)에만 작용하므로 합력은 $P=2.5\times(2\times1)=5\ \mathrm{kN}$이고, 작용점은 표지판 중앙으로 바닥에서 $6+0.5=6.5\ \mathrm{m}$ 높이다.

$M_A=5\times6.5=32.5\ \mathrm{kN\cdot m}$ — 팔 길이를 표지판 중앙 높이로 잡는 것이 핵심이다.

• 38.5는 팔 길이를 표지판 높이에 맞지 않게 크게 잡은 값이다.
• 42.5는 작용점을 표지판 위쪽으로 옮겨 계산한 것과 같은 과대값이다.
• 52.0은 풍력과 팔 길이를 모두 과대하게 잡은 값이다.

단면2차모멘트는 정삼각형 > 정사각형 > 원 순, 즉 C > B > A이다.

면적 A를 같게 두고 도심축 단면2차모멘트를 $A^{2}$으로 나타내 비교한다.

원: $I=\dfrac{\pi r^4}{4}=\dfrac{A^2}{4\pi}\approx0.080A^2$
정사각형: $I=\dfrac{a^4}{12}=\dfrac{A^2}{12}\approx0.083A^2$
정삼각형(한 변 b): $I=\dfrac{bh^3}{36}=\dfrac{\sqrt{3}}{18}A^2\approx0.096A^2$

같은 면적이라도 재료가 도심에서 멀리 분포할수록 단면2차모멘트가 커진다.

• A > B > C는 원을 가장 크게 두었으나 원은 세 단면 중 가장 작다.
• B > C > A는 정사각형을 정삼각형보다 크게 두었다.
• B > A > C는 정삼각형을 가장 작게 두어 계산과 어긋난다.

최대전단응력의 크기는 75.0 MPa이다.

30° 기울어진 요소의 면에는 수직응력만 있고 전단응력이 없으므로 두 값이 곧 주응력이다: $\sigma_1=100\ \mathrm{MPa}$(인장), $\sigma_2=-50\ \mathrm{MPa}$(압축).

$\tau_{max}=\dfrac{\sigma_1-\sigma_2}{2}=\dfrac{100-(-50)}{2}=75\ \mathrm{MPa}$

• 25.0은 압축응력의 부호를 무시하고 두 값의 차를 50으로 본 결과다.
• 50.0은 최대 인장 주응력의 절반에 불과하다.
• 62.5는 주응력 차의 절반과 맞지 않는 값이다.

옳지 않은 설명은 인장변형률이 약 0.1×$10^{-3}$이라는 것이다. 실제 변형률은 1×$10^{-3}$이다.

단면적: $A=\dfrac{\pi d^2}{4}=\dfrac{3\times10^2}{4}=75\ \mathrm{mm^2}$
응력: $\sigma=\dfrac{15000}{75}=200\ \mathrm{MPa}$
변형률: $\varepsilon=\dfrac{\sigma}{E}=\dfrac{200}{200000}=1\times10^{-3}$

• 인장응력 약 200 MPa는 위 계산과 일치하므로 옳다.
• 길이 증가량 $\Delta L=\varepsilon L=1\times10^{-3}\times1000=1\ \mathrm{mm}$이므로 옳다.
• 지름 감소량 $\Delta d=\nu\varepsilon d=0.3\times10^{-3}\times10=0.003\ \mathrm{mm}$이므로 옳다.

오른쪽 원통과 경사면 사이의 반력은 5√3W/6이다.

두 원통의 반지름이 같아 중심을 잇는 선이 경사면과 평행하다. 왼쪽 원통의 경사면 방향 평형에서 두 원통 사이 접촉력은 $P=W\sin30^\circ=\dfrac{W}{2}$이며, 오른쪽 원통을 경사면 아래 방향으로 민다.

오른쪽 원통에는 W, P, 벽의 수평반력, 경사면 수직반력 R이 작용한다. 벽 반력은 수평이므로 연직 방향 평형만 쓰면 된다.
$R\cos30^\circ=W+P\sin30^\circ=W+\dfrac{W}{4}=\dfrac{5W}{4}$
$R=\dfrac{5W}{4}\times\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{5\sqrt{3}}{6}W$

• √3W/6은 접촉력이 더하는 몫 $\dfrac{W/4}{\cos30^\circ}$만 남고 원통 자중이 빠진 값이다.
• √3W/2는 벽 없이 경사면에 놓인 물체 하나의 수직반력 $W\cos30^\circ$로, 벽 반력과 접촉력을 반영하지 못했다.
• 7√3W/6은 접촉력의 연직 성분을 과대하게 더한 값이다.

절대최대전단력은 5.6 kN이다.

단순보의 최대전단력은 지점 바로 옆에서 생기며, 지점 반력이 최대가 되는 하중 배치를 찾으면 된다. 가장 큰 4 kN을 B 지점 위에 두면 2 kN은 A에서 6 m, 1 kN은 A에서 4 m에 놓인다.

$R_B=\dfrac{1\times4+2\times6+4\times10}{10}=\dfrac{56}{10}=5.6\ \mathrm{kN}$

• 5.4는 큰 하중을 지점 위에 두지 않은 배치에서 나오는 작은 반력이다.
• 5.2도 하중 배치를 최적화하지 않은 값이다.
• 4.8도 최대가 아니다(1 kN을 A 위에 두면 A 반력은 4.2 kN에 그친다).

A점의 수평반력 크기는 4.5 kN이다.

분포하중은 0에서 6 kN/m까지 선형이므로 $q(x)=x\ \mathrm{kN/m}$, 합력 $18\ \mathrm{kN}$이 A에서 수평 4 m 지점에 작용한다. A를 원점으로 B는 (6, 2), 힌지 C는 (3, 4)이다.

전체 ΣM_A=0: $6V_B-2H_B=18\times4=72$
C 오른쪽 부분(하중 13.5 kN, C에서 5/3 m) ΣM_C=0: $3V_B+2H_B=13.5\times\dfrac{5}{3}=22.5$
두 식을 더하면 $V_B=10.5\ \mathrm{kN}$, $H_B=-4.5\ \mathrm{kN}$

ΣF_x=0에서 A의 수평반력은 B와 크기가 같고 방향이 반대이므로 4.5 kN이다.

• 5.5는 두 지점의 높이 차(2 m)에 의한 모멘트를 잘못 반영한 값이다.
• 3.5는 C 오른쪽 하중의 크기나 작용점을 잘못 잡은 값이다.
• 2.5도 C 오른쪽 부분의 모멘트 평형을 잘못 세운 값이다.

A점 휨모멘트의 크기는 32/3 kN·m이다.

고정단 A에서 x 위치의 미소하중 $q\,dx$는 팔 길이 x를 가지므로 적분으로 구한다.

$M_A=\int_0^4\dfrac{1}{6}x^2\cdot x\,dx=\dfrac{1}{6}\times\dfrac{4^4}{4}=\dfrac{64}{6}=\dfrac{32}{3}\ \mathrm{kN\cdot m}$

참고로 총하중은 $\int_0^4\dfrac{x^2}{6}dx=\dfrac{32}{9}\ \mathrm{kN}$이며 도심은 A에서 3 m이다(3 × 32/9 = 32/3).

• 32/9는 모멘트가 아닌 총하중의 크기다.
• 16/9는 총하중의 절반으로 모멘트와 무관하다.
• 16/3은 도심 거리를 절반으로 잡은 값이다.

C점의 수직변위는 2.5 mm이다.

C점에서 보와 스프링이 같은 변위로 하중을 나눠 받으므로 두 강성의 병렬 합으로 본다.

단순보 중앙의 강성: $k_b=\dfrac{48EI}{L^3}=\dfrac{48\times1000/16}{10^3}=3\ \mathrm{MN/m}$
합성 강성: $k_b+k=3+1=4\ \mathrm{MN/m}$
변위: $\delta=\dfrac{10\ \mathrm{kN}}{4000\ \mathrm{kN/m}}=0.0025\ \mathrm{m}=2.5\ \mathrm{mm}$

• 0.25는 단위 환산에서 자릿수를 잘못 옮긴 값이다.
• 0.3도 자릿수가 맞지 않는 값이다.
• 3.0은 스프링 기여를 정확히 반영하지 못한 값이다(보만 있으면 약 3.3 mm).

부재력은 F_CD = 10.0 kN, F_CF = 12.5 kN이다.

하중이 대칭이므로 반력은 $R_B=R_J=\dfrac{40}{2}=20\ \mathrm{kN}$이다.

절점 D: 수평 하현재 두 개와 수직재 CD, 하중 10 kN만 있으므로 연직 평형에서 $F_{CD}=10\ \mathrm{kN}$(인장).
CE·CF·DF를 자르는 단면의 왼쪽 부분 연직 평형: 사재 CF는 3 m × 4 m 패널의 대각선(길이 5 m)이므로
$F_{CF}\times\dfrac{4}{5}=20-10=10\ \Rightarrow\ F_{CF}=12.5\ \mathrm{kN}$

• F_CD를 6.0으로 둔 조합은 절점 D의 하중 10 kN이 그대로 수직재로 전달됨을 놓쳤다.
• F_CF를 25.0으로 둔 조합은 단면 전단력을 20 kN으로 보아 D점 하중을 빼지 않은 값이다.

옳은 설명은 B점의 압축응력이 5 MPa보다 크다는 것이다.

하중은 h 방향으로 e = 40 mm 편심되어 B·D 쪽에 있다.
축응력: $\dfrac{P}{A}=\dfrac{300000}{200\times300}=5\ \mathrm{MPa}$
휨응력: $\dfrac{Pe}{Z}=\dfrac{300000\times40}{200\times300^2/6}=\dfrac{12\times10^6}{3\times10^6}=4\ \mathrm{MPa}$

B·D점: $5+4=9\ \mathrm{MPa}$(압축), A·C점: $5-4=1\ \mathrm{MPa}$(압축). 편심 40 mm가 핵 한계 $h/6=50\ \mathrm{mm}$ 안에 있어 인장은 생기지 않는다.

• A점과 B점의 응력이 같다는 설명은 1 MPa와 9 MPa로 다르므로 틀리다.
• A점에 인장응력이 생긴다는 설명은 편심이 핵 안에 있어 틀리다.
• B점과 D점의 응력이 다르다는 설명은 두 점이 편심축에서 같은 거리라 틀리다.

잔류변형률은 5×$10^{-4}$이다.

초기 접선탄성계수: $E_0=\dfrac{400}{4\times10^{-4}}=1\times10^6\ \mathrm{MPa}$
항복 후 기울기: $\dfrac{600-400}{(16-4)\times10^{-4}}=\dfrac{200}{12\times10^{-4}}$

500 MPa에서의 변형률: $4\times10^{-4}+\dfrac{100}{200}\times12\times10^{-4}=10\times10^{-4}$
하중 제거 시 초기 기울기로 회복: $\dfrac{500}{1\times10^6}=5\times10^{-4}$
잔류: $10\times10^{-4}-5\times10^{-4}=5\times10^{-4}$

• 4×$10^{-4}$는 항복변형률 값으로 잔류변형률과 무관하다.
• 6×$10^{-4}$는 항복 이후 증가한 변형률만 취한 값이다.
• 7×$10^{-4}$는 탄성 회복량을 작게 잡은 값이다.

C점의 최대휨모멘트는 48 kN·m이다.

C점 휨모멘트 영향선은 C에서 최대 종거 $\dfrac{ab}{L}=\dfrac{2\times8}{10}=1.6$인 삼각형이며 모든 종거가 양(+)이다.

집중하중은 C 위에: $10\times1.6=16\ \mathrm{kN\cdot m}$
등분포하중은 보 전체에 재하: $4\times\dfrac{1}{2}\times10\times1.6=32\ \mathrm{kN\cdot m}$
합계: $16+32=48\ \mathrm{kN\cdot m}$

• 42는 영향선 면적이나 종거를 작게 잡은 값이다.
• 54는 등분포하중 기여를 과대 평가한 값이다.
• 62도 영향선 면적을 과대하게 잡은 값이다.

A점과 B점의 수직응력은 모두 0.5 MPa(압축)이다.

단면적은 $30\times20=600\ \mathrm{cm^2}=0.06\ \mathrm{m^2}$이므로 축응력은 $\dfrac{30}{0.06}=500\ \mathrm{kN/m^2}=0.5\ \mathrm{MPa}$(압축)이다.

단면 m-n의 휨모멘트는 두 성분이 반대 방향이다.
편심 축하중: $30\times0.1=3\ \mathrm{kN\cdot m}$ — A 쪽 압축
기둥 상단 수평력(m-n에서 1 m 위): $3\times1=3\ \mathrm{kN\cdot m}$ — A 쪽 인장
두 모멘트가 상쇄되어 휨응력이 0이 되고 축응력만 남는다.

• 두 점 모두 0이라는 조합은 축하중에 의한 압축응력을 빠뜨렸다.
• A점 3.5(압축)·B점 2.5(인장) 조합은 두 모멘트가 상쇄된다는 점을 놓치고 한쪽 모멘트만 반영했다.
• A점 2.5(인장)·B점 1.5(압축) 조합도 휨모멘트가 남는다고 본 결과로, 상쇄 관계와 어긋난다.

케이블에 작용하는 힘은 8/3 N이다.

잘려 나간 1/4(우상단) 때문에 남은 원판의 도심은 중심에서 왼쪽으로 치우친다. 원 전체 무게는 $16\pi$, 제거된 부분은 $4\pi$이고 그 도심은 중심에서 수평으로 $\dfrac{4r}{3\pi}$이다.
$\bar{x}=\dfrac{4\pi\times4r/(3\pi)}{12\pi}=\dfrac{4r}{9\pi}$(중심 왼쪽)

바닥 접촉점에 대한 모멘트 평형(케이블은 높이 2r의 수평력)을 쓰면 마찰력과 수직반력이 소거된다.
$T\times2r=12\pi\times\dfrac{4r}{9\pi}=\dfrac{16r}{3}\ \Rightarrow\ T=\dfrac{8}{3}\ \mathrm{N}$

• 5/3은 도심 이동량을 잘못 계산한 값이다.
• 7/3도 도심 이동량을 잘못 잡은 값이다.
• 2는 케이블의 팔 길이를 2r이 아닌 값으로 잡거나 도심 위치를 다르게 둔 값이다.

고정단 B의 휨모멘트가 0이 되려면 P = 4 kN이어야 한다.

자유단 A에서 B까지 자유물체도를 잡고 B에 대한 모멘트를 합한다.
상향 집중하중 P(B에서 7 m): $+7P$
등분포하중 $2.5\times4=10\ \mathrm{kN}$(B에서 2 m): $-10\times2=-20$
A의 반시계방향 우력: $-8\ \mathrm{kN\cdot m}$

$M_B=7P-20-8=0\ \Rightarrow\ P=4\ \mathrm{kN}$ — 우력은 위치와 무관하게 그대로 더해진다.

• 3은 우력 또는 등분포하중의 기여를 일부 빠뜨린 값이다.
• 5는 팔 길이를 잘못 잡은 값이다.
• 10은 등분포하중의 크기를 P와 그대로 같게 본 값으로 모멘트 평형과 무관하다.

B점의 수직 반력은 15.0 kN이다.

힌지 C 오른쪽(C~B~끝단)은 C와 B로 지지되는 내민보처럼 해석한다. 삼각형 분포하중의 합력은 $\dfrac{1}{2}\times10\times3=15\ \mathrm{kN}$이고, 작용점은 C에서 $\dfrac{2}{3}\times3=2\ \mathrm{m}$로 정확히 B 위이다.

ΣM_C=0: $R_B\times2=15\times2\ \Rightarrow\ R_B=15\ \mathrm{kN}$
따라서 힌지 C에 전달되는 전단력은 0이다.

• 18.5는 합력 작용점을 B보다 바깥으로 잡은 값이다.
• 20.0은 합력 위치를 끝단 쪽으로 치우치게 둔 값이다.
• 30.0은 최대 하중강도에 길이를 곱해 삼각형 하중을 직사각형으로 본 값이다.

B점의 수직 변위는 $5PL^{3}/64EI$이다.

B의 위·아래 스프링은 같은 변위를 가지므로 병렬 연결이며 합성 강성은 $2k=\dfrac{EI}{L^3}$이다.

스프링이 없을 때 자유단 처짐: $\dfrac{P(L/2)^3}{3EI}+\dfrac{P(L/2)^2}{2EI}\times\dfrac{L}{2}=\dfrac{5PL^3}{48EI}$
스프링 힘 R에 의한 되돌림: $\dfrac{RL^3}{3EI}$
적합조건: $\dfrac{5PL^3}{48EI}-\dfrac{RL^3}{3EI}=\dfrac{RL^3}{EI}\ \Rightarrow\ R=\dfrac{5P}{64}$

$\delta_B=\dfrac{R}{2k}=\dfrac{5P}{64}\times\dfrac{L^3}{EI}=\dfrac{5PL^3}{64EI}$

• $5PL^{3}/32EI$는 정답의 2배로, 스프링 지지가 처짐을 줄이는 효과를 과소평가한 값이다.
• $PL^{3}/64EI$는 자유단 처짐의 계수 5를 놓친 값이다.
• $PL^{3}/32EI$도 계수 5를 놓친 값이다.

하중 W의 작용 위치는 d = 4/3 m이다.

스프링이 모두 같으므로 스프링 힘은 변위에 비례해 A, B, C에서 각각 $F,\ 2F,\ 3F$이다.

ΣF_y=0: $W=F+2F+3F=6F$
A점에 대한 ΣM=0: $W\times d=2F\times1+3F\times2=8F$
$d=\dfrac{8F}{6F}=\dfrac{4}{3}\ \mathrm{m}$ — 하중은 스프링 힘의 합력 위치에 놓인다.

• 3/2라면 A점 모멘트가 $6F\times\dfrac{3}{2}=9F\neq8F$가 되어 평형이 성립하지 않는다.
• 7/6이라면 $6F\times\dfrac{7}{6}=7F\neq8F$이다.
• 5/3이라면 $6F\times\dfrac{5}{3}=10F\neq8F$이다.