17년 1회차

보 BD가 수평이려면 케이블 CD의 길이는 L이어야 한다.

B 기준 모멘트 평형으로 장력을 구한다(BD 길이 a, 하중은 B에서 a/4).
$T_{CD}\times a=P\times\dfrac{a}{4}\Rightarrow T_{CD}=\dfrac{P}{4},\quad T_{AB}=\dfrac{3P}{4}$

수평 유지 조건은 두 케이블의 신장량이 같은 것이다(AB 단면적 3A, CD 단면적 A).
$\dfrac{(3P/4)L}{E(3A)}=\dfrac{(P/4)L_{CD}}{EA}\Rightarrow L_{CD}=L$

• 3L/4나 3L은 장력비와 단면적비 중 하나만 반영한 값이다.
• 1/L은 길이의 차원조차 맞지 않는 값이다.

부재 AD의 부재력은 $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\,\mathrm{kN}$ 압축이다.

A를 원점으로 C(40 m)의 반력을 구한다. 8 kN은 B(20 m), 6 kN은 높이 10 m의 E에 작용한다.
$40C_y=8\times20+6\times10=220\Rightarrow C_y=5.5\,\mathrm{kN}$
$A_y=8-5.5=2.5\,\mathrm{kN}$

절점 A에서 수직 성분을 가진 부재는 AD뿐이다(45° 경사).
$2.5+F_{AD}\sin45^\circ=0\Rightarrow F_{AD}=-2.5\sqrt{2}=-\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\,\mathrm{kN}$

• 같은 크기의 인장은 부호(방향)를 반대로 본 것이다.
• $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,\mathrm{kN}$(압축·인장)는 A점 수직 반력 2.5 kN에서 나오는 부재력 크기와 맞지 않는 값이다.

전단탄성계수는 $G=9.0\times10^{4}\,\mathrm{N/mm^2}$이다. 길이·지름 변화로 푸아송비를 구한 뒤 $G=\dfrac{E}{2(1+\nu)}$에 대입한다.

축방향 변형률: $\varepsilon=\dfrac{\Delta L}{L}=\dfrac{1}{1000}=0.001$
횡방향 변형률: $\varepsilon_{d}=\dfrac{\Delta d}{d}=\dfrac{0.0055}{50}=0.00011$

푸아송비: $\nu=\dfrac{\varepsilon_{d}}{\varepsilon}=\dfrac{0.00011}{0.001}=0.11$
전단탄성계수: $G=\dfrac{1.998\times10^{5}}{2(1+0.11)}=\dfrac{1.998\times10^{5}}{2.22}=0.9\times10^{5}=9.0\times10^{4}\,\mathrm{N/mm^2}$

부재 BC의 부재력은 0이다.

절점 B에서 부재 BA와 하중 50 kN은 모두 연직 방향이다.

수평 성분을 가진 힘은 BC뿐이므로 $\Sigma F_x=0$에서 $F_{BC}\cos30^\circ=0\Rightarrow F_{BC}=0$이고, 하중은 BA가 모두 부담한다.

• 25 kN은 하중에 sin30°를 곱해 BC가 일부를 받는다고 본 값이다.
• 50 kN은 하중 전부가 BC로 간다고 본 값이다.
• 100 kN은 하중을 sin30°로 나눈 값으로 경사 부재가 하중을 지지할 때의 결과다.

케이블 단면을 가장 작게 하려면 경사각을 60°로 해야 한다.

힌지 A에 대한 모멘트 평형에서 케이블 장력의 연직 성분이 하중을 지탱한다.
$T\sin\theta\times5=100\times5\Rightarrow T=\dfrac{100}{\sin\theta}$

필요 단면은 장력에 비례하므로 sinθ가 가장 큰 θ를 택한다. 범위 0°~60°에서 θ=60°이면 $T=\dfrac{100}{0.9}\approx111\,\mathrm{kN}$으로 허용축력 150 kN 이내다.

• 10°는 $T=\dfrac{100}{0.2}=500\,\mathrm{kN}$으로 허용축력을 넘는다.
• 30°는 $T=200\,\mathrm{kN}$으로 역시 허용축력을 넘는다.
• 50°는 $T=125\,\mathrm{kN}$으로 가능하지만 60°보다 장력이 커 단면이 더 크다.

B점의 수직 변위는 7.2 mm이다.

힌지 B~롤러 C(9 m)를 단순보로 보면 30 kN은 B에서 6 m, C에서 3 m에 있다.
$R_B=\dfrac{30\times3}{9}=10\,\mathrm{kN}$

이 10 kN이 길이 6 m 외팔보 AB의 자유단에 작용하는 것과 같다.
$\delta_B=\dfrac{PL^3}{3EI}=\dfrac{10\times6^3}{3\times100000}=0.0072\,\mathrm{m}=7.2\,\mathrm{mm}$

• 3.6 mm는 힌지 전달력을 절반(5 kN)으로 본 값이다.
• 14.4 mm는 힌지 전달력을 20 kN으로 잘못 잡은 값이다.
• 12.2 mm는 위 계산과 맞지 않는 값이다.

두 반력이 같아지는 거리는 $x=\dfrac{7}{3}\,\mathrm{m}$이다.

전체 하중 6 kN이므로 $R_A=R_B=3\,\mathrm{kN}$이다.

A점 모멘트 평형(2 kN은 A에서 x+2 m).
$R_B\times6=4x+2(x+2)$
$18=6x+4\Rightarrow x=\dfrac{7}{3}\,\mathrm{m}$

• 8/3 m는 두 하중의 합력이 중앙(3 m)보다 오른쪽에 오게 되어 B 반력이 더 크다.
• 10/3 m, 11/3 m는 합력이 더 오른쪽으로 치우쳐 반력이 같아지지 않는다.

B지점 반력은 $\dfrac{3EI\delta}{L^3}$이다.

롤러 B를 제거하면 고정단 A의 외팔보가 되고, B의 반력 R이 자유단 하중으로 작용한다.

자유단 처짐이 침하량 δ와 같아야 한다.
$\delta=\dfrac{RL^3}{3EI}\Rightarrow R=\dfrac{3EI\delta}{L^3}$

• $\dfrac{EI\delta}{L^3}$와 $\dfrac{EI\delta}{2L^3}$는 외팔보 처짐 공식의 계수를 잘못 쓴 값이다.
• $\dfrac{6EI\delta}{L^3}$는 양단 고정보의 상대 침하 때 단부 모멘트 계수와 혼동한 값이다.

필요한 수직하중은 $Q=\sqrt{3}P$이다.

모멘트 하중 PL에 의한 변형에너지(휨모멘트 일정).
$U_1=\dfrac{M^2L}{2EI}=\dfrac{P^2L^3}{2EI}$

자유단 집중하중 Q에 의한 변형에너지($M=Qx$).
$U_2=\int_0^L\dfrac{(Qx)^2}{2EI}dx=\dfrac{Q^2L^3}{6EI}$
두 값을 같게 두면 $Q^2=3P^2\Rightarrow Q=\sqrt{3}P$

• $\sqrt{2}P$는 집중하중 에너지의 분모를 4EI로 본 값이다.
• $2\sqrt{2}P$와 $2\sqrt{3}P$는 에너지 공식의 계수를 잘못 대입한 값이다.

수평하중 P는 10 kN이다.

축강성에서 탄성계수를 구한다.
$E=\dfrac{500000\,\mathrm{N}}{10000\,\mathrm{mm^2}}=50\,\mathrm{N/mm^2}$

변형에너지밀도 $u=\dfrac{\sigma^2}{2E}$에서 응력을 구한다.
$\sigma=\sqrt{2\times50\times0.01}=1\,\mathrm{N/mm^2}$
$P=\sigma A=1\times10000=10000\,\mathrm{N}=10\,\mathrm{kN}$

• 100 kN은 단위 환산(N→kN)을 한 자리 잘못한 값이다.
• 11 kN과 110 kN은 응력 계산과 맞지 않는 값이다.

최대 주단면 2차모멘트는 8 $mm^{4}$이다.

도심축을 회전해도 두 직교축 단면 2차모멘트의 합은 일정하다.
$I_{max}+I_{min}=I_x+I_y$

값을 대입한다.
$I_{max}=3+7-2=8\,\mathrm{mm^4}$

• 5 $mm^{4}$는 두 축값의 평균으로 최대값이 될 수 없다.
• 6 $mm^{4}$와 7 $mm^{4}$는 $I_{min}=2$와 더해 합 10이 되지 않아 불변 조건에 어긋난다.

두 힘의 합력은 4 kN이다.

V는 x축과 90°, U는 x축 아래 30°이므로 두 힘의 사이각은 120°이다.

$R^2=4^2+4^2+2\times4\times4\times\cos120^\circ=16$
$R=4\,\mathrm{kN}$

• 1 kN은 같은 크기 두 힘의 120° 합력(각 힘과 같은 4 kN)보다 작은 값이다.
• 2 kN은 합력을 한 힘의 절반으로 본 값으로 120° 합성 결과와 맞지 않는다.
• 3 kN도 $R^2=16$에서 나오는 값이 아니다.

인장실험에서는 진응력이 공칭응력보다 크다는 설명이 옳다. 인장 중 단면이 줄어드는데, 진응력은 줄어든 실제 단면적으로 나누기 때문이다.

공칭응력은 $\sigma_{n}=\dfrac{P}{A_{0}}$(변형 전 단면적), 진응력은 $\sigma_{t}=\dfrac{P}{A}$(변형 후 실제 단면적)이다. 인장에서는 $A$

• 실제 단면적으로 계산한 응력을 공칭응력이라 한 설명: 그것은 진응력의 정의이다. 공칭응력은 원래 단면적을 쓴다.
• 모든 공학적 용도에 진응력·진변형률을 써야 한다는 설명: 일반 설계는 탄성 범위의 작은 변형을 다루므로 공칭응력·공칭변형률을 주로 쓴다.
• 인장에서 진변형률이 공칭변형률보다 크다는 설명: $\varepsilon_{t}=\ln(1+\varepsilon_{n})$이므로 인장($\varepsilon_{n}>0$)에서는 진변형률이 공칭변형률보다 작다.

A점이 압축이 되기 위한 $\mathrm{P_1}$/$\mathrm{P_2}$의 최솟값은 12이다.

단면 폭 2a(하중 편심 방향), 깊이 a이다.
$A=2a^2,\quad S=\dfrac{a(2a)^2}{6}=\dfrac{2a^3}{3}$

$\mathrm{P_1}$은 A쪽으로 0.5a 편심이라 A점에 압축을 더하고, 높이 10a의 수평하중 $\mathrm{P_2}$의 휨모멘트는 A쪽에 인장을 준다(압축 +).
$\sigma_A=\dfrac{P_1}{2a^2}+\dfrac{0.5aP_1}{2a^3/3}-\dfrac{10aP_2}{2a^3/3}=\dfrac{1.25P_1-15P_2}{a^2}\ge0$
$\dfrac{P_1}{P_2}\ge12$

• 6과 8은 편심 $\mathrm{P_1}$의 휨 효과나 단면계수를 잘못 반영한 값이다.
• 10은 $\mathrm{P_1}$의 편심 휨을 빼고 계산한 값과도 맞지 않는 값이다.

지점 A의 반력은 84 kN이다.

A의 롤러 지지면이 부재 AB와 나란하므로 반력 R_A는 부재 AB에 수직으로 작용한다. AB의 길이는 $\sqrt{3^2+4^2}=5\,\mathrm{m}$이다.

힌지 B에 대한 모멘트 평형에서 R_A의 팔길이는 5 m이다.
$R_A\times5=60\times7\Rightarrow R_A=84\,\mathrm{kN}$

• 60 kN은 하중을 그대로 옮긴 값이다.
• 105 kN은 팔길이를 4 m(연직 높이)로 잡은 값이다.
• 140 kN은 팔길이를 3 m(수평 거리)로 잡은 값이다.

y축에서 도심까지의 거리는 $\dfrac{2a+b}{3}$이다.

삼각형의 도심은 세 꼭짓점 좌표의 평균이다. 꼭짓점의 x좌표는 0, a, a+b이다.

$\bar{x}=\dfrac{0+a+(a+b)}{3}=\dfrac{2a+b}{3}$

• (a+b)/3은 꼭짓점 a를 한 번만 더한 값이다.
• (a+2b)/3은 a와 b의 역할을 뒤바꾼 값이다.
• 분모가 4인 값은 도심 공식(꼭짓점 3개 평균)에 맞지 않는다.

하중 작용점의 휨모멘트는 250 kN·m이다.

양단 고정보 중앙 집중하중의 고정단 모멘트는 $\dfrac{PL}{8}$, 중앙 모멘트도 $\dfrac{PL}{8}$이다(단순보 PL/4에서 PL/8을 뺀 값).

$M=\dfrac{100\times20}{8}=250\,\mathrm{kN\cdot m}$

• 125 kN·m는 PL/16으로 계산한 값이다.
• 400 kN·m와 275 kN·m는 단순보 값(PL/4=500)과 고정단 모멘트 조합을 잘못한 값이다.

부재 BC의 부재력은 P/2(인장)이다.

부정정이므로 변위 적합 조건을 쓴다. B가 대칭으로 δ만큼 내려가면 BC는 δ 늘어나고, 45° 부재 BA·BD는 각각 $\delta\cos45^\circ$만큼 줄어든다.
$F_{BC}=\dfrac{EA\delta}{L},\quad F_{BA}=F_{BD}=\dfrac{EA\delta}{\sqrt{2}L}$

B점 연직 평형.
$\dfrac{EA\delta}{L}+2\times\dfrac{EA\delta}{\sqrt{2}L}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}=P\Rightarrow\dfrac{EA\delta}{L}=\dfrac{P}{2}$

• BC는 B를 위로 끌어올리므로 압축 결과(P/3, 2P/3)는 방향부터 맞지 않다.
• 3P/4(인장)는 경사 부재의 강성 기여를 과소 평가한 값이다.

필요한 하중은 $P=\dfrac{EA}{L}$이다.

C에서 두 부재가 직각을 이루며 대칭이므로 각 부재는 연직선과 45°를 이룬다. C가 연직으로 1만큼 내려가면 각 부재는 $\cos45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$만큼 늘어난다.
$F=\dfrac{EA}{L}\times\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

두 부재 힘의 연직 성분 합이 P이다.
$P=2F\cos45^\circ=2\times\dfrac{EA}{\sqrt{2}L}\times\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{EA}{L}$

• EA/2L은 부재 하나만 고려한 값이다.
• EA/3L, EA/4L은 신장량과 힘의 방향 성분을 이중으로 줄인 값이다.

탄성계수는 $E=2.0\times10^{5}\,\mathrm{N/mm^2}$이다. 축하중 신장량 공식 $\delta=\dfrac{PL}{EA}$을 E에 대해 풀어 대입한다.

공식: $E=\dfrac{PL}{A\delta}$
대입: $E=\dfrac{100\times10^{3}\,\mathrm{N}\times1000\,\mathrm{mm}}{500\,\mathrm{mm^2}\times1\,\mathrm{mm}}$
결과: $E=2.0\times10^{5}\,\mathrm{N/mm^2}$