18년 1회차

전도되지 않을 최소 길이 B는 1.0 m이다.

옹벽 앞굽(왼쪽 아래 끝)을 회전중심으로 잡는다. 삼각형 옹벽의 자중과 그 팔길이(연직 배면 쪽에서 B/3, 앞굽에서 2B/3)는 다음과 같다.
$W=\dfrac{1}{2}\times B\times 9\times 24=108B\ \mathrm{kN/m},\quad x=\dfrac{2B}{3}$

저항모멘트 = 전도모멘트로 두면
$108B\times\dfrac{2B}{3}=24\times 3$
$72B^2=72,\quad B=1.0\ \mathrm{m}$

• 0.8 m이면 저항모멘트가 약 46 kN·m/m로 전도모멘트 72 kN·m/m보다 작아 전도된다.
• 1.2 m, 1.4 m도 전도는 안 되지만 최소 길이가 아니다.

최소주응력은 −250 MPa, $y_\theta$ 방향 응력은 180 MPa이다.

좌표축을 어떻게 회전해도 두 직교 방향 수직응력의 합은 일정하다(응력 불변량).
$\sigma_1+\sigma_2=\sigma_x+\sigma_y=450+(-150)=300\ \mathrm{MPa}$

대입하면
$\sigma_2=300-550=-250\ \mathrm{MPa}$
$\sigma_{y\theta}=300-\sigma_{x\theta}=300-120=180\ \mathrm{MPa}$

• (−150, 180)은 최소주응력을 원래의 $\sigma_y$로 착각한 것이다.
• (250, 90)은 최소주응력의 부호가 틀렸고 두 회전축 응력의 합도 300 MPa가 되지 않는다.
• (150, −90)은 두 조합 모두 합이 300 MPa가 되지 않는다.

A점 처짐이 0이 되는 관계는 Q = 5P/16이다.

고정단에서 L 떨어진 곳의 하중 P에 의한 끝단 처짐은 하중점 처짐에 하중점 처짐각×나머지 길이를 더한다.
$\delta_P=\dfrac{PL^3}{3EI}+\dfrac{PL^2}{2EI}\times L=\dfrac{5PL^3}{6EI}\ (\downarrow)$

끝단 상향 하중 Q(길이 2L)에 의한 처짐은
$\delta_Q=\dfrac{Q(2L)^3}{3EI}=\dfrac{8QL^3}{3EI}\ (\uparrow)$

두 처짐을 같게 두면 $\dfrac{8Q}{3}=\dfrac{5P}{6}$, 즉 $Q=\dfrac{5}{16}P$이다.

• Q = 3P/16은 P에 의한 끝단 처짐을 $\dfrac{PL^3}{2EI}$로 과소평가해야 나오는 값이다.
• Q = P/4는 P에 의한 끝단 처짐을 $\dfrac{2PL^3}{3EI}$로 과소평가해야 나오는 값이다.
• Q = 3P/8은 P에 의한 끝단 처짐을 $\dfrac{PL^3}{EI}$로 과대평가해야 나오는 값이다.

양단 고정 기둥의 좌굴하중은 40 kN이다.

오일러 좌굴하중은 유효길이의 제곱에 반비례한다.
$P_{cr}=\dfrac{\pi^2EI}{(KL)^2}$

양단 힌지는 $K=1$, 양단 고정은 $K=0.5$이므로 좌굴하중은 4배가 된다.
$P_{cr,b}=10\times\dfrac{1}{0.5^2}=40\ \mathrm{kN}$

• 10 kN은 지점 조건의 차이를 무시한 값이다.
• 20 kN은 좌굴하중이 유효길이에 단순 반비례한다고 본 값이다.
• 30 kN은 이론 유효길이계수로 나오지 않는 값이다.

압축력은 $\mathrm{P_1}$ = rP/(2r+1), $\mathrm{P_2}$ = P/(2r+1)이다.

하중이 가운데 작용하고 좌우 기둥이 같으므로 강판은 기울지 않고 평행 이동한다. 따라서 세 기둥의 축방향 변형량이 같다.
$\dfrac{P_1L}{E_1A_1}=\dfrac{P_2L}{E_2A_2}\ \Rightarrow\ P_1=rP_2$

힘의 평형을 대입하면
$2P_1+P_2=P\ \Rightarrow\ (2r+1)P_2=P$
$P_2=\dfrac{P}{2r+1},\quad P_1=\dfrac{rP}{2r+1}$

• $\mathrm{P_1}$ = P/(2r+1), $\mathrm{P_2}$ = rP/(2r+1)은 두 기둥의 분담력을 뒤바꾼 것이다.
• (rP, (2r−1)P)는 합이 P가 되지 않아 평형을 만족하지 않는다.
• (r(r+1)P, (r+1)P) 역시 평형식을 만족하지 않는다.

두 재료의 변형률 관계는 εA = −2εB이다.

양단이 고정되어 있으므로 온도가 변해도 부재 전체 길이 변화는 0이다.
$\varepsilon_A L+\varepsilon_B(2L)=0$

따라서 $\varepsilon_A=-2\varepsilon_B$이다. 열팽창계수와 탄성계수 비는 각 구간의 응력·변형률 크기를 정하지만, 이 적합 조건 자체는 길이 비만으로 결정된다.

• 2εA = −εB는 두 부재 길이를 서로 바꿔 적용한 관계이다.
• 2εA = εB, εA = 2εB는 부호가 같아 전체 길이 변화가 0이 될 수 없다.

A점의 축방향 변위는 6 mm이다.

작용 응력은 항복점 200 MPa를 넘는다.
$\sigma=\dfrac{2500}{10}=250\ \mathrm{MPa}$

따라서 변형률은 두 구간을 나누어 더한다.
$\varepsilon=\dfrac{200}{200\,000}+\dfrac{250-200}{10\,000}=0.001+0.005=0.006$
$\delta=0.006\times 1000=6\ \mathrm{mm}$

• 3 mm, 4 mm, 5 mm는 두 번째 구간의 작은 기울기(10 GPa)에 의한 변형을 잘못 계산한 값이다.
• 첫 구간만 쓰면 1.25 mm로, 항복 이후 거동을 무시한 결과이다.

C점 모멘트가 0이 되는 하중은 P = 4 kN이다.

삼각형 분포하중의 합력과 위치는 다음과 같다.
$W=\dfrac{1}{2}\times 32\times 3=48\ \mathrm{kN},\quad x=1\ \mathrm{m}$(B에서)

C 오른쪽 자유물체(CDE)에서 E 반력의 팔길이는 1 m, P의 팔길이는 C 높이에서 2 m이다.
$M_C=E_y\times 1-P\times 2=0\ \Rightarrow\ E_y=2P$

A점에 대한 전체 모멘트 평형(E는 A에서 수평 4 m, P는 A에서 높이 4 m)
$\Sigma M_A=-48\times 1+4E_y+4P=0\ \Rightarrow\ E_y+P=12$
$3P=12,\quad P=4\ \mathrm{kN}$

• 2 kN이면 E 반력이 10 kN이 되어 C 모멘트가 6 kN·m 남는다.
• 6 kN, 8 kN이면 E 반력이 2P보다 작아져 C에 반대 방향 모멘트가 생긴다.

부재의 변형에너지는 $P^{2}L/(3EA)$이다.

C점 좌우 두 구간은 같은 변위를 공유하므로 병렬 스프링처럼 작용한다.
$k_{AC}=\dfrac{EA}{2L},\quad k_{CB}=\dfrac{EA}{L},\quad k=\dfrac{3EA}{2L}$

C점 변위와 변형에너지는
$\delta_C=\dfrac{P}{k}=\dfrac{2PL}{3EA}$
$U=\dfrac{1}{2}P\delta_C=\dfrac{P^2L}{3EA}$

• $P^{2}L/(EA)$는 1/2 계수와 강성 분담을 모두 무시한 값이다.
• $2P^{2}L/(3EA)$는 외력일에서 1/2을 빠뜨린 값이다.
• $P^{2}L/(6EA)$는 실제 에너지의 절반으로, 1/2을 두 번 적용한 값이다.

스프링 강성은 $\mathrm{k_2}$ = 200 N/m이다.

하중이 두 스프링 사이 정중앙(각 2 m)에 있으므로 두 스프링이 50 N씩 분담한다.
$\delta_1=\dfrac{50}{100}=0.5\ \mathrm{m}$

봉이 수평이 되려면 두 스프링 하단 높이가 같아야 한다(오른쪽 천장이 1.75 m 높다).
$1.75+1.5+\delta_1=3.5+\delta_2\ \Rightarrow\ \delta_2=0.25\ \mathrm{m}$
$k_2=\dfrac{50}{0.25}=200\ \mathrm{N/m}$

• 350, 300, 250 N/m는 늘음량이 0.25 m보다 작아져 봉 오른쪽이 높아진다.
• 천장 높이 차 1.75 m를 빠뜨리면 $\delta_2$가 음수가 되어 성립하지 않는다.

최대·최소응력의 차는 2.5 MPa이다.

편심 1.0 m는 4 m 변 방향이므로 그 방향 휨에 대한 단면계수를 쓴다.
$Z=\dfrac{3\times 4^2}{6}=8\ \mathrm{m^3},\quad M=Pe=10\,000\times 1.0=10\,000\ \mathrm{kN\cdot m}$

축응력 항은 상쇄되고 휨응력의 2배만 남는다.
$\sigma_{max}-\sigma_{min}=\dfrac{2M}{Z}=\dfrac{2\times 10\,000}{8}=2500\ \mathrm{kN/m^2}=2.5\ \mathrm{MPa}$

• 1.25 MPa는 휨응력 한쪽 값만 쓴 것이다.
• 2.0 MPa, 4.0 MPa는 응력차 $2M/Z$와 맞지 않는 값이다. 응력차에는 축응력 $P/A$가 들어가지 않는다.

주각은 22.5°이다.

그림에서 x방향은 압축 8 MPa, y방향 수직응력은 없고, 오른쪽 면의 전단응력이 아래 방향이므로 $\tau_{xy}=-4\ \mathrm{MPa}$이다.
$\sigma_x=-8,\quad \sigma_y=0,\quad \tau_{xy}=-4\ \mathrm{MPa}$

주각 공식에 대입하면
$\tan 2\theta_p=\dfrac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}=\dfrac{-8}{-8}=1$
$2\theta_p=45^\circ,\quad \theta_p=22.5^\circ$

• 45.0°는 2θ 값을 주각으로 착각한 것이다.
• 15.0°, 30.0°는 $\tan 2\theta=1$을 만족하지 않는다.

A점 수직반력이 0이 되는 최소 길이는 a = 2 m이다.

A의 수직반력은 B에서 내민 상부보가 캔틸레버 AB에 전달하는 힘과 같다. 따라서 상부보가 B에서 받는 반력 0으로 C점에 대해 평형이면 된다.

C점 기준 모멘트(반시계: B쪽 하중, 시계: C 오른쪽 분포하중과 시계방향 모멘트하중)
$4\times 1+2\times 1\times 0.5=2a\times\dfrac{a}{2}+1$
$5=a^2+1,\quad a=2\ \mathrm{m}$

• 3 m, 4 m, 5 m이면 C 오른쪽 분포하중의 모멘트가 커져 상부보가 C를 중심으로 시계방향으로 돌려 하므로, B에서 상부보를 붙잡는 연직력이 필요해지고 그만큼 A에 수직반력이 생긴다.
• 모멘트하중의 방향을 반대로 보면 $a=\sqrt{6}$이 되어 어느 값과도 맞지 않는다.

레이커 BC의 압축력은 400/(6+√3) kN이다.

C는 A보다 0.5 m 높고 수평거리 3.0 m, 경사 30°이므로 B의 A 기준 높이는
$h_B=0.5+3\tan 30^\circ=0.5+\sqrt{3}\ \mathrm{m}$

벽 두께를 무시하면 B는 A의 연직선 위에 있다. A점에 대한 모멘트 평형에서 레이커 힘의 연직성분은 A를 지나므로 수평성분만 모멘트를 만든다.
$N\cos 30^\circ\times(0.5+\sqrt{3})=100\times 1.0$
$N=\dfrac{100}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}(0.5+\sqrt{3})}=\dfrac{200}{3+0.5\sqrt{3}}=\dfrac{400}{6+\sqrt{3}}\ \mathrm{kN}$

• 200/(6+√3)은 실제 값의 절반으로 계수를 잘못 정리한 것이다.
• 200/(3+√3)과 400/(3+√3)은 A점 모멘트 평형식에서 나오지 않는 값이다. C가 A보다 0.5 m 높은 점을 무시해도 N=200/3 kN이 되어 두 값과 맞지 않는다.

단면 C의 최대 휨응력은 $16P/(3a^{2})$이다.

C점은 자유단에서 $x=3a$이므로 단면 한 변과 휨모멘트는
$h=a+\dfrac{3a}{6}=1.5a,\quad M=P\times 3a=3Pa$

정사각형 단면의 단면계수 $Z=\dfrac{h^3}{6}$로 계산한다.
$Z=\dfrac{(1.5a)^3}{6}=\dfrac{9a^3}{16}$
$\sigma_{max}=\dfrac{M}{Z}=\dfrac{3Pa\times 16}{9a^3}=\dfrac{16P}{3a^2}$

• $14P/(3a^{2})$, $18P/(3a^{2})$, $20P/(3a^{2})$는 C점 단면 크기 1.5a를 정확히 쓰지 않은 값이다.
• 자유단 단면 크기 a를 그대로 쓰면 $18P/a^{2}$으로 크게 과대평가된다.

y방향 변형률은 −8.4×$10^{-5}$이다.

강체블록이 x방향 변형만 막으므로 $\varepsilon_x=0$이고 z방향은 자유($\sigma_z=0$)이다. 하중은 압축이므로 $\sigma_y=-0.1\ \mathrm{N/mm^2}$이다.
$\varepsilon_x=\dfrac{\sigma_x-\mu\sigma_y}{E}=0\ \Rightarrow\ \sigma_x=\mu\sigma_y$

y방향 변형률에 대입하면
$\varepsilon_y=\dfrac{\sigma_y-\mu\sigma_x}{E}=\dfrac{\sigma_y(1-\mu^2)}{E}=\dfrac{-0.1\times 0.84}{1000}=-8.4\times 10^{-5}$

• −8.4×$10^{-4}$는 같은 식에서 자릿수를 한 단계 잘못 계산한 값이다.
• −7.6×$10^{-5}$, −7.6×$10^{-4}$는 $1-\mu^2$ 대신 다른 계수를 써서 구속에 의한 응력을 잘못 반영한 값이다.

작용할 수 있는 최대 하중은 P = 6√3 kN이다.

대칭이므로 각 지점 반력은 P/2이다. 지점 절점에서 60° 경사재의 연직성분이 반력과 평형을 이룬다.
$N\sin 60^\circ=\dfrac{P}{2}\ \Rightarrow\ N=\dfrac{P}{\sqrt{3}}$(압축)

상부 절점을 풀면 상현재는 압축 $P/\sqrt{3}$, 중앙 경사재는 인장 $P/\sqrt{3}$이다. 허용 조건은 압축은 좌굴강도, 인장은 항복강도×단면적이다.
$\dfrac{P}{\sqrt{3}}\le 6\ \Rightarrow\ P\le 6\sqrt{3}$
$\dfrac{P}{\sqrt{3}}\le 100\times 0.1=10\ \Rightarrow\ P\le 10\sqrt{3}$

• 10√3은 인장 항복 조건만 본 값으로, 압축재 좌굴이 먼저 일어난다.
• 8√3, 12√3은 부재력 계산에서 나오지 않는 값으로 압축재 좌굴강도를 넘는다.

고정단 휨모멘트 비는 2 : 3 : 4이다.

세 하중의 합력은 모두 $\dfrac{wL}{2}$로 같고, 합력 위치(고정단에서의 거리)만 다르다.

$M_a=\dfrac{wL}{2}\times\dfrac{L}{3}=\dfrac{wL^2}{6},\quad M_b=\dfrac{wL}{2}\times\dfrac{L}{2}=\dfrac{wL^2}{4},\quad M_c=\dfrac{wL}{2}\times\dfrac{2L}{3}=\dfrac{wL^2}{3}$
$\dfrac{1}{6}:\dfrac{1}{4}:\dfrac{1}{3}=2:3:4$

• 4 : 3 : 2는 삼각형 도심을 반대쪽 끝에서 잰 것이다.
• 1 : 2 : 3, 3 : 2 : 1은 팔길이 비를 잘못 잡은 것이다.

휨모멘트 비는 Ma : Mb = 16 : 15이다.

두 단면의 높이가 같아 연단거리가 같으므로 최대 휨응력이 같으면 모멘트 비 = 단면2차모멘트 비이다. 구멍 크기는 폭 100−2×25=50 mm, 높이 200−2×50=100 mm이다.

$I_a=\dfrac{100\times 200^3}{12}=\dfrac{8\times 10^8}{12}$
$I_b=\dfrac{100\times 200^3-50\times 100^3}{12}=\dfrac{7.5\times 10^8}{12}$
$M_a:M_b=8:7.5=16:15$

• 4 : 3은 단면적 비(20 000 : 15 000)로, 휨에는 단면2차모멘트를 써야 한다.
• 8 : 7은 구멍의 단면2차모멘트를 실제의 2배로 과대평가한 값이다.
• 24 : 23은 구멍의 단면2차모멘트를 과소평가한 값이다.

C점 전단력 영향선은 AB 구간이 0이고, B부터 C 직전까지 음(−)으로 감소, C에서 양(+)으로 도약한 뒤 D에서 0을 지나 E까지 음으로 이어지는 형태이다.

AB는 고정단을 가진 독립된 캔틸레버이므로 AB 위 하중은 C점 단면에 힘을 전달하지 않는다. 반면 BDE는 힌지 B와 롤러 D로 지지되는 내민보로, C의 전단 영향선은 단순보형 영향선에 내민 구간 DE로의 직선 연장이 붙는다.

• AB 구간에 기울어진 값이 있는 형태는 캔틸레버 위 하중이 C에 영향을 주는 것으로 잘못 그렸다.
• C에서 끊김 없이 꺾이기만 하는 형태는 휨모멘트 영향선 모양으로, 전단력 영향선의 단위 도약(불연속)이 없다.
• A부터 C까지 한 직선으로 이어진 형태는 B 힌지의 역할을 무시했다.